13.4E: Exercícios para a Seção 13.4

1) Dado\(\vecs r(t)=(3t^2−2)\,\hat{\mathbf{i}}+(2t−\sin t)\,\hat{\mathbf{j}}\),

a. determine a velocidade de uma partícula se movendo ao longo dessa curva.

b. encontre a aceleração de uma partícula se movendo ao longo dessa curva.

Responda

a.\(\vecs v(t)=6t\,\hat{\mathbf{i}}+(2−\cos t)\,\hat{\mathbf{i}}\)
b.\(\vecs a(t)=6\,\hat{\mathbf{i}}+\sin t\,\hat{\mathbf{i}}\)

Nas questões 2 a 5, dada a função de posição, determine a velocidade, aceleração e velocidade em termos do parâmetro\(t\).

2)\(\vecs r(t)=e^{−t}\,\hat{\mathbf{i}}+t^2\,\hat{\mathbf{j}}+\tan t\,\hat{\mathbf{k}}\)

3)\(\vecs r(t)=⟨3\cos t,\,3\sin t,\,t^2⟩\)

Responda

\(\vecs v(t)=-3\sin t\,\hat{\mathbf{i}}+3\cos t\,\hat{\mathbf{j}}+2t\,\hat{\mathbf{k}}\)
\(\vecs a(t)=-3\cos t\,\hat{\mathbf{i}}-3\sin t\,\hat{\mathbf{j}}+2\,\hat{\mathbf{k}}\)
\(\text{Speed}(t) = \|\vecs v(t)\| = \sqrt{9 + 4t^2}\)

4)\(\vecs r(t)=t^5\,\hat{\mathbf{i}}+(3t^2+2t- 5)\,\hat{\mathbf{j}}+(3t-1)\,\hat{\mathbf{k}}\)

5)\(\vecs r(t)=2\cos t\,\hat{\mathbf{j}}+3\sin t\,\hat{\mathbf{k}}\). O gráfico é mostrado aqui:

Responda

\(\vecs v(t)=-2\sin t\,\hat{\mathbf{j}}+3\cos t\,\hat{\mathbf{k}}\)
\(\vecs a(t)=-2\cos t\,\hat{\mathbf{j}}-3\sin t\,\hat{\mathbf{k}}\)
\(\text{Speed}(t) = \|\vecs v(t)\| = \sqrt{4\sin^2 t+9\cos^2 t}=\sqrt{4+5\cos^2 t}\)

Nas questões 6 a 8, determine a velocidade, aceleração e velocidade de uma partícula com a função de posição dada.

6)\(\vecs r(t)=⟨t^2−1,t⟩\)

7)\(\vecs r(t)=⟨e^t,e^{−t}⟩\)

Responda

\(\vecs v(t)=⟨e^t,−e^{−t}⟩\),
\(\vecs a(t)=⟨e^t, e^{−t}⟩,\)
\( \|\vecs v(t)\| = \sqrt{e^{2t}+e^{−2t}}\)

8)\(\vecs r(t)=⟨\sin t,t,\cos t⟩\). O gráfico é mostrado aqui:

9) A função de posição de um objeto é dada por\(\vecs r(t)=⟨t^2,5t,t^2−16t⟩\). A que horas a velocidade é mínima?

Responda

\(t = 4\)

10) Deixe\(\vecs r(t)=r\cosh(ωt)\,\hat{\mathbf{i}}+r\sinh(ωt)\,\hat{\mathbf{j}}\). Encontre os vetores de velocidade e aceleração e mostre que a aceleração é proporcional\(\vecs r(t)\) a.

11) Considere o movimento de um ponto na circunferência de um círculo rolante. Conforme o círculo rola, ele gera o ciclóide\(\vecs r(t)=(ωt−\sin(ωt))\,\hat{\mathbf{i}}+(1−\cos(ωt))\,\hat{\mathbf{j}}\), onde\(\omega\) está a velocidade angular do círculo e\(b\) é o raio do círculo:

Encontre as equações para a velocidade, aceleração e velocidade da partícula a qualquer momento.

Responda

\(\vecs v(t)=(ω−ω\cos(ωt))\,\hat{\mathbf{i}}+(ω\sin(ωt))\,\hat{\mathbf{j}}\)
\(\vecs a(t)=(ω^2\sin(ωt))\,\hat{\mathbf{i}}+(ω^2\cos(ωt))\,\hat{\mathbf{j}}\)
\ (\ begin {align*}\ text {velocidade} (t) &=\ sqrt {(ω −ω\ cos (ω t)) ^2 + (ω\ sin (ω (ω)) ^2}\\
&=\ sqrt {ω ^2 - 2ω ^2\ cos (ω t) + ω ^2\ cos^2 (ω t) + ω ^2\ sin^2 (ω t)\\
&=\ sqrt {2ω ^2 (1 -\ cos (ω t))}\ end {align*}\)

12) Uma pessoa em uma asa delta está espiralando para cima como resultado do rápido aumento do ar em um caminho com vetor de posição\(\vecs r(t)=(3\cos t)\,\hat{\mathbf{i}}+(3\sin t)\,\hat{\mathbf{j}}+t^2\,\hat{\mathbf{k}}\). O caminho é semelhante ao de uma hélice, embora não seja uma hélice. O gráfico é mostrado aqui:

Encontre as seguintes quantidades:

a. Os vetores de velocidade e aceleração

b. A velocidade do planador a qualquer momento

Responda

\(\|\vecs v(t)\|=\sqrt{9+4t^2}\)

c. Os momentos, se houver, em que a aceleração do planador é ortogonal à sua velocidade

13) Dado que esse\(\vecs r(t)=⟨e^{−5t}\sin t,\, e^{−5t}\cos t,\, 4e^{−5t}⟩\) é o vetor de posição de uma partícula em movimento, encontre as seguintes quantidades:

a. A velocidade da partícula

Responda

\(\vecs v(t)=⟨e^{−5t}(\cos t−5\sin t),\, −e^{−5t}(\sin t+5\cos t),\, −20e^{−5t}⟩\)

b. A velocidade da partícula

c. A aceleração da partícula

Responda

\(\vecs a(t)=⟨e^{−5t}(−\sin t−5\cos t)−5e^{−5t}(\cos t−5\sin t), \; −e^{−5t}(\cos t−5\sin t)+5e^{−5t}(\sin t+5\cos t),\; 100e^{−5t}⟩\)

14) Encontre a velocidade máxima de um ponto na circunferência de um pneu de automóvel de raio em\(1\) pés quando o automóvel estiver viajando a\(55\) mph.

15) Encontre a função com valor vetorial de posição\(\vecs r(t)\), dado que\(\vecs a(t)=\hat{\mathbf{i}}+e^t \,\hat{\mathbf{j}}, \quad \vecs v(0)=2\,\hat{\mathbf{j}}\),\(\vecs r(0)=2\,\hat{\mathbf{i}}\) e.

16) Descubra,\(\vecs r(t)\) dado que\(\vecs a(t)=−32\,\hat{\mathbf{j}}, \vecs v(0)=600\sqrt{3} \,\hat{\mathbf{i}}+600\,\hat{\mathbf{j}}\),\(\vecs r(0)=\vecs 0\) e.

17) A aceleração de um objeto é dada por\(\vecs a(t)=t\,\hat{\mathbf{j}}+t\,\hat{\mathbf{k}}\). A velocidade em\(t=1\) segundos é\(\vecs v(1)=5\,\hat{\mathbf{j}}\) e a posição do objeto em\(t=1\) segundos é\(\vecs r(1)=0\,\hat{\mathbf{i}}+0\,\hat{\mathbf{j}}+0\,\hat{\mathbf{k}}\). Encontre a posição do objeto a qualquer momento.

Responda

\(\vecs r(t)=0\,\hat{\mathbf{i}}+\left(\frac{1}{6}t^3+4.5t−\frac{14}{3}\right)\,\hat{\mathbf{j}}+\left(\frac{1}{6}t^3−\frac{1}{2}t+\frac{1}{3}\right)\,\hat{\mathbf{k}}\)

Movimento de projé

18) Um projétil é disparado no ar a partir do nível do solo com uma velocidade inicial de\(500\) m/seg em um ângulo de 60° com a horizontal.

a. Em que momento o projétil atinge a altura máxima?

Responda

\(44.185\)seg

b. Qual é a altura máxima aproximada do projétil?

c. Em que momento o alcance máximo do projétil é atingido?

Responda

\(t=88.37\)seg

d. Qual é o alcance máximo?

e. Qual é o tempo total de voo do projétil?

Responda

\(t=88.37\)seg

19) Um projétil é disparado a uma altura de\(1.5\) m acima do solo com uma velocidade inicial de\(100\) m/seg e em um ângulo de 30° acima da horizontal. Use essas informações para responder às seguintes perguntas:

a. Determine a altura máxima do projétil.

b. Determine o alcance do projétil.

Responda

O alcance é de aproximadamente\(886.29\) m.

20) Uma bola de golfe é atingida na direção horizontal na borda superior de um prédio com 100 pés de altura. Com que rapidez a bola deve ser lançada para pousar a\(450\) pés de distância?

21) Um projétil é disparado do nível do solo em um ângulo de 8° com a horizontal. O projétil deve ter um alcance de\(50\) m. Encontre a velocidade mínima (velocidade) necessária para atingir esse alcance.

Responda

\(v=42.16\)m/seg

22) Prove que um objeto se movendo em linha reta a uma velocidade constante tem uma aceleração de zero.

Encontrando componentes da aceleração e das leis de Kepler

23) Encontre os componentes tangenciais e normais da aceleração para\(\vecs r(t)=t^2\,\hat{\mathbf{i}}+2t \,\hat{\mathbf{j}}\) quando\(t=1\).

Responda

\(a_\vecs{T}=\sqrt{2}, \quad a_\vecs{N}=\sqrt{2}\)

Nas questões 24 a 30, encontre os componentes tangenciais e normais da aceleração.

24)\(\vecs r(t)=⟨\cos(2t),\,\sin(2t),1⟩\)

25)\(\vecs r(t)=⟨e^t \cos t,\,e^t\sin t,\,e^t⟩\). O gráfico é mostrado aqui:

Responda

\(a_\vecs{T}=\sqrt{3}e^t, \quad a_\vecs{N}=\sqrt{2}e^t\)

26)\(\vecs r(t)=⟨\frac{2}{3}(1+t)^{3/2}, \,\frac{2}{3}(1-t)^{3/2},\,\sqrt{2}t⟩\)

27)\(\vecs r(t)=\left\langle 2t,\,t^2,\,\dfrac{t^3}{3}\right\rangle\)

Responda

\(a_\vecs{T}=2t, \quad a_\vecs{N}=2\)

28)\(\vecs r(t)=t^2\,\hat{\mathbf{i}}+t^2\,\hat{\mathbf{j}}+t^3\,\hat{\mathbf{k}}\)

29)\(\vecs r(t)=⟨6t,\,3t^2,\,2t^3⟩\)

Responda

\(a_\vecs{T}=\dfrac{6t +12t^3}{\sqrt{1+t^2+t^4}}, \quad a_\vecs{N}=6\sqrt{\dfrac{1+4t^2+t^4}{1+t^2+t^4}}\)

30)\(\vecs r(t)=3\cos(2πt)\,\hat{\mathbf{i}}+3\sin(2πt)\,\hat{\mathbf{j}}\)

Responda

\(a_\vecs{T}=0, \quad a_\vecs{N}=12\pi^2\)

31) Encontre os componentes tangenciais e normais da aceleração para\(\vecs r(t)=a\cos(ωt)\,\hat{\mathbf{i}}+b\sin(ωt)\,\hat{\mathbf{j}}\) at\(t=0\).

Responda

\(a_\vecs{T}=0, \quad a_\vecs{N}=aω^2\)

32) Suponha que a função de posição de um objeto em três dimensões seja dada pela equação\(\vecs r(t)=t\cos(t)\,\hat{\mathbf{i}}+t\sin(t)\,\hat{\mathbf{j}}+3t\,\hat{\mathbf{k}}\).

a. Mostre que a partícula se move em um cone circular.

b. Encontre o ângulo entre os vetores de velocidade e aceleração quando\(t=1.5\).

c. Encontre os componentes tangenciais e normais da aceleração quando\(t=1.5\).

Resposta

c.\(a_\vecs{T}=0.43\,\text{m/sec}^2, \quad a_\vecs{N}=2.46\,\text{m/sec}^2\)

33) A força sobre uma partícula é dada por\(\vecs f(t)=(\cos t)\,\hat{\mathbf{i}}+(\sin t)\,\hat{\mathbf{j}}\). A partícula está localizada no ponto\((c,0)\) em\(t=0\). A velocidade inicial da partícula é dada por\(\vecs v(0)=v_0\,\hat{\mathbf{j}}\). Encontre o caminho da partícula de massa\(m\). (Lembre-se,\(\vecs F=m\vecs a\).)

Resposta

\(\vecs r(t)=\left(\dfrac{-\cos t}{m}+c+\frac{1}{m}\right)\,\hat{\mathbf{i}}+\left(\dfrac{−\sin t}{m}+\left(v_0+\frac{1}{m}\right)t\right)\,\hat{\mathbf{j}}\)

34) Um automóvel que pesa\(2700\) libras faz uma curva em uma estrada plana enquanto viaja a\(56\) pés/seg. Se o raio da curva for em\(70\) pés, qual é a força de atrito necessária para evitar que o carro derrape?

35) Usando as leis de Kepler, pode-se mostrar que\(v_0=\sqrt{\dfrac{2GM}{r_0}}\) é a velocidade mínima necessária\(\theta=0\) para que um objeto escape da força central resultante da massa\(M\). Use esse resultado para encontrar a velocidade mínima quando\(\theta=0\) uma cápsula espacial escapar da atração gravitacional da Terra se a sonda estiver a uma altitude de\(300\) km acima da superfície da Terra.

Resposta

\(10.94\)km/seg

36) Descubra o tempo em anos que o planeta anão Plutão leva para fazer uma órbita em torno do Sol, dado que\(a=39.5\) A.U.

Colaboradores

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