2.2 : Scalaires et vecteurs (1ère partie)

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Objectifs d'apprentissage

Décrivez la différence entre les quantités vectorielles et scalaires.
Identifiez l'amplitude et la direction d'un vecteur.
Expliquez l'effet de la multiplication d'une quantité vectorielle par un scalaire.
Décrivez comment des quantités vectorielles unidimensionnelles sont ajoutées ou soustraites.
Expliquer la construction géométrique pour l'addition ou la soustraction de vecteurs dans un plan.
Distinguer une équation vectorielle d'une équation scalaire.

De nombreuses grandeurs physiques familières peuvent être spécifiées complètement en donnant un numéro unique et l'unité appropriée. Par exemple, « une période de cours dure 50 minutes » ou « le réservoir d'essence de ma voiture contient 65 L » ou « la distance entre deux poteaux est de 100 m ». Une quantité physique qui peut être spécifiée complètement de cette manière est appelée quantité scalaire. Scalar est synonyme de « nombre ». Le temps, la masse, la distance, la longueur, le volume, la température et l'énergie sont des exemples de quantités scalaires.

Des quantités scalaires ayant les mêmes unités physiques peuvent être ajoutées ou soustraites selon les règles habituelles de l'algèbre pour les nombres. Par exemple, un cours se terminant 10 min avant 50 min dure 50 min − 10 min = 40 min. De même, une portion de 60 kcal de maïs suivie d'une portion de 200 kcal de beignets donne 60 cal+200 cal = 260 cal d'énergie. Lorsque nous multiplions une quantité scalaire par un nombre, nous obtenons la même quantité scalaire mais avec une valeur plus grande (ou plus petite). Par exemple, si le petit-déjeuner d'hier contenait 200 calories d'énergie et que le petit-déjeuner d'aujourd'hui contient quatre fois plus d'énergie qu'hier, alors le petit-déjeuner d'aujourd'hui contient 4 (200 calories) = 800 calories d'énergie. Deux quantités scalaires peuvent également être multipliées ou divisées l'une par l'autre pour former une quantité scalaire dérivée. Par exemple, si un train parcourt une distance de 100 km en une heure, sa vitesse est de 100,0 km/1,0 h = 27,8 m/s, où la vitesse est une quantité scalaire dérivée obtenue en divisant la distance par le temps.

De nombreuses grandeurs physiques ne peuvent toutefois pas être décrites complètement par un seul nombre d'unités physiques. Par exemple, lorsque la Garde côtière américaine dépêche un navire ou un hélicoptère pour une mission de sauvetage, l'équipe de secours doit connaître non seulement la distance jusqu'au signal de détresse, mais également la direction d'où provient le signal afin de pouvoir atteindre son origine le plus rapidement possible. Les grandeurs physiques spécifiées complètement en donnant un nombre d'unités (magnitude) et une direction sont appelées quantités vectorielles. Des exemples de grandeurs vectorielles incluent le déplacement, la vitesse, la position, la force et le couple. Dans le langage des mathématiques, les quantités de vecteurs physiques sont représentées par des objets mathématiques appelés vecteurs (Figure\(\PageIndex{1}\)). Nous pouvons ajouter ou soustraire deux vecteurs, et nous pouvons multiplier un vecteur par un scalaire ou par un autre vecteur, mais nous ne pouvons pas diviser par un vecteur. L'opération de division par un vecteur n'est pas définie.

Une photo d'un chien. Sous la photo se trouve une flèche horizontale qui commence sous la queue du chien et se termine sous le nez du chien. La flèche est étiquetée Vecteur D et sa longueur est étiquetée comme magnitude D. Le début (fin) de la flèche est étiqueté « À partir du rail d'origine d'un vecteur » et sa fin (tête) est étiquetée « Vers la tête d'une extrémité vectorielle ». — Figure\(\PageIndex{1}\) : Nous dessinons un vecteur depuis le point initial ou l'origine (appelé « queue » d'un vecteur) jusqu'au point final ou terminal (appelé « tête » d'un vecteur), marqué par une pointe de flèche. L'amplitude est la longueur d'un vecteur et est toujours une quantité scalaire positive. (crédit : modification de l'œuvre de Cate Sevilla)

Examinons l'algèbre vectorielle à l'aide d'une méthode graphique pour connaître les termes de base et développer une compréhension qualitative. Dans la pratique, cependant, lorsqu'il s'agit de résoudre des problèmes de physique, nous utilisons des méthodes analytiques, que nous verrons dans la section suivante. Les méthodes analytiques sont plus simples sur le plan informatique et plus précises que les méthodes graphiques. Désormais, pour faire la distinction entre un vecteur et une quantité scalaire, nous adoptons la convention courante selon laquelle une lettre en gras surmontée d'une flèche indique un vecteur, et une lettre sans flèche indique un scalaire. Par exemple, une distance de 2,0 km, qui est une quantité scalaire, est désignée par d = 2,0 km, tandis qu'un déplacement de 2,0 km dans une certaine direction, qui est une quantité vectorielle, est indiqué par\(\vec{d}\).

Supposons que vous disiez à un ami en camping que vous avez découvert un formidable lieu de pêche à 6 km de votre tente. Il est peu probable que votre ami puisse trouver le trou facilement à moins que vous ne lui indiquiez également la direction dans laquelle il se trouve par rapport à votre emplacement de camping. Vous pourriez dire, par exemple, « Marchez environ 6 km au nord-est depuis ma tente ». Le concept clé ici est que vous devez donner non pas une mais deux informations, à savoir la distance ou la magnitude (6 km) et la direction (nord-est).

Le déplacement est un terme général utilisé pour décrire un changement de position, par exemple lors d'un trajet entre la tente et le trou de pêche. Le déplacement est un exemple de quantité vectorielle. Si vous marchez de la tente (point A) au trou (emplacement B), comme le montre la figure\(\PageIndex{2}\), le vecteur\(\vec{D}\), représentant votre déplacement, est dessiné sous la forme de la flèche qui part du point A et se termine au point B. La pointe de flèche marque la fin du vecteur. La direction du vecteur de déplacement\(\vec{D}\) est la direction de la flèche. La longueur de la flèche représente la magnitude D du vecteur\(\vec{D}\). Ici, D = 6 km. Puisque l'amplitude d'un vecteur est sa longueur, qui est un nombre positif, l'amplitude est également indiquée en plaçant la notation de la valeur absolue autour du symbole qui indique le vecteur ; nous pouvons donc écrire de manière équivalente que D ≡ |\(\vec{D}\) |. Pour résoudre graphiquement un problème vectoriel, nous devons dessiner le vecteur\(\vec{D}\) à l'échelle. Par exemple, si nous supposons qu'une unité de distance (1 km) est représentée dans le dessin par un segment de ligne de longueur u = 2 cm, alors le déplacement total dans cet exemple est représenté par un vecteur de longueur d = 6u = 6 (2 cm) = 12 cm, comme le montre la figure\(\PageIndex{3}\). Notez qu'ici, pour éviter toute confusion, nous avons utilisé D = 6 km pour indiquer l'amplitude du déplacement réel et d = 12 cm pour indiquer la longueur de sa représentation sur le dessin.

Illustration d'un lac situé à une certaine distance au nord-est d'une tente. Le nord est sur la page, vers l'est sur la droite. La tente est étiquetée comme étant l'emplacement A et le lac comme l'emplacement B. Une flèche droite commence en A et se termine en B. Trois sentiers sinueux, représentés par des lignes pointillées, commencent également en A et se terminent en B. — Figure\(\PageIndex{2}\) : Le vecteur de déplacement du point A (la position initiale sur le terrain de camping) au point B (la position finale au niveau du trou de pêche) est indiqué par une flèche dont l'origine est au point A et se termine au point B. Le déplacement est le même pour toutes les trajectoires réelles (courbes en pointillés) qui peuvent être empruntées entre points A et B.

Une règle est illustrée, la distance étant mesurée en centimètres. Un vecteur est représenté par une flèche parallèle à la règle, s'étendant de son extrémité à 0 cm à 12 cm, et est étiqueté en tant que vecteur D. — Figure\(\PageIndex{3}\) : Un déplacement\(\vec{D}\) de magnitude 6 km est dessiné à l'échelle sous la forme d'un vecteur de longueur de 12 cm lorsque la longueur de 2 cm représente 1 unité de déplacement (qui, dans ce cas, est de 1 km).

Supposons que votre ami marche du camping en A à l'étang de pêche en B, puis qu'il revienne à pied : de l'étang de pêche au point B au camping situé en A. L'amplitude du vecteur\(\vec{D}_{AB}\) de déplacement de A vers B est la même que celle du vecteur\(\vec{D}_{BA}\) de déplacement de B vers A (il est égal à 6 km dans les deux cas) cas), donc on peut écrire\(\vec{D}_{AB}\) =\(\vec{D}_{BA}\). Cependant, le vecteur n'\(\vec{D}_{AB}\)est pas égal au vecteur\(\vec{D}_{BA}\) car ces deux vecteurs ont des directions différentes :\(\vec{D}_{AB}\) ↓\(\vec{D}_{BA}\). Dans la Figure 2.3, le vecteur\(\vec{D}_{BA}\) serait représenté par un vecteur ayant une origine au point B et une fin au point A, indiquant les\(\vec{D}_{BA}\) points du vecteur au sud-ouest, soit exactement 180° à l'opposé de la direction du vecteur\(\vec{D}_{AB}\). Nous disons que le vecteur\(\vec{D}_{BA}\) est antiparallèle au vecteur\(\vec{D}_{AB}\) et écrivons\(\vec{D}_{AB}\) =\(-\vec{D}_{BA}\), où le signe moins indique la direction antiparallèle.

Deux vecteurs qui ont des directions identiques sont considérés comme des vecteurs parallèles, c'est-à-dire qu'ils sont parallèles l'un à l'autre. Deux vecteurs parallèles\(\vec{A}\) et\(\vec{B}\) sont égaux, désignés par\(\vec{A}\) =\(\vec{B}\), si et seulement s'ils ont des magnitudes égales |\(\vec{A}\) | = |\(\vec{B}\) |. Deux vecteurs dont les directions sont perpendiculaires l'un à l'autre sont dits vecteurs orthogonaux. Ces relations entre les vecteurs sont illustrées dans la figure\(\PageIndex{4}\).

Figure a : Deux exemples de vecteur A parallèle au vecteur B. Dans l'un, A et B sont sur la même ligne, l'un après l'autre, mais A est plus long que B. Dans l'autre, A et B sont parallèles l'un à l'autre avec leurs queues alignées, mais A est plus court que B. Figure b : Un exemple de vecteur A antiparallèle au vecteur B. Points du vecteur A vers la gauche et est plus long que le vecteur B, qui pointe vers la droite. L'angle entre eux est de 180 degrés. Figure c : Exemple de vecteur A antiparallèle au vecteur négatif A : A pointe vers la droite et —A pointe vers la gauche. Les deux ont la même longueur. Figure d : Deux exemples de vecteur A égal au vecteur B : Dans l'un, A et B sont sur la même ligne, l'un après l'autre, et ont tous deux la même longueur. Dans l'autre cas, A et B sont parallèles l'un à l'autre avec leurs queues alignées, et les deux ont la même longueur. Figure e : Deux exemples de vecteur A orthogonal au vecteur B : dans l'un d'eux, A pointe vers le bas et B pointe vers la droite, se rejoignant à angle droit, et les deux ont la même longueur. Dans l'autre, les points vers le bas et vers la droite et B pointent vers le bas et vers la gauche, rejoignant A à angle droit. Les deux ont la même longueur. — Figure\(\PageIndex{4}\) : Différentes relations entre deux vecteurs\(\vec{A}\) et\(\vec{B}\). (a)\(\vec{A}\) σ\(\vec{B}\) parce que A ≤B. (b)\(\vec{A}\) ↓\(\vec{B}\) parce qu'ils ne sont pas parallèles et A ↓ B. (c)\(\vec{A}\) ↓\(- \vec{A}\) parce qu'ils ont des directions différentes (même si\(\vec{A}\) | | = |\(- \vec{A}\) | = A). (d)\(\vec{A}\) =\(\vec{B}\) parce qu'ils sont parallèles et ont des magnitudes identiques A = B. (e) ↓\(\vec{A}\)\(\vec{B}\) parce qu'ils ont des directions différentes (ne sont pas parallèles) ; ici, leurs directions diffèrent de 90°, c'est-à-dire qu'elles sont orthogonales.

Exercice 2.1

Deux bateaux à moteur nommés Alice et Bob se déplacent sur un lac. À partir des informations concernant leurs vecteurs de vitesse dans chacune des situations suivantes, indiquez si leurs vecteurs de vitesse sont égaux ou non.

Alice se déplace vers le nord à 6 nœuds et Bob se déplace vers l'ouest à 6 nœuds.
Alice se déplace vers l'ouest à 6 nœuds et Bob se déplace vers l'ouest à 3 nœuds.
Alice se déplace vers le nord-est à 6 nœuds et Bob se déplace vers le sud à 3 nœuds.
Alice se déplace vers le nord-est à 6 nœuds et Bob se déplace vers le sud-ouest à 6 nœuds.
Alice se déplace vers le nord-est à 2 nœuds et Bob se rapproche de la rive nord-est à 2 nœuds.

Algèbre des vecteurs dans une dimension

Les vecteurs peuvent être multipliés par des scalaires, ajoutés à d'autres vecteurs ou soustraits à d'autres vecteurs. Nous pouvons illustrer ces concepts vectoriels à l'aide d'un exemple de voyage de pêche vu sur la figure\(\PageIndex{5}\).

Trois illustrations de la même tente et du lac au nord-est de la tente. North est en haut de la page. L'emplacement de la tente est le point A, et l'emplacement du lac est le point B. Un emplacement entre A et B, à environ 2/3 du chemin entre A et B, est marqué comme point C. Dans la figure a, le vecteur de A à B est représenté par une flèche bleue, commençant par A et se terminant en B, et étiqueté vecteur D sous A B. Le vecteur de A à C est représenté en rouge flèche, commençant par A et se terminant en C et étiquetée vecteur D sous A C. Trois chemins sinueux sont représentés par des lignes pointillées qui commencent en A et se terminent en B. La figure b ajoute ce qui suit à l'illustration de la figure a : Le point D est ajouté à peu près à mi-chemin entre les points A et B. Le vecteur de A à D est représenté par une flèche violette, commençant par A et se terminant par D et étiqueté vecteur D sous A D. Le vecteur de D à B est représenté par une flèche orange, commençant par D et se terminant par B et étiqueté vecteur D sous D B. La figure c ajoute une flèche verte du point C au point D et est étiqueté vecteur D sous C D. Le vecteur D sous C D pointe dans la direction opposée à celui-ci des autres vecteurs, vers la tente plutôt que vers le lac. — Figure\(\PageIndex{5}\) : Vecteurs de déplacement pour une sortie de pêche. a) S'arrêter pour se reposer au point C en marchant du camp (point A) à l'étang (point B). (b) Revenir vers la surface de tir lâchée (point D). (c) Terminer à l'étang de pêche.

Supposons que votre ami quitte le point A (le camping) et marche en direction du point B (l'étang de pêche), mais qu'en cours de route, il s'arrête pour se reposer à un point C situé aux trois quarts de la distance entre A et B, en commençant par le point A (Figure\(\PageIndex{5a}\)). Quel est son vecteur de déplacement\(\vec{D}_{AC}\) lorsqu'il atteint le point C ? Nous savons que s'il marche jusqu'à B, son vecteur de déplacement par rapport à A est\(\vec{D}_{AB}\), qui a une magnitude D _AB = 6 km et une direction nord-est. S'il ne marche qu'une fraction de 0,75 de la distance totale, en maintenant la direction nord-est, au point C, il doit se trouver à 0,75 D _AB = 4,5 km du camping situé à A. Ainsi, son vecteur de déplacement au point de repos C a la magnitude D _AC = 4,5 km = 0,75 D _AB et est parallèle à le vecteur de déplacement\(\vec{D}_{AB}\). Tout cela peut être résumé sous la forme de l'équation vectorielle suivante :

\[\vec{D}_{AC} = 0.75\; \vec{D}_{AB} \ldotp \nonumber\]

Dans une équation vectorielle, les deux côtés de l'équation sont des vecteurs. L'équation précédente est un exemple de vecteur multiplié par un scalaire positif (nombre)\(\alpha\) = 0,75. Le résultat d'\(\vec{D}_{AC}\)une telle multiplication est un nouveau vecteur dont la direction est parallèle à la direction du vecteur d'origine\(\vec{D}_{AB}\). En général, lorsqu'un vecteur\(\vec{D}_{A}\) est multiplié par un scalaire positif\(\alpha\), le résultat est un nouveau vecteur\(\vec{D}_{B}\) parallèle à\(\vec{D}_{A}\) :

\[\vec{B} = \alpha \vec{A} \label{2.1}\]

La magnitude |\(\vec{B}\) | de ce nouveau vecteur est obtenue en multipliant la magnitude |\(\vec{A}\) | du vecteur d'origine, telle qu'exprimée par l'équation scalaire :

\[ B = | \alpha | A \ldotp \label{2.2}\]

Dans une équation scalaire, les deux côtés de l'équation sont des nombres. L'équation \ ref {2.2} est une équation scalaire car les magnitudes des vecteurs sont des quantités scalaires (et des nombres positifs). Si le scalaire\(\alpha\) est négatif dans l'équation vectorielle Equation \ ref {2.1}, alors la magnitude\(\vec{B}\) | | du nouveau vecteur est toujours donnée par l'équation \ ref {2.2}, mais la direction du nouveau vecteur\(\vec{B}\) est antiparallèle à la direction de\(\vec{A}\). Ces principes sont illustrés dans la figure\(\PageIndex{6a}\) par deux exemples où la longueur du vecteur\(\vec{A}\) est de 1,5 unité. Lorsque\(\alpha\) = 2, le nouveau vecteur\(\vec{B}\) = 2\(\vec{A}\) a une longueur B = 2A = 3,0 unités (deux fois plus long que le vecteur d'origine) et est parallèle au vecteur d'origine. Lorsque\(\alpha\) = −2, le nouveau vecteur\(\vec{C}\) = −2\(\vec{A}\) a une longueur C = |−2| A = 3,0 unités (deux fois plus long que le vecteur d'origine) et est antiparallèle au vecteur d'origine.

La figure a montre le vecteur A pointant vers la droite. Il a une magnitude A = 1,5. Vecteur B = 2 Le vecteur temporel A pointe vers la droite et a une magnitude B = 2 A = 3,0. Le vecteur C = -2 fois le vecteur A et a une magnitude B = 2,0. La figure b montre le vecteur A pointant vers la droite et ayant une magnitude A=1,5. Le vecteur B est représenté sous le vecteur A, avec leurs queues alignées. Le vecteur B pointe vers la droite et a une magnitude de 2,0. Dans une autre vue, le vecteur A est représenté avec le vecteur B commençant à la tête de A et s'étendant plus loin vers la droite. En dessous se trouve un vecteur, étiqueté comme vecteur R = vecteur A plus vecteur B, pointant vers la droite dont la queue est alignée avec la queue du vecteur A et dont la tête est alignée avec la tête du vecteur B. La magnitude du vecteur R est égale à la magnitude A plus la magnitude B = 3,5. La figure c montre le vecteur A pointant vers la droite et ayant une magnitude A=1,5. Le vecteur B est représenté sous le vecteur A, avec leurs queues alignées. Le vecteur moins B pointe vers la droite et a une magnitude de 3,2. Dans une autre vue, le vecteur A est représenté avec le vecteur moins B pointant vers la gauche et sa tête rencontrant la tête du vecteur A. En dessous se trouve un vecteur, étiqueté vecteur D = vecteur A moins vecteur B, plus court que B et pointant vers la gauche dont la tête est alignée avec la tête du vecteur B. La magnitude du vecteur D est égale à l'amplitude de la quantité A moins B = 1,7. — Figure\(\PageIndex{6}\) : Algèbre de vecteurs dans une dimension. (a) Multiplication par un scalaire. (b) L'addition de deux vecteurs (\(\vec{R}\)est appelée résultante des vecteurs (\(\vec{A}\)et (\(\vec{B}\)). (c) Soustraction de deux vecteurs (\(\vec{D}\)est la différence des vecteurs (\(\vec{A}\)et\(\vec{B}\)).

Supposons maintenant que votre compagnon de pêche quitte le point A (le camping) en marchant en direction du point B (le trou de pêche), mais qu'il réalise qu'il a perdu sa boîte à pêche lorsqu'il s'est arrêté pour se reposer au point C (situé aux trois quarts de la distance entre A et B, en commençant par le point A). Il fait alors demi-tour et retrace ses pas en direction du camping et trouve la boîte posée sur le chemin à un point D, à seulement 1,2 km du point C (voir Figure\(\PageIndex{5b}\)). Quel est son vecteur de déplacement\(\vec{D}_{AD}\) lorsqu'il trouve la boîte au point D ? Quel est son vecteur\(\vec{D}_{DB}\) de déplacement du point D vers le trou ? Nous avons déjà établi qu'au point de repos C, son vecteur de déplacement est\(\vec{D}_{AC}\) = 0,75\(\vec{D}_{AB}\). À partir du point C, il marche vers le sud-ouest (vers le camping), ce qui signifie que son nouveau vecteur\(\vec{D}_{CD}\) de déplacement du point C au point D est antiparallèle à\(\vec{D}_{AB}\). Sa magnitude |\(\vec{D}_{CD}\) | est D _CD = 1,2 km = 0,2 D _AB, donc son deuxième vecteur de déplacement est\(\vec{D}_{CD}\) = −0,2\(\vec{D}_{AB}\). Son déplacement total\(\vec{D}_{AD}\) par rapport au camping est la somme vectorielle des deux vecteurs de déplacement : vecteur\(\vec{D}_{AC}\) (du camping au point de repos) et vecteur\(\vec{D}_{CD}\) (du point de repos au point où il trouve sa boîte) :

\[\vec{D}_{AD} = \vec{D}_{AC} + \vec{D}_{CD} \ldotp \label{2.3}\]

La somme vectorielle de deux vecteurs (ou plus) est appelée vecteur résultant ou, en abrégé, la résultante. Lorsque les vecteurs sur le côté droit de l'équation \ ref {2.3} sont connus, nous pouvons trouver le résultat\(\vec{D}_{AD}\) comme suit :

\[\vec{D}_{AD} = \vec{D}_{AC} + \vec{D}_{CD} = 0.75\; \vec{D}_{AB} - 0.2\; \vec{D}_{AB} = (0.75 - 0.2) \vec{D}_{AB} = 0.55 \vec{D}_{AB} \ldotp \label{2.4}\]

Lorsque votre ami atteint enfin l'étang au point B, son vecteur\(\vec{D}_{AB}\) de déplacement du point A est la somme vectorielle de son vecteur\(\vec{D}_{AD}\) de déplacement du point A au point D et de son vecteur\(\vec{D}_{DB}\) de déplacement du point D au trou de pêche :\(\vec{D}_{AB}\) =\(\vec{D}_{AD}\) +\(\vec{D}_{DB}\) (voir Figure \(\PageIndex{5c}\)). Cela signifie que son vecteur de déplacement\(\vec{D}_{DB}\) est la différence de deux vecteurs :

\[\vec{D}_{DB} = \vec{D}_{AB} − \vec{D}_{AD} = \vec{D}_{AB} + (− \vec{D}_{AD}) \ldotp \label{2.5}\]

Notez qu'une différence de deux vecteurs n'est rien de plus qu'une somme vectorielle de deux vecteurs, car le deuxième terme de l'équation \ ref {2.5} est vecteur\(- \vec{D}_{AD}\) (qui est antiparallèle à\(\vec{D}_{AD}\)). Lorsque nous remplaçons l'équation \ ref {2.4} par l'équation \ ref {2.5}, nous obtenons le deuxième vecteur de déplacement :

\[\vec{D}_{DB} = \vec{D}_{AB} − \vec{D}_{AD} = \vec{D}_{AB} − 0.55\; \vec{D}_{AB} = (1.0 − 0.55)\; \vec{D}_{AB} = 0.45\; \vec{D}_{AB} \ldotp \label{2.6}\]

Ce résultat signifie que votre ami a marché D _DB = 0,45 D _AB = 0,45 (6,0 km) = 2,7 km entre le point où il trouve sa boîte à pêche et le trou de pêche.

Lorsque les vecteurs\(\vec{A}\) et\(\vec{B}\) se situent le long d'une ligne (c'est-à-dire dans une dimension), comme dans l'exemple du camping, leur résultante\(\vec{R}\) =\(\vec{A}\) +\(\vec{B}\) et leur différence\(\vec{D}\) =\(\vec{A}\) − se situent\(\vec{B}\) tous deux dans la même direction. Nous pouvons illustrer l'addition ou la soustraction de vecteurs en dessinant les vecteurs correspondants à l'échelle dans une dimension, comme le montre la figure\(\PageIndex{6}\).

Pour illustrer le résultat lorsque\(\vec{A}\) et\(\vec{B}\) sont deux vecteurs parallèles, nous les dessinons le long d'une ligne en plaçant l'origine d'un vecteur à la fin de l'autre vecteur de façon tête-à-queue (voir Figure (\ PageIndex {6b} \)). L'amplitude de cette résultante est la somme de leurs magnitudes : R = A + B. La direction de la résultante est parallèle aux deux vecteurs. Lorsque le vecteur\(\vec{A}\) est antiparallèle au vecteur\(\vec{B}\), nous le dessinons le long d'une ligne, soit en tête-à-tête (Figure (\ PageIndex {6c} \)), soit en forme de queue à queue. L'amplitude de la différence vectorielle est donc la valeur absolue D = |A − B| de la différence de leurs magnitudes. La direction du vecteur de différence\(\vec{D}\) est parallèle à la direction du vecteur le plus long.

En général, dans une dimension, ainsi que dans des dimensions supérieures, comme dans un plan ou dans l'espace, nous pouvons ajouter n'importe quel nombre de vecteurs et nous pouvons le faire dans n'importe quel ordre car l'ajout de vecteurs est commutatif,

\[\vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A} \ldotp \label{2.7}\]

et associatif,

\[ (\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C} = \vec{A} + (\vec{B} + \vec{C}) \ldotp \label{2.8}\]

De plus, la multiplication par un scalaire est distributive :

\[ \alpha_{1} \vec{A} + \alpha_{2} \vec{A} = (\alpha_{1} + \alpha_{2}) \vec{A} \ldotp \label{2.9}\]

Nous avons utilisé la propriété distributive dans l'équation \ ref {2.4} et l'équation \ ref {2.6}.

Lorsque vous ajoutez de nombreux vecteurs dans une dimension, il est pratique d'utiliser le concept de vecteur unitaire. Un vecteur unitaire, qui est indiqué par un symbole littéral avec un chapeau, par exemple\(\hat{u}\), a une magnitude de 1 et ne possède aucune unité physique de sorte que |\(\hat{u}\) | ≡ u = 1. Le seul rôle d'un vecteur unitaire est de spécifier la direction. Par exemple, au lieu de dire que le vecteur\(\vec{D}_{AB}\) a une magnitude de 6,0 km et une direction nord-est, nous pouvons introduire un vecteur unitaire\(\hat{u}\) qui pointe vers le nord-est et dire succinctement que\(\vec{D}_{AB}\) = (6,0 km)\(\hat{u}\). Ensuite, la direction sud-ouest est simplement donnée par le vecteur unitaire\(- \hat{u}\). De cette manière, le déplacement de 6,0 km dans la direction sud-ouest est exprimé par le vecteur

\[\vec{D}_{BA} = (−6.0\; km)\; \hat{u} \ldotp \nonumber\]