5.5 : Substitution
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- 197325
- Utilisez la substitution pour évaluer les intégrales indéfinies.
- Utilisez la substitution pour évaluer des intégrales définies.
Le théorème fondamental du calcul nous a donné une méthode pour évaluer les intégrales sans utiliser de sommes de Riemann. L'inconvénient de cette méthode, cependant, est que nous devons être en mesure de trouver un antidérivé, ce qui n'est pas toujours facile. Dans cette section, nous examinons une technique, appelée intégration par substitution, pour nous aider à trouver des antidérivés. Plus précisément, cette méthode nous aide à trouver des antidérivés lorsque l'integrand est le résultat d'une dérivée en chaîne.
À première vue, l'approche de la procédure de substitution peut ne pas sembler très évidente. Cependant, il s'agit avant tout d'une tâche visuelle, c'est-à-dire que l'integrand vous montre ce qu'il faut faire ; il s'agit de reconnaître la forme de la fonction. Alors, qu'est-ce qu'on est censés voir ? Nous recherchons une partie intégrale du formulaire\(f\big[g(x)\big]g′(x)\,dx\). Par exemple, dans l'intégrale
\[ ∫(x^2−3)^3 \, 2x \, dx. \label{eq1} \]
nous avons
\[ f(x)=x^3 \nonumber \]
et
\[g(x)=x^2−3.\nonumber \]
Alors
\[ g'(x)=2x.\nonumber \]
et
\[ f[g(x)]g′(x)=(x^2−3)^3(2x),\nonumber \]
et nous voyons que notre integrand est dans la bonne forme. La méthode est appelée substitution parce que nous substituons une partie de l'integrand par la variable\(u\) et une partie de l'integrand par\(du\). Il est également appelé changement de variables, car nous modifions des variables afin d'obtenir une expression plus facile à utiliser pour appliquer les règles d'intégration.
Soit\(u=g(x)\), où\(g′(x)\) est continu sur un intervalle,\(f(x)\) soit continu sur la plage correspondante de\(g\), et\(F(x)\) soit une antidérivée de\(f(x).\) Then,
\[ \begin{align*} ∫f[g(x)]g′(x)\,dx &=∫f(u)\,du \\[4pt] &=F(u)+C \\[4pt] &= F(g(x))+C \end{align*}\]
Soit\(f\),\(g\)\(u\), et\(F\) être tels que spécifiés dans le théorème. Alors
\[ \dfrac{d}{dx}\big[F(g(x))\big]=F′(g(x))g′(x)=f[g(x)]g′(x). \nonumber \]
En intégrant les deux parties en ce qui concerne\(x\), nous constatons que
\[ ∫f[g(x)]g′(x)\,dx=F(g(x))+C. \nonumber \]
Si nous remplaçons maintenant\(u=g(x)\)\(du=g'(x)\,dx\), et que nous obtenons
\[ ∫f[g(x)]g′(x)\,dx=∫f(u)\,du=F(u)+C=F(g(x))+C. \nonumber \]
□
Pour en revenir au problème que nous avons examiné à l'origine, nous l'avons laissé\(u=x^2−3\) et ensuite\(du=2x\,dx\).
Réécrivez l'intégrale (équation \ ref {eq1}) en termes de\(u\) :
\[ ∫(x^2−3)^3(2x\,dx)=∫u^3\,du. \nonumber \]
En utilisant la règle de puissance pour les intégrales, nous avons
\[ ∫u^3\,du=\dfrac{u^4}{4}+C. \nonumber \]
Remplacez l'expression d'origine par\(x\) retour dans la solution :
\[ \dfrac{u^4}{4}+C=\dfrac{(x^2−3)^4}{4}+C.\nonumber \]
Nous pouvons généraliser la procédure dans la stratégie de résolution de problèmes suivante.
- Examinez attentivement l'integrand et sélectionnez une expression\(g(x)\) dans l'integrand pour qu'elle soit égale à u. Sélectionnons\(g(x)\). telle qu'elle\(g′(x)\) fasse également partie de l'integrand.
- Substituer\(u=g(x)\) et\(du=g′(x)dx.\) intégrer l'intégrale.
- Nous devrions maintenant être en mesure d'évaluer l'intégrale par rapport à\(u\). Si l'intégrale ne peut pas être évaluée, nous devons revenir en arrière et sélectionner une autre expression à utiliser comme\(u\).
- Évaluez l'intégrale en termes de\(u\).
- Ecrivez le résultat en termes de\(x\) et d'expression\(g(x).\)
Utilisez la substitution pour trouver l'antidérivé de\(\displaystyle ∫6x(3x^2+4)^4\,dx.\)
Solution
La première étape consiste à choisir une expression pour\(u\). Nous choisissons\(u=3x^2+4\) parce qu'alors\(du=6x\,dx\) et nous\(du\) en avons déjà dans l'integrand. Écrivez l'intégrale en termes de\(u\) :
\[ ∫6x(3x^2+4)^4\,dx=∫u^4\,du. \nonumber \]
N'oubliez pas que\(du\) c'est la dérivée de l'expression choisie pour\(u\), quel que soit le contenu de l'integrand. Nous pouvons maintenant évaluer l'intégrale par rapport à\(u\) :
\[ ∫u^4\,du=\dfrac{u^5}{5}+C=\dfrac{(3x^2+4)^5}{5}+C.\nonumber \]
Analyse
Nous pouvons vérifier notre réponse en prenant la dérivée du résultat de l'intégration. Nous devrions obtenir l'Integrand. En choisissant une valeur pour\(C\) de\(1\), nous\(y=\dfrac{1}{5}(3x^2+4)^5+1.\) laissons We have
\[ y=\dfrac{1}{5}(3x^2+4)^5+1,\nonumber \]
donc
\[ \begin{align*} y′ &=\left(\dfrac{1}{5}\right)5(3x^2+4)^46x \\[4pt] &=6x(3x^2+4)^4.\end{align*}\]
C'est exactement l'expression avec laquelle nous avons commencé dans l'integrand.
Utilisez la substitution pour trouver l'antidérivé de\(\displaystyle ∫3x^2(x^3−3)^2\,dx.\)
- Allusion
-
Laissez\(u=x^3−3.\)
- Réponse
-
\(\displaystyle ∫3x^2(x^3−3)^2\,dx=\dfrac{1}{3}(x^3−3)^3+C \)
Parfois, nous devons ajuster les constantes de notre intégrale si elles ne correspondent pas exactement aux expressions que nous substituons.
Utilisez la substitution pour trouver l'antidérivé de\[ ∫z\sqrt{z^2−5}\,dz. \nonumber \]
Solution
Réécrivez l'intégrale comme\(\displaystyle ∫z(z^2−5)^{1/2}\,dz.\)\(u=z^2−5\) Let et\(du=2z\,dz.\) maintenant nous avons un problème car\(du=2z\,dz\) et l'expression originale n'a que\(z\,dz.\) Nous devons modifier notre expression pour\(du\) ou l'intégrale\(u\) sera deux fois plus grande qu'elle devrait l'être. Si nous multiplions les deux côtés de l'\(du\)équation par\(\dfrac{1}{2}\)... nous pouvons résoudre ce problème. Ainsi,
\[ u=z^2−5\nonumber \]
\[ du=2z\,dz \nonumber \]
\[ \dfrac{1}{2}du=\dfrac{1}{2}(2z)\,dz=z\,dz. \nonumber \]
Écrivez l'intégrale en termes de\(u\), mais retirez l'\(\dfrac{1}{2}\)extérieur du symbole d'intégration :
\[ ∫z(z^2−5)^{1/2}\,dz=\dfrac{1}{2}∫u^{1/2}\,du.\nonumber \]
Intégrez l'expression dans\(u\) :
\[ \begin{align*} \dfrac{1}{2}∫u^{1/2}\,du &= \left(\dfrac{1}{2}\right)\dfrac{u^{3/2}}{\dfrac{3}{2}}+C \\[4pt] &= \left(\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{2}{3}\right)u^{3/2}+C \\[4pt] &=\dfrac{1}{3}u^{3/2}+C \\[4pt] &=\dfrac{1}{3}(z^2−5)^{3/2}+C \end{align*}\]
Utilisez la substitution pour trouver l'antidérivé de\(\displaystyle ∫x^2(x^3+5)^9\,dx.\)
- Allusion
-
Multipliez l'équation du par\(\dfrac{1}{3}\).
- Réponse
-
\(\displaystyle ∫x^2(x^3+5)^9\,dx = \dfrac{(x^3+5)^{10}}{30}+C \)
Utiliser la substitution pour évaluer l'intégrale\(\displaystyle ∫\dfrac{\sin t}{\cos^3t}\,dt.\)
Solution
Nous connaissons la dérivée de\(\cos t\) est\(−\sin t\), donc nous définissons\(u=\cos t\). Alors\(du=−\sin t\,dt.\)
En remplaçant l'intégrale, nous avons
\[ ∫\dfrac{\sin t}{\cos^3t}\,dt=−∫\dfrac{du}{u^3}.\nonumber \]
En évaluant l'intégrale, nous obtenons
\[ −∫\dfrac{du}{u^3}=−∫u^{−3}\,du=−\left(−\dfrac{1}{2}\right)u^{−2}+C.\nonumber \]
En remettant la réponse en termes de t, nous obtenons
\[ ∫\dfrac{\sin t}{\cos^3t}\,dt=\dfrac{1}{2u^2}+C=\dfrac{1}{2\cos^2t}+C.\nonumber \]
Utiliser la substitution pour évaluer l'intégrale\( \displaystyle ∫\dfrac{\cos t}{\sin^2t}\,dt.\)
- Allusion
-
Utilisez le processus décrit dans Exemple\(\PageIndex{3}\) pour résoudre le problème.
- Réponse
-
\(\displaystyle ∫\dfrac{\cos t}{\sin^2t}\,dt = −\dfrac{1}{\sin t}+C\)
Utiliser la substitution pour évaluer l'intégrale indéfinie\(\displaystyle ∫\cos^3t\sin t\,dt. \)
- Allusion
-
Utilisez le processus décrit dans Exemple\(\PageIndex{3}\) pour résoudre le problème.
- Réponse
-
\(\displaystyle ∫\cos^3t\sin t\,dt = −\dfrac{\cos^4t}{4}+C \)
Parfois, nous avons besoin de manipuler une intégrale de manière plus compliquée que de simplement la multiplier ou la diviser par une constante. Nous devons éliminer toutes les expressions de l'integrand qui se rapportent à la variable d'origine. Lorsque nous aurons terminé, ce\(u\) devrait être la seule variable de l'integrand. Dans certains cas, cela signifie qu'il faut résoudre la variable d'origine en termes de\(u\). Cette technique devrait apparaître clairement dans l'exemple suivant.
Utilisez la substitution pour trouver l'antidérivé de\[ ∫\dfrac{x}{\sqrt{x−1}}\,dx. \nonumber \]
Solution
Si on le laisse faire\(u=x−1,\)\(du=dx\). Mais cela ne tient pas compte\(x\) du numérateur de l'integrand. Nous devons exprimer\(x\) en termes de\(u.\) Si\(u=x−1\), alors\(x=u+1.\) maintenant nous pouvons réécrire l'intégrale en termes de\(u:\)
\[ ∫\dfrac{x}{\sqrt{x−1}}\,dx=∫\dfrac{u+1}{\sqrt{u}}\,du=∫\left(\sqrt{u}+\dfrac{1}{\sqrt{u}}\right)\,du=∫\left(u^{1/2}+u^{−1/2}\right)\,du.\nonumber \]
Ensuite, nous intégrons de la manière habituelle, la\(u\) remplaçons par l'expression d'origine, puis nous factorisons et simplifions le résultat. Ainsi,
\[ \begin{align*} ∫(u^{1/2}+u^{−1/2})\,du &=\dfrac{2}{3}u^{3/2}+2u^{1/2}+C \\[4pt] &= \dfrac{2}{3}(x−1)^{3/2}+2(x−1)^{1/2}+C \\[4pt] &= (x−1)^{1/2}\left[\dfrac{2}{3}(x−1)+2\right]+C \\[4pt] &= (x−1)^{1/2}\left(\dfrac{2}{3}x−\dfrac{2}{3}+\dfrac{6}{3}\right) \\[4pt] &= (x−1)^{1/2}\left(\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}\right) \\[4pt] &= \dfrac{2}{3}(x−1)^{1/2}(x+2)+C. \end{align*}\]
Substitution pour des intégrales définies
La substitution peut également être utilisée avec des intégrales définies. Cependant, l'utilisation de la substitution pour évaluer une intégrale définie nécessite de modifier les limites de l'intégration. Si nous changeons des variables dans l'integrand, les limites de l'intégration changent également.
Laissez\(u=g(x)\) et laissez\(g'\) être continus sur un intervalle\([a,b]\), et laissez\(f\) être continus sur la plage de\(u=g(x).\) Ensuite,
\[∫^b_af(g(x))g′(x)\,dx=∫^{g(b)}_{g(a)}f(u)\,du. \nonumber \]
Bien que nous ne prouvions pas formellement ce théorème, nous le justifions par quelques calculs ici. À partir de la règle de substitution pour les intégrales indéfinies, si\(F(x)\) est un antidérivé de\(f(x),\) nous avons
\[ ∫f(g(x))g′(x)\,dx=F(g(x))+C. \nonumber \]
Alors
\[\begin{align*} ∫^b_af[g(x)]g′(x)\,dx &= F(g(x))\bigg|^{x=b}_{x=a} \\[4pt] &=F(g(b))−F(g(a)) \\[4pt] &= F(u) \bigg|^{u=g(b)}_{u=g(a)} \\[4pt] &=∫^{g(b)}_{g(a)}f(u)\,du \end{align*}\]
et nous avons obtenu le résultat souhaité.
Utiliser la substitution pour évaluer\[ ∫^1_0x^2(1+2x^3)^5\,dx. \nonumber \]
Solution
Laisse\(u=1+2x^3\) donc\(du=6x^2\,dx\). Puisque la fonction d'origine inclut un facteur\(x^2\) et multiplie\(du=6x^2\,dx\) les deux côtés de l'\(du\)équation par\(1/6.\) Then,
\[ \begin{align*} du &=6x^2\,dx \\[4pt] \text{becomes}\quad \dfrac{1}{6}du &=x^2\,dx. \end{align*}\]
Pour ajuster les limites de l'intégration, notez que quand\(x=0,u=1+2(0)=1,\) et quand\(x=1,\;u=1+2(1)=3.\)
Alors
\[ ∫^1_0x^2(1+2x^3)^5dx=\dfrac{1}{6}∫^3_1u^5\,du. \nonumber \]
En évaluant cette expression, nous obtenons
\[ \begin{align*} \dfrac{1}{6}∫^3_1u^5\,du &=\left(\dfrac{1}{6}\right)\left(\dfrac{u^6}{6}\right)\Big|^3_1 \\[4pt] &=\dfrac{1}{36}\big[(3)^6−(1)^6\big] \\[4pt] &=\dfrac{182}{9}. \end{align*}\]
Utiliser la substitution pour évaluer l'intégrale définie\(\displaystyle ∫^0_{−1}y(2y^2−3)^5\,dy. \)
- Allusion
-
Suivez les étapes de l'exemple\(\PageIndex{5}\) pour résoudre le problème.
- Réponse
-
\(\displaystyle ∫^0_{−1}y(2y^2−3)^5\,dy = \dfrac{91}{3}\)
Utiliser la substitution pour évaluer\(\displaystyle ∫^1_0x^2 \cos \left(\dfrac{π}{2}x^3\right)\,dx. \)
- Allusion
-
Utilisez le processus décrit dans Exemple\(\PageIndex{5}\) pour résoudre le problème.
- Réponse
-
\(\displaystyle ∫^1_0x^2 \cos \left(\dfrac{π}{2}x^3\right)\,dx = \dfrac{2}{3π}≈0.2122\)
Utiliser la substitution pour évaluer\[ ∫^1_0xe^{4x^2+3}\,dx. \nonumber \]
Solution
Let\(u=4x^3+3.\)\(du=8x\,dx.\) Then, Pour ajuster les limites de l'intégration, nous notons que quand\(x=0,\,u=3\) et quand\(x=1,\,u=7\). Donc, notre substitution donne
\[\begin{align*} ∫^1_0xe^{4x^2+3}\,dx &= \dfrac{1}{8}∫^7_3e^u\,du \\[4pt] &=\dfrac{1}{8}e^u\Big|^7_3 \\[4pt] &=\dfrac{e^7−e^3}{8} \\[4pt] &≈134.568 \end{align*}\]
La substitution n'est peut-être que l'une des techniques nécessaires pour évaluer une intégrale définie. Toutes les propriétés et règles d'intégration s'appliquent indépendamment, et les fonctions trigonométriques peuvent devoir être réécrites à l'aide d'une identité trigonométrique avant de pouvoir appliquer la substitution. De plus, nous avons la possibilité de remplacer l'expression d'origine\(u\) après avoir trouvé l'antidérivé, ce qui signifie que nous n'avons pas à modifier les limites de l'intégration. Ces deux approches sont présentées dans l'exemple\(\PageIndex{7}\).
Utiliser la substitution pour évaluer\[∫^{π/2}_0\cos^2θ\,dθ. \nonumber \]
Solution
Utilisons d'abord une identité trigonométrique pour réécrire l'intégrale. L'identité trig nous\(\cos^2θ=\dfrac{1+\cos 2θ}{2}\) permet de réécrire l'intégrale comme
\[∫^{π/2}_0\cos^2θ\,dθ=∫^{π/2}_0\dfrac{1+\cos2θ}{2}\,dθ. \nonumber \]
Ensuite,
\[ \begin{align*} ∫^{π/2}_0\left(\dfrac{1+\cos2θ}{2}\right)\,dθ &=∫^{π/2}_0\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cos 2θ\right)\,dθ \\[4pt] &=\dfrac{1}{2}∫^{π/2}_0\,dθ+∫^{π/2}_0\cos2θ\,dθ. \end{align*}\]
Nous pouvons évaluer la première intégrale telle qu'elle est, mais nous devons effectuer une substitution pour évaluer la deuxième intégrale. Laissez\(u=2θ.\) alors,\(du=2\,dθ,\) ou\(\dfrac{1}{2}\,du=dθ\). De plus, quand\(θ=0,\,u=0,\) et quand\(θ=π/2,\,u=π.\) Exprimer la deuxième intégrale en termes de\(u\), nous avons
\[ \begin{align*}\dfrac{1}{2}∫^{π/2}_0\,dθ+\dfrac{1}{2}∫^{π/2}_0 \cos 2θ\,dθ &=\dfrac{1}{2}∫^{π/2}_0\,dθ+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)∫^π_0 \cos u \,du \\[4pt] &=\dfrac{θ}{2}\,\bigg|^{θ=π/2}_{θ=0}+\dfrac{1}{4}\sin u\,\bigg|^{u=θ}_{u=0} \\[4pt] &=\left(\dfrac{π}{4}−0\right)+(0−0)=\dfrac{π}{4} \end{align*}\]
Concepts clés
- La substitution est une technique qui simplifie l'intégration de fonctions qui sont le résultat d'une dérivée de règles en chaîne. Le terme « substitution » fait référence à la modification de variables ou à la substitution de la variable\(u\) et\(du\) aux expressions appropriées dans l'integrand.
- Lorsque nous utilisons la substitution pour une intégrale définie, nous devons également modifier les limites de l'intégration.
Équations clés
- Substitution par des intégrales indéfinies\[∫f[g(x)]g′(x)\,dx=∫f(u)\,du=F(u)+C=F(g(x))+C \nonumber \]
- Substitution par des intégrales définies\[∫^b_af(g(x))g'(x)\,dx=∫^{g(b)}_{g(a)}f(u)\,du \nonumber \]
Lexique
- changement de variables
- la substitution d'une variable, par exemple\(u\), à une expression dans l'integrand
- intégration par substitution
- une technique d'intégration qui permet d'intégrer des fonctions qui sont le résultat d'une dérivée de règles en chaîne