2.6 : Algèbre des vecteurs
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- Appliquez des méthodes analytiques d'algèbre vectorielle pour trouver des vecteurs résultants et résoudre des équations vectorielles pour des vecteurs inconnus.
- Interprétez les situations physiques en termes d'expressions vectorielles.
Les vecteurs peuvent être additionnés et multipliés par des scalaires. L'addition de vecteurs est associative (Équation 2.2.8) et commutative (Équation 2.2.7), et la multiplication vectorielle par une somme de scalaires est distributive (Équation 2.2.9). De plus, la multiplication scalaire par une somme de vecteurs est distributive :
\[\alpha(\vec{A} + \vec{B}) = \alpha \vec{A} + \alpha{B} \ldotp \label{2.22}\]
Dans cette équation,\(\alpha\) est un nombre quelconque (un scalaire). Par exemple, un vecteur antiparallèle au vecteur\(\vec{A}\) = A x\(\hat{i}\) + A y\(\hat{j}\) + A z\(\hat{k}\) peut être exprimé simplement en multipliant\(\vec{A}\) par le scalaire\(\alpha\) = −1 :
\[- \vec{A} = A_{x} \hat{i} - A_{y} \hat{j} - A_{z} \hat{k} \ldotp \label{2.23}\]
Dans un système de coordonnées cartésien qui\(\hat{i}\) indique l'est géographique,\(\hat{j}\) le nord géographique et\(\hat{k}\) l'altitude au-dessus du niveau de la mer, un convoi militaire avance sa position à travers un territoire inconnu avec une vitesse\(\vec{v}\) = (4,0\(\hat{i}\) + 3,0\(\hat{j}\) + 0,1\(\hat{k}\)) km /h. Si le convoi devait battre en retraite, dans quelle direction géographique se déplacerait-il ?
Solution
Le vecteur de vitesse a la troisième composante\(\vec{v}_{z}\) = (+ 0,1 km/h)\(\hat{k}\), ce qui indique que le convoi grimpe à une vitesse de 100 m/h sur un terrain montagneux. Dans le même temps, sa vitesse est de 4,0 km/h vers l'est et de 3,0 km/h vers le nord, de sorte qu'il se déplace sur le sol dans la direction tan −1 (3 /4) ≈ 37° au nord de l'est. Si le convoi devait reculer, son nouveau vecteur de vitesse\(\vec{u}\) devrait être antiparallèle\(\vec{v}\) et avoir la forme\(\vec{u} = - \alpha \vec{v}\), où\(\alpha\) est un nombre positif. Ainsi, la vitesse du recul serait de\(\vec{u}\) =\(\alpha\) (−4,0\(\hat{i}\) − 3,0\(\hat{j}\) − 0,1\(\hat{k}\)) km/h. Le signe négatif de la troisième composante indique que le convoi serait en train de descendre. L'angle de direction de la vitesse de recul est tan −1 (−3\(\alpha\) − 4\(\alpha\)) ≈ 37° au sud de l'ouest. Le convoi se déplacerait donc au sol dans la direction 37° sud-ouest tout en redescendant sur le chemin du retour.
La généralisation du nombre zéro à l'algèbre vectorielle est appelée vecteur nul, désigné par\(\vec{0}\). Toutes les composantes du vecteur nul sont nulles,\(\vec{0}\) = 0\(\hat{i}\) + 0\(\hat{j}\) + 0\(\hat{k}\), de sorte que le vecteur nul n'a ni longueur ni direction.
Deux vecteurs\(\vec{A}\) et\(\vec{B}\) sont des vecteurs égaux si et seulement si leur différence est le vecteur nul :\(\vec{0}\) =\(\vec{A}\) −\(\vec{B}\) = (A x\(\hat{i}\) + A y\(\hat{j}\) + A z\(\hat{k}\)) − (B x\(\hat{i}\) + B y \(\hat{j}\)+ B z\(\hat{k}\)) = (A x − B x)\(\hat{i}\) + (A y − B y)\(\hat{j}\) + (A z − B z)\(\hat{k}\). Cette équation vectorielle signifie que nous devons avoir simultanément A x − B x = 0, A y − B y = 0 et A z − B z = 0. Ainsi, nous pouvons écrire\(\vec{A} = \vec{B}\) si et seulement si les composantes correspondantes des vecteurs\(\vec{A}\) et B\(\vec{B}\) sont égales :
\[ \vec{A} = \vec{B} \Leftrightarrow \begin{cases} A_{x} = B_{x} \\ A_{y} = B_{y} \\ A_{z} = B_{z} \end{cases} \ldotp \label{2.24}\]
Deux vecteurs sont égaux lorsque leurs composantes scalaires correspondantes sont égales. La résolution des vecteurs en leurs composantes scalaires (c'est-à-dire la recherche de leurs composantes scalaires) et leur expression analytique sous forme de composantes vectorielles (donnée par l'équation 2.5.4) nous permet d'utiliser l'algèbre vectorielle pour trouver les sommes ou les différences de nombreux vecteurs de manière analytique (c'est-à-dire sans utiliser méthodes graphiques). Par exemple, pour trouver la résultante de deux vecteurs\(\vec{A}\)\(\vec{B}\), nous les ajoutons simplement composant par composant, comme suit :
\[\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (A_{x}\; \hat{i} + A_{y}\; \hat{j} + A_{z}\; \hat{k}) + (B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k}) = (A_{x} + B_{x})\; \hat{i} + (A_{y} + B_{y})\; \hat{j} + (A_{z} + B_{z})\; \hat{k} \ldotp\]
Ainsi, en utilisant l'équation \ ref {2.24}, les composantes scalaires du vecteur résultant\(\vec{R}\) = R x\(\hat{i}\) + R y\(\hat{j}\) + R z\(\hat{k}\) sont les sommes des composantes scalaires correspondantes des vecteurs\(\vec{A}\) et\(\vec{B}\) :
\[ \begin{cases} R_{x} = A_{x} + B_{x}, \\ R_{y} = A_{y} + B_{y}, \\ R_{z} = A_{z} + B_{z} \end{cases} \ldotp\]
Des méthodes analytiques peuvent être utilisées pour trouver les composants d'une résultante de nombreux vecteurs. Par exemple, si nous devons additionner N vecteurs\(\vec{F}_{1}\),\(\vec{F}_{2}\),\(\vec{F}_{3}\),...\(\vec{F}_{N}\), où chaque vecteur est\(\vec{F}_{k}\) = F kx\(\hat{i}\) + F ky\(\hat{j}\) + F kz\(\hat{k}\), le vecteur résultant\(\vec{F}_{R}\) est
\[ \vec{F}_{R} = \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} + \vec{F}_{3} + \ldots + \vec{F}_{N} = \sum_{k = 1}^{N} \vec{F}_{k} = \sum_{k = 1}^{N} \big(F_{kx} \hat{i} + F_{ky} \hat{j} + F_{kz} \hat{k}\big) = \bigg(\sum_{k = 1}^{N} F_{kx}\bigg) \hat{i} + \bigg(\sum_{k = 1}^{N} F_{ky}\bigg) \hat{j} + \bigg(\sum_{k = 1}^{N} F_{kz}\bigg) \hat{k} \ldotp\]
Par conséquent, les composantes scalaires du vecteur résultant sont
\[ \begin{cases} F_{Rx} = \sum_{k = 1}^{N} F_{kx} = F_{1x} + F_{2x} + \ldots + F_{Nx} \\ F_{Ry} = \sum_{k = 1}^{N} F_{ky} = F_{1y} + F_{2y} + \ldots + F_{Ny} \\ F_{Rz} = \sum_{k = 1}^{N} F_{kz} = F_{1z} + F_{2z} + \ldots + F_{Nz} \ldotp \end{cases} \label{2.25}\]
Après avoir trouvé les composantes scalaires, nous pouvons écrire la résultante sous forme de composante vectorielle :
\[\vec{F}_{R} = F_{Rx}\; \hat{i} + F_{Ry}\; \hat{j} + F_{Rz}\; \hat{k} \ldotp\]
Les méthodes analytiques permettant de trouver la résultante et, en général, de résoudre des équations vectorielles sont très importantes en physique car de nombreuses grandeurs physiques sont des vecteurs. Par exemple, nous utilisons cette méthode en cinématique pour trouver les vecteurs de déplacement résultants et les vecteurs de vitesse résultants, en mécanique pour trouver les vecteurs de force résultants et les résultantes de nombreuses quantités de vecteurs dérivées, et en électricité et en magnétisme pour trouver les champs vectoriels électriques ou magnétiques résultants.
Dans de nombreuses situations physiques, nous avons souvent besoin de connaître la direction d'un vecteur. Par exemple, nous pouvons vouloir connaître la direction d'un vecteur de champ magnétique à un moment donné ou la direction du mouvement d'un objet. Nous avons déjà dit que la direction est donnée par un vecteur unitaire, qui est une entité sans dimension, c'est-à-dire qu'aucune unité physique ne lui est associée. Lorsque le vecteur en question se trouve le long de l'un des axes d'un système de coordonnées cartésien, la réponse est simple, car son vecteur de direction unitaire est alors soit parallèle soit antiparallèle à la direction du vecteur unitaire d'un axe. Par exemple, la direction du vecteur\(\vec{d}\) = −5 m\(\hat{i}\) est le vecteur unitaire\(\hat{d}\) = −\(\hat{i}\). La règle générale pour trouver le vecteur\(\hat{V}\) de direction unitaire d'un vecteur\(\vec{V}\) est de le diviser par sa magnitude V :
\[\hat{V} = \frac{\vec{V}}{V} \ldotp \label{2.26}\]
Cette expression montre que le vecteur unitaire de direction est effectivement sans dimension car le numérateur et le dénominateur de l'équation \ ref {2.26} ont la même unité physique. De cette façon, l'équation \ ref {2.26} nous permet d'exprimer le vecteur unitaire de direction en termes de vecteurs unitaires des axes. L'exemple 2.7.6 illustre ce principe.