10: Polynomials
- Page ID
- 173411
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
Maneno yanayojulikana kama polynomials hutumika sana katika algebra. Matumizi ya maneno haya ni muhimu kwa kazi nyingi, ikiwa ni pamoja na wachumi, wahandisi, na wanasayansi. Katika sura hii, tutajua ni vipi vya polynomials na jinsi ya kuendesha yao kupitia shughuli za msingi za hisabati.
- 10.1: Kuongeza na Ondoa Polynomials
- Katika sehemu hii, tutafanya kazi na polynomials ambazo zina variable moja tu katika kila muda. Kiwango cha polynomial na kiwango cha masharti yake ni kuamua na exponents ya variable. Kufanya kazi na polynomials ni rahisi wakati unapoorodhesha maneno katika utaratibu wa kushuka kwa digrii. Wakati polynomial imeandikwa kwa njia hii, inasemekana kuwa katika fomu ya kawaida. Kuongeza na kuondoa polynomials inaweza kufikiriwa kama kuongeza tu na kuondoa kama maneno.
- 10.2: Tumia Mali ya kuzidisha ya Watazamaji (Sehemu ya 1)
- Katika sehemu hii, tutaanza kufanya kazi na maneno variable zenye exponents. Kumbuka kwamba exponent inaonyesha kuzidisha mara kwa mara ya kiasi sawa. Umeona kwamba unapochanganya maneno kama hayo kwa kuongeza na kutoa, unahitaji kuwa na msingi sawa na kielelezo sawa. Lakini wakati wewe kuzidisha na kugawanya, exponents inaweza kuwa tofauti, na wakati mwingine besi inaweza kuwa tofauti, pia. Tutaweza hupata mali ya exponents kwa kuangalia kwa mwelekeo katika mifano kadhaa.
- 10.3: Matumizi ya kuzidisha Mali ya Exponents (Sehemu ya 2)
- Mali yote exponent kushikilia kweli kwa idadi yoyote halisi, lakini hivi sasa sisi tu kutumia idadi nzima exponents. mali ya bidhaa ya exponents inaruhusu sisi kuzidisha maneno na besi kama kwa kuongeza exponents yao pamoja. Mali ya nguvu ya exponents inasema kwamba kuongeza nguvu kwa nguvu, kuzidisha exponents. Hatimaye, bidhaa kwa mali nguvu ya exponents inaelezea jinsi kuongeza bidhaa kwa nguvu ni kukamilika kwa kuongeza kila sababu kwa nguvu hiyo.
- 10.4: Kuzidisha Polynomials (Sehemu ya 1)
- Katika sehemu hii, tutaanza kuzidisha polynomials kwa shahada moja, mbili, na/au tatu. Kama vile kuna njia tofauti za kuwakilisha kuzidisha kwa idadi, kuna mbinu kadhaa ambazo zinaweza kutumika kuzidisha polynomial na polynomial nyingine. Mali ya Usambazaji ni njia ya kwanza ambayo tayari umekutana na kutumika kupata bidhaa ya polynomials yoyote mbili.
- 10.5: Kuzidisha Polynomials (Sehemu ya 2)
- Njia ya FOIL ni kawaida njia ya haraka zaidi ya kuzidisha binomials mbili, lakini inafanya kazi tu kwa binomials. Unapozidisha binomial kwa binomial unapata maneno manne. Wakati mwingine unaweza kuchanganya kama maneno ili kupata trinomial, lakini wakati mwingine hakuna maneno kama ya kuchanganya. Njia nyingine inayofanya kazi kwa polynomials zote ni Njia ya Wima. Ni sana kama njia unayotumia kuzidisha idadi nzima.
- 10.6: Gawanya Monomials (Sehemu ya 1)
- Katika sehemu hii, tutaangalia mali exponent kwa mgawanyiko. Kesi maalum ya Mali ya Quotient ni wakati maonyesho ya nambari na denominator ni sawa. Inatuongoza kwa ufafanuzi wa exponent sifuri, ambayo inasema kwamba kama ni nambari isiyo ya sifuri, basi ^ 0 = 1. Nambari yoyote isiyo ya zero iliyoinuliwa kwa nguvu ya sifuri ni 1. Quotient kwa mali nguvu ya exponents inasema kwamba kuongeza sehemu kwa nguvu, wewe kuongeza nambari na denominator kwa nguvu hiyo.
- 10.7: Gawanya Monomials (Sehemu ya 2)
- Sasa tumeona mali yote ya exponents. Tutatumia kugawanya monomials. Baadaye, utazitumia kugawanya polynomials. Tunapogawanya monomials na variable zaidi ya moja, tunaandika sehemu moja kwa kila kutofautiana. Mara baada ya kuwa ukoo na mchakato na umeifanya hatua kwa hatua mara kadhaa, unaweza kuwa na uwezo wa kurahisisha sehemu katika hatua moja.
- 10.8: Integer Exponents na Nukuu ya kisayansi (Sehemu ya 1)
- Mtazamaji hasi anatuambia kuandika tena maneno kwa kuchukua usawa wa msingi na kisha kubadilisha ishara ya exponent. Maneno yoyote ambayo ina vielelezo hasi hayakufikiriwa kuwa katika fomu rahisi. Sisi kutumia ufafanuzi wa exponent hasi na mali nyingine ya exponents kuandika kujieleza na exponents chanya tu.
- 10.9: Integer Exponents na Nukuu ya kisayansi (Sehemu ya 2)
- Nambari inapoandikwa kama bidhaa ya namba mbili, ambapo sababu ya kwanza ni namba kubwa kuliko au sawa na moja lakini chini ya 10, na sababu ya pili ni nguvu ya 10 iliyoandikwa kwa umbo la kielelezo, inasemekana kuwa katika nukuu ya kisayansi. Ni desturi ya kutumia × kama ishara ya kuzidisha, ingawa tunaepuka kutumia ishara hii mahali pengine katika algebra. Uthibitishaji wa kisayansi ni njia muhimu ya kuandika namba kubwa sana au ndogo sana. Inatumika mara nyingi katika sayansi kufanya mahesabu rahisi.
- 10.10: Utangulizi wa Factoring Polynomials
- Mapema tuliongeza mambo pamoja ili kupata bidhaa. Sasa, tutabadilisha mchakato huu; tutaanza na bidhaa na kisha kuivunja ndani ya mambo yake. Kugawanyika bidhaa katika mambo inaitwa factoring. Katika lugha ya Algebra sisi factored idadi ya kupata angalau kawaida nyingi (LCM) ya namba mbili au zaidi. Sasa tutazingatia maneno na kupata sababu kubwa ya kawaida ya maneno mawili au zaidi. Njia tunayotumia ni sawa na kile tulichotumia kupata LCM.
Kielelezo 10.1 - Njia za makombora zinahesabiwa kwa kutumia polynomials. (mikopo: NASA, Umma Domain)