13: Funções com valores vetoriais
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Uma função com valor vetorial, também conhecida como função vetorial, é uma função matemática de uma ou mais variáveis cujo alcance é um conjunto de vetores multidimensionais ou vetores de dimensões infinitas. A entrada de uma função com valor vetorial pode ser um escalar ou um vetor. As funções com valores vetoriais fornecem um método útil para estudar várias curvas no plano e no espaço tridimensional. Podemos aplicar esse conceito para calcular a velocidade, aceleração, comprimento do arco e curvatura da trajetória de um objeto. Neste capítulo, examinamos esses métodos e mostramos como eles são usados.
- 13.0: Prelúdio de funções com valores vetoriais
- O cometa Halley segue um caminho elíptico pelo sistema solar, com o Sol aparecendo em um dos focos da elipse. Esse movimento é previsto pela primeira lei do movimento planetário de Johannes Kepler, que mencionamos brevemente anteriormente. A terceira lei do movimento planetário de Kepler pode ser usada com o cálculo de funções com valores vetoriais para encontrar a distância média do Cometa Halley do Sol.
- 13.1: Funções com valores vetoriais e curvas espaciais
- Nosso estudo de funções com valores vetoriais combina ideias de nosso exame anterior de cálculo de variável única com nossa descrição de vetores em três dimensões do capítulo anterior. Nesta seção, estendemos os conceitos dos capítulos anteriores e também examinamos novas ideias sobre curvas no espaço tridimensional. Essas definições e teoremas apoiam a apresentação do material no restante deste capítulo e também nos capítulos restantes do texto.
- 13.2: Cálculo de funções com valor vetorial
- Para estudar o cálculo de funções com valores vetoriais, seguimos um caminho semelhante ao que seguimos ao estudar funções com valor real. Primeiro, definimos a derivada, depois examinamos as aplicações da derivada e, em seguida, passamos à definição de integrais. No entanto, encontraremos algumas novas ideias interessantes ao longo do caminho, como resultado da natureza vetorial dessas funções e das propriedades das curvas espaciais.
- 13.3: Comprimento e curvatura do arco
- Nesta seção, estudamos fórmulas relacionadas a curvas em duas e três dimensões e vemos como elas estão relacionadas a várias propriedades da mesma curva. Por exemplo, suponha que uma função com valor vetorial descreva o movimento de uma partícula no espaço. Gostaríamos de determinar até onde a partícula viajou em um determinado intervalo de tempo, o que pode ser descrito pelo comprimento do arco do caminho que ela segue.
- 13.4: Movimento no espaço
- Agora vimos como descrever curvas no plano e no espaço e como determinar suas propriedades, como comprimento e curvatura do arco. Tudo isso leva ao objetivo principal deste capítulo, que é a descrição do movimento ao longo de curvas planas e curvas espaciais. Agora temos todas as ferramentas de que precisamos; nesta seção, reunimos essas ideias e veremos como usá-las.