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Livre : Calculus (OpenStax)
5 : Intégration
5.8 : Chapitre 5 : Exercices de révision

5.8 : Chapitre 5 : Exercices de révision

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Page ID: 197330

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Dans les exercices 1 à 4, répondez Vrai ou Faux. Justifiez votre réponse par une preuve ou un contre-exemple. Assument toutes les fonctions$f$ et$ g$ sont continus dans leurs domaines.

1) Si$ f(x)>0,\;f′(x)>0$ pour tout$ x$, alors la règle de droite sous-estime l'intégrale$\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx.$ Utilisez un graphique pour justifier votre réponse.

Réponse: Faux

2)$\displaystyle ∫^b_af(x)^2\,dx=∫^b_af(x)\,dx$

3) Si$ f(x)≤g(x)$ pour tous$ x∈[a,b]$, alors$\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx≤∫^b_ag(x)\,dx.$

Réponse: Vrai

4) Toutes les fonctions continues ont un antidérivé.

Dans les exercices 5 à 8, évaluez les sommes de Riemann$ L_4$ et$ R_4$ les fonctions données sur l'intervalle spécifié. Comparez votre réponse à la réponse exacte, si possible, ou utilisez une calculatrice pour déterminer la réponse.

5)$ y=3x^2−2x+1)$ terminé$ [−1,1]$

Réponse: $ L_4=5.25, \;R_4=3.25,$réponse exacte : 4

6)$ y=\ln(x^2+1)$ terminé$ [0,e]$

7)$ y=x^2\sin x$ terminé$ [0,π]$

Réponse: $ L_4=5.364,\;R_4=5.364,$réponse exacte :$ 5.870$

8)$ y=\sqrt{x}+\frac{1}{x}$ plus$ [1,4]$

Dans les exercices 9 à 12, évaluez les intégrales.

9)$\displaystyle ∫^1_{−1}(x^3−2x^2+4x)\,dx$

Réponse: $ −\frac{4}{3}$

10)$\displaystyle ∫^4_0\frac{3t}{\sqrt{1+6t^2}}\,dt$

11)$\displaystyle ∫^{π/2}_{π/3}2\sec(2θ)\tan(2θ)\,dθ$

Réponse: $1$

(12)$\displaystyle ∫^{π/4}_0e^{\cos^2x}\sin x\cos x\,dx$

Dans les exercices 13 à 16, trouvez l'antidérivé.

13)$\displaystyle ∫\frac{dx}{(x+4)^3}$

Réponse: $ −\dfrac{1}{2(x+4)^2}+C$

14)$\displaystyle ∫x\ln(x^2)\,dx$

15)$\displaystyle ∫\frac{4x^2}{\sqrt{1−x^6}}\,dx$

Réponse: $\displaystyle \frac{4}{3}\sin^{−1}(x^3)+C$

16)$\displaystyle ∫\frac{e^{2x}}{1+e^{4x}}\,dx$

Dans les exercices 17 à 20, trouvez la dérivée.

17)$\displaystyle \frac{d}{dt}∫^t_0\frac{\sin x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$

Réponse: $ \dfrac{\sin t}{\sqrt{1+t^2}}$

18)$\displaystyle \frac{d}{dx}∫^{x^3}_1\sqrt{4−t^2}\,dt$

19)$\displaystyle \frac{d}{dx}∫^{\ln(x)}_1(4t+e^t)\,dt$

Réponse: $ 4\dfrac{\ln x}{x}+1$

20)$\displaystyle \frac{d}{dx}∫^{\cos x}_0e^{t^2}\,dt$

Dans les exercices 21 à 23, considérez le coût moyen historique par gigaoctet de RAM sur un ordinateur.

Année	Variation sur 5 ans ($)
1980	$0$
1985	$−5,468,750$
1990	$-755,495$
1995	$−73,005$
2000	$−29,768$
2005	$−918$
2010	$−177$

21) Si le coût moyen par gigaoctet de RAM en 2010 est de$$12$, trouvez le coût moyen par gigaoctet de RAM en 1980.

Réponse: $$6,328,113$

Solution : 6 328 113$

22) Le coût moyen par gigaoctet de RAM peut être estimé par la fonction$ C(t)=8,500,000(0.65)^t$, où il$ t$ est mesuré en années depuis 1980 et$ C$ son coût en dollars américains. Trouvez le coût moyen par gigaoctet de RAM pour la période allant de 1980 à 2010.

23) Trouvez le coût moyen de$1$ Go de RAM de 2005 à 2010.

Réponse: $$73.36$

24) La vitesse d'une balle tirée d'un fusil peut être approximée$ v(t)=6400t^2−6505t+2686,$ en$ t$ quelques secondes après le tir et v est la vitesse mesurée en pieds par seconde. Cette équation ne modélise la vitesse que pendant la première demi-seconde après le tir :$ 0≤t≤0.5.$ quelle est la distance totale parcourue par la balle en$0.5$ secondes ?

25) Quelle est la vitesse moyenne de la balle pendant la première demi-seconde ?

Réponse: $ \frac{19117}{12}$ft/sec, ou environ$1593$ ft/sec