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5.5E : Exercices pour la section 5.5

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    197332
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    1) Pourquoi la\(u\) substitution -est-elle considérée comme un changement de variable ?

    2) Si\( f=g∘h\), en inversant la règle de la chaîne\(\dfrac{d}{dx}(g∘h)(x)=g′(h(x))h′(x)\), devez-vous prendre\( u=g(x)\) ou\(u=h(x)?\)

    Réponse
    \(u=h(x)\)

    Dans les exercices 3 à 7, vérifiez chaque identité à l'aide de la différenciation. Ensuite, à l'aide de la\(u\) substitution indiquée, identifiez-vous de\(f\) telle sorte que l'intégrale prenne la forme\(\displaystyle∫f(u)\,du.\)

    3)\(\displaystyle ∫x\sqrt{x+1}\,dx=\frac{2}{15}(x+1)^{3/2}(3x−2)+C;\quad u=x+1\)

    4)\(\displaystyle∫\frac{x^2}{\sqrt{x−1}}\,dx=\frac{2}{15}\sqrt{x−1}(3x^2+4x+8)+C,\quad (x>1);\quad u=x−1\)

    Réponse
    \( f(u)=\dfrac{(u+1)^2}{\sqrt{u}}\)

    5)\(\displaystyle∫x\sqrt{4x^2+9}\,dx=\frac{1}{12}(4x^2+9)^{3/2}+C;\quad u=4x^2+9\)

    6)\(\displaystyle∫\frac{x}{\sqrt{4x^2+9}}\,dx=\frac{1}{4}\sqrt{4x^2+9}+C;\quad u=4x^2+9\)

    Réponse
    \( du=8x\,dx;\quad f(u)=\frac{1}{8\sqrt{u}}\)

    7)\(\displaystyle∫\frac{x}{(4x^2+9)^2}\,dx=−\frac{1}{8(4x^2+9)} + C;\quad u=4x^2+9\)

    Dans les exercices 8 à 17, trouvez l'antidérivé en utilisant la substitution indiquée.

    8)\(\displaystyle∫(x+1)^4\,dx;\quad u=x+1\)

    Réponse
    \(\displaystyle∫(x+1)^4\,dx = \frac{1}{5}(x+1)^5+C\)

    9)\(\displaystyle∫(x−1)^5\,dx;\quad u=x−1\)

    10)\(\displaystyle∫(2x−3)^{−7}\,dx;\quad u=2x−3\)

    Réponse
    \(\displaystyle∫(2x−3)^{−7}\,dx = −\frac{1}{12(2x−3)^6}+C\)

    11)\(\displaystyle∫(3x−2)^{−11}\,dx;\quad u=3x−2\)

    (12)\(\displaystyle∫\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx;\quad u=x^2+1\)

    Réponse
    \(\displaystyle∫\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx = \sqrt{x^2+1}+C\)

    13)\(\displaystyle∫\frac{x}{\sqrt{1−x^2}}\,dx;\quad u=1−x^2\)

    (14)\(\displaystyle∫(x−1)(x^2−2x)^3\,dx;\quad u=x^2−2x\)

    Réponse
    \(\displaystyle∫(x−1)(x^2−2x)^3\,dx = \frac{1}{8}(x^2−2x)^4+C\)

    15)\(\displaystyle∫(x^2−2x)(x^3−3x^2)^2\,dx;\quad u=x^3=3x^2\)

    16)\(\displaystyle∫\cos^3 θ\,dθ;\quad u=\sin θ\) (Astuce :\(\cos^2 θ=1−\sin^2 θ\))

    Réponse
    \(\displaystyle∫\cos^3 θ\,dθ = \sin θ−\dfrac{\sin^3 θ}{3}+C\)

    17)\(\displaystyle ∫\sin^3 θ\,dθ;\quad u=\cos θ\) (Astuce :\(\sin^2 θ=1−\cos^2θ\))

    Dans les exercices 18 à 34, utilisez une modification appropriée des variables pour déterminer l'intégrale indéfinie.

    18)\(\displaystyle∫x(1−x)^{99}\,dx\)

    Réponse
    \ (\ begin {align*} \ displaystylex (1−x) ^ {99} \, dx &= \ frac {(1−x) ^ {101}} {101} − \ frac {(1−x) ^ {100}} {100}} {100} +C \ \ [4 points]
    &=- \ frac {(1-x) ^ {100}} {10100}} {100}} {100} \ big [100] x + 1 \ big] +C \ end {align*} \)

    19)\(\displaystyle∫t(1−t^2)^{10}dt\)

    20)\(\displaystyle∫(11x−7)^{−3}\,dx\)

    Réponse
    \(\displaystyle∫(11x−7)^{−3}\,dx = −\frac{1}{22(11x−7)^2}+C\)

    (21)\(\displaystyle∫(7x−11)^4\,dx\)

    22)\(\displaystyle∫\cos^3 θ\sin θ\,dθ\)

    Réponse
    \(\displaystyle∫\cos^3 θ\sin θ\,dθ = −\frac{\cos^4 θ}{4}+C\)

    23)\(\displaystyle∫\sin^7 θ\cos θ\,dθ\)

    (24)\(\displaystyle∫\cos^2(πt)\sin(πt)\,dt\)

    Réponse
    \(\displaystyle∫\cos^2(πt)\sin(πt)\,dt = −\frac{cos^3(πt)}{3π}+C\)

    25)\(\displaystyle∫\sin^2 x\cos^3 x\,dx\) (Astuce :\(\sin^2 x+\cos^2 x=1\))

    26)\(\displaystyle∫t\sin(t^2)\cos(t^2)\,dt\)

    Réponse
    \(\displaystyle∫t\sin(t^2)\cos(t^2)\,dt = −\frac{1}{4}\cos^2(t^2)+C\)

    (27)\(\displaystyle∫t^2\cos^2(t^3)\sin(t^3)\,dt\)

    28)\(\displaystyle∫\frac{x^2}{(x^3−3)^2}\,dx\)

    Réponse
    \(\displaystyle∫\frac{x^2}{(x^3−3)^2}\,dx = −\frac{1}{3(x^3−3)}+C\)

    (29)\(\displaystyle∫\frac{x^3}{\sqrt{1−x^2}}\,dx\)

    (30)\(\displaystyle∫\frac{y^5}{(1−y^3)^{3/2}}\,dy\)

    Réponse
    \(\displaystyle∫\frac{y^5}{(1−y^3)^{3/2}}\,dy = −\frac{2(y^3−2)}{3\sqrt{1−y^3}}+C\)

    31)\(\displaystyle∫\cos θ(1−\cos θ)^{99}\sin θ\,dθ\)

    32)\(\displaystyle∫(1−\cos^3 θ)^{10}\cos^2 θ\sin θ\,dθ\)

    Réponse
    \(\displaystyle∫(1−\cos^3 θ)^{10}\cos^2 θ\sin θ\,dθ = \frac{1}{33}(1−\cos^3 θ)^{11}+C\)

    33)\(\displaystyle∫(\cos θ−1)(\cos^2 θ−2\cos θ)^3\sin θ\,dθ\)

    34)\(\displaystyle∫(\sin^2 θ−2\sin θ)(\sin^3 θ−3\sin^2 θ)^3\cos θ\,dθ\)

    Réponse
    \(\displaystyle∫(\sin^2 θ−2\sin θ)(\sin^3 θ−3\sin^2 θ)^3\cos θ\,dθ = \frac{1}{12}(\sin^3 θ−3\sin^2 θ)^4+C\)

    Dans les exercices 35 à 38, utilisez une calculatrice pour estimer l'aire sous la courbe en utilisant les sommes de Riemann gauches de 50 termes, puis utilisez la substitution pour résoudre la réponse exacte.

    35) [T]\(y=3(1−x)^2\) plus\([0,2]\)

    36) [T]\(y=x(1−x^2)^3\) plus\([−1,2]\)

    Réponse
    \(L_{50}=−8.5779.\)La superficie exacte est exprimée en\(\frac{−81}{8}\) unités\(^2\).

    37) [T]\(y=\sin x(1−\cos x)^2\) over\([0,π]\)

    38) [T]\(y=\dfrac{x}{(x^2+1)^2}\) plus\([−1,1]\)

    Réponse
    \(L_{50}=−0.006399\). La surface exacte est 0.

    Dans les exercices 39 à 44, utilisez un changement de variables pour évaluer l'intégrale définie.

    39)\(\displaystyle∫^1_0x\sqrt{1−x^2}\,dx\)

    40)\(\displaystyle∫^1_0\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx\)

    Réponse
    \(\displaystyle u=1+x^2,\quad du=2x\,dx,\quad ∫^1_0\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx = \frac{1}{2}∫^2_1u^{−1/2}du=\sqrt{2}−1\)

    41)\(\displaystyle∫^2_0\frac{t}{\sqrt{5+t^2}}\,dt\)

    (42)\(\displaystyle∫^1_0\frac{t^2}{\sqrt{1+t^3}}\,dt\)

    Réponse
    \(\displaystyle u=1+t^3,\quad du=3t^2,\quad ∫^1_0\frac{t^2}{\sqrt{1+t^3}}\,dt = \frac{1}{3}∫^2_1u^{−1/2}du=\frac{2}{3}(\sqrt{2}−1)\)

    43)\(\displaystyle∫^{π/4}_0\sec^2 θ\tan θ\,dθ\)

    44)\(\displaystyle∫^{π/4}_0\frac{\sin θ}{\cos^4 θ}\,dθ\)

    Réponse
    \(\displaystyle u=\cos θ,\quad du=−\sin θ\,dθ,\quad \int^{π/4}_0\frac{\sin θ}{\cos^4 θ}\,dθ = -∫_1^{\sqrt{2}/2}u^{−4}\,du = ∫^1_{\sqrt{2}/2}u^{−4}\,du=\frac{1}{3}(2\sqrt{2}−1)\)

    Dans les exercices 45 à 50, évaluez l'intégrale indéfinie\(\displaystyle ∫f(x)\,dx\) avec une constante\(C=0\) en utilisant la\(u\) substitution. Ensuite, tracez graphiquement la fonction et l'antidérivée sur l'intervalle indiqué. Si possible, estimez une valeur\(C\) qui devrait être ajoutée à l'antidérivée pour la rendre égale à l'intégrale définie\(\displaystyle F(x)=∫^x_af(t)\,dt\), avec comme point final gauche de l'intervalle donné.

    45) [T]\(\displaystyle∫(2x+1)e^{x^2+x−6}\,dx\) plus\([−3,2]\)

    46) [T]\(\displaystyle∫\frac{\cos(\ln(2x))}{x}\,dx\) activé\([0,2]\)

    Réponse

    Deux graphiques. La première montre la fonction f (x) = cos (ln (2x))/x, qui augmente brusquement sur l'intervalle approximatif (0, 0,25) puis diminue progressivement jusqu'à l'axe des x. La seconde montre la fonction f (x) = sin (ln (2x)), qui diminue fortement sur l'intervalle approximatif (0, 0,25), puis augmente en suivant une courbe douce jusqu'au premier quadrant.

    L'antidérivé est\(y=\sin(\ln(2x))\). Puisque l'antidérivée n'est pas continue à\(x=0\), on ne peut pas trouver de valeur de C qui\(y=\sin(\ln(2x))−C\) fonctionnerait comme une intégrale définie.

    47) [T]\(\displaystyle ∫\frac{3x^2+2x+1}{\sqrt{x^3+x^2+x+4}}\,dx\) over\([−1,2]\)

    48) [T]\(\displaystyle ∫\frac{\sin x}{\cos^3x}\,dx\) plus\(\left[−\frac{π}{3},\frac{π}{3}\right]\)

    Réponse

    Deux graphiques. La première est la fonction f (x) = sin (x)/cos (x) ^3 sur [-5pi/16, 5pi/16]. Il s'agit d'une fonction concave croissante vers le bas pour les valeurs inférieures à zéro et d'une fonction concave ascendante croissante pour les valeurs supérieures à zéro. La seconde est la fonction f (x) = ½ sec (x) ^2 sur le même intervalle. Il s'agit d'une courbe ascendante large et concave qui diminue pour les valeurs inférieures à zéro et augmente pour les valeurs supérieures à zéro.

    L'antidérivé est\(y=\frac{1}{2}\sec^2 x\). Tu devrais prendre\(C=−2\) pour que\(F(−\frac{π}{3})=0.\)

    49) [T]\(\displaystyle ∫(x+2)e^{−x^2−4x+3}\,dx\) over\([−5,1]\)

    50) [T]\(\displaystyle ∫3x^2\sqrt{2x^3+1}\,dx\) plus\([0,1]\)

    Réponse

    Deux graphiques. La première montre la fonction f (x) = 3x^2 * sqrt (2x^3 + 1). Il s'agit d'une courbe ascendante concave croissante partant de l'origine. La seconde montre la fonction f (x) = 1/3 * (2x^3 + 1) ^ (1/3). Il s'agit d'une courbe ascendante concave croissante commençant à environ 0,3.

    L'antidérivé est\( y=\frac{1}{3}(2x^3+1)^{3/2}\). Il faut prendre\(C=−\frac{1}{3}\).

    51) Si\(h(a)=h(b)\),\(\displaystyle ∫^b_ag'(h(x))h(x)\,dx,\) que pouvez-vous dire sur la valeur de l'intégrale ?

    52) La substitution\(u=1−x^2\) dans l'intégrale définie est-elle\(\displaystyle ∫^2_0\frac{x}{1−x^2}\,dx\) correcte ? Dans la négative, pourquoi pas ?

    Réponse
    Non, parce que l'integrand est discontinu à\(x=1\).

    Dans les exercices 53 à 59, utilisez un changement de variables pour montrer que chaque intégrale définie est égale à zéro.

    53)\(\displaystyle ∫^π_0\cos^2(2θ)\sin(2θ)\,dθ\)

    (54)\(\displaystyle ∫^\sqrt{π}_0t\cos(t^2)\sin(t^2)\,dt\)

    Réponse
    \(u=\sin(t^2);\)l'intégrale devient\(\displaystyle \frac{1}{2}∫^0_0u\,du.\)

    55)\(\displaystyle ∫^1_0(1−2t)\,dt\)

    56)\(\displaystyle ∫^1_0\frac{1−2t}{1+(t−\frac{1}{2})^2}\,dt\)

    Réponse
    \(u=1+(t−\frac{1}{2})^2;\)l'intégrale devient\(\displaystyle −∫^{5/4}_{5/4}\frac{1}{u}\,du\).

    (57)\(\displaystyle ∫^π_0\sin\left(\left(t−\tfrac{π}{2}\right)^3\right)\cos\left(t−\tfrac{π}{2}\right)\,dt\)

    58)\(\displaystyle ∫^2_0(1−t)\cos(πt)\,dt\)

    Réponse
    \(u=1−t;\)Puisque l'integrand est impair, l'intégrale devient
    \[∫^{−1}_1u\cos\big(π(1−u)\big)\,du=∫^{−1}_1u[\cos π\cos u−\sin π\sin u]\,du=−∫^{−1}_1u\cos u\,du=∫_{-1}^1u\cos u\,du=0\nonumber \]

    59)\(\displaystyle ∫^{3π/4}_{π/4}\sin^2 t\cos t\,dt\)

    60) Montrez que la valeur moyenne de\(f(x)\) sur un intervalle\([a,b]\) est identique à la valeur moyenne de\(f(cx)\) sur l'intervalle\(\left[\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right]\) pour\(c>0.\)

    Réponse
    Réglage\(u=cx\)\(du=c\,dx\) et obtention\(\displaystyle \frac{1}{\frac{b}{c}−\frac{a}{c}}∫^{b/c}_{a/c}f(cx)\,dx=\frac{c}{b−a}∫^{u=b}_{u=a}f(u)\frac{du}{c}=\frac{1}{b−a}∫^b_af(u)\,du.\)

    61) Trouvez l'aire sous le graphique\(f(t)=\dfrac{t}{(1+t^2)^a}\) entre\(t=0\) et\(t=x\)\(a>0\) et\(a≠1\) est fixe, et évaluez la limite comme suit\(x→∞\).

    62) Trouvez l'aire sous le graphique\(g(t)=\dfrac{t}{(1−t^2)^a}\) entre\(t=0\) et\(t=x\), où\(0<x<1\) et\(a>0\) est fixe. Évaluez la limite en tant que\(x→1\).

    Réponse
    \(\displaystyle ∫^x_0g(t)\,dt=\frac{1}{2}∫^1_{u=1−x^2} \frac{du}{u^a}=\frac{1}{2(1−a)}u^{1−a}∣1u=\frac{1}{2(1−a)}(1−(1−x^2)^{1−a})\)Comme\(x→1\) la limite est\(\dfrac{1}{2(1−a)}\) si\(a<1\), et que la limite diverge vers\(+∞\) si\(a>1\).

    63) L'aire d'un demi-cercle de rayon\(1\) peut être exprimée sous la forme\(\displaystyle ∫^1_{−1}\sqrt{1−x^2}\,dx\). Utilisez la substitution\(x=\cos t\) pour exprimer l'aire d'un demi-cercle en tant qu'intégrale d'une fonction trigonométrique. Vous n'avez pas besoin de calculer l'intégrale.

    64) La zone de la moitié supérieure d'une ellipse dont l'axe principal est l'\(x\)axe -de a\(x=−1\) à et dont l'axe secondaire est l'\(y\)axe -de\(y=−b\) à\(y=b\) peut être écrite sous la forme\(\displaystyle ∫^a_{−a}b\sqrt{1−\frac{x^2}{a^2}}\,dx\). Utilisez la substitution\(x=a\cos t\) pour exprimer cette zone en termes d'intégrale d'une fonction trigonométrique. Vous n'avez pas besoin de calculer l'intégrale.

    Réponse
    \(\displaystyle ∫^{t=0}_{t=π}b\sqrt{1−\cos^2 t}×(−a\sin t)\,dt=∫^{t=π}_{t=0}ab\sin^2 t\,dt\)

    65) [T] Le graphique suivant représente une fonction de la forme\( f(t)=a\sin(nt)+b\sin(mt)\). Estimez les coefficients\(a\)\(b\) et les paramètres de fréquence\(n\) et\(m\). Utilisez ces estimations pour obtenir des estimations\(\displaystyle ∫^π_0f(t)\,dt\).

    Un graphe d'une fonction de la forme donnée sur [0, 2pi], qui comporte six points de retournement. Ils sont situés juste avant pi/4, juste après pi/2, entre 3pi/4 et pi, entre pi et 5pi/4, juste avant 3pi/2 et juste après 7pi/4 à environ 3, -2, 1, -1, 2 et -3. Il commence à l'origine et se termine à (2pi, 0). Il traverse l'axe x entre pi/4 et pi/2, juste avant 3pi/4, pi, juste après 5pi/4, et entre 3pi/2 et 4pi/4.

    66) [T] Le graphique suivant représente une fonction de la forme\(f(x)=a\cos(nt)+b\cos(mt)\). Estimez les coefficients\(a\)\(b\) et les paramètres de fréquence\(n\) et\(m\). Utilisez ces estimations pour obtenir une estimation\(\displaystyle ∫^π_0f(t)\,dt.\)

    Le graphe d'une fonction de la forme donnée sur [0, 2pi]. Il commence à (0,1) et se termine à (2pi, 1). Il possède cinq points de retournement, situés juste après pi/4, entre pi/2 et 3pi/4, pi, entre 5pi/4 et 3pi/2, et juste avant 7pi/4 à environ -1,5, 2,5, -3, 2,5, 2,5, 2,5 et -1. Il traverse l'axe x entre 0 et pi/4, juste avant pi/2, juste après 3pi/4, juste avant 5pi/4, juste après 3pi/2 et entre 7pi/4 et 2pi.

    Réponse
    \(f(t)=2\cos(3t)−\cos(2t);\quad \displaystyle ∫^{π/2}_0(2\cos(3t)−\cos(2t))\,dt=−\frac{2}{3}\)