5 : Intégration
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- 5.0 : Prélude à l'intégration
- Déterminer la distance par rapport à la vitesse n'est qu'une des nombreuses applications de l'intégration. En fait, les intégrales sont utilisées dans une grande variété d'applications mécaniques et physiques. Dans ce chapitre, nous présentons d'abord la théorie qui sous-tend l'intégration et utilisons des intégrales pour calculer les surfaces. À partir de là, nous développons le théorème fondamental du calcul, qui relie la différenciation et l'intégration. Nous étudions ensuite certaines techniques d'intégration de base et examinons brièvement certaines applications.
- 5.1 : Zones approximatives
- Dans cette section, nous développons des techniques pour approximer l'aire entre une courbe, définie par une fonction f (x), et l'axe des x sur un intervalle fermé [a, b]. Comme Archimède, nous approximons d'abord l'aire sous la courbe à l'aide de formes d'aires connues (à savoir des rectangles). En utilisant des rectangles de plus en plus petits, nous obtenons des approximations de plus en plus proches de la zone. La prise d'une limite nous permet de calculer l'aire exacte sous la courbe.
- 5.2 : L'intégrale définie
- Si f (x) est une fonction définie sur un intervalle [a, b], l'intégrale définie de f de a à b est donnée par à\[∫^b_af(x)dx=\lim_{n→∞} \sum_{i=1}^nf(x^∗_i)Δx,\] condition que la limite existe. Si cette limite existe, la fonction f (x) est dite intégrable sur [a, b] ou est une fonction intégrable. Les nombres a et b sont appelés limites d'intégration ; plus précisément, a est la limite inférieure et b est la limite supérieure. La fonction f (x) est l'integrand et x est la variable d'intégration.
- 5.3 : Le théorème fondamental du calcul
- Le théorème fondamental du calcul nous a donné une méthode pour évaluer les intégrales sans utiliser de sommes de Riemann. L'inconvénient de cette méthode, cependant, est que nous devons être en mesure de trouver un antidérivé, ce qui n'est pas toujours facile.
- 5.4 : Formules d'intégration et théorème du changement net
- Le théorème de variation nette indique que lorsqu'une quantité change, la valeur finale est égale à la valeur initiale plus l'intégrale du taux de variation. La variation nette peut être un nombre positif, un nombre négatif ou zéro. L'aire sous une fonction paire sur un intervalle symétrique peut être calculée en doublant l'aire sur l'axe X positif. Pour une fonction impaire, l'intégrale sur un intervalle symétrique est égale à zéro, car la moitié de l'aire est négative.
- 5.5 : Substitution
- Dans cette section, nous examinons une technique, appelée intégration par substitution, pour nous aider à trouver des antidérivés. Plus précisément, cette méthode nous aide à trouver des antidérivés lorsque l'integrand est le résultat d'une dérivée en chaîne.
- 5.6 : Intégrales impliquant des fonctions exponentielles et logarithmiques
- Les fonctions exponentielles et logarithmiques apparaissent dans de nombreuses applications du monde réel, en particulier celles impliquant la croissance et la décroissance. La substitution est souvent utilisée pour évaluer des intégrales impliquant des fonctions exponentielles ou des logarithmes.
- 5.7 : Intégrales aboutissant à des fonctions trigonométriques inverses
- Rappelons que les fonctions trigonométriques ne sont pas univoques à moins que les domaines ne soient restreints. Lorsque vous travaillez avec des inverses de fonctions trigonométriques, nous devons toujours faire attention à prendre en compte ces restrictions. Toujours dans Derivatives, nous avons développé des formules pour les dérivées de fonctions trigonométriques inverses. Les formules qui y sont développées donnent directement lieu à des formules d'intégration impliquant des fonctions trigonométriques inverses.