8 : Introduction aux équations différentielles
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De nombreux phénomènes du monde réel peuvent être modélisés mathématiquement à l'aide d'équations différentielles. La croissance démographique, la désintégration radioactive, les modèles prédateurs-proies et les systèmes de masse printanière sont quatre exemples de tels phénomènes. Dans ce chapitre, nous étudions certaines de ces applications. L'un des objectifs de ce chapitre est de développer des techniques de résolution pour différents types d'équations différentielles. À mesure que les équations se compliquent, les techniques de résolution se compliquent également, et en fait, un cours complet pourrait être consacré à l'étude de ces équations. Dans ce chapitre, nous étudions plusieurs types d'équations différentielles et leurs méthodes de résolution correspondantes.
- 8.0 : Prélude aux équations différentielles
- L'un des objectifs de ce chapitre est de développer des techniques de résolution pour différents types d'équations différentielles. Au fur et à mesure que les équations se compliquent, les techniques de résolution se compliquent également, et en fait, un cours complet pourrait être consacré à l'étude de ces équations. Dans ce chapitre, nous étudions plusieurs types d'équations différentielles et leurs méthodes de résolution correspondantes.
- 8.1 : Principes de base des équations différentielles
- Le calcul est la mathématique du changement, et les taux de variation sont exprimés par des dérivées. Ainsi, l'une des manières les plus courantes d'utiliser le calcul consiste à établir une équation contenant une fonction inconnue y=f (x) et sa dérivée, connue sous le nom d'équation différentielle. La résolution de telles équations fournit souvent des informations sur la façon dont les quantités changent et permet fréquemment de comprendre comment et pourquoi les changements se produisent.
- 8.2 : Champs de direction et méthodes numériques
- Dans certains cas, il est possible de prédire les propriétés d'une solution à une équation différentielle sans connaître la solution réelle. Nous étudierons également des méthodes numériques pour résoudre des équations différentielles, qui peuvent être programmées à l'aide de différents langages informatiques ou même à l'aide d'un tableur.
- 8.3 : Équations séparables
- Nous examinons maintenant une technique de solution permettant de trouver des solutions exactes à une classe d'équations différentielles appelées équations différentielles séparables. Ces équations sont communes à une grande variété de disciplines, notamment la physique, la chimie et l'ingénierie. Nous illustrons quelques applications à la fin de la section.
- 8.4 : L'équation logistique
- Des équations différentielles peuvent être utilisées pour représenter la taille d'une population telle qu'elle varie dans le temps. Nous l'avons vu dans un chapitre précédent de la section sur la croissance et la décroissance exponentielles, qui est le modèle le plus simple. Un modèle plus réaliste inclut d'autres facteurs qui influent sur la croissance de la population. Dans cette section, nous étudions l'équation différentielle logistique et voyons comment elle s'applique à l'étude de la dynamique des populations dans le contexte de la biologie.
- 8.5 : Équations linéaires du premier ordre
- Toute équation différentielle linéaire du premier ordre peut être écrite sous la forme y′+p (x) y=q (x). Nous pouvons utiliser une stratégie de résolution de problèmes en cinq étapes pour résoudre une équation différentielle linéaire de premier ordre qui peut inclure ou non une valeur initiale. Les applications des équations différentielles linéaires du premier ordre incluent la détermination du mouvement d'un objet ascendant ou descendant avec une résistance à l'air et la recherche du courant dans un circuit électrique.
Vignette : Un modèle de croissance exponentielle de la population.