2.9 : Produits des vecteurs (partie 2)

Les produits vectoriels de deux vecteurs (le produit croisé)

La multiplication vectorielle de deux vecteurs produit un produit vectoriel.

Produit vectoriel (produit croisé)

Le produit vectoriel de deux vecteurs\(\vec{A}\)\(\vec{B}\) est désigné par\(\vec{A}\) ×\(\vec{B}\) et est souvent appelé produit croisé. Le produit vectoriel est un vecteur dont la direction est perpendiculaire aux deux vecteurs\(\vec{A}\) et\(\vec{B}\). En d'autres termes, le vecteur\(\vec{A}\) ×\(\vec{B}\) est perpendiculaire au plan qui contient les vecteurs\(\vec{A}\) et\(\vec{B}\), comme le montre la figure\(\PageIndex{1}\). L'amplitude du produit vectoriel est définie comme

\[ |\vec{A} × \vec{B}| = AB \sin \varphi, \label{2.35} \]

où l'angle\(\varphi\), entre les deux vecteurs, est mesuré d'un vecteur\(\vec{A}\) (premier vecteur du produit) à l'autre\(\vec{B}\) (second vecteur du produit), comme indiqué sur la figure\(\PageIndex{1}\), et est compris entre 0° et 180°.

Selon l'équation \ ref {2.35}, le produit vectoriel disparaît pour les paires de vecteurs parallèles (\(\varphi\)= 0°) ou antiparallèles (\(\varphi\)= 180°) car sin 0° = sin 180° = sin 180° = 0.

Figure\(\PageIndex{1}\) : Le produit vectoriel de deux vecteurs est dessiné dans un espace tridimensionnel. (a) Le produit vectoriel\(\vec{A} \times \vec{B}\) est un vecteur perpendiculaire au plan qui contient des vecteurs\(\vec{A}\) et\(\vec{B}\). Les petits carrés dessinés en perspective marquent des angles droits entre\(\vec{A}\) et\(\vec{C}\), et entre\(\vec{B}\) et de\(\vec{C}\) sorte que s'ils\(\vec{A}\)\(\vec{B}\) se trouvent sur le sol, le vecteur\(\vec{B}\) pointe verticalement vers le haut vers le plafond. (b) Le produit vectoriel\(\vec{B} \times \vec{A}\) est un vecteur antiparallèle au vecteur\(\vec{A} \times \vec{B}\).

Sur la ligne perpendiculaire au plan qui contient les vecteurs\(\vec{A}\),\(\vec{B}\) il existe deux directions alternatives, vers le haut ou vers le bas, comme le montre la figure,\(\PageIndex{1}\) et la direction du produit vectoriel peut être l'une ou l'autre de ces directions. Dans l'orientation standard vers la droite, où l'angle entre les vecteurs est mesuré dans le sens antihoraire à partir du premier vecteur, le vecteur\(\vec{A} \times \vec{B}\) pointe vers le haut, comme le montre la figure\(\PageIndex{1}\) (a). Si nous inversons l'ordre de multiplication, de sorte que maintenant\(\vec{B}\) arrive en premier dans le produit, le vecteur\(\vec{B} \times \vec{A}\) doit pointer vers le bas, comme le montre la Figure\(\PageIndex{1}\) (b). Cela signifie que les vecteurs A\(\vec{A} \times \vec{B}\) et\(\vec{B} \times \vec{A}\) sont antiparallèles les uns aux autres et que la multiplication des vecteurs n'est pas commutative mais anticommutative. La propriété anticommutative signifie que le produit vectoriel inverse le signe lorsque l'ordre de multiplication est inversé :

\[\vec{A} \times \vec{B} = - \vec{B} \times \vec{A} \ldotp \label{2.36}\]

La règle du tire-bouchon de la main droite est un mnémotechnique couramment utilisé pour déterminer la direction du produit vectoriel. Comme le montre la figure\(\PageIndex{2}\), un tire-bouchon est placé dans une direction perpendiculaire au plan contenant les vecteurs\(\vec{A}\) et\(\vec{B}\) sa poignée est tournée dans la direction allant du premier au deuxième vecteur du produit. La direction du produit croisé est donnée par la progression du tire-bouchon.

Figure\(\PageIndex{2}\) : La règle du tire-bouchon de la main droite peut être utilisée pour déterminer la direction du produit transversal\(\vec{A} \times \vec{B}\). Placez un tire-bouchon dans la direction perpendiculaire au plan contenant les vecteurs\(\vec{A}\) et\(\vec{B}\) tournez-le dans le sens du premier au deuxième vecteur du produit. La direction du produit croisé est donnée par la progression du tire-bouchon. (a) Un mouvement vers le haut signifie que le vecteur multiproduit pointe vers le haut. (b) Un mouvement vers le bas signifie que le vecteur multiproduit pointe vers le bas.

Exemple\(\PageIndex{1}\): The Torque of a Force

L'avantage mécanique qu'offre un outil familier appelé clé (Figure\(\PageIndex{3}\)) dépend de l'amplitude F de la force appliquée, de sa direction par rapport au manche de la clé et de la distance à laquelle cette force est appliquée par rapport à l'écrou. La distance R entre l'écrou et le point où le vecteur de force\(\vec{F}\) est fixé est appelée bras de levier et est représentée par le vecteur radial\(\vec{R}\). La quantité vectorielle physique qui fait tourner l'écrou est appelée couple (indiqué par\(\vec{\tau}\)), et c'est le produit vectoriel du bras de levier avec la force :\(\vec{\tau} = \vec{R} \times \vec{F}\).

Pour desserrer un écrou rouillé, une force de 20,00 N est appliquée sur le manche de la clé à un angle\(\varphi\) de 40° et à une distance de 0,25 m de l'écrou, comme indiqué sur la figure\(\PageIndex{3}\) (a). Déterminez l'amplitude et la direction du couple appliqué à l'écrou. Quelles seraient l'amplitude et la direction du couple si la force était appliquée à un angle\(\varphi\) = 45°, comme le montre la figure\(\PageIndex{3}\) (b) ? Pour quelle valeur d'angle le couple\(\varphi\) a-t-il la plus grande amplitude ?

Figure\(\PageIndex{3}\) : Une clé offre une prise en main et un avantage mécanique en appliquant un couple pour faire tourner un écrou. (a) Tourner dans le sens antihoraire pour desserrer l'écrou. (b) Tourner dans le sens des aiguilles d'une montre pour serrer l'

Stratégie

Nous adoptons le cadre de référence indiqué sur la figure\(\PageIndex{3}\), où les vecteurs\(\vec{R}\) et\(\vec{F}\) se situent dans le plan xy et où l'origine se trouve à la position de l'écrou. La direction radiale le long du vecteur\(\vec{R}\) (pointant à l'opposé de l'origine) est la direction de référence pour mesurer l'angle\(\varphi\) car\(\vec{R}\) il s'agit du premier vecteur du produit vectoriel\(\vec{\tau}\) =\(\vec{R} \times \vec{F}\). Le vecteur\(\vec{\tau}\) doit se situer le long de l'axe Z car il s'agit de l'axe perpendiculaire au plan xy, où se\(\vec{F}\) situent\(\vec{R}\) les deux. Pour calculer l'amplitude\(\tau\), nous utilisons l'équation \ ref {2.35}. Pour trouver la direction de\(\vec{\tau}\), nous utilisons la règle du tire-bouchon de la main droite (Figure\(\PageIndex{2}\)).

Solution

Pour la situation en (a), la règle du tire-bouchon donne la direction de\(\vec{R} \times \vec{F}\) dans la direction positive de l'axe Z. Physiquement, cela signifie que le vecteur de couple\(\vec{\tau}\) pointe vers l'extérieur de la page, perpendiculairement au manche de la clé. Nous identifions F = 20,00 N et R = 0,25 m, et calculons l'amplitude à l'aide de l'équation \ ref {2,35} :

\[\tau = |\vec{R} \times \vec{F}| = RF \sin \varphi = (0.25\; m)(20.00\; N) \sin 40^{o} = 3.21\; N \cdotp m \ldotp\]

Pour la situation en (b), la règle du tire-bouchon donne la direction de\(\vec{R} \times \vec{F}\) dans la direction négative de l'axe Z. Physiquement, cela signifie que le vecteur\(\vec{\tau}\) pointe vers la page, perpendiculairement au manche de la clé. L'amplitude de ce couple est

\[\tau = |\vec{R} \times \vec{F}| = RF \sin \varphi = (0.25\; m)(20.00\; N) \sin 45^{o} = 3.53\; N \cdotp m \ldotp\]

Le couple a la valeur la plus élevée lorsque sin\(\varphi\) = 1, ce qui se produit lorsque\(\varphi\) = 90°. Physiquement, cela signifie que la clé est plus efficace, ce qui nous donne le meilleur avantage mécanique, lorsque nous appliquons la force perpendiculairement au manche de la clé. Dans le cas de cet exemple, cette valeur de couple maximale est\(\tau_{best}\) = RF = (0,25 m) (20,00 N) = 5,00 N • m.

L'importance

Lorsque nous résolvons des problèmes mécaniques, nous n'avons souvent pas besoin d'utiliser la règle du tire-bouchon, comme nous le verrons maintenant dans la solution équivalente suivante. Notez qu'une fois que nous avons identifié ce\(\vec{R} \times \vec{F}\) vecteur le long de l'axe z, nous pouvons écrire ce vecteur en termes de vecteur unitaire\(\hat{k}\) de l'axe z :

\[\vec{R} \times \vec{F} = RF \sin \varphi \hat{k} \ldotp\]

Dans cette équation, le nombre qui se multiplie\(\hat{k}\) est la composante z scalaire du vecteur\(\vec{R} \times \vec{F}\). Lors du calcul de cette composante, il faut veiller à ce que l'angle\(\varphi\) soit mesuré dans le sens antihoraire entre\(\vec{R}\) (premier vecteur) et\(\vec{F}\) (second vecteur). En suivant ce principe pour les angles, nous obtenons RF sin (+ 40°) = + 3,2 N • m pour la situation en (a), et nous obtenons RF sin (−45°) = −3 0,5 N • m pour la situation décrite à l'alinéa b). Dans ce dernier cas, l'angle est négatif car le graphique de la figure\(\PageIndex{3}\) indique que l'angle est mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre ; mais le même résultat est obtenu lorsque cet angle est mesuré dans le sens antihoraire car + (360° − 45°) = + 315° et sin (+ 315°) = sin (−45°). De cette façon, nous obtenons la solution sans faire référence à la règle du tire-bouchon. Pour la situation en (a), la solution est\(\vec{R} \times \vec{F}\) = + 3,2 N • m\(\hat{k}\) ; pour la situation en (b), la solution est\(\vec{R} \times \vec{F}\) = −3,5 N •\(\hat{k}\) m.

Exercice 2.15

Pour les vecteurs présentés dans la Figure 2.3.6, trouvez les produits vectoriels\(\vec{A} \times \vec{B}\) et\(\vec{C} \times \vec{F}\).

Semblable au produit scalaire (équation 2.8.10), le produit croisé possède la propriété distributive suivante :

\[\vec{A} \times (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{C} \ldotp \label{2.37}\]

La propriété distributive est fréquemment appliquée lorsque les vecteurs sont exprimés dans leurs formes constitutives, en termes de vecteurs unitaires d'axes cartésiens. Lorsque nous appliquons la définition du produit croisé, Équation \ ref {2.35}\(\hat{i}\), à des vecteurs unitaires\(\hat{j}\), et\(\hat{k}\) qui définissent les directions x, y et z positives dans l'espace, nous trouvons que

\[\hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = 0 \ldotp \label{2.38}\]

Tous les autres produits croisés de ces trois vecteurs unitaires doivent être des vecteurs de magnitudes unitaires car\(\hat{i}\)\(\hat{j}\), et\(\hat{k}\) sont orthogonaux. Par exemple, pour la paire\(\hat{i}\) et\(\hat{j}\), l'amplitude est |\(\hat{i} \times \hat{j}\) | = ij sin 90° = (1) (1) (1) (1) = 1. La direction du produit vectoriel\(\hat{i} \times \hat{j}\) doit être orthogonale au plan xy, ce qui signifie qu'il doit se trouver le long de l'axe Z. Les seuls vecteurs unitaires le long de l'axe z sont −\(\hat{k}\) ou +\(\hat{k}\). Selon la règle du tire-bouchon, la direction du vecteur\(\hat{i} \times \hat{j}\) doit être parallèle à l'axe Z positif. Par conséquent, le résultat de la multiplication\(\hat{i} \times \hat{j}\) est identique à +\(\hat{k}\). Nous pouvons répéter un raisonnement similaire pour les paires restantes de vecteurs unitaires. Les résultats de ces multiplications sont

\[\begin{cases} \hat{i} \times \hat{j} = + \hat{k}, \\ \hat{j} \times \hat{k} = + \hat{i}, \\ \hat{k} \times \hat{i} = + \hat{j} \ldotp \end{cases} \label{2.39}\]

Notez que dans l'équation \ ref {2.39}, les trois vecteurs unitaires\(\hat{i}\)\(\hat{j}\), et\(\hat{k}\) apparaissent dans l'ordre cyclique illustré dans le diagramme de la Figure\(\PageIndex{4}\) (a). L'ordre cyclique signifie que, dans la formule du produit,\(\hat{i}\) suit\(\hat{k}\) et vient avant\(\hat{j}\), ou\(\hat{k}\) suit\(\hat{j}\) et vient avant\(\hat{i}\), ou\(\hat{j}\) suit\(\hat{i}\) et vient avant\(\hat{k}\). Le produit croisé de deux vecteurs unitaires différents est toujours un troisième vecteur unitaire. Lorsque deux vecteurs unitaires du produit croisé apparaissent dans l'ordre cyclique, le résultat d'une telle multiplication est le vecteur unitaire restant, comme illustré à la figure\(\PageIndex{4}\) (b). Lorsque les vecteurs unitaires du produit croisé apparaissent dans un ordre différent, le résultat est un vecteur unitaire antiparallèle au vecteur unitaire restant (c'est-à-dire que le résultat est avec le signe moins, comme le montrent les exemples de la Figure\(\PageIndex{4}\) (c) et de la Figure\(\PageIndex{4}\) (d). En pratique, lorsque la tâche consiste à trouver des produits croisés de vecteurs donnés sous forme de composants vectoriels, cette règle de multiplication croisée de vecteurs unitaires est très utile.

Figure\(\PageIndex{4}\) : (a) Le diagramme de l'ordre cyclique des vecteurs unitaires des axes. (b) Les seuls produits croisés où les vecteurs unitaires apparaissent dans l'ordre cyclique. Ces produits ont le signe positif. (c, d) Deux exemples de produits croisés dans lesquels les vecteurs unitaires n'apparaissent pas dans l'ordre cyclique. Ces produits ont le signe négatif.

Supposons que nous voulions trouver le produit croisé\(\vec{A} \times \vec{B}\) pour les vecteurs\(\vec{A}\) = A _x\(\hat{i}\) + A _y\(\hat{j}\) + A _z\(\hat{k}\) et\(\vec{B}\) = B _x\(\hat{i}\) + B _y\(\hat{j}\) + B _z\(\hat{k}\). Nous pouvons utiliser la propriété distributive (Équation \ ref {2.37}), la propriété anticommutative (Équation \ ref {2.36}) et les résultats de l'équation \ ref {2.38} et de l'équation \ ref {2.39} pour les vecteurs unitaires afin d'effectuer l'algèbre suivante :

\[\begin{split} \vec{A} \times \vec{B} & = (A_{x}\; \hat{i} + A_{y}\; \hat{j} + A_{z}\; \hat{k}) \times (B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k}) \\ & = A_{x}\; \hat{i} \times (B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k}) + A_{y}\; \hat{j} \times (B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k}) + A_{z}\; \hat{k} \times (B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k}) \\ & = A_{x}B_{x}\; \hat{i} \times \hat{i} + A_{x}B_{y}\; \hat{i} \times \hat{j} + A_{z}B_{z}\; \hat{i} \times \hat{k} \\ & + A_{y}B_{x}\; \hat{j} \times \hat{i} + A_{y}B_{y}\; \hat{j} \times \hat{j} + A_{y}B_{z}\; \hat{j} \times \hat{k} \\ & + A_{z}B_{x}\; \hat{k} \times \hat{i} + A_{z}B_{y}\; \hat{k} \times \hat{j} + A_{z}B_{z}\; \hat{k} \times \hat{k} \\ & = A_{x}B_{x}(0) + A_{x}B_{y}(+\hat{k}) + A_{x}B_{z}(-\hat{j}) \\ & + A_{y}B_{x}(-\hat{k}) + A_{y}B_{y}(0) + A_{y}B_{z}(+\hat{i}) \\ & + A_{z}B_{x}(+\hat{j}) + A_{z}B_{y}(- \hat{i}) + A_{z}B_{z}(0) \ldotp \end{split}\]

Lorsque vous effectuez des opérations algébriques impliquant le produit croisé, veillez à garder le bon ordre de multiplication, car le produit croisé est anticommutatif. Les deux dernières étapes qu'il nous reste à faire pour terminer notre tâche consistent, d'abord, à regrouper les termes qui contiennent un vecteur unitaire commun et, deuxièmement, à factoriser. De cette façon, nous obtenons l'expression très utile suivante pour le calcul du produit croisé :

\[\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B} = (A_{y}B_{z} - A_{z}B_{y})\; \hat{i} + (A_{z}B_{x} - A_{x}B_{z})\; \hat{j} + (A_{x}B_{y} - A_{y}B_{x})\; \hat{k} \ldotp \label{2.40}\]

Dans cette expression, les composantes scalaires du vecteur de produits croisés sont

\[\begin{cases} C_{x} = A_{y}B_{z} - A_{z}B_{y}, \\ C_{y} = A_{z}B_{x} - A_{x}B_{z}, \\ C_{z} = A_{x}B_{y} - A_{y}B_{x} \ldotp \end{cases} \label{2.41}\]

Pour trouver le produit croisé, en pratique, nous pouvons utiliser l'équation \ ref {2.35} ou l'équation \ ref {2.40}, selon celle qui semble la moins complexe sur le plan informatique. Ils mènent tous les deux au même résultat final. Une façon de s'assurer que le résultat final est correct consiste à utiliser les deux.

Exemple\(\PageIndex{2}\): A Particle in a Magnetic Field

Lorsqu'elles se déplacent dans un champ magnétique, certaines particules peuvent subir une force magnétique. Sans entrer dans les détails (une étude détaillée des phénomènes magnétiques sera présentée dans les chapitres suivants), reconnaissons que le champ magnétique\(\vec{B}\) est un vecteur, la force magnétique\(\vec{F}\) est un vecteur et la vitesse\(\vec{u}\) de la particule est un vecteur. Le vecteur de force magnétique est proportionnel au produit vectoriel du vecteur de vitesse avec le vecteur de champ magnétique, que nous exprimons comme\(\vec{F}\) =\(\zeta \vec{u} \times \vec{B}\). Dans cette équation, une constante\(\zeta\) assure la cohérence des unités physiques, de sorte que nous pouvons omettre les unités physiques sur les vecteurs\(\vec{u}\) et\(\vec{B}\). Dans cet exemple, supposons que la constante\(\zeta\) est positive. Une particule se déplaçant dans l'espace avec un vecteur de vitesse\(\vec{u}\) = −5,0\(\hat{i}\) − 2,0\(\hat{j}\) + 3,5\(\hat{k}\) entre dans une région soumise à un champ magnétique et subit une force magnétique. Déterminez la force magnétique\(\vec{F}\) sur cette particule au point d'entrée de la région où le vecteur du champ magnétique est (a)\(\vec{B}\) = 7,2\(\hat{i}\)\(\hat{j}\) − − 2,4\(\hat{k}\) et (b)\(\vec{B}\) = 4,5\(\hat{k}\). Dans chaque cas, déterminez l'amplitude F de la force magnétique et\(\theta\) l'angle que le vecteur de force\(\vec{F}\) fait avec le vecteur de champ magnétique donné\(\vec{B}\).

Stratégie

Tout d'abord, nous voulons trouver le produit vectoriel\(\vec{u} \times \vec{B}\), car nous pouvons ensuite déterminer la force magnétique en utilisant\(\vec{F}\) =\(\zeta \vec{u} \times \vec{B}\). L'amplitude F peut être déterminée soit en utilisant des composantes, F =\(\sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}}\), soit en calculant la magnitude |\(\vec{u} \times \vec{B}\) | directement à l'aide de l'équation \ ref {2.35}. Dans cette dernière approche, il faudrait trouver l'angle entre les vecteurs\(\vec{u}\) et\(\vec{B}\). Lorsque c'est le cas\(\vec{F}\), la méthode générale pour déterminer l'angle de direction\(\theta\) implique le calcul du produit scalaire\(\vec{F} \cdotp \vec{B}\) et la substitution dans l'équation 2.8.13. Pour calculer le produit vectoriel, nous pouvons utiliser l'équation \ ref {2.40} ou calculer le produit directement, selon la méthode la plus simple.

Solution

Les composantes du vecteur de vitesse sont u _x = −5,0, u _y = −2,0 et u _z = 3,5. (a) Les composantes du vecteur du champ magnétique sont B _x = 7,2, B _y = −1,0 et B _z = −2,4. En les remplaçant dans l'équation \ ref {2.41}, on obtient les composantes scalaires du vecteur\(\vec{F} = \zeta \vec{u} \times \vec{B}\) :

\[\begin{cases} F_{x} = \zeta (u_{y}B_{z} - u_{z}B_{y}) = \zeta [(-2.0)(-2.4) - (3.5)(-1.0)] = 8.3 \zeta \\ F_{y} = \zeta (u_{z}B_{x} - u_{x}B_{z}) = \zeta [(3.5)(7.2) - (-5.0)(-2.4)] = 13.2 \zeta \\ F_{z} = \zeta (u_{x}B_{y} - u_{y}B_{x}) = \zeta [(-5.0)(-1.0) - (-2.0)(7.2)] = 19.4 \zeta \end{cases}\]

Ainsi, la force magnétique est\(\vec{F}\) =\(\zeta\) (8,3\(\hat{i}\) + 13,2\(\hat{j}\) + 19,4\(\hat{k}\)) et sa magnitude est

\[F = \sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}} = \zeta \sqrt{(8.3)^{2} + (13.2)^{2} + (19.4)^{2}} = 24.9 \zeta \ldotp\]

Pour calculer l'angle\(\theta\), il se peut que nous ayons besoin de trouver l'amplitude du vecteur du champ magnétique

\[B = \sqrt{B_{x}^{2} + B_{y}^{2} + B_{z}^{2}} = \sqrt{(7.2)^{2} + (-1.0)^{2} + (-2.4)^{2}} = 7.6,\]

et le produit scalaire\(\vec{F} \cdotp \vec{B}\) :

\[\vec{F} \cdotp \vec{B} = F_{x}B_{x} + F_{y}B_{y} + F_{z}B_{z} = (8.3 \zeta)(7.2) + (13.2 \zeta)(-1.0) + (19.4 \zeta)(-2.4) = \ldotp\]

Maintenant, la substitution dans l'équation 2.8.13 donne un angle\(\theta\) :

\[\cos \theta = \frac{\vec{F} \cdotp \vec{B}}{FB} = \frac{0}{(18.2 \zeta)(7.6)} = 0 \Rightarrow \theta = 90^{o} \ldotp\]

Le vecteur de force magnétique est donc perpendiculaire au vecteur de champ magnétique. (Nous aurions pu gagner du temps si nous avions calculé le produit scalaire plus tôt.)

(b) Comme le vecteur\(\vec{B}\) = 4,5 n'\(\hat{k}\)a qu'une seule composante, nous pouvons exécuter l'algèbre rapidement et trouver directement le produit vectoriel :

\[\begin{split} \vec{F} & = \zeta \vec{u} \times \vec{B} = \zeta (-5.0 \hat{i} - 2.0 \hat{j} + 3.5 \hat{k}) \times (4.5 \hat{k}) \\ & = \zeta [(-5.0)(4.5) \hat{i} \times \hat{k} + (-2.0)(4.5) \hat{j} \times \hat{k} + (3.5)(4.5) \hat{k} \times \hat{k}] \\ & = \zeta [-22.5 (- \hat{j}) - 9.0 (+ \hat{i}) + 0] = \zeta (-9.0 \hat{i} + 22.5 \hat{j}) \ldotp \end{split}\]

L'amplitude de la force magnétique est

\[F = \sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}} = \zeta \sqrt{(-9.0)^{2} + (22.5)^{2} + (0.0)^{2}} = 24.2 \zeta \ldotp\]

Parce que le produit scalaire est

\[\vec{F} \cdotp \vec{B} = F_{x}B_{x} + F_{y}B_{y} + F_{z}B_{z} = (-9.0 \zeta)(90) + (22.5 \zeta)(0) + (0)(4.5) = 0,\]

le vecteur de force magnétique\(\vec{F}\) est perpendiculaire au vecteur de champ magnétique\(\vec{B}\).

L'importance

Même sans réellement calculer le produit scalaire, nous pouvons prédire que le vecteur de force magnétique doit toujours être perpendiculaire au vecteur de champ magnétique en raison de la façon dont ce vecteur est construit. À savoir, le vecteur de force magnétique est le produit vectoriel\(\vec{F}\) =\(\zeta \vec{u} \times \vec{B}\) et, selon la définition du produit vectoriel (voir Figure\(\PageIndex{1}\)), le vecteur\(\vec{F}\) doit être perpendiculaire aux deux vecteurs\(\vec{u}\) et\(\vec{B}\).

Exercice 2.16

Étant donné deux vecteurs\(\vec{A} = - \hat{i} + \hat{j}\) et\(\vec{B}\) = 3\(\hat{i}\) −\(\hat{j}\), trouvez (a)\(\vec{A} \times \vec{B}\), (b)\(\vec{A} \times (\vec{B}\) | |, (c) l'angle entre\(\vec{A}\) et\(\vec{B}\), et (d) l'angle entre\(\vec{A} \times \vec{B}\) un vecteur\(\vec{C} = \hat{i} + \hat{k}\).

En conclusion de cette section, nous voulons souligner que le « produit scalaire » et le « produit croisé » sont des objets mathématiques complètement différents qui ont des significations différentes. Le produit scalaire est un scalaire ; le produit croisé est un vecteur. Les chapitres suivants utilisent les termes produit scalaire et produit scalaire de manière interchangeable. De même, les termes « produit croisé » et « produit vectoriel » sont utilisés de manière interchangeable.

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