2.8 : Produits des vecteurs (1ère partie)
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- Expliquez la différence entre le produit scalaire et le produit vectoriel de deux vecteurs.
- Déterminez le produit scalaire de deux vecteurs.
- Déterminez le produit vectoriel de deux vecteurs.
- Décrivez comment les produits des vecteurs sont utilisés en physique.
Un vecteur peut être multiplié par un autre vecteur mais ne peut pas être divisé par un autre vecteur. Il existe deux types de produits de vecteurs largement utilisés en physique et en génie. Un type de multiplication est une multiplication scalaire de deux vecteurs. Prendre un produit scalaire de deux vecteurs donne un nombre (un scalaire), comme son nom l'indique. Les produits scalaires sont utilisés pour définir les relations entre travail et énergie. Par exemple, le travail qu'une force (un vecteur) effectue sur un objet tout en provoquant son déplacement (un vecteur) est défini comme un produit scalaire du vecteur de force avec le vecteur de déplacement. Un type de multiplication tout à fait différent est la multiplication vectorielle de vecteurs. Le fait de prendre un produit vectoriel de deux vecteurs renvoie par conséquent un vecteur, comme son nom l'indique. Les produits vectoriels sont utilisés pour définir d'autres quantités vectorielles dérivées. Par exemple, pour décrire les rotations, une quantité vectorielle appelée couple est définie comme le produit vectoriel d'une force appliquée (un vecteur) et de son bras de levier (un vecteur). Il est important de faire la distinction entre ces deux types de multiplications vectorielles car le produit scalaire est une quantité scalaire et un produit vectoriel est une quantité vectorielle.
Le produit scalaire de deux vecteurs (le produit scalaire)
La multiplication scalaire de deux vecteurs donne un produit scalaire.
Le produit scalaire\(\vec{A}\; \cdotp \vec{B}\) de deux vecteurs\(\vec{A}\) et\(\vec{B}\) est un nombre défini par l'équation
\[ \vec{A}\; \cdotp \vec{B} = AB \cos \varphi, \label{2.27}\]
où\(\phi\) est l'angle entre les vecteurs (illustré sur la figure\(\PageIndex{1}\)). Le produit scalaire est également appelé produit scalaire en raison de la notation par points qui l'indique.
Dans la définition du produit scalaire, la direction de l'angle\(\varphi\) n'a pas d'importance et\(\varphi\) peut être mesurée de l'un ou l'autre des deux vecteurs à l'autre car\(\cos \varphi\) =\(\cos (−\varphi)\) =\(cos (2 \pi − \varphi)\). Le produit scalaire est un nombre négatif lorsque 90° <\(\varphi\) ≤ 180° et est un nombre positif lorsque 0° ≤\(\phi\) < 90°. De plus, le produit scalaire de deux vecteurs parallèles est\(\vec{A} \cdotp \vec{B}\) = AB cos 0° = AB, et le produit scalaire de deux vecteurs antiparallèles est\(\vec{A}\; \cdotp \vec{B}\) = AB cos 180° = −AB. Le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux disparaît :\(\vec{A}\; \cdotp \vec{B}\) = AB cos 90° = 0. Le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même est le carré de sa magnitude :
\[\vec{A}^{2} \equiv \vec{A}\; \cdotp \vec{A} = AA \cos 0^{o} = A^{2} \label{2.28}\]
Pour les vecteurs illustrés dans la Figure 2.3.6, trouvez le produit scalaire\(\vec{A}\; \cdotp \vec{F}\).
Stratégie
À partir de la Figure 2.3.6, les magnitudes des vecteurs A\(\vec{A}\) et\(\vec{B}\) sont A = 10,0 et F = 20,0. L'angle\(\theta\), entre eux, est la différence :\(\theta = \varphi - \alpha\) = 110° − 35° = 75°. La substitution de ces valeurs dans l'équation \ ref {2.27} donne le produit scalaire.
Solution
Un calcul simple nous donne
\[\vec{A}\; \cdotp \vec{F} = AF \cos \theta = (10.0)(20.0) \cos 75^{o} = 51.76 \ldotp\]
Pour les vecteurs présentés dans la Figure 2.3.6, trouvez les produits scalaires\(\vec{A}\; \cdotp \vec{B}\) et\(\vec{B}\; \cdotp \vec{C}\).
Dans le système de coordonnées cartésien, les produits scalaires du vecteur unitaire d'un axe avec d'autres vecteurs unitaires d'axes disparaissent toujours car ces vecteurs unitaires sont orthogonaux :
\[\hat{i}\; \cdotp\; \hat{j} = |\hat{i}||\hat{j}| \cos 90^{o} = (1)(1)(0) = 0, \label{2.29}\]
\[\hat{i}\; \cdotp\; \hat{k} = |\hat{i}||\hat{k}| \cos 90^{o} = (1)(1)(0) = 0,\]
\[\hat{k} \cdotp\; \hat{j} = |\hat{k}||\hat{j}| \cos 90^{o} = (1)(1)(0) = 0 \ldotp\]
Dans ces équations, nous utilisons le fait que les magnitudes de tous les vecteurs unitaires sont égales à une :\(|\hat{i}| = |\hat{j}| = |\hat{k}|\) = 1. Pour les vecteurs unitaires des axes, l'équation \ ref {2.28} donne les identités suivantes :
\[\hat{i}\; \cdotp\; \hat{i} = i^{2} = \hat{j}\; \cdotp\; \hat{j} = j^{2} = \hat{k}\; \cdotp\; \hat{k} = 1 \ldotp \label{2.30}\]
Le produit scalaire\(\vec{A}\; \cdotp \vec{B}\) peut également être interprété comme le produit de B avec la projection A\(_{\parallel}\) du vecteur\(\vec{A}\) sur la direction du vecteur\(\vec{B}\) (Figure\(\PageIndex{1}\) (b)) ou comme le produit de A avec la projection B\(_{\parallel}\) du vecteur\(\vec{B}\) sur la direction du vecteur \(\vec{A}\)(Figure\(\PageIndex{1}\) (c)) :
\[\begin{split} \vec{A}\; \cdotp \vec{B} & = AB \cos \varphi \\ & = B(A \cos \varphi) = BA_{\parallel} \\ & = A(B \cos \varphi) = AB_{\parallel} \ldotp \end{split}\]
Par exemple, dans le système de coordonnées rectangulaires d'un plan, la composante x scalaire d'un vecteur est son produit scalaire avec le vecteur unitaire\(\hat{i}\), et la composante y scalaire d'un vecteur est son produit scalaire avec le vecteur unitaire\(\hat{j}\) :
\[ \begin{cases} \vec{A}\; \cdotp\; \hat{i} = |\vec{A}||\hat{i}| \cos \theta_{A} = A \cos \theta_{A} = A \cos \theta_{A} = A_{x} \\ \vec{A}\; \cdotp\; \hat{j} = |\vec{A}||\hat{j}| \cos (90^{o} - \theta_{A}) = A \sin \theta_{A} = A_{y} \end{cases}\]
La multiplication scalaire des vecteurs est communautaire,
\[\vec{A}\; \cdotp \vec{B} = \vec{B}\; \cdotp \vec{A}, \label{2.31}\]
et obéit à la loi distributive :
\[\vec{A}\; \cdotp (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A}\; \cdotp \vec{B} + \vec{A}\; \cdotp \vec{C} \ldotp \label{2.32}\]
Nous pouvons utiliser les lois commutatives et distributives pour dériver diverses relations pour les vecteurs, par exemple pour exprimer le produit scalaire de deux vecteurs en termes de leurs composantes scalaires.
Pour un vecteur\(\vec{A} = A_{x}\; \hat{i} + A_{y}\; \hat{j} + A_{z}\; \hat{k}\) dans un système de coordonnées rectangulaires, utilisez l'équation \ ref {2.29} à l'équation \ ref {2.32} pour montrer que\(\vec{A}\; \cdotp \hat{i} = A_{x} \vec{A}\; \cdotp\; \hat{j} = A_{y}\) et\(\vec{A}\; \cdotp\; \hat{k} = A_{z}\).
Lorsque les vecteurs de l'équation \ ref {2.27} sont donnés sous la forme de leurs composants vectoriels,
\[\vec{A} = A_{x}\; \hat{i} + A_{y}\; \hat{j} + A_{z}\; \hat{k}\; and \vec{B} = B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k},\]
nous pouvons calculer leur produit scalaire comme suit :
\[\begin{split} \vec{A}\; \cdotp \vec{B} & = (A_{x}\; \hat{i} + A_{y}\; \hat{j} + A_{z}\; \hat{k})\; \cdotp (B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k}) \\ & = A_{x}B_{x}\; \hat{i}\; \cdotp\; \hat{i} + A_{x}B_{y}\; \hat{i}\; \cdotp\; \hat{j} + A_{x}B_{z}\; \hat{i}\; \cdotp\; \hat{k} \\ & + A_{y}B_{x}\; \hat{j} \cdotp\; \hat{i} + A_{y}B_{y}\; \hat{j}\; \cdotp\; \hat{j} + A_{y}B_{z}\; \hat{j} \cdotp\; \hat{k} \\ & + A_{z}B_{x}\; \hat{k}\; \cdotp\; \hat{i} + A_{z}B_{y}\; \hat{k}\; \cdotp\; \hat{j} + A_{z}B_{z}\; \hat{k}\; \cdotp\; \hat{k} \ldotp \end{split}\]
Puisque les produits scalaires de deux vecteurs unitaires d'axes différents donnent zéro, et que les produits scalaires des vecteurs unitaires eux-mêmes en donnent un (voir Équation \ ref {2.29} et Équation \ ref {2.30}), il n'y a que trois termes non nuls dans cette expression. Ainsi, le produit scalaire se simplifie en
\[\vec{A}\; \cdotp \vec{B} = A_{x}B_{x} + A_{y}B_{y} + A_{z}B_{z} \ldotp \label{2.33}\]
Nous pouvons utiliser l'équation \ ref {2.33} pour le produit scalaire en termes de composantes scalaires des vecteurs afin de trouver l'angle entre deux vecteurs. Lorsque nous divisons l'équation \ ref {2.27} par AB, nous obtenons l'équation de cos\(\varphi\), dans laquelle nous substituons l'équation \ ref {2.33} :
\[\cos \varphi = \frac{\vec{A}\; \cdotp \vec{B}}{AB} = \frac{A_{x}B_{x} + A_{y}B_{y} + A_{z}B_{z}}{AB} \ldotp \label{2.34}\]
L'angle\(\varphi\) entre les vecteurs\(\vec{A}\) et\(\vec{B}\) est obtenu en prenant le cosinus inverse de l'expression dans l'équation \ ref {2.34}.
Trois chiens tirent sur un bâton dans des directions différentes, comme le montre la figure\(\PageIndex{2}\). Le premier chien tire avec force\(\vec{F}_{1}\) = (10,0\(\hat{i}\) − 20,4\(\hat{j}\) + 2,0\(\hat{k}\)) N, le deuxième chien tire avec force\(\vec{F}_{2}\) = (−15,0\(\hat{i}\) − 6,2\(\hat{k}\)) N et le troisième chien tire avec force\(\vec{F}_{3}\) = (5,0\(\hat{i}\) + 12,5\(\hat{j}\)) N. Quel est l'angle entre les forces\(\vec{F}_{1}\) et\(\vec{F}_{2}\) ?
Stratégie
Les composantes du vecteur de force\(\vec{F}_{1}\) sont F 1x = 10,0 N, F 1y = −20,4 N et F 1z = 2,0 N, tandis que celles du vecteur de force\(\vec{F}_{2}\) sont F 2x = −15,0 N, F 2y = 0,0 N et F 2z = −6,2 N. Calcul du produit scalaire de ces vecteurs et leurs magnitudes, et la substitution dans l'équation \ ref {2.34} donne l'angle d'intérêt.
Solution
Les magnitudes des forces\(\vec{F}_{1}\) et des\(\vec{F}_{2}\) sont
\[F_{1} = \sqrt{F_{1x}^{2} + F_{1y}^{2} + F_{1z}^{2}} = \sqrt{10.0^{2} + 20.4^{2} + 2.0^{2}}N = 22.8\; N\]
et
\[F_{2} = \sqrt{F_{2x}^{2} + F_{2y}^{2} + F_{2z}^{2}} = \sqrt{15.0^{2} + 6.2^{2}}N = 16.2\; N \ldotp\]
La substitution des composantes scalaires dans l'équation \ ref {2.33} donne le produit scalaire
\[\begin{split} \vec{F}_{1}\; \cdotp \vec{F}_{2} & = F_{1x}F_{2x} + F_{1y}F_{2y} + F_{1z}F_{2z} \\ & = (10.0\; N)(-15.0\; N) + (-20.4\; N)(0.0\; N) + (2.0\; N)(-6.2\; N) \\ & = -162.4\; N^{2} \ldotp \end{split}\]
Enfin, le fait de tout remplacer dans l'équation \ ref {2.34} donne l'angle
\[\cos \varphi = \frac{\vec{F}_{1}\; \cdotp \vec{F}_{2}}{F_{1}F_{2}} = \frac{-162.4\; N^{2}}{(22.8\; N)(16.2\; N)} = -0.439 \Rightarrow \varphi = \cos^{-1} (-0.439) = 116.0^{o} \ldotp\]
L'importance
Notez que lorsque les vecteurs sont donnés en termes de vecteurs unitaires d'axes, nous pouvons trouver l'angle entre eux sans connaître les spécificités des directions géographiques que représentent les vecteurs unitaires. Ici, par exemple, la direction +x peut être vers l'est et la direction +y peut être vers le nord. Mais l'angle entre les forces à l'origine du problème est le même si la direction +x est vers l'ouest et la direction +y vers le sud.
Trouvez l'angle entre les forces\(\vec{F}_{1}\) et\(\vec{F}_{3}\) dans Exemple\(\PageIndex{2}\).
Lorsque la force\(\vec{F}\) tire sur un objet et qu'elle provoque son déplacement\(\vec{D}\), nous disons que la force agit. La quantité de travail effectuée par la force est le produit scalaire\(\vec{F}\; \cdotp \vec{D}\). Si le bâton de l'exemple\(\PageIndex{2}\) se déplace momentanément et se déplace d'un vecteur\(\vec{D}\) = (−7,9\(\hat{j}\) − 4,2\(\hat{k}\)) cm, combien de travail le troisième chien effectue-t-il dans l'exemple\(\PageIndex{2}\) ?
Stratégie
Nous calculons le produit scalaire du vecteur de déplacement\(\vec{D}\) avec le vecteur de force\(\vec{F}_{3}\) = (5,0\(\hat{i}\) + 12,5\(\hat{j}\)) N, qui est l'attraction du troisième chien. Utilisons W 3 pour désigner le travail effectué par la force\(\vec{F}_{3}\) lors du déplacement\(\vec{D}\).
Solution
Le calcul du travail est une application simple du produit scalaire :
\[\begin{split} W_{3} & = \vec{F}_{3}\; \cdotp \vec{D} = F_{3x}D_{x} + F_{3y}D_{y} + F_{3z}D_{z} \\ & = (5.0\; N)(0.0\; cm) + (12.5\; N)(-7.9\; cm) + (0.0\; N)(-4.2\; cm) \\ & = -98.7\; N\; \cdotp cm \ldotp \end{split}\]
L'importance
L'unité de travail SI est appelée joule (J), où 1 J = 1 N · m. L'unité cm · N peut être écrite comme 10 −2 m · N = 10 −2 J, de sorte que la réponse peut être exprimée sous la forme W 3 = −0,9875 J ≈ −1,0 J.
Quel est le travail effectué par le premier chien et par le second chien dans l'exemple\(\PageIndex{2}\) sur le déplacement dans l'exemple\(\PageIndex{3}\) ?