8.5E : Exercices pour la section 8.5
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Dans les exercices 1 à 5, indiquez si chacune des équations différentielles suivantes est linéaire ? Expliquez votre raisonnement.
1)\(\dfrac{dy}{dx}=x^2y+\sin x\)
2)\(\dfrac{dy}{dt}=ty\)
- Réponse
- \(Yes\)
3)\(\dfrac{dy}{dt}+y^2=x\)
4)\(y'=x^3+e^x\)
- Réponse
- \(Yes\)
5)\(y'=y+e^y\)
Dans les exercices 6 à 10, écrivez les équations différentielles du premier ordre suivantes sous forme standard.
6)\(y'=x^3y+\sin x\)
- Réponse
- \(y'−x^3y=\sin x\)
7)\(y'+3y−\ln x=0\)
8)\(−xy'=(3x+2)y+xe^x\)
- Réponse
- \(y'+\frac{(3x+2)}{x}y=−e^x\)
9)\(\dfrac{dy}{dt}=4y+ty+\tan t\)
10)\(\dfrac{dy}{dt}=yx(x+1)\)
- Réponse
- \(\dfrac{dy}{dt}−yx(x+1)=0\)
Dans les exercices 11 à 15, énoncez les facteurs d'intégration pour chacune des équations différentielles suivantes.
11)\(y'=xy+3\)
(12)\(y'+e^xy=\sin x\)
- Réponse
- \(e^x\)
13)\(y'=x\ln(x)y+3x\)
(14)\(\dfrac{dy}{dx}=\tanh(x)y+1\)
- Réponse
- \(−\ln(\cosh x)\)
15)\(\dfrac{dy}{dt}+3ty=e^ty\)
Dans les exercices 16 à 25, résolvez chaque équation différentielle en utilisant des facteurs d'intégration.
16)\(y'=3y+2\)
- Réponse
- \(y=Ce^{3x}−\frac{2}{3}\)
17)\(y'=2y−x^2\)
18)\(xy'=3y−6x^2\)
- Réponse
- \(y=Cx^3+6x^2\)
19)\((x+2)y'=3x+y\)
(20)\(y'=3x+xy\)
- Réponse
- \(y=Ce^{x^2/2}−3\)
(21)\(xy'=x+y\)
(22)\(\sin(x)y'=y+2x\)
- Réponse
- \(y=C\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)−2x+4\tan\left(\dfrac{x}{2})\ln\left(\sin(\dfrac{x}{2}\right)\right)\)
23)\(y'=y+e^x\)
(24)\(xy'=3y+x^2\)
- Réponse
- \(y=Cx^3−x^2\)
25)\(y'+\ln x=\dfrac{y}{x}\)
Dans les exercices 26 à 33, résolvez l'équation différentielle donnée. Utilisez votre calculatrice pour dessiner une famille de solutions. Certaines conditions initiales modifient-elles le comportement de la solution ?
26) [T]\((x+2)y'=2y−1\)
- Réponse
- \(y=C(x+2)^2+\frac{1}{2}\)
27) [T]\(y'=3e^{t/3}−2y\)
28) [T]\(xy'+\dfrac{y}{2}=\sin(3t)\)
- Réponse
- \(y=\dfrac{C}{\sqrt{x}}+2\sin(3t)\)
29) [T]\(xy'=2\dfrac{\cos x}{x}−3y\)
30) [T]\((x+1)y'=3y+x^2+2x+1\)
- Réponse
- \(y=C(x+1)^3−x^2−2x−1\)
31) [T]\(\sin(x)y'+\cos(x)y=2x\)
32) [T]\(\sqrt{x^2+1}y'=y+2\)
- Réponse
- \(y=Ce^{\sinh^{−1}x}−2\)
33) [T]\(x^3y'+2x^2y=x+1\)
Dans les exercices 34 à 43, résolvez chaque problème de valeur initiale en utilisant des facteurs d'intégration.
34)\(y'+y=x,\quad y(0)=3\)
- Réponse
- \(y=x+4e^x−1\)
35)\(y'=y+2x^2,\quad y(0)=0\)
36)\(xy'=y−3x^3,\quad y(1)=0\)
- Réponse
- \(y=−\dfrac{3x}{2}(x^2−1)\)
(37)\(x^2y'=xy−\ln x,\quad y(1)=1\)
38)\((1+x^2)y'=y−1,\quad y(0)=0\)
- Réponse
- \(y=1−e^{\tan^{−1}x}\)
39)\(xy'=y+2x\ln x,\quad y(1)=5\)
40)\((2+x)y'=y+2+x,\quad y(0)=0\)
- Réponse
- \(y=(x+2)\ln\left(\dfrac{x+2}{2}\right)\)
41)\(y'=xy+2xe^x,\quad y(0)=2\)
(42)\(\sqrt{x}y'=y+2x,\quad y(0)=1\)
- Réponse
- \(y=2e^{2\sqrt{x}}−2x−2\sqrt{x}−1\)
43)\(y'=2y+xe^x,\quad y(0)=−1\)
44) Un objet de masse qui tombe\(m\) peut atteindre sa vitesse terminale lorsque la force de traînée est proportionnelle à sa vitesse, avec une constante de proportionnalité\(k.\) Définissez l'équation différentielle et résolvez pour la vitesse donnée une vitesse initiale de\(0.\)
- Réponse
- \(v(t) = \dfrac{gm}{k}\left( 1 - e^{-kt/m} \right)\)
45) En utilisant l'expression du problème précédent, quelle est la vitesse terminale ? (Conseil : examinez le comportement limite ; la vitesse approche-t-elle une valeur ?)
46) [T] À l'aide de votre équation de vitesse terminale, déterminez la distance parcourue. Combien de temps faut-il pour faire une chute de\(5000\) mètres si la masse est en\(100\) kilogrammes, si l'accélération due à la gravité est de\(9.8\) m/s 2 et si la constante de proportionnalité l'est\(4\) ?
- Réponse
- \(40.451\)secondes
47) Une façon plus précise de décrire la vitesse terminale est que la force de traînée est proportionnelle au carré de la vitesse, avec une constante de proportionnalité\(k\). Définissez l'équation différentielle et résolvez la vitesse.
48) En utilisant l'expression du problème précédent, quelle est la vitesse terminale ? (Conseil : examinez le comportement limite : la vitesse approche-t-elle une valeur ?)
- Réponse
- \(\sqrt{\dfrac{gm}{k}}\)
49) [T] À l'aide de votre équation de vitesse terminale, déterminez la distance parcourue. Combien de temps faut-il pour faire une chute de\(5000\) mètres si la masse est en\(100\) kilogrammes, si l'accélération due à la gravité est de\(9.8\) m/s 2 et si la constante de proportionnalité l'est\(4\) ? Cela prend-il plus ou moins de temps que votre estimation initiale ?
Dans les exercices 50 à 54, déterminez comment le paramètre\(a\) affecte la solution.
50) Résolvez l'équation générique\(y'=ax+y\). Comment le fait de varier\(a\) modifie-t-il le comportement ?
- Réponse
- \(y=Ce^x−a(x+1)\)
51) Résolvez l'équation générique\(y'=ax+y.\) Comment la variation\(a\) modifie-t-elle le comportement ?
52) Résolvez l'équation générique\(y'=ax+xy\). Comment le fait de varier\(a\) modifie-t-il le comportement ?
- Réponse
- \(y=Ce^{x^2/2}−a\)
53) Résolvez l'équation générique\(y'=x+axy.\) Comment la variation\(a\) modifie-t-elle le comportement ?
54) Résolvez\(y'−y=e^{kt}\) avec la condition initiale\(y(0)=0\). À l'\(k\)approche\(1\), qu'advient-il de votre formule ?
- Réponse
- \(y=\dfrac{e^{kt}−e^t}{k−1}\)