5.8 : Chapitre 5 : Exercices de révision
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Dans les exercices 1 à 4, répondez Vrai ou Faux. Justifiez votre réponse par une preuve ou un contre-exemple. Assument toutes les fonctions\(f\) et\( g\) sont continus dans leurs domaines.
1) Si\( f(x)>0,\;f′(x)>0\) pour tout\( x\), alors la règle de droite sous-estime l'intégrale\(\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx.\) Utilisez un graphique pour justifier votre réponse.
- Réponse
- Faux
2)\(\displaystyle ∫^b_af(x)^2\,dx=∫^b_af(x)\,dx\)
3) Si\( f(x)≤g(x)\) pour tous\( x∈[a,b]\), alors\(\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx≤∫^b_ag(x)\,dx.\)
- Réponse
- Vrai
4) Toutes les fonctions continues ont un antidérivé.
Dans les exercices 5 à 8, évaluez les sommes de Riemann\( L_4\) et\( R_4\) les fonctions données sur l'intervalle spécifié. Comparez votre réponse à la réponse exacte, si possible, ou utilisez une calculatrice pour déterminer la réponse.
5)\( y=3x^2−2x+1)\) terminé\( [−1,1]\)
- Réponse
- \( L_4=5.25, \;R_4=3.25,\)réponse exacte : 4
6)\( y=\ln(x^2+1)\) terminé\( [0,e]\)
7)\( y=x^2\sin x\) terminé\( [0,π]\)
- Réponse
- \( L_4=5.364,\;R_4=5.364,\)réponse exacte :\( 5.870\)
8)\( y=\sqrt{x}+\frac{1}{x}\) plus\( [1,4]\)
Dans les exercices 9 à 12, évaluez les intégrales.
9)\(\displaystyle ∫^1_{−1}(x^3−2x^2+4x)\,dx\)
- Réponse
- \( −\frac{4}{3}\)
10)\(\displaystyle ∫^4_0\frac{3t}{\sqrt{1+6t^2}}\,dt\)
11)\(\displaystyle ∫^{π/2}_{π/3}2\sec(2θ)\tan(2θ)\,dθ\)
- Réponse
- \(1\)
(12)\(\displaystyle ∫^{π/4}_0e^{\cos^2x}\sin x\cos x\,dx\)
Dans les exercices 13 à 16, trouvez l'antidérivé.
13)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{(x+4)^3}\)
- Réponse
- \( −\dfrac{1}{2(x+4)^2}+C\)
14)\(\displaystyle ∫x\ln(x^2)\,dx\)
15)\(\displaystyle ∫\frac{4x^2}{\sqrt{1−x^6}}\,dx\)
- Réponse
- \(\displaystyle \frac{4}{3}\sin^{−1}(x^3)+C\)
16)\(\displaystyle ∫\frac{e^{2x}}{1+e^{4x}}\,dx\)
Dans les exercices 17 à 20, trouvez la dérivée.
17)\(\displaystyle \frac{d}{dt}∫^t_0\frac{\sin x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx\)
- Réponse
- \( \dfrac{\sin t}{\sqrt{1+t^2}}\)
18)\(\displaystyle \frac{d}{dx}∫^{x^3}_1\sqrt{4−t^2}\,dt\)
19)\(\displaystyle \frac{d}{dx}∫^{\ln(x)}_1(4t+e^t)\,dt\)
- Réponse
- \( 4\dfrac{\ln x}{x}+1\)
20)\(\displaystyle \frac{d}{dx}∫^{\cos x}_0e^{t^2}\,dt\)
Dans les exercices 21 à 23, considérez le coût moyen historique par gigaoctet de RAM sur un ordinateur.
| Année | Variation sur 5 ans ($) |
| 1980 | \(0\) |
| 1985 | \(−5,468,750\) |
| 1990 | \(-755,495\) |
| 1995 | \(−73,005\) |
| 2000 | \(−29,768\) |
| 2005 | \(−918\) |
| 2010 | \(−177\) |
21) Si le coût moyen par gigaoctet de RAM en 2010 est de\($12\), trouvez le coût moyen par gigaoctet de RAM en 1980.
- Réponse
- \($6,328,113\)
Solution : 6 328 113$
22) Le coût moyen par gigaoctet de RAM peut être estimé par la fonction\( C(t)=8,500,000(0.65)^t\), où il\( t\) est mesuré en années depuis 1980 et\( C\) son coût en dollars américains. Trouvez le coût moyen par gigaoctet de RAM pour la période allant de 1980 à 2010.
23) Trouvez le coût moyen de\(1\) Go de RAM de 2005 à 2010.
- Réponse
- \($73.36\)
24) La vitesse d'une balle tirée d'un fusil peut être approximée\( v(t)=6400t^2−6505t+2686,\) en\( t\) quelques secondes après le tir et v est la vitesse mesurée en pieds par seconde. Cette équation ne modélise la vitesse que pendant la première demi-seconde après le tir :\( 0≤t≤0.5.\) quelle est la distance totale parcourue par la balle en\(0.5\) secondes ?
25) Quelle est la vitesse moyenne de la balle pendant la première demi-seconde ?
- Réponse
- \( \frac{19117}{12}\)ft/sec, ou environ\(1593\) ft/sec