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8.1E : Exercices pour la section 8.1

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    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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    Dans les exercices 1 à 7, déterminez l'ordre de chaque équation différentielle.

    1)\(y′+y=3y^2\)

    Réponse
    1ère commande

    2)\((y′)^2=y′+2y\)

    3)\(y'''+y''y′=3x^2\)

    Réponse
    3e ordre

    4)\(y′=y''+3t^2\)

    5)\(\dfrac{dy}{dt}=t\)

    Réponse
    1ère commande

    6)\(\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{d^2y}{dx^2}=3x^4\)

    7)\(\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2+8\dfrac{dy}{dt}+3y=4t\)

    Réponse
    1ère commande

    Dans les exercices 8 à 17, vérifiez que la fonction donnée est une solution à l'équation différentielle donnée.

    8)\(y=\dfrac{x^3}{3}\quad\) résout\(\quad y′=x^2\)

    9)\(y=2e^{−x}+x−1\quad\) résout\(\quad y′=x−y\)

    10)\(y=e^{3x}−\dfrac{e^x}{2}\quad\) résout\(\quad y′=3y+e^x\)

    11)\(y=\dfrac{1}{1−x}\quad\) résout\(\quad y′=y^2\)

    12)\(y=\dfrac{e^{x^2}}{2}\quad\) résout\(\quad y′=xy\)

    13)\(y=4+\ln x\quad\) résout\(\quad xy′=1\)

    14)\(y=3−x+x\ln x\quad\) résout\(\quad y′=\ln x\)

    15)\(y=2e^x−x−1\quad\) résout\(\quad y′=y+x\)

    16)\(y=e^x+\dfrac{\sin x}{2}−\dfrac{\cos x}{2}\quad\) résout\(\quad y′=\cos x+y\)

    17)\(y=πe^{−\cos x}\quad\) résout\(\quad y′=y\sin x\)

    Dans les exercices 18 à 27, vérifiez la solution générale donnée et trouvez la solution particulière.

    18) Trouvez la solution particulière à l'équation différentielle\(y′=4x^2\) qui passe\((−3,−30)\), étant donné qu'il\(y=C+\dfrac{4x^3}{3}\) s'agit d'une solution générale.

    19) Trouvez la solution particulière à l'équation différentielle\(y′=3x^3\) qui passe\((1,4.75)\), étant donné qu'il\(y=C+\dfrac{3x^4}{4}\) s'agit d'une solution générale.

    Réponse
    \(y=4+\dfrac{3x^4}{4}\)

    20) Trouvez la solution particulière à l'équation différentielle\(y′=3x^2y\) qui passe\((0,12)\), étant donné qu'il\(y=Ce^{x^3}\) s'agit d'une solution générale.

    21) Trouvez la solution particulière à l'équation différentielle\(y′=2xy\) qui passe\(\left(0,\frac{1}{2}\right)\), étant donné qu'il\(y=Ce^{x^2}\) s'agit d'une solution générale.

    Réponse
    \(y=\frac{1}{2}e^{x^2}\)

    22) Trouvez la solution particulière à l'équation différentielle\(y′=\big(2xy\big)^2\) qui passe\(\left(1,−\frac{1}{2}\right)\), étant donné qu'il\(y=−\dfrac{3}{C+4x^3}\) s'agit d'une solution générale.

    23) Trouvez la solution particulière à l'équation différentielle\(y′x^2=y\) qui passe\(\left(1,\frac{2}{e}\right)\), étant donné qu'il\(y=Ce^{−1/x}\) s'agit d'une solution générale.

    Réponse
    \(y=2e^{−1/x}\)

    24) Trouvez la solution particulière à l'équation différentielle\(8\dfrac{dx}{dt}=−2\cos(2t)−\cos(4t)\) qui passe\((π,π)\), étant donné qu'il\(x=C−\frac{1}{8}\sin(2t)−\frac{1}{32}\sin(4t)\) s'agit d'une solution générale.

    25) Trouvez la solution particulière à l'équation différentielle\(\dfrac{du}{dt}=\tan u\) qui passe\(\left(1,\frac{π}{2}\right)\), étant donné qu'il\(u=\sin^{−1}\big(e^{C+t}\big)\) s'agit d'une solution générale.

    Réponse
    \(u=\sin^{−1}\big(e^{−1+t}\big)\)

    26) Trouvez la solution particulière à l'équation différentielle\(\dfrac{dy}{dt}=e^{t+y}\) qui passe\((1,0)\), étant donné qu'il\(y=−\ln(C−e^t)\) s'agit d'une solution générale.

    27) Trouvez la solution particulière à l'équation différentielle\(y′(1−x^2)=1+y\) qui passe par\((0,−2),\)\(y=C\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{1−x}}−1\) une solution générale.

    Réponse
    \(y=−\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{1−x}}−1\)

    Dans les exercices 28 à 37, trouvez la solution générale à l'équation différentielle.

    (28)\(y′=3x+e^x\)

    (29)\(y′=\ln x+\tan x\)

    Réponse
    \(y=C−x+x\ln x−\ln(\cos x)\)

    (30)\(y′=\sin x e^{\cos x}\)

    31)\(y′=4^x\)

    Réponse
    \(y=C+\dfrac{4^x}{\ln 4}\)

    32)\(y′=\sin^{−1}(2x)\)

    33)\(y′=2t\sqrt{t^2+16}\)

    Réponse
    \(y=\frac{2}{3}\sqrt{t^2+16}\big(t^2+16\big)+C\)

    34)\(x′=\coth t+\ln t+3t^2\)

    35)\(x′=t\sqrt{4+t}\)

    Réponse
    \(x=\frac{2}{15}\sqrt{4+t}\big(3t^2+4t−32\big)+C\)

    36)\(y′=y\)

    (37)\(y′=\dfrac{y}{x}\)

    Réponse
    \(y=Cx\)

    Dans les exercices 38 à 42, résolvez les problèmes de valeur initiale en partant de\(y(t=0)=1\) et\(y(t=0)=−1.\) dessinez les deux solutions sur le même graphique.

    38)\(\dfrac{dy}{dt}=2t\)

    39)\(\dfrac{dy}{dt}=−t\)

    Réponse
    \(y=1−\dfrac{t^2}{2},\)et\(y=−\dfrac{t^2}{2}−1\)

    40)\(\dfrac{dy}{dt}=2y\)

    41)\(\dfrac{dy}{dt}=−y\)

    Réponse
    \(y=e^{−t}\)et\(y=−e^{−t}\)

    (42)\(\dfrac{dy}{dt}=2\)

    Dans les exercices 43 à 47, résolvez les problèmes de valeur initiale en commençant par\(y_0=10\). À quelle heure\(y\) augmente-t-il\(100\) ou diminue-t-il\(1\) ?

    43)\(\dfrac{dy}{dt}=4t\)

    Réponse
    \(y=2(t^2+5),\)Quand\(t=3\sqrt{5},\)\(y\) passera à\(100\).

    44)\(\dfrac{dy}{dt}=4y\)

    45)\(\dfrac{dy}{dt}=−2y\)

    Réponse
    \(y=10e^{−2t},\)Quand\(t=−\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1}{10}\right),\)\(y\) diminuera à\(1\).

    46)\(\dfrac{dy}{dt}=e^{4t}\)

    47)\(\dfrac{dy}{dt}=e^{−4t}\)

    Réponse
    \(y=\frac{1}{4}(41−e^{−4t}),\)Aucune de ces conditions ne se produira jamais.

    Rappelons qu'une famille de solutions comprend des solutions à une équation différentielle qui diffèrent par une constante. Pour les exercices 48 à 52, utilisez votre calculatrice pour représenter graphiquement une famille de solutions à l'équation différentielle donnée. Utilisez les conditions initiales de\(y(t=0)=−10\) à l'\(y(t=0)=10\)augmentation de\(2\). Y a-t-il un point critique où le comportement de la solution commence à changer ?

    48) [T]\(y′=y(x)\)

    49) [T]\(xy′=y\)

    Réponse
    La solution passe d'une augmentation à une valeur décroissante à\(y(0)=0\).

    50) [T]\(y′=t^3\)

    51) [T]\(y′=x+y\) (Indice :\(y=Ce^x−x−1\) est la solution générale)

    Réponse
    La solution passe d'une augmentation à une valeur décroissante à\(y(0)=0\).

    52) [T]\(y′=x\ln x+\sin x\)

    53) Trouvez la solution générale pour décrire la vitesse d'une boule de masse\(1\) lb projetée vers le haut à une vitesse de\(a\) pieds par seconde.

    Réponse
    \(v(t)=−32t+a\)

    54) Dans le problème précédent, si la vitesse initiale de la balle projetée en l'air est de\(a=25\) ft/s, écrivez la solution particulière à la vitesse de la balle. Résolvez pour trouver l'heure à laquelle la balle touche le sol.

    55) Vous lancez deux objets de masses différentes\(m_1\) et\(m_2\) vers le haut dans les airs avec la même vitesse initiale de\(a\) pieds/s. Quelle est la différence de vitesse après\(1\) seconde ?

    Réponse
    \(0\)pieds/s

    56) [T] Vous lancez une boule d'un\(1\) kilogramme vers le haut avec une vitesse de\(a=25\) m/s sur Mars, où la force de gravité est de\(g=−3.711\) m/s 2. Utilisez votre calculatrice pour estimer combien de temps la balle reste dans les airs sur Mars.

    57) [T] Pour le problème précédent, utilisez votre calculatrice pour obtenir une estimation de la hauteur de la balle sur Mars.

    Réponse
    \(4.86\)mètres

    58) [T] Une voiture sur l'autoroute accélère en fonction de l'\(a=15\cos(πt),\)endroit\(t\) mesuré en heures. Configurez et résolvez l'équation différentielle pour déterminer la vitesse de la voiture si elle a une vitesse initiale de\(51\) mi/h. Après\(40\) quelques minutes de conduite, quelle est la vitesse du conducteur ?

    59) [T] Pour la voiture dans le problème précédent, trouvez l'expression de la distance que la voiture a parcourue dans le temps\(t\), en supposant une distance initiale de\(0\). Combien de temps faut-il à la voiture pour parcourir des\(100\) kilomètres ? Arrondissez votre réponse aux heures et aux minutes.

    Réponse
    \(x=50t−\frac{15}{π^2}\cos(πt)+\frac{3}{π^2},2\)heures et\(1\) minutes

    60) [T] Pour le problème précédent, trouvez la distance totale parcourue au cours de la première heure.

    61)\(y=Be^{3t}\) Remplacez par\(y′−y=8e^{3t}\) pour trouver une solution particulière.

    Réponse
    \(y=4e^{3t}\)

    62)\(y=a\cos(2t)+b\sin(2t)\) Remplacez par\(y′+y=4\sin(2t)\) pour trouver une solution particulière.

    63)\(y=a+bt+ct^2\) Remplacez par\(y′+y=1+t^2\) pour trouver une solution particulière.

    Réponse
    \(y=1−2t+t^2\)

    64)\(y=ae^t\cos t+be^t\sin t\) Remplacez par\(y′=2e^t\cos t\) pour trouver une solution particulière.

    65) Résolvez\(y′=e^{kt}\) avec la condition initiale\(y(0)=0\) et résolvez\(y′=1\) avec la même condition initiale. À l'\(k\)approche\(0\), que remarquez-vous ?

    Réponse
    \(y=\frac{1}{k}(e^{kt}−1)\)et\(y=t\)