Skip to main content
Global

10.3: Matumizi ya kuzidisha Mali ya Exponents (Sehemu ya 2)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    173421

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Kurahisisha Maneno Kutumia Bidhaa kwa Mali ya Nguvu

    Sasa tutaangalia maneno yaliyo na bidhaa inayofufuliwa kwa nguvu. Angalia mfano.

      (2x 3)
    Hii inamaanisha nini? 2x • 2x • 2x
    Sisi kundi mambo kama pamoja. 2 • 2 • 2 • x • x • x
    Ni mambo ngapi ya 2 na ya x? 2 3 • x 3
    Angalia kwamba kila sababu ilifufuliwa kwa nguvu. (2x) 3 ni 2 3 • x 3
    Tunaandika: $$\ kuanza {kupasuliwa} & (2x) ^ {3}\\ &2 ^ {3}\ cdot x ^ {3}\ mwisho {mgawanyiko} $$

    Mtazamaji hutumika kwa kila sababu. Hii inasababisha Bidhaa kwa Power Mali kwa Exponents.

    Ufafanuzi: Bidhaa kwa Mali ya Nguvu ya Watazamaji

    Ikiwa a na b ni namba halisi na m ni namba nzima, basi

    \[(ab)^{m} = a^{m} b^{m} \tag{10.2.27}\]

    Ili kuongeza bidhaa kwa nguvu, ongeza kila sababu kwa nguvu hiyo.

    Mfano na namba husaidia kuthibitisha mali hii:

    \[\begin{split} (2 \cdot 3)^{2} &\stackrel{?}{=} 2^{2} \cdot 3^{2} \\ 6^{2} &\stackrel{?}{=} 4 \cdot 9 \\ 36 &\stackrel{?}{=} 36\; \checkmark \end{split}\]

    Mfano\(\PageIndex{10}\):

    Kurahisisha: (-11x) 2.

    Suluhisho

    Tumia Nguvu ya Mali ya Bidhaa, (ab) m = m b m. $$ (-11) ^ {\ textcolor {nyekundu} {2}} x^ {\ rangi ya maandishi {nyekundu} {2}}\ tag {10.2.28} $$
    Kurahisisha. $121x^ {2}\ tag {10.2.29} $$
    Zoezi\(\PageIndex{19}\):

    Kurahisisha: (-14x) 2.

    Jibu

    196x 2

    Zoezi\(\PageIndex{20}\):

    Kurahisisha: (-12a) 2.

    Jibu

    144a 2

    Mfano\(\PageIndex{11}\):

    Kurahisisha: (3xy) 3.

    Suluhisho

    Kuongeza kila sababu kwa nguvu ya tatu. $3^ {\ rangi ya maandishi {nyekundu} {3}} x^ {\ rangi ya maandishi {nyekundu} {3}} y ^ {\ rangi ya maandishi {nyekundu} {3}}\ tag {10.2.30} $$
    Kurahisisha. $27x^ {3} y^ {3}\ tag {10.2.31} $$
    Zoezi\(\PageIndex{21}\):

    Kurahisisha: (-4xy) 4.

    Jibu

    256x 4 na 4

    Zoezi\(\PageIndex{22}\):

    Kurahisisha: (6xy) 3.

    Jibu

    216x 3 na 3

    Kurahisisha Maneno kwa kutumia Mali kadhaa

    Sisi sasa kuwa na mali tatu kwa ajili ya kuzidisha maneno na exponents. Hebu muhtasari yao na kisha tutaweza kufanya baadhi ya mifano kwamba matumizi ya zaidi ya moja ya mali.

    Ufafanuzi: Mali ya Watazamaji

    Ikiwa, b ni namba halisi na m, n ni namba nzima, basi

    Bidhaa Mali m • n = m + n
    Power Mali (m) n = m • n
    Bidhaa kwa Mali ya Nguvu (ab) m = m b m
    Mfano\(\PageIndex{12}\):

    kurahisisha: (x 2) 6 (x 5) 4.

    Suluhisho

    Tumia Mali ya Nguvu. x 12 • x 20
    Ongeza watazamaji. x 32
    Zoezi\(\PageIndex{23}\):

    kurahisisha: (x 4) 3 (x 7) 4.

    Jibu

    x 40

    Zoezi\(\PageIndex{24}\):

    Kurahisisha: (y 9) 2 (y 8) 3.

    Jibu

    na 42

    Mfano\(\PageIndex{13}\):

    Kurahisisha: (-7x 3 y 4) 2.

    Suluhisho

    Chukua kila sababu kwa nguvu ya pili. (-7) 2 (x 3) 2 (y 4) 2
    Tumia Mali ya Nguvu. 49x 6 na 8
    Zoezi\(\PageIndex{25}\):

    Kurahisisha: (-8x 4 y 7) 3.

    Jibu

    -512x 12 na 21

    Zoezi\(\PageIndex{26}\):

    Kurahisisha: (-3a 5 b 6) 4.

    Jibu

    81a 20 b 24

    Mfano\(\PageIndex{14}\):

    Kurahisisha: (6n) 2 (4n 3).

    Suluhisho

    Kuongeza 6n kwa nguvu ya pili. 6: 2 n 2 • 4n 3
    Kurahisisha. 36n 2 • 4n 3
    Tumia Mali ya Commutative. 36 • 4 • n 2 • n 3
    Kuzidisha constants na kuongeza exponents. 144n 5

    Kumbuka kwamba katika monomial kwanza, exponent alikuwa nje ya mabano na ni kutumika kwa sababu zote mbili ndani. Katika monomial pili, exponent alikuwa ndani ya mabano na hivyo tu kutumika kwa n.

    Zoezi\(\PageIndex{27}\):

    Kurahisisha: (7n) 2 (2n 12).

    Jibu

    98n 14

    Zoezi\(\PageIndex{28}\):

    Kurahisisha: (4m) 2 (3m 3).

    Jibu

    48m 5

    Mfano\(\PageIndex{15}\):

    kurahisisha: (3p 2 q) 4 (2pq 2) 3.

    Suluhisho

    Tumia Nguvu ya Mali ya Bidhaa. 3 4 (p 2) 4 q 4 • 2 3 p 3 (q 2) 3
    Tumia Mali ya Nguvu. 81p 8 q 4 • 8p 3 q 6
    Tumia Mali ya Commutative. 81 • 8 • p 8 • p 3 • q 4 • q 6
    Kuzidisha constants na kuongeza exponents kwa kila variable. 648p 11 q 10
    Zoezi\(\PageIndex{29}\):

    kurahisisha: (u 3 v 2) 5 (4uv 4) 3.

    Jibu

    64u 18 v 22

    Zoezi\(\PageIndex{30}\):

    Kurahisisha: (5x 2 y 3) 2 (3xy 4) 3.

    Jibu

    675x 7 na 18

    Kuzidisha Monomials

    Kwa kuwa monomial ni kujieleza algebraic, tunaweza kutumia mali kwa ajili ya kurahisisha maneno na exponents kuzidisha monomials.

    Mfano\(\PageIndex{16}\):

    Kuzidisha: (4x 2) (-5x 3).

    Suluhisho

    Tumia Mali ya Comutative ili upate upya mambo. 4 • (-5) • x 2 • x 3
    Kuzidisha. -20x 5
    Zoezi\(\PageIndex{31}\):

    Panua: (7x 7) (-8x 4).

    Jibu

    -56x 11

    Zoezi\(\PageIndex{32}\):

    Panua: (-9y 4) (-6y 5).

    Jibu

    54y 9

    Mfano\(\PageIndex{17}\):

    Kuzidisha:\(\left(\dfrac{3}{4} c^{3} d\right)\) (12cd 2).

    Suluhisho

    Tumia Mali ya Comutative ili upate upya mambo. \(\dfrac{3}{4}\)• 12 • c 3 • c • d • d 2
    Kuzidisha. 9c 4 d 3
    Zoezi\(\PageIndex{33}\):

    Kuzidisha:\(\left(\dfrac{4}{5} m^{4} n^{3} d\right)\) (15mn 3).

    Jibu

    12m 5 n 6

    Zoezi\(\PageIndex{34}\):

    Kuzidisha:\(\left(\dfrac{2}{3} p^{5} q d\right)\) (18p 6 q 7).

    Jibu

    12p 11 q 8

    PATA RASILIMALI ZA ZIADA

    Mali exponent

    Mali exponent 2

    Mazoezi hufanya kamili

    Kurahisisha Maneno na Watazamaji

    Katika mazoezi yafuatayo, kurahisisha kila kujieleza na watazamaji.

    1. 4 5
    2. 10 3
    3. \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\)
    4. \(\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}\)
    5. (0.2) 3
    6. (0.4) 3
    7. (-5) 4
    8. (1-3)
    9. -5 4
    10. —3 5
    11. -10 4
    12. -2 6
    13. \(- \left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}\)
    14. \(- \left(\dfrac{1}{4}\right)^{4}\)
    15. -0.5 2
    16. -0.1 4

    Kurahisisha Maneno Kutumia Mali ya Bidhaa ya Watazamaji

    Katika mazoezi yafuatayo, kurahisisha kila kujieleza kwa kutumia Bidhaa Mali ya Exponents.

    1. x 3 • x 6
    2. m 4 • m 2
    3. a • a 4
    4. na 12 • y
    5. 3 5 • 3 9
    6. 5 10 • 5 6
    7. z • z 2 • z 3
    8. a • a 3 • a 5
    9. x a • x 2
    10. y p • y 3
    11. y a • y b
    12. x p • x q

    Kurahisisha Maneno Kutumia Mali ya Nguvu ya Wasanii

    Katika mazoezi yafuatayo, kurahisisha kila kujieleza kwa kutumia Power Mali ya Exponents.

    1. (u 42)
    2. (x 2) 7
    3. (na 54)
    4. (a 3) 2
    5. (10 2)
    6. (2 8) 3
    7. (x 15)
    8. (na 128)
    9. (x 2) y
    10. (y 3)
    11. (5 x)
    12. (7 a) b

    Kurahisisha Maneno Kutumia Bidhaa kwa Mali ya Nguvu

    Katika mazoezi yafuatayo, kurahisisha kila kujieleza kwa kutumia Bidhaa kwa Power Mali.

    1. (5a) 2
    2. (7x) 2
    3. (-6m) 3
    4. (-9n) 3
    5. (4rs) 2
    6. (5ab) 3
    7. (4xyz) 4
    8. (-5abc) 3

    Kurahisisha Maneno kwa kutumia Mali kadhaa

    Katika mazoezi yafuatayo, kurahisisha kila kujieleza.

    1. (x 2) 4 • (x 3) 2
    2. (y 43) • (y 52)
    3. (a 2) 6 • (a 3) 8
    4. (b 7) 5 • (b 2) 6
    5. (3x) 2 (5x)
    6. (2y) 3 (6y)
    7. (5a) 2 (2a) 3
    8. (4b) 2 (3b) 3
    9. (2m 6) 3
    10. (3y 24)
    11. (10x 2 y) 3
    12. (2mn 45)
    13. (-2a 3 b 2) 4
    14. (-10u 2 v 4) 3
    15. \(\left(\dfrac{2}{3} x^{2} y \right)^{3}\)
    16. \(\left(\dfrac{7}{9} p q^{4} \right)^{2}\)
    17. (8a 3) 2 (2a) 4
    18. (5r 2) 3 (3r) 2
    19. (10p 4) 3 (5p 6) 2
    20. (4x 3) 3 (2x 5) 4
    21. \(\left(\dfrac{1}{2} x^{2} y^{3} \right)^{4}\)(4x 5 na 3 2)
    22. \(\left(\dfrac{1}{3} m^{3} n^{2} \right)^{4}\)(9m 8 n 3) 2
    23. (3m 2 n) 2 (2mn 5) 4
    24. (2pq 4) 3 (5p 6 q) 2

    Kuzidisha Monomials

    Katika mazoezi yafuatayo, ongezea monomials zifuatazo.

    1. (12x 2) (-5x 4)
    2. (-10y 3) (7y 2)
    3. (-8u 6) (-9u)
    4. (-6c 4) (-12c)
    5. \(\left(\dfrac{1}{5} r^{8} \right)\)(20r 3)
    6. \(\left(\dfrac{1}{4} a^{5} \right)\)(36a 2)
    7. (4a 3 b) (9a 2 b 6)
    8. (6m 4 n 3) (7mn 5)
    9. \(\left(\dfrac{4}{7} x y^{2} \right)\)(14x 3)
    10. \(\left(\dfrac{5}{8} u^{3} v \right)^{3}\)(24u 5 v)
    11. \(\left(\dfrac{2}{3} x^{2} y \right) \left(\dfrac{3}{4} x y^{2} \right)\)
    12. \(\left(\dfrac{3}{5} m^{3} n^{2} \right) \left(\dfrac{5}{9} m^{2} n^{3} \right)\)

    kila siku Math

    1. Barua pepe Janet barua pepe utani kwa marafiki zake sita na kuwaambia kuwasilisha kwa marafiki zao sita, ambao mbele yake kwa marafiki sita, na kadhalika. Idadi ya watu wanaopokea barua pepe kwenye mzunguko wa pili ni 6 2, kwenye raundi ya tatu ni 6 3, kama inavyoonekana katika meza. Ni watu wangapi watapokea barua pepe kwenye duru ya nane? Kurahisisha usemi ili kuonyesha idadi ya watu wanaopokea barua pepe.
    Round Idadi ya watu
    1 6
    2 6 2
    3 6 3
    ... ...
    8 ?
    1. Mshahara bosi Raul anampa 5% kuongeza kila mwaka siku ya kuzaliwa kwake. Hii inamaanisha kwamba kila mwaka, mshahara wa Raul ni mara 1.05 mshahara wake wa mwaka jana. Ikiwa mshahara wake wa awali ulikuwa $40,000, mshahara wake baada ya mwaka 1 ulikuwa $40,000 (1.05), baada ya miaka 2 ilikuwa $40,000 (1.05) 2, baada ya miaka 3 ilikuwa $40,000 (1.05) 3, kama inavyoonekana katika jedwali hapa chini. Mshahara wa Raul utakuwa nini baada ya miaka 10? Kurahisisha kujieleza, kuonyesha mshahara Raul katika dola.
    Mwaka Mshahara
    1 $40,000 (1.05)
    2 $40,000 (1.05) 2
    3 $40,000 (1.05) 3
    ... ...
    10 ?

    Mazoezi ya kuandika

    1. Tumia Mali ya Bidhaa kwa Watazamaji kueleza kwa nini x • x = x 2.
    2. Eleza kwa nini -5 3 = (-5) 3 lakini -5 4 ∙ (-5) 4.
    3. Jorge anadhani\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\) ni 1. Ni nini kibaya na hoja zake?
    4. Eleza kwa nini x 3 • x 5 ni x 8, na si x 15.

    Self Check

    (a) Baada ya kukamilisha mazoezi, tumia orodha hii ili kutathmini ujuzi wako wa malengo ya sehemu hii.

    CNX_BMath_Figure_AppB_060.jpg

    (b) Baada ya kuchunguza orodha hii, utafanya nini ili uwe na ujasiri kwa malengo yote?

    Wachangiaji na Majina