2 : Vecteurs

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Les vecteurs font partie de la physique au même titre que les phrases font partie de la littérature. En physique d'introduction, les vecteurs sont des quantités euclidiennes qui ont des représentations géométriques sous forme de flèches dans une dimension (dans une ligne), en deux dimensions (dans un plan) ou en trois dimensions (dans l'espace). Ils peuvent être ajoutés, soustraits ou multipliés. Dans ce chapitre, nous explorons les éléments de l'algèbre vectorielle pour des applications en mécanique, en électricité et en magnétisme. Les opérations vectorielles ont également de nombreuses généralisations dans d'autres branches de la physique.

2.1 : Prélude aux vecteurs
Les vecteurs sont essentiels à la physique et à l'ingénierie. De nombreuses grandeurs physiques fondamentales sont des vecteurs, notamment le déplacement, la vitesse, la force et les champs vectoriels électriques et magnétiques. Les produits scalaires des vecteurs définissent d'autres grandeurs physiques scalaires fondamentales, telles que l'énergie. Les produits vectoriels des vecteurs définissent encore d'autres grandeurs physiques vectorielles fondamentales, telles que le couple et le moment cinétique.
2.2 : Scalaires et vecteurs (1ère partie)
Les vecteurs sont représentés de manière géométrique par des flèches, dont l'extrémité est marquée par une pointe de flèche. La longueur du vecteur est sa magnitude, qui est un scalaire positif. Sur un plan, la direction d'un vecteur est donnée par l'angle que le vecteur fait avec une direction de référence, souvent un angle avec l'horizontale. Lorsqu'un vecteur est multiplié par un scalaire, le résultat est un autre vecteur d'une longueur différente de celle du vecteur d'origine.
2.3 : Scalaires et vecteurs (partie 2)
Deux vecteurs ou plus peuvent être ajoutés pour former un autre vecteur. La somme des vecteurs est appelée vecteur résultant. Des vecteurs peuvent être ajoutés à d'autres vecteurs ou des scalaires à d'autres scalaires, mais les scalaires ne peuvent pas être ajoutés à des vecteurs et vice versa. L'addition de vecteurs est commutative et associative. Pour construire un vecteur résultant, la règle du parallélogramme est utile pour deux vecteurs tandis que la méthode de la queue à tête est utile pour plus de deux vecteurs.
2.4 : Systèmes de coordonnées et composants d'un vecteur (Partie 1)
La composante vectorielle est le produit du vecteur unitaire d'un axe avec sa composante scalaire le long de cet axe. Un vecteur est la résultante de ses composantes vectorielles. La composante scalaire x d'un vecteur peut être exprimée comme le produit de sa magnitude par le cosinus de son angle de direction, et la composante y scalaire peut être exprimée comme le produit de sa magnitude par le sinus de son angle de direction.
2.5 : Systèmes de coordonnées et composants d'un vecteur (Partie 2)
Dans un plan, il existe deux systèmes de coordonnées équivalents. Le système de coordonnées cartésien est défini par les vecteurs unitaires i^ et j^ le long de l'axe des abscisses et de l'axe des ordonnées, respectivement. Le système de coordonnées polaires est défini par le vecteur unitaire radial r^, qui donne la direction depuis l'origine, et un vecteur unitaire t^, qui est perpendiculaire (orthogonal) à la direction radiale.
2.6 : Algèbre des vecteurs
Les méthodes analytiques d'algèbre vectorielle sont des outils mathématiques importants de la physique car elles sont couramment utilisées en mécanique, en électricité et en magnétisme. Ces méthodes nous permettent de trouver exactement les résultats de l'addition de vecteurs, contrairement aux méthodes graphiques, qui sont approximatives et nécessitent de tracer les vecteurs individuels.
2.7 : Exemples d'algèbre de vecteurs
2.8 : Produits des vecteurs (1ère partie)
Un type de multiplication vectorielle est le produit scalaire, également connu sous le nom de produit scalaire, qui donne un nombre (scalaire). Le produit scalaire possède la propriété distributive et la propriété commutative, et est obtenu en multipliant les magnitudes des deux vecteurs par le cosinus de l'angle qui les sépare. Ce type de multiplication vectorielle est utilisé pour trouver des angles entre des vecteurs et pour définir des quantités physiques scalaires dérivées telles que le travail ou l'énergie.
2.9 : Produits des vecteurs (partie 2)
Un autre type de multiplication vectorielle est le produit vectoriel, également connu sous le nom de produit croisé, qui donne un vecteur perpendiculaire aux deux facteurs. Le produit vectoriel possède la propriété distributive et la propriété anticommutative, et est obtenu en multipliant les magnitudes des deux vecteurs par le sinus de l'angle qui les sépare. La direction du produit vectoriel peut être déterminée par la règle du tire-bouchon à droite.
2.A : Vecteurs (réponses)
2.E : Vecteurs (exercices)
2.S : Vecteurs (résumé)

Miniature : Un panneau donne des informations sur les distances et les directions vers les villes ou vers d'autres lieux par rapport à l'emplacement du panneau. La distance est une quantité scalaire. Connaître la distance à elle seule ne suffit pas pour se rendre en ville ; il faut également connaître la direction à suivre depuis le panneau pour se rendre à la ville. La direction, associée à la distance, est une quantité vectorielle communément appelée vecteur de déplacement. Un panneau donne donc des informations sur les vecteurs de déplacement du panneau vers les villes. (crédit : modification de l'œuvre par « studio tdes » /Flickr).