5.6 : Intégrales impliquant des fonctions exponentielles et logarithmiques
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- Intégrez des fonctions impliquant des fonctions exponentielles.
- Intégrez des fonctions impliquant des fonctions logarithmiques.
Les fonctions exponentielles et logarithmiques sont utilisées pour modéliser la croissance démographique, la croissance cellulaire et la croissance financière, ainsi que la dépréciation, la désintégration radioactive et la consommation de ressources, pour ne citer que quelques applications. Dans cette section, nous explorons l'intégration impliquant des fonctions exponentielles et logarithmiques.
Intégrales des fonctions exponentielles
La fonction exponentielle est peut-être la fonction la plus efficace en termes d'opérations de calcul. La fonction exponentielle est sa propre dérivée et sa propre intégrale.\(y=e^x\)
Les fonctions exponentielles peuvent être intégrées à l'aide des formules suivantes.
\[ \begin{align} ∫e^x\,dx &= e^x+C \\[4pt] ∫a^x\,dx &=\dfrac{a^x}{\ln a}+C \end{align} \nonumber \]
Détermine l'antidérivée de la fonction exponentielle\(e^{−x}\).
Solution
Utilisez la substitution, le réglage,\(u=−x,\) puis\(du=−1\,dx\). Multipliez l'\(du\)équation par\(−1\), vous avez donc\(−du=\,dx\). Ensuite,
\[∫e^{−x}\,dx=−∫e^u\,du=−e^u+C=−e^{−x}+C. \nonumber \]
Trouvez l'antidérivée de la fonction en utilisant la substitution :\(x^2e^{−2x^3}\).
- Allusion
-
Soit\(u\) égal à l'exposant\(e\).
- Réponse
-
\(\displaystyle ∫x^2e^{−2x^3}\,dx=−\dfrac{1}{6}e^{−2x^3}+C\)
Une erreur courante lorsqu'il s'agit d'expressions exponentielles est de traiter l'exposant de\(e\) la même manière que nous traitons les exposants dans les expressions polynomiales. Nous ne pouvons pas utiliser la règle de puissance pour l'exposant activé\(e\). Cela peut être particulièrement déroutant lorsque nous avons à la fois des exponentielles et des polynômes dans la même expression, comme dans le point de contrôle précédent. Dans ces cas, nous devons toujours vérifier que nous utilisons les bonnes règles pour les fonctions que nous intégrons.
Détermine l'antidérivée de la fonction exponentielle\(e^x\sqrt{1+e^x}\).
Solution
Réécrivez d'abord le problème à l'aide d'un exposant rationnel :
\[∫e^x\sqrt{1+e^x}\,dx=∫e^x(1+e^x)^{1/2}\,dx.\nonumber \]
En utilisant la substitution, choisissez\(u=1+e^x\). Ensuite,\(du=e^x\,dx\). Nous avons
\[∫e^x(1+e^x)^{1/2}\,dx=∫u^{1/2}\,du.\nonumber \]
Alors
\[∫u^{1/2}\,du=\dfrac{u^{3/2}}{3/2}+C=\dfrac{2}{3}u^{3/2}+C=\dfrac{2}{3}(1+e^x)^{3/2}+C\nonumber \]
![Un graphique de la fonction f (x) = e^x * sqrt (1 + e^x), qui est une courbe ascendante concave croissante, au-dessus de [-3, 1]. Il commence près de l'axe x dans le quadrant deux, traverse l'axe y à (0, sqrt (2)) et continue d'augmenter rapidement.](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/12432/5.6.1.png)
Trouvez l'antidérivé de\(e^x(3e^x−2)^2\).
- Allusion
-
Laissez\(u=3e^x−2\).
- Réponse
-
\(\displaystyle ∫e^x(3e^x−2)^2\,dx=\dfrac{1}{9}(3e^x−2)^3+C\)
Utiliser la substitution pour évaluer l'intégrale indéfinie\(\displaystyle ∫3x^2e^{2x^3}\,dx.\)
Solution
Ici, nous choisissons de laisser l'expression dans l'exposant\(u\) égale\(e\). Laissez\(u=2x^3\) et\(du=6x^2\,dx\). Encore une fois,\(du\) est désactivée par un multiplicateur constant ; la fonction d'origine contient un facteur\(3x^2,\) non\(6x^2\). Multipliez les deux côtés de l'équation de\(\dfrac{1}{2}\) telle sorte que l'integrand in\(u\) soit égal à l'integrand in\(x\). Ainsi,
\[∫3x^2e^{2x^3}\,dx=\frac{1}{2}∫e^u\,du. \nonumber \]
Intégrez l'expression dans l'\(u\)intégrale,\(u\) puis remplacez-la\(x\) par l'expression d'origine :
\[\frac{1}{2}∫e^u\,du=\frac{1}{2}e^u+C=\frac{1}{2}e^2x^3+C. \nonumber \]
Evaluez l'intégrale indéfinie\(\displaystyle ∫2x^3e^{x^4}\,dx\).
- Allusion
-
Laissez\(u=x^4.\)
- Réponse
-
\(\displaystyle ∫2x^3e^{x^4}\,dx=\frac{1}{2}e^{x^4}+C\)
Comme indiqué au début de cette section, les fonctions exponentielles sont utilisées dans de nombreuses applications réelles. \(e\)Ce chiffre est souvent associé à une croissance composée ou accélérée, comme nous l'avons vu dans les sections précédentes sur le dérivé. Bien que la dérivée représente un taux de variation ou un taux de croissance, l'intégrale représente la variation totale ou la croissance totale. Prenons un exemple dans lequel l'intégration d'une fonction exponentielle permet de résoudre une application métier courante.
Une fonction prix-demande nous indique la relation entre la quantité d'un produit demandée et le prix du produit. En général, le prix diminue à mesure que la quantité demandée augmente. La fonction prix-demande marginale est la dérivée de la fonction prix-demande et elle nous indique la rapidité avec laquelle le prix évolue à un niveau de production donné. Ces fonctions sont utilisées dans les entreprises pour déterminer l'élasticité-prix de la demande et pour aider les entreprises à déterminer si une modification des niveaux de production serait rentable.
Trouvez l'équation prix-demande pour une marque particulière de dentifrice dans une chaîne de supermarchés lorsque la demande est de\(50\) tubes par semaine à 2,35 dollars par tube, étant donné que la fonction prix-demande marginal,\(p′(x),\) pour le\(x\) nombre de tubes par semaine, est donnée comme
\[p'(x)=−0.015e^{−0.01x}. \nonumber \]
Si la chaîne de supermarchés vend des\(100\) tubes par semaine, quel prix doit-elle fixer ?
Solution
Pour trouver l'équation prix-demande, intégrez la fonction prix-demande marginale. Trouvez d'abord l'antidérivé, puis examinez les détails. Ainsi,
\[p(x)=∫−0.015e^{−0.01x}\,dx=−0.015∫e^{−0.01x}\,dx. \nonumber \]
En utilisant la substitution, laissez\(u=−0.01x\) et\(du=−0.01\,dx\). Divisez ensuite les deux côtés de l'\(du\)équation par\(−0.01\). Cela donne
\[\dfrac{−0.015}{−0.01}∫e^u\,du=1.5∫e^u\,du=1.5e^u+C=1.5e^{−0.01}x+C. \nonumber \]
La prochaine étape consiste à résoudre\(C\). Nous savons que lorsque le prix est de 2,35$ par tube, la demande est de\(50\) tubes par semaine. Cela signifie
\[p(50)=1.5e^{−0.01(50)}+C=2.35. \nonumber \]
Maintenant, il suffit de résoudre les problèmes\(C\) suivants :
\[C=2.35−1.5e^{−0.5}=2.35−0.91=1.44. \nonumber \]
Ainsi,
\[p(x)=1.5e^{−0.01x}+1.44. \nonumber \]
Si le supermarché vend des\(100\) tubes de dentifrice par semaine, le prix serait
\[p(100)=1.5e−0.01(100)+1.44=1.5e−1+1.44≈1.99. \nonumber \]
Le supermarché devrait facturer 1,99$ par tube s'il vend des\(100\) tubes par semaine.
Evaluer l'intégrale définie\(\displaystyle ∫^2_1e^{1−x}\,dx.\)
Solution
Encore une fois, la substitution est la méthode à utiliser. \(u=1−x,\)Laissez-le\(\,du=−1\,dx\) ou\(−\,du=\,dx\). Alors\(\displaystyle ∫e^{1−x}\,dx=−∫e^u\,du.\)
Ensuite, modifiez les limites de l'intégration. À l'aide de l'équation\(u=1−x\), nous avons :
\[\text{When }x = 1, \quad u=1−(1)=0, \nonumber \]
\[\text{and when }x = 2, \quad u=1−(2)=−1. \nonumber \]
L'intégrale devient alors
\[\begin{align*} ∫^2_1e^{1−x}\,\,dx &= −∫^{−1}_0e^u\,\,du \\[4pt] &=∫^0_{−1}e^u\,\,du \\[4pt] &=e^u\bigg|^0_{−1}=e^0−(e^{−1}) \\[4pt] &=−e^{−1}+1. \end{align*}\]
Voir la figure\(\PageIndex{2}\).
![Un graphique de la fonction f (x) = e^ (1-x) sur [0, 3]. Il traverse l'axe y en (0, e) sous la forme d'une courbe ascendante concave décroissante et se rapproche symptotiquement de 0 lorsque x passe à l'infini.](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/12433/5.6.2.png)
Évaluer\(\displaystyle ∫^2_0e^{2x}\,dx.\)
- Allusion
-
Laissez\(u=2x.\)
- Réponse
-
\(\displaystyle \frac{1}{2}∫^4_0e^u\,du=\dfrac{1}{2}(e^4−1)\)
Supposons que le taux de croissance des bactéries dans une boîte de Petri soit donné par\(q(t)=3^t\), où\(t\) il est exprimé en heures et\(q(t)\) exprimé en milliers de bactéries par heure. Si une culture commence avec\(10,000\) des bactéries, trouvez une fonction\(Q(t)\) qui donne le nombre de bactéries présentes dans la boîte de Pétri à tout moment\(t\). Combien de bactéries se trouvent dans le plat après les\(2\) heures de bureau ?
Solution
Nous avons
\[Q(t)=∫3^tdt=\dfrac{3^t}{\ln 3}+C. \nonumber \]
Ensuite,\(t=0\) nous l'avons\(C≈9.090\) et\(Q(0)=10=\dfrac{1}{\ln 3}+C,\) nous obtenons
\[Q(t)=\dfrac{3^t}{\ln 3}+9.090. \nonumber \]
À l'époque\(t=2\), nous avons
\[\begin{align*} Q(2) &=\dfrac{3^2}{\ln 3}+9.090 \\[4pt] &\approx 17.282. \end{align*}\]
Au bout de 2 heures, il y a 17 282 bactéries dans le plat.
À partir de l'exemple, supposons que les bactéries se développent à un rythme de\(q(t)=2^t\). Supposons que la culture commence toujours avec\(10,000\) des bactéries. Trouvez\(Q(t)\). Combien de bactéries se trouvent dans le plat après les\(3\) heures de bureau ?
- Allusion
-
Utilisez la procédure décrite dans Exemple\(\PageIndex{6}\) pour résoudre le problème
- Réponse
-
\[\begin{align*} Q(t) &= \dfrac{2^t}{\ln 2} + 8.557. \\[4pt] Q(3) &\approx 20,099 \end{align*}\]
Il y a donc\(20,099\) des bactéries dans le plat après les\(3\) heures.
Supposons qu'une population de mouches des fruits augmente à un rythme de\(g(t)=2e^{0.02t}\), en mouches par jour. Si la population initiale de mouches des fruits est constituée de\(100\) mouches, combien de mouches retrouve-t-on dans la population après plusieurs\(10\) jours ?
Solution
\(G(t)\)Représentez le nombre de mouches dans la population à la fois\(t\). En appliquant le théorème du changement net, nous avons
\[ \begin{align*} G(10)=G(0)+∫^{10}_02e^{0.02t}\,dt \\[4pt] &=100+\left[\dfrac{2}{0.02}e^{0.02t}\right]∣^{10}_0 \\[4pt] &=100+\left[100e^{0.02t}\right]∣^{10}_0 \\[4pt] &=100+100e^{0.2}−100 \\[4pt] &≈122. \end{align*}\]
Il y a\(122\) des mouches dans la population après\(10\) des jours.
Supposons que le taux de croissance de la population de mouches soit donné par\(g(t)=e^{0.01t},\) et que la population initiale de\(100\) mouches soit constituée de mouches. Combien de mouches y a-t-il dans la population après plusieurs\(15\) jours ?
- Allusion
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Utilisez le processus décrit dans Exemple\(\PageIndex{7}\) pour résoudre le problème.
- Réponse
-
Il y a des\(116\) mouches.
Évaluez l'intégrale définie en utilisant la substitution :\[∫^2_1\dfrac{e^{1/x}}{x^2}\,dx.\nonumber \]
Solution
Ce problème nécessite une réécriture pour simplifier l'application des propriétés. Tout d'abord, réécrivez l'exposant sur e comme une puissance de\(x\), puis amenez le\(x^2\) dénominateur au numérateur en utilisant un exposant négatif. Nous avons
\[∫^2_1\dfrac{e^{1/x}}{x^2}\,\,dx=∫^2_1e^{x^{−1}}x^{−2}\,dx. \nonumber \]
Laissez passer\(u=x^{−1},\) l'exposant\(e\). Alors
\[du=−x^{−2}\,dx \nonumber \]
\[−du=x^{−2}\,dx. \nonumber \]
En faisant sortir le signe négatif du signe intégral, le problème se lit maintenant comme suit :
\[−∫e^u\,du. \nonumber \]
Ensuite, modifiez les limites de l'intégration :
\[u=(1)^{−1}=1 \nonumber \]
\[u=(2)^{−1}=\dfrac{1}{2}. \nonumber \]
Notez que les limites commencent maintenant par le plus grand nombre, ce qui signifie que nous pouvons\(−1\) les multiplier et les échanger. Ainsi,
\[−∫^{1/2}_1e^u\,du=∫^1_{1/2}e^u\,du=e^u\big|^1_{1/2}=e−e^{1/2}=e−\sqrt{e}.\nonumber \]
Évaluez l'intégrale définie en utilisant la substitution :\[∫^2_1\dfrac{1}{x^3}e^{4x^{−2}}\,dx.\nonumber \]
- Allusion
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Laissez\(u=4x^{−2}.\)
- Réponse
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\(\displaystyle ∫^2_1\dfrac{1}{x^3}e^{4x^{−2}}\,dx=\dfrac{1}{8}[e^4−e]\).
Intégrales impliquant des fonctions logarithmiques
L'intégration des fonctions du formulaire\(f(x)=x^{−1}\) donne la valeur absolue de la fonction logarithmique naturelle, comme indiqué dans la règle suivante. Des formules intégrales pour d'autres fonctions logarithmiques, telles que\(f(x)=\ln x\) et\(f(x)=\log_a x\), sont également incluses dans la règle.
Les formules suivantes peuvent être utilisées pour évaluer les intégrales impliquant des fonctions logarithmiques.
\[\begin{align*} ∫x^{−1}\,dx &=\ln |x|+C \\[4pt] ∫\ln x\,\,dx &= x\ln x−x+C =x (\ln x−1)+C \\[4pt] ∫\log_a x\,dx &=\dfrac{x}{\ln a}(\ln x−1)+C \end{align*}\]
Trouvez l'antidérivé de la fonction\(\dfrac{3}{x−10}. \)
Solution
Facturez d'abord l'\(3\)extérieur du symbole intégral. Ensuite, utilisez la\(u^{−1}\) règle. Ainsi,
\[∫\dfrac{3}{x−10}\,dx=3∫\dfrac{1}{x−10}\,dx=3∫\dfrac{du}{u}=3\ln |u|+C=3\ln |x−10|+C,\quad x≠10. \nonumber \]
Voir la figure\(\PageIndex{3}\).
Trouvez l'antidérivé de\(\dfrac{1}{x+2}.\)
- Allusion
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Suivez le schéma de l'exemple\(\PageIndex{9}\) pour résoudre le problème.
- Réponse
-
\(\displaystyle \int \dfrac{1}{x+2}\,dx = \ln |x+2|+C\)
Trouvez l'antidérivé de\(\dfrac{2x^3+3x}{x^4+3x^2}. \)
Solution
Cela peut être réécrit en\(\displaystyle ∫(2x^3+3x)(x^4+3x^2)^{−1}\,dx.\) utilisant la substitution.
Laisser\(u=x^4+3x^2\), puis\(du=(4x^3+6x)\,dx.\) modifier\(du\) en prenant en compte le\(2\). Ainsi,
\[du=(4x^3+6x)\,dx=2(2x^3+3x)\,dx \nonumber \]
\[\dfrac{1}{2}\,du=(2x^3+3x)\,dx. \nonumber \]
Réécrivez l'integrand dans\(u\) :
\[∫(2x^3+3x)(x^4+3x^2)^{−1}\,dx=\dfrac{1}{2}∫u^{−1}\,du. \nonumber \]
Ensuite, nous avons
\[\dfrac{1}{2}∫u^{−1}\,du=\dfrac{1}{2}\ln |u|+C=\dfrac{1}{2}\ln ∣x^4+3x^2∣+C. \nonumber \]
Trouvez l'antidérivée de la fonction log\(\log_2 x.\)
Solution
Suivez le format de la formule indiquée dans la règle sur les formules d'intégration impliquant des fonctions logarithmiques. Sur la base de ce format, nous avons
\[∫\log_2 x\,dx=\dfrac{x}{\ln 2}(\ln x−1)+C.\nonumber \]
Trouvez l'antidérivé de\(\log_3 x\).
- Allusion
-
Suivez l'exemple\(\PageIndex{11}\) et référez-vous à la règle sur les formules d'intégration impliquant des fonctions logarithmiques.
- Réponse
-
\(\displaystyle ∫\log_3 x\,dx=\dfrac{x}{\ln 3}(\ln x−1)+C\)
\(\PageIndex{12}\)L'exemple est une intégrale définie d'une fonction trigonométrique. Avec les fonctions trigonométriques, nous devons souvent appliquer une propriété trigonométrique ou une identité avant de pouvoir avancer. Trouver la bonne forme de l'integrand est généralement la clé d'une intégration fluide.
Evaluer l'intégrale définie\[∫^{π/2}_0\dfrac{\sin x}{1+\cos x}\,dx.\nonumber \]
Solution
Nous avons besoin d'une substitution pour évaluer ce problème. \(u=1+\cos x\)Laisse-le\(du=−\sin x\,\,dx.\)
Réécrivez l'intégrale en termes de\(u\), en modifiant également les limites de l'intégration. Ainsi,
\[ \begin{align*} u &= 1+\cos(0)=2 \\[4pt] u &=1+\cos \left(\dfrac{π}{2}\right)=1.\end{align*}\]
Alors
\[ \begin{align*}∫^{π/2}_0\dfrac{\sin x}{1+\cos x} &=−∫^1_2 u^{−1}\,du \\[4pt] &=∫^2_1u^{−1}\,du \\[4pt] &=\ln |u|\,\bigg|^2_1 \\[4pt] &=[\ln 2−\ln 1]=\ln 2 \end{align*}\]
Concepts clés
- Les fonctions exponentielles et logarithmiques apparaissent dans de nombreuses applications du monde réel, en particulier celles impliquant la croissance et la décroissance.
- La substitution est souvent utilisée pour évaluer des intégrales impliquant des fonctions exponentielles ou des logarithmes.
Équations clés
- Intégrales des fonctions exponentielles
\[∫e^x\,dx=e^x+C \nonumber \]
\[\int a^x\,dx=\dfrac{a^x}{\ln a}+C \nonumber \]
- Formules d'intégration impliquant des fonctions logarithmiques
\[∫x^{−1}\,dx=\ln |x|+C \nonumber \]
\[∫\ln x\,dx=x\ln x−x+C=x(\ln x−1)+C \nonumber \]
\[∫\log_a x\,dx=\dfrac{x}{\ln a}(\ln x−1)+C \nonumber \]