5.7 : Intégrales aboutissant à des fonctions trigonométriques inverses
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- Intégrer des fonctions aboutissant à des fonctions trigonométriques inverses
Dans cette section, nous nous concentrons sur les intégrales qui aboutissent à des fonctions trigonométriques inverses. Nous avons déjà travaillé avec ces fonctions. Rappelons que les fonctions trigonométriques ne sont pas univoques à moins que les domaines ne soient restreints. Lorsque vous travaillez avec des inverses de fonctions trigonométriques, nous devons toujours faire attention à prendre en compte ces restrictions. De plus, nous avons déjà développé des formules pour les dérivées de fonctions trigonométriques inverses. Les formules qui y sont développées donnent directement lieu à des formules d'intégration impliquant des fonctions trigonométriques inverses.
Intégrales qui aboutissent à des fonctions trigonométriques inverses
Commençons cette dernière section du chapitre par les trois formules. Parallèlement à ces formules, nous utilisons la substitution pour évaluer les intégrales. Nous prouvons la formule de l'intégrale sinusoïdale inverse.
Les formules d'intégration suivantes fournissent des fonctions trigonométriques inverses :
\[ \begin{align} ∫\dfrac{du}{\sqrt{a^2−u^2}} =\sin^{−1}\left(\dfrac{u}{a}\right)+C \\ ∫\dfrac{du}{a^2+u^2} =\dfrac{1}{a}\tan^{−1}\left(\dfrac{u}{a}\right)+C \\ ∫\dfrac{du}{u\sqrt{u^2−a^2}} =\dfrac{1}{a}\sec^{−1}\left(\dfrac{|u|}{a}\right)+C \end{align} \nonumber \]
Laissez\( y=\sin^{−1}\frac{x}{a}\). Alors\( a \sin y=x\). Maintenant, en utilisant la différenciation implicite, nous obtenons
\[ \dfrac{d}{dx}(a \sin y)=\dfrac{d}{dx}(x) \nonumber \]
\[ a\cos y\dfrac{dy}{dx}=1 \nonumber \]
\[ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{a\cos y}. \nonumber \]
Car\( −\dfrac{π}{2}≤y≤\dfrac{π}{2},\cos y≥0.\) Ainsi, en appliquant l'identité pythagoricienne\( \sin^2y+\cos^2y=1\), nous avons\( \cos y=\sqrt{1-\sin^2y}.\) Cela donne
\[ \begin{align} \dfrac{1}{a \cos y} =\dfrac{1}{a\sqrt{1−\sin^2y}} \\ =\dfrac{1}{\sqrt{a^2−a^2 \sin^2y}} \\ =\dfrac{1}{\sqrt{a^2−x^2}}. \end{align} \nonumber \]
Alors,\( −a≤x≤a,\) nous avons
\[ ∫\dfrac{1}{\sqrt{a^2−u^2}}\,du=\sin^{−1}\left(\frac{u}{a}\right)+C. \nonumber \]
□
Évaluer l'intégrale définie
\[ ∫^{1/2}_0\dfrac{dx}{\sqrt{1−x^2}}. \nonumber \]
Solution
Nous pouvons passer directement à la formule de l'antidérivée dans la règle sur les formules d'intégration aboutissant à des fonctions trigonométriques inverses, puis évaluer l'intégrale définie. Nous avons
\[\int_0^{1/2}\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \sin^{-1} x \,\bigg|_0^{1/2} = \sin^{-1} \tfrac{1}{2} - \sin^{-1} 0 = \dfrac{\pi}{6}-0 = \dfrac{\pi}{6}. \nonumber \]
Notez que puisque l'integrand est simplement la dérivée de\(\sin^{-1} x\), nous utilisons simplement ce fait pour trouver l'antidérivé ici.
Trouvez l'intégrale indéfinie à l'aide d'une fonction trigonométrique inverse et d'une substitution par\(\displaystyle ∫\dfrac{dx}{\sqrt{9−x^2}}\).
- Allusion
-
Utilisez la formule dans la règle sur les formules d'intégration aboutissant à des fonctions trigonométriques inverses.
- Réponse
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\( \displaystyle ∫\dfrac{dx}{\sqrt{9−x^2}} \quad=\quad \sin^{−1}\left(\dfrac{x}{3}\right)+C \)
Dans de nombreuses intégrales qui aboutissent à des fonctions trigonométriques inverses dans l'antidérivée, nous pouvons avoir besoin d'utiliser la substitution pour voir comment utiliser les formules d'intégration fournies ci-dessus.
Évaluez l'intégrale
\[ ∫\dfrac{dx}{\sqrt{4−9x^2}}.\nonumber \]
Solution
Substitut\( u=3x\). Ensuite,\( du=3\,dx\) et nous avons
\[ ∫\dfrac{dx}{\sqrt{4−9x^2}}=\dfrac{1}{3}∫\dfrac{du}{\sqrt{4−u^2}}.\nonumber \]
En appliquant la formule avec\( a=2,\) nous obtenons
\[ ∫\dfrac{dx}{\sqrt{4−9x^2}}=\dfrac{1}{3}∫\dfrac{du}{\sqrt{4−u^2}}=\dfrac{1}{3}\sin^{−1}\left(\dfrac{u}{2}\right)+C=\dfrac{1}{3}\sin^{−1}\left(\dfrac{3x}{2}\right)+C.\nonumber \]
Trouvez l'antidérivé de\(\displaystyle ∫\dfrac{dx}{\sqrt{1−16x^2}}.\)
- Allusion
-
Substitut\( u=4x\).
- Réponse
-
\( \displaystyle ∫\dfrac{dx}{\sqrt{1−16x^2}} = \dfrac{1}{4}\sin^{−1}(4x)+C\)
Évaluer l'intégrale définie
\[ ∫^{\sqrt{3}/2}_0\dfrac{du}{\sqrt{1−u^2}}\nonumber. \nonumber \]
Solution
Le format du problème correspond à la formule du sinus inverse. Ainsi,
\[ ∫^{\sqrt{3}/2}_0\dfrac{du}{\sqrt{1−u^2}}=\sin^{−1}u\,\bigg|^{\sqrt{3}/2}_0=[\sin^{−1}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)]−[\sin^{−1}(0)]=\dfrac{π}{3}.\nonumber \]
Intégrales résultant en d'autres fonctions trigonométriques inverses
Il existe six fonctions trigonométriques inverses. Cependant, seules trois formules d'intégration sont notées dans la règle sur les formules d'intégration qui aboutissent à des fonctions trigonométriques inverses, car les trois autres sont des versions négatives de celles que nous utilisons. La seule différence est de savoir si l'integrand est positif ou négatif. Plutôt que de mémoriser trois autres formules, si l'integrand est négatif, il suffit de prendre en compte −1 et d'évaluer l'intégrale à l'aide de l'une des formules déjà fournies. Pour terminer cette section, nous examinons une autre formule : l'intégrale qui donne la fonction tangente inverse.
Trouvez l'antidérivé de\(\displaystyle ∫\dfrac{1}{9+x^2}\,dx.\)
Solution
Appliquez la formule avec\( a=3\). Ensuite,
\[ ∫\dfrac{dx}{9+x^2}=\dfrac{1}{3}\tan^{−1}\left(\dfrac{x}{3}\right)+C. \nonumber \]
Trouvez l'antidérivé de\(\displaystyle ∫\dfrac{dx}{16+x^2}\).
- Allusion
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Suivez les étapes de l'exemple\( \PageIndex{4}\).
- Réponse
-
\(\displaystyle ∫\dfrac{dx}{16+x^2} = \frac{1}{4}\tan^{−1}\left(\dfrac{x}{4}\right)+C \)
Trouvez un antidérivé de\(\displaystyle ∫\dfrac{1}{1+4x^2}\,dx.\)
Solution
En comparant ce problème aux formules énoncées dans la règle sur les formules d'intégration aboutissant à des fonctions trigonométriques inverses, l'integrand ressemble à la formule de\( \tan^{−1} u+C\). Nous utilisons donc la substitution, le fait de laisser\( u=2x\), puis\( du=2\,dx\) et\( \dfrac{1}{2}\,du=dx.\) puis, nous avons
\[ \dfrac{1}{2}∫\dfrac{1}{1+u^2}\,du=\dfrac{1}{2}\tan^{−1}u+C=\dfrac{1}{2}\tan^{−1}(2x)+C. \nonumber \]
Utilisez la substitution pour trouver l'antidérivé de\(\displaystyle ∫\dfrac{dx}{25+4x^2}.\)
- Allusion
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Utilisez la stratégie de résolution de l'exemple\( \PageIndex{5}\) et la règle sur les formules d'intégration aboutissant à des fonctions trigonométriques inverses.
- Réponse
-
\(\displaystyle ∫\dfrac{dx}{25+4x^2} = \dfrac{1}{10}\tan^{−1}\left(\dfrac{2x}{5}\right)+C \)
Evaluez l'intégrale définie\(\displaystyle ∫^{\sqrt{3}}_{\sqrt{3}/3}\dfrac{dx}{1+x^2}\).
Solution
Utilisez la formule pour la tangente inverse. Nous avons
\[\int_{\sqrt{3}/3}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{1+x^2} = \tan^{-1}x\,\bigg|_{\sqrt{3}/3}^{\sqrt{3}} = [\tan^{-1}\left(\sqrt{3}\right)] - [\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)] =\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} =\frac{\pi}{6}.\nonumber \]
Evaluez l'intégrale définie\(\displaystyle ∫^2_0\dfrac{dx}{4+x^2}\).
- Allusion
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Suivez les procédures de l'exemple\(\PageIndex{6}\) pour résoudre le problème.
- Réponse
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\(\displaystyle ∫^2_0\dfrac{dx}{4+x^2} = \dfrac{π}{8} \)
Concepts clés
- Les formules pour les dérivées de fonctions trigonométriques inverses développées dans Dérivées de fonctions exponentielles et logarithmiques mènent directement à des formules d'intégration impliquant des fonctions trigonométriques inverses.
- Utilisez les formules répertoriées dans la règle sur les formules d'intégration aboutissant à des fonctions trigonométriques inverses pour obtenir le bon format et apporter les modifications nécessaires pour résoudre le problème.
- La substitution est souvent nécessaire pour mettre l'integrand dans la forme correcte.
Équations clés
- Intégrales produisant des fonctions trigonométriques inverses
\(\displaystyle ∫\dfrac{du}{\sqrt{a^2−u^2}}=\sin^{−1}\left(\dfrac{u}{a}\right)+C\)
\(\displaystyle ∫\dfrac{du}{a^2+u^2}=\dfrac{1}{a}\tan^{−1}\left(\dfrac{u}{a}\right)+C\)
\(\displaystyle ∫\dfrac{du}{u\sqrt{u^2−a^2}}=\dfrac{1}{a}\sec^{−1}\left(\dfrac{|u|}{a}\right)+C\)
Contributeurs et attributions
- Template:ContribOpenStaxCalc
- Includes some added textual clarifications and edits by Paul Seeburger (Monroe Community College)