5.3 : Le théorème fondamental du calcul

Objectifs d'apprentissage

• Décrivez la signification du théorème de la valeur moyenne pour les intégrales.
• Expliquez la signification du théorème fondamental du calcul, partie 1.
• Utilisez le théorème fondamental du calcul, partie 1, pour évaluer les dérivées des intégrales.
• Expliquez la signification du théorème fondamental du calcul, partie 2.
• Utilisez le théorème fondamental du calcul, partie 2, pour évaluer des intégrales définies.
• Expliquer la relation entre différenciation et intégration.

Dans les deux sections précédentes, nous avons examiné l'intégrale définie et sa relation avec l'aire située sous la courbe d'une fonction. Malheureusement, jusqu'à présent, les seuls outils dont nous disposons pour calculer la valeur d'une intégrale définie sont les formules d'aires géométriques et les limites des sommes de Riemann, et les deux approches sont extrêmement fastidieuses. Dans cette section, nous examinons des techniques plus puissantes et plus utiles pour évaluer des intégrales définies.

Ces nouvelles techniques s'appuient sur la relation entre différenciation et intégration. Cette relation a été découverte et explorée par Sir Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz (entre autres) à la fin des années 1600 et au début des années 1700, et elle est codifiée dans ce que nous appelons aujourd'hui le théorème fondamental du calcul, qui comprend deux parties que nous examinons dans cette section. Son nom même indique à quel point ce théorème est central dans l'ensemble du développement du calcul.

Les contributions d'Isaac Newton aux mathématiques et à la physique ont changé notre façon de voir le monde. Les relations qu'il a découvertes, codifiées sous la forme des lois de Newton et de la loi de la gravitation universelle, sont toujours enseignées comme matière fondamentale de la physique aujourd'hui, et son calcul a donné naissance à des domaines entiers des mathématiques.

Avant d'aborder ce théorème crucial, examinons un autre théorème important, le théorème de la valeur moyenne pour les intégrales, qui est nécessaire pour prouver le théorème fondamental du calcul.

Le théorème de la valeur moyenne pour les intégrales

Le théorème de la valeur moyenne pour les intégrales indique qu'une fonction continue sur un intervalle fermé prend sa valeur moyenne au même point de cet intervalle. Le théorème garantit que s'il\(f(x)\) est continu, un point\(c\) existe dans un intervalle\([a,b]\) tel que la valeur de la fonction at\(c\) soit égale à la valeur moyenne de\(f(x)\) over\([a,b]\). Nous énonçons ce théorème mathématiquement à l'aide de la formule de la valeur moyenne d'une fonction que nous avons présentée à la fin de la section précédente.

Théorème\(\PageIndex{1}\): The Mean Value Theorem for Integrals

S'il\(f(x)\) est continu sur un intervalle\([a,b]\), il y a au moins un point\(c∈[a,b]\) tel que

\[f(c)=\dfrac{1}{b−a}∫^b_af(x)\,dx. \nonumber \]

Cette formule peut également être exprimée sous la forme

\[∫^b_af(x)\,dx=f(c)(b−a). \label{meanvaluetheorem} \]

Comme\(f(x)\) il est continu\([a,b]\), selon le théorème des valeurs extrêmes (voir la section sur les maxima et les minima), il suppose des valeurs minimales\(m\) et maximales\(M\), et, respectivement, sur\([a,b]\). Ensuite, pour l'ensemble\(x\)\([a,b]\), nous avons\(m≤f(x)≤M.\) donc, selon le théorème de comparaison (voir la section sur l'intégrale définie), nous avons

\[ m(b−a)≤∫^b_af(x)\,dx≤M(b−a). \nonumber \]

Une preuve

Comme\(f(x)\) il est continu\([a,b]\), selon le théorème des valeurs extrêmes (voir la section sur les maxima et les minima), il suppose des valeurs minimales\(m\) et maximales\(M\), et, respectivement, sur\([a,b]\). Ensuite, pour l'ensemble\(x\)\([a,b]\), nous avons\(m≤f(x)≤M.\) donc, selon le théorème de comparaison (voir la section sur l'intégrale définie), nous avons

\[ m(b−a)≤∫^b_af(x)\,dx≤M(b−a). \nonumber \]

Diviser par nous\(b−a\) donne

\[ m≤\frac{1}{b−a}∫^b_af(x)\,dx≤M. \nonumber \]

Puisque\(\displaystyle \frac{1}{b−a}∫^b_a f(x)\,dx\) est un nombre compris entre\(m\) et\(M\), et puisque\(f(x)\) est continu et suppose les valeurs\(m\) et\(M\) plus\([a,b]\), selon le théorème des valeurs intermédiaires, il y a un nombre\(c\) supérieur\([a,b]\) tel que

\[ f(c)=\frac{1}{b−a}∫^b_a f(x)\,dx, \nonumber \]

et la preuve est complète.

□

Exemple\(\PageIndex{1}\): Finding the Average Value of a Function

Trouvez la valeur moyenne de la fonction\(f(x)=8−2x\) sur l'intervalle\([0,4]\) et trouvez\(c\) telle qu'elle\(f(c)\) soit égale à la valeur moyenne de la fonction sur\([0,4].\)

Solution

La formule indique la valeur moyenne de\(f(x)\) is given by

\[\displaystyle \frac{1}{4−0}∫^4_0(8−2x)\,dx. \nonumber \]

Nous pouvons voir sur la figure\(\PageIndex{1}\) que la fonction représente une ligne droite et forme un triangle droit délimité par\(x\)- and \(y\)-axes. The area of the triangle is \(A=\frac{1}{2}(base)(height).\) We have

\[A=\dfrac{1}{2}(4)(8)=16. \nonumber \]

La valeur moyenne est obtenue en multipliant la surface par\(1/(4−0).\) Thus, the average value of the function is

\[\dfrac{1}{4}(16)=4 \nonumber \]

Définissez la valeur moyenne égale à\(f(c)\) and solve for \(c\).

\[ \begin{align*} 8−2c =4 \nonumber \\[4pt] c =2 \end{align*}\]

À\(c=2,f(2)=4\).

Figure\(\PageIndex{1}\) : Selon le théorème de la valeur moyenne, la fonction continue\(f(x)\) prend sa valeur moyenne\(c\) au moins une fois sur un intervalle fermé.

Exercice\(\PageIndex{1}\)

Trouvez la valeur moyenne de la fonction\(f(x)=\dfrac{x}{2}\) sur l'intervalle\([0,6]\) et trouvez c de telle sorte qu'elle\(f(c)\) soit égale à la valeur moyenne de la fonction sur\([0,6].\)

Allusion

Utilisez les procédures décrites dans Example\(\PageIndex{1}\) pour résoudre le problème

Réponse

La valeur moyenne est\(1.5\) et\(c=3\).

Exemple\(\PageIndex{2}\): Finding the Point Where a Function Takes on Its Average Value

Étant donné\(\displaystyle ∫^3_0x^2\,dx=9\), trouvez\(c\) une valeur\(f(c)\) égale à la valeur moyenne de\(f(x)=x^2\) plus\([0,3]\).

Solution

Nous recherchons la valeur d'\(c\)une telle

\[f(c)=\frac{1}{3−0}∫^3_0x^2\,\,dx=\frac{1}{3}(9)=3. \nonumber \]

En\(f(c)\) remplaçant par\(c^2\), nous avons

\[ \begin{align*} c^2 &=3 \\[4pt] c &= ±\sqrt{3}. \end{align*}\]

Comme\(−\sqrt{3}\) il se trouve en dehors de l'intervalle, ne prenez que la valeur positive. Ainsi,\(c=\sqrt{3}\) (Figure\(\PageIndex{2}\)).

Figure\(\PageIndex{2}\) : Au cours de l'intervalle\([0,3]\), la fonction\(f(x)=x^2\) prend sa valeur moyenne à\(c=\sqrt{3}\).

Exercice\(\PageIndex{2}\)

Étant donné\(\displaystyle ∫^3_0(2x^2−1)\,dx=15\), trouvez\(c\) une valeur\(f(c)\) égale à la valeur moyenne de\(f(x)=2x^2−1\) plus\([0,3]\).

Allusion

Utilisez les procédures décrites dans Example\(\PageIndex{2}\) pour résoudre le problème.

Réponse

\(c=\sqrt{3}\)

Théorème fondamental du calcul, partie 1 : Intégrales et antidérivées

Comme mentionné précédemment, le théorème fondamental du calcul est un théorème extrêmement puissant qui établit la relation entre la différenciation et l'intégration, et nous permet d'évaluer des intégrales définies sans utiliser de sommes de Riemann ou de calculer des aires. Le théorème est composé de deux parties, dont la première, le théorème fondamental du calcul, partie 1, est énoncée ici. La première partie établit la relation entre différenciation et intégration.

Théorème\(\PageIndex{2}\): The Fundamental Theorem of Calculus, Part 1

Elle\(f(x)\) est continue sur un intervalle\([a,b]\) et la fonction\(F(x)\) est définie par

\[F(x)=∫^x_af(t)\,dt, \nonumber \]

puis\(F′(x)=f(x)\) terminé\([a,b]\).

Avant d'entrer dans la preuve, quelques subtilités méritent d'être mentionnées ici. Tout d'abord, un commentaire sur la notation. Notez que nous avons défini une fonction\(F(x)\), comme l'intégrale définie d'une autre fonction\(f(t)\), du point a au point\(x\). À première vue, cela prête à confusion, car nous avons dit à plusieurs reprises qu'une intégrale définie est un nombre, et ici, on dirait que c'est une fonction. La clé ici est de remarquer que pour toute valeur particulière de\(x\), l'intégrale définie est un nombre. La fonction\(F(x)\) renvoie donc un nombre (la valeur de l'intégrale définie) pour chaque valeur de\(x\).

Ensuite, il convient de commenter certaines des principales implications de ce théorème. Ce n'est pas pour rien qu'on l'appelle le théorème fondamental du calcul. Non seulement elle établit une relation entre intégration et différenciation, mais elle garantit également que toute fonction intégrable possède une antidérivée. Plus précisément, il garantit que toute fonction continue possède un antidérivé.

Preuve : Théorème fondamental du calcul, partie 1

En appliquant la définition de la dérivée, nous avons

\[ \begin{align*} F′(x) &=\lim_{h→0}\frac{F(x+h)−F(x)}{h} \\[4pt] &=\lim_{h→0}\frac{1}{h} \left[∫^{x+h}_af(t)dt−∫^x_af(t)\,dt \right] \\[4pt] &=\lim_{h→0}\frac{1}{h}\left[∫^{x+h}_af(t)\,dt+∫^a_xf(t)\,dt \right] \\[4pt] &=\lim_{h→0}\frac{1}{h}∫^{x+h}_xf(t)\,dt. \end{align*}\]

En regardant attentivement cette dernière expression, nous voyons que\(\displaystyle \frac{1}{h}∫^{x+h}_x f(t)\,dt\) c'est juste la valeur moyenne de la fonction\(f(x)\) sur l'intervalle\([x,x+h]\). Par conséquent, selon l'équation \ ref {mean valuetheory}, il existe un certain nombre\(c\)\([x,x+h]\) tel que

\[ \frac{1}{h}∫^{x+h}_x f(t)\,dt=f(c). \nonumber \]

De plus, puisque\(c\) se situe entre\(x\) et\(h\), s'\(c\)approche à\(x\) mesure que l'on\(h\) approche de zéro. De plus, étant donné\(f(x)\) que c'est continu, nous avons

\[ \lim_{h→0}f(c)=\lim_{c→x}f(c)=f(x) \nonumber \]

En assemblant toutes ces pièces, nous avons

\[ F′(x)=\lim_{h→0}\frac{1}{h}∫^{x+h}_x f(t)\,dt=\lim_{h→0}f(c)=f(x), \nonumber \]

et la preuve est complète.

□

Exemple\(\PageIndex{3}\): Finding a Derivative with the Fundamental Theorem of Calculus

Utilisez le théorème fondamental du calcul, partie 1 pour trouver la dérivée de

\[g(x)=∫^x_1\frac{1}{t^3+1}\,dt. \nonumber \]

Solution

Selon le théorème fondamental du calcul, la dérivée est donnée par

\[g′(x)=\frac{1}{x^3+1}. \nonumber \]

Exercice\(\PageIndex{3}\)

Utilisez le théorème fondamental du calcul, partie 1 pour trouver la dérivée de\(\displaystyle g(r)=∫^r_0\sqrt{x^2+4}\,dx\).

Allusion

Suivez les procédures de l'exemple\(\PageIndex{3}\) pour résoudre le problème.

Réponse

\(g′(r)=\sqrt{r^2+4}\)

Exemple\(\PageIndex{4}\): Using the Fundamental Theorem and the Chain Rule to Calculate Derivatives

Laisse\(\displaystyle F(x)=∫^{\sqrt{x}}_1 \sin t \,dt.\) trouver\(F′(x)\).

Solution

Laissant\(u(x)=\sqrt{x}\), nous l'avons fait\(\displaystyle F(x)=∫^{u(x)}_1 \sin t \,dt\).

Ainsi, selon le théorème fondamental du calcul et la règle des chaînes,

\[ F′(x)=\sin(u(x))\frac{du}{\,dx}=\sin(u(x))⋅\left(\dfrac{1}{2}x^{−1/2}\right)=\dfrac{\sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}. \nonumber \]

Exercice\(\PageIndex{4}\)

Laissez\(\displaystyle F(x)=∫^{x^3}_1 \cos t\,dt\). Trouvez\(F′(x)\).

Allusion

Utilisez la règle de chaîne pour résoudre le problème.

Réponse

\(F′(x)=3x^2\cos x^3\)

Exemple\(\PageIndex{5}\): Using the Fundamental Theorem of Calculus with Two Variable Limits of Integration

Laissez\(\displaystyle F(x)=∫^{2x}_x t^3\,dt\). Trouvez\(F′(x)\).

Solution

Nous l'avons fait\(\displaystyle F(x)=∫^{2x}_x t^3\,dt\). Les deux limites d'intégration sont variables, nous devons donc les diviser en deux intégrales. Nous obtenons

\[\begin{align*} F(x) &=∫^{2x}_xt^3\,dt =∫^0_xt^3\,dt+∫^{2x}_0t^3\,dt \\[4pt] &=−∫^x_0t^3\,dt+∫^{2x}_0t^3\,dt. \end{align*}\]

En différenciant le premier terme, nous obtenons

\[ \frac{d}{\,dx} \left[−∫^x_0t^3\, dt\right]=−x^3 . \nonumber \]

Pour différencier le second terme, nous avons d'abord laissé\((x)=2x.\) Then,

\[\begin{align*} \frac{d}{dx} \left[∫^{2x}_0t^3\,dt\right] &=\frac{d}{dx} \left[∫^{u(x)}_0t^3\,dt \right] \\[4pt] &=(u(x))^3\,du\,\,dx \\[4pt] &=(2x)^3⋅2=16x^3.\end{align*}\]

Ainsi,

\[\begin{align*} F′(x) &=\frac{d}{dx} \left[−∫^x_0t^3\,dt \right]+\frac{d}{dx} \left[∫^{2x}_0t^3\,dt\right] \\[4pt] &=−x^3+16x^3=15x^3 \end{align*}\]

Exercice\(\PageIndex{5}\)

Laisse\(\displaystyle F(x)=∫^{x^2}_x \cos t \, dt.\) trouver\(F′(x)\).

Allusion

Utilisez les procédures décrites dans Example\(\PageIndex{5}\) pour résoudre le problème

Réponse

\(F′(x)=2x\cos x^2−\cos x\)

Théorème fondamental du calcul, partie 2 : Le théorème de l'évaluation

Le théorème fondamental du calcul, partie 2, est peut-être le plus important théorème du calcul. Après les efforts inlassables déployés par les mathématiciens pendant environ 500 ans, de nouvelles techniques sont apparues qui ont fourni aux scientifiques les outils nécessaires pour expliquer de nombreux phénomènes. À l'aide du calcul, les astronomes pouvaient enfin déterminer les distances dans l'espace et cartographier les orbites planétaires. Les problèmes financiers quotidiens tels que le calcul des coûts marginaux ou la prévision du bénéfice total pouvaient désormais être traités avec simplicité et précision. Les ingénieurs pouvaient calculer la résistance à la flexion des matériaux ou le mouvement tridimensionnel d'objets. Notre vision du monde a changé à jamais avec le calcul.

Après avoir trouvé des aires approximatives en ajoutant les aires de n rectangles, l'application de ce théorème est simple par comparaison. Il semble presque trop simple de calculer l'aire d'une région incurvée complète en évaluant simplement une antidérivée aux première et dernière extrémités d'un intervalle.

Théorème\(\PageIndex{3}\): The Fundamental Theorem of Calculus, Part 2

Si\(f(x)\) est continu sur l'intervalle\([a,b]\) et\(F(x)\) est un antidérivé quelconque de\(f(x),\)

\[ ∫^b_af(x)\,dx=F(b)−F(a). \label{FTC2} \]

Nous voyons souvent la notation\(\displaystyle F(x)|^b_a\) pour désigner l'expression\(F(b)−F(a)\). Nous utilisons cette barre verticale\(a\) et les limites associées\(b\) pour indiquer que nous devons évaluer la fonction\(F(x)\) à la limite supérieure (dans ce cas,\(b\)) et soustraire la valeur de la fonction\(F(x)\) évaluée à la limite inférieure (dans ce cas,\(a\)).

Le théorème fondamental du calcul, partie 2 (également connu sous le nom de théorème d'évaluation) indique que si nous pouvons trouver une antidérivée pour l'integrand, nous pouvons évaluer l'intégrale définie en évaluant l'antidérivée aux extrémités de l'intervalle et en la soustrayant.

Une preuve

\(P={x_i},i=0,1,…,n\)Soyons une partition régulière de\([a,b].\) Ensuite, nous pouvons écrire

\[ \begin{align*} F(b)−F(a) &=F(x_n)−F(x_0) \\[4pt] &=[F(x_n)−F(x_{n−1})]+[F(x_{n−1})−F(x_{n−2})] + … + [F(x_1)−F(x_0)] \\[4pt] &=\sum^n_{i=1}[F(x_i)−F(x_{i−1})]. \end{align*} \nonumber \]

Maintenant, nous savons qu'\(F\)il s'agit d'une antidérivée de\(f\) plus,\([a,b],\) donc selon le théorème de la valeur moyenne (voir Le théorème de la valeur moyenne) car\(i=0,1,…,n\) nous pouvons trouver\(c_i\) dans\([x_{i−1},x_i]\) ce que

\[F(x_i)−F(x_{i−1})=F′(c_i)(x_i−x_{i−1})=f(c_i)\,Δx. \nonumber \]

Ensuite, en remplaçant l'équation précédente, nous avons

\[ F(b)−F(a)=\sum_{i=1}^nf(c_i)\,Δx. \nonumber \]

Prendre la limite des deux côtés au\(n→∞,\) fur et à mesure

\[ F(b)−F(a)=\lim_{n→∞}\sum_{i=1}^nf(c_i)Δx=∫^b_af(x)\,dx. \nonumber \]

□

Exemple\(\PageIndex{6}\): Evaluating an Integral with the Fundamental Theorem of Calculus

Utilisez l'équation \ ref {FTC2} pour évaluer

\[ ∫^2_{−2}(t^2−4)\,dt. \nonumber \]

Solution

Rappelons la règle de puissance pour les antidérivés :

Si\(y=x^n\),

\[∫x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C. \nonumber \]

Utilisez cette règle pour trouver l'antidérivée de la fonction, puis appliquez le théorème. Nous avons

\[ \begin{align*} ∫^2_{−2}(t^2−4)dt &=\left( \frac{t^3}{3}−4t \right)∣^2_{−2} \\[4pt] &=\left[\frac{(2)^3}{3}−4(2)\right]−\left[\frac{(−2)^3}{3}−4(−2)\right] \\[4pt] &=\left[\frac{8}{3}−8\right] − \left[−\frac{8}{3}+8 \right] \\[4pt] &=\frac{8}{3}−8+\frac{8}{3}−8 \\[4pt] &=\frac{16}{3}−16=−\frac{32}{3}.\end{align*} \nonumber \]

Analyse

Notez que nous n'avons pas inclus le terme «\(+ C\) » lorsque nous avons écrit l'antidérivé. La raison en est que, selon le théorème fondamental du calcul, partie 2 (Équation \ ref {FTC2}), tout antidérivé fonctionne. Donc, pour plus de commodité, nous avons choisi l'antidérivé avec\(C=0\). Si nous avions choisi un autre antidérivé, le terme constant aurait été annulé. Cela se produit toujours lors de l'évaluation d'une intégrale définie.

La région de la zone que nous venons de calculer est représentée sur la figure\(\PageIndex{3}\). Notez que la région située entre la courbe et l'\(x\)axe -est entièrement en dessous de l'\(x\)axe. L'aire est toujours positive, mais une intégrale définie peut tout de même produire un nombre négatif (une surface nette signée). Par exemple, s'il s'agit d'une fonction de profit, un nombre négatif indique que l'entreprise fonctionne à perte sur l'intervalle donné.

Figure\(\PageIndex{3}\) : L'évaluation d'une intégrale définie peut produire une valeur négative, même si l'aire est toujours positive.

Exemple\(\PageIndex{7}\): Evaluating a Definite Integral Using the Fundamental Theorem of Calculus, Part 2

Évaluez l'intégrale suivante à l'aide du théorème fondamental du calcul, partie 2 (équation \ ref {FTC2}) :

\[ ∫^9_1\frac{x−1}{\sqrt{x}}dx. \nonumber \]

Solution

Tout d'abord, éliminez le radical en réécrivant l'intégrale à l'aide d'exposants rationnels. Séparez ensuite les termes du numérateur en les écrivant chacun au-dessus du dénominateur :

\[ ∫^9_1\frac{x−1}{x^{1/2}}\,dx=∫^9_1 \left(\frac{x}{x^{1/2}}−\frac{1}{x^{1/2}} \right)\,dx. \nonumber \]

Utilisez les propriétés des exposants pour simplifier :

\[ ∫^9_1 \left(\frac{x}{x^{1/2}}−\frac{1}{x^{1/2}}\right)\,dx=∫^9_1(x^{1/2}−x^{−1/2})\,dx. \nonumber \]

Maintenant, procédez à l'intégration en utilisant la règle de puissance :

\[ \begin{align*} ∫^9_1(x^{1/2}−x^{−1/2})\,dx &= \left(\frac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}}−\frac{x^{1/2}}{\frac{1}{2}}\right)∣^9_1 \\[4pt] &= \left[\frac{(9)^{3/2}}{\frac{3}{2}}−\frac{(9)^{1/2}}{\frac{1}{2}}\right]− \left[\frac{(1)^{3/2}}{\frac{3}{2}}−\frac{(1)^{1/2}}{\frac{1}{2}} \right] \\[4pt] &= \left[\frac{2}{3}(27)−2(3)\right]−\left[\frac{2}{3}(1)−2(1)\right] \\[4pt] &=18−6−\frac{2}{3}+2=\frac{40}{3}. \end{align*} \nonumber \]

Voir la figure\(\PageIndex{4}\).

Figure\(\PageIndex{4}\) : L'aire sous la courbe de\(x=1\) à\(x=9\) peut être calculée en évaluant une intégrale définie.

Exercice\(\PageIndex{6}\)

Utilisez la note pour évaluer\(\displaystyle ∫^2_1x^{−4}\,dx.\)

Allusion

Utilisez la règle du pouvoir.

Réponse

\(\frac{7}{24}\)

Exemple\(\PageIndex{8}\): A Roller-Skating Race

James et Kathy courent sur des patins à roulettes. Ils courent sur une longue piste droite, et celui qui est allé le plus loin au bout de 5 secondes gagne un prix. Si James peut patiner à une vitesse de\(f(t)=5+2t\) pieds par seconde et Kathy peut patiner à une vitesse de pieds par\(g(t)=10+\cos\left(\frac{π}{2}t\right)\) seconde, qui va gagner la course ?

Solution

Nous devons intégrer les deux fonctions au cours de l'intervalle\([0,5]\) et déterminer quelle valeur est la plus grande. Pour James, nous voulons calculer

\[ ∫^5_0(5+2t)\,dt. \nonumber \]

En utilisant la règle du pouvoir, nous avons

\[ \begin {align*} ∫^5_0(5+2t)\,dt &= \left(5t+t^2\right)∣^5_0 \\[4pt] &=(25+25) \\[4pt] &=50. \end{align*}\]

James a donc patiné 50 pieds après 5 secondes. Passons maintenant à Kathy, nous voulons calculer

\[∫^5_010 + \cos \left(\frac{π}{2}t\right)\, dt. \nonumber \]

Nous savons que\(\sin t\) c'est un antidérivé de\(\cos t\), il est donc raisonnable de s'attendre à ce qu'un antidérivé de\(\cos\left(\frac{π}{2}t\right)\) implique\(\sin\left(\frac{π}{2}t\right)\). Cependant, lorsque nous différencions\(\sin \left(π^2t\right)\), nous obtenons\(π^2 \cos\left(π^2t\right)\) le résultat de la règle de la chaîne. Nous devons donc tenir compte de ce coefficient supplémentaire lors de l'intégration. Nous obtenons

\[ \begin{align*} ∫^5_010+\cos \left(\frac{π}{2}t\right)\,dt &= \left(10t+\frac{2}{π} \sin \left(\frac{π}{2}t\right)\right)∣^5_0 \\[4pt] &=\left(50+\frac{2}{π}\right)−\left(0−\frac{2}{π} \sin 0\right )≈50.6. \end{align*}\]

Kathy a patiné environ 50,6 pieds après 5 secondes. Kathy gagne, mais pas beaucoup !

Exercice\(\PageIndex{7}\)

Supposons que James et Kathy aient une revanche, mais cette fois, l'officiel arrête le match après seulement 3 secondes. Est-ce que cela change le résultat ?

Allusion

Modifiez les limites d'intégration par rapport à celles de l'exemple\(\PageIndex{7}\).

Réponse

Kathy gagne toujours, mais avec une marge beaucoup plus importante : James patine 24 pieds en 3 secondes, mais Kathy patine 29,3634 pieds en 3 secondes.

Un parachutiste en chute libre

Julie est une parachutiste passionnée qui a fait plus de 300 sauts à son actif. Elle a maîtrisé l'art d'ajuster la position de son corps dans les airs afin de contrôler la vitesse à laquelle elle tombe. Si elle cambre le dos et pointe son ventre vers le sol, elle atteint une vitesse terminale d'environ 120 mi/h (176 pieds/sec). Si, au contraire, elle oriente son corps la tête droite vers le bas, elle tombe plus vite, atteignant une vitesse terminale de 150 mi/h (220 pieds/sec).

Figure\(\PageIndex{5}\) : Les parachutistes peuvent ajuster la vitesse de leur plongée en modifiant la position de leur corps pendant la chute libre. (crédit : Jeremy T. Lock)

Comme Julie va se déplacer (tomber) vers le bas, nous supposons que la direction descendante est positive pour simplifier nos calculs. Julie effectue ses sauts à une altitude de 12 500 pieds. Après avoir quitté l'avion, elle commence immédiatement à tomber à une vitesse donnée par\(v(t)=32t.\)

Elle continue d'accélérer selon cette fonction de vitesse jusqu'à ce qu'elle atteigne sa vitesse terminale. Une fois qu'elle a atteint sa vitesse terminale, sa vitesse reste constante jusqu'à ce qu'elle tire sur son cordon et ralentisse pour atterrir.

Lors de son premier saut de la journée, Julie s'oriente dans la position plus lente « ventre vers le bas » (la vitesse terminale est de 176 pieds/sec). À l'aide de ces informations, répondez aux questions suivantes.

1. Combien de temps après sa sortie de l'avion Julie atteint-elle sa vitesse terminale ?
2. Sur la base de votre réponse à la question 1, définissez une expression impliquant une ou plusieurs intégrales qui représente la distance parcourue par Julie au bout de 30 secondes.
3. Si Julie tire sa corde à 3 000 pieds d'altitude, combien de temps passet-elle en chute libre ?
4. Julie tire son câble à 3000 pieds. Il lui faut 5 secondes pour que son parachute s'ouvre complètement et qu'elle ralentisse, période pendant laquelle elle fait une chute de plus de 400 pieds. Une fois que son auvent est complètement ouvert, sa vitesse est réduite à 16 pieds/sec. Trouvez le temps total que Julie passe dans les airs, depuis le moment où elle quitte l'avion jusqu'au moment où ses pieds touchent le sol. Lors du deuxième saut de la journée, Julie décide de tomber un peu plus vite et s'oriente en position « tête baissée ». Sa vitesse terminale dans cette position est de 220 pieds/sec. Répondez à ces questions en fonction de cette vélocité :
5. Combien de temps faut-il à Julie pour atteindre la vitesse terminale dans ce cas ?
6. Avant de tirer sur sa corde, Julie réoriente son corps en position « ventre vers le bas » afin qu'elle ne bouge pas aussi vite lorsque son parachute s'ouvre. Si elle commence cette manœuvre à une altitude de 4000 pieds, combien de temps passet-elle en chute libre avant de commencer la réorientation ?

Certains sauteurs portent des « wingsuits » (Figure\(\PageIndex{6}\)). Ces combinaisons sont dotées d'empiècements en tissu entre les bras et les jambes et permettent à l'utilisateur de glisser en chute libre, comme un écureuil volant. (En effet, les combinaisons sont parfois appelées « combinaisons d'écureuil volant ».) Lorsque vous portez ces combinaisons, la vitesse terminale peut être réduite à environ 30 mi/h (44 pieds/sec), ce qui permet aux porteurs de passer beaucoup plus de temps dans les airs. Les pilotes de wingsuit utilisent toujours des parachutes pour atterrir ; bien que les vitesses verticales soient dans les limites de sécurité, les vitesses horizontales peuvent dépasser 70 mi/h, bien trop vite pour atterrir en toute sécurité.

Figure\(\PageIndex{6}\) : Les empiècements en tissu sur les bras et les jambes d'une wingsuit réduisent la vitesse verticale de chute d'un parachutiste. (crédit : Richard Schneider)

Répondez à la question suivante en vous basant sur la vélocité d'une wingsuit.

7. Si Julie enfile une wingsuit avant son troisième saut de la journée, et qu'elle tire son fil à 3 000 pieds d'altitude, combien de temps pourrait-elle passer à planer dans les airs

Concepts clés

• Le théorème de la valeur moyenne pour les intégrales indique que pour une fonction continue sur un intervalle fermé, il existe une valeur c\(f(c)\) égale à la valeur moyenne de la fonction.
• Le théorème fondamental du calcul, partie 1 montre la relation entre la dérivée et l'intégrale.
• Le théorème fondamental du calcul, partie 2, est une formule permettant d'évaluer une intégrale définie en termes d'antidérivée de son integrand. La surface totale sous une courbe peut être déterminée à l'aide de cette formule.

Équations clés

• Théorème de la valeur moyenne pour les intégrales

S'il\(f(x)\) est continu sur un intervalle\([a,b]\), il y a au moins un point\(c∈[a,b]\) tel que\[f(c)=\frac{1}{b−a}∫^b_af(x)\,dx.\nonumber \]

• Théorème fondamental du calcul, partie 1

Elle\(f(x)\) est continue sur un intervalle\([a,b]\) et la fonction\(F(x)\) est définie par\[ F(x)=∫^x_af(t)\,dt,\nonumber \]

alors\[F′(x)=f(x).\nonumber \]

• Théorème fondamental du calcul, partie 2

Si\(f\) est continu sur l'intervalle\([a,b]\) et\(F(x)\) est un antidérivé de\(f(x)\), alors\[∫^b_af(x)\,dx=F(b)−F(a).\nonumber \]

Lexique

théorème fondamental du calcul

le théorème, central dans l'ensemble du développement du calcul, qui établit la relation entre différenciation et intégration

théorème fondamental du calcul, partie 1

utilise une intégrale définie pour définir l'antidérivée d'une fonction

théorème fondamental du calcul, partie 2

(également, théorème d'évaluation) nous pouvons évaluer une intégrale définie en évaluant l'antidérivée de l'integrand aux extrémités de l'intervalle et en soustrayant

théorème de la valeur moyenne pour les intégrales

garantit l'\(c\)existence d'un point\(f(c)\) égal à la valeur moyenne de la fonction