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2.E : Vecteurs (exercices)

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Questions conceptuelles

    2.1 Scalaires et vecteurs

    1. Une prévision météorologique indique que la température devrait être de −5 °C le jour suivant. Cette température est-elle un vecteur ou une quantité scalaire ? Expliquez.
    2. Lequel des éléments suivants est un vecteur : la taille d'une personne, l'altitude sur le mont. L'Everest, la vitesse d'une mouche, l'âge de la Terre, le point d'ébullition de l'eau, le coût d'un livre, la population de la Terre ou l'accélération de la gravité ?
    3. Donnez un exemple précis de vecteur, en indiquant sa magnitude, ses unités et sa direction.
    4. Qu'est-ce que les vecteurs et les scalaires ont en commun ? En quoi diffèrent-ils ?
    5. Supposons que vous ajoutiez deux vecteurs\(\vec{A}\) et\(\vec{B}\). Quelle direction relative entre elles produit la résultante ayant la plus grande amplitude ? Quelle est la magnitude maximale ? Quelle direction relative entre elles produit la résultante ayant la plus petite magnitude ? Quelle est la magnitude minimale ?
    6. Est-il possible d'ajouter une quantité scalaire à une quantité vectorielle ?
    7. Est-il possible que deux vecteurs de magnitudes différentes s'additionnent à zéro ? Est-il possible que trois vecteurs de magnitudes différentes s'additionnent à zéro ? Expliquez.
    8. L'odomètre d'une automobile indique-t-il une quantité scalaire ou vectorielle ?
    9. Lorsqu'un coureur de 10 000 m sur une piste de 400 m franchit la ligne d'arrivée, quel est le déplacement net du coureur ? Ce déplacement peut-il être nul ? Expliquez.
    10. Un vecteur a une magnitude nulle. Faut-il préciser sa direction ? Expliquez.
    11. L'amplitude d'un vecteur peut-elle être négative ?
    12. L'amplitude du déplacement d'une particule peut-elle être supérieure à la distance parcourue ?
    13. Si deux vecteurs sont égaux, que pouvez-vous dire à propos de leurs composants ? Que pouvez-vous dire à propos de leur ampleur ? Que pouvez-vous dire à propos de leurs orientations ?
    14. Si la somme de trois vecteurs est égale à zéro, à quelle condition géométrique répondent-ils ?

    2.2 Systèmes de coordonnées et composants d'un vecteur

    1. Donnez un exemple de vecteur différent de zéro dont la composante est nulle.
    2. Expliquez pourquoi un vecteur ne peut pas avoir une composante supérieure à sa propre magnitude.
    3. Si deux vecteurs sont égaux, que pouvez-vous dire à propos de leurs composants ?
    4. Si les vecteurs A\(\vec{A}\) et\(\vec{B}\) sont orthogonaux, quelle est la composante\(\vec{B}\) le long de la direction de\(\vec{A}\) ? Quelle est la composante du\(\vec{A}\) long de la direction de\(\vec{B}\) ?
    5. Si l'une des deux composantes d'un vecteur n'est pas nulle, l'amplitude de l'autre composante vectorielle de ce vecteur peut-elle être nulle ?
    6. Si deux vecteurs ont la même magnitude, leurs composantes doivent-elles être les mêmes ?

    2.4 Produits de vecteurs

    1. Quel est le problème avec les expressions suivantes ? Comment pouvez-vous les corriger ?
      1. \(C = \vec{A} \vec{B}\),
      2. \(\vec{C} = \vec{A} \vec{B}\),
      3. \(C = \vec{A} \times \vec{B}\),
      4. \(C = A \vec{B}\),
      5. \(C + 2 \vec{A} = B \),
      6. \(\vec{C} = A \times \vec{B}\),
      7. \(\vec{A} \cdotp \vec{B} = \vec{A} \times \vec{B}\),
      8. \(\vec{C} = 2 \vec{A} \cdotp \vec{B}\),
      9. \(C = \vec{A} / \vec{B}\), et
      10. \(C = \vec{A} /B\).
    2. Si le produit croisé de deux vecteurs disparaît, que pouvez-vous dire à propos de leurs directions ?
    3. Si le produit scalaire de deux vecteurs disparaît, que pouvez-vous dire à propos de leurs directions ?
    4. Quel est le produit scalaire d'un vecteur avec le produit croisé que ce vecteur a avec un autre vecteur ?

    Des problèmes

    2.1 Scalaires et vecteurs

    1. Un plongeur fait une lente descente dans les profondeurs de l'océan. Sa position verticale par rapport à un bateau en surface change plusieurs fois. Il fait le premier arrêt à 9,0 m du bateau mais a du mal à équilibrer la pression. Il monte donc 3 m puis continue de descendre sur 12 m supplémentaires jusqu'au deuxième arrêt. De là, il monte 4 m puis redescend sur 18,0 m, remonte sur 7 m et redescend sur 24,0 m, où il s'arrête en attendant son pote. En supposant la direction positive jusqu'à la surface, exprimez son vecteur de déplacement vertical net en termes de vecteur unitaire. Quelle est sa distance par rapport au bateau ?
    2. Lors d'une partie de tir à la corde sur un campus, 15 étudiants tirent sur une corde aux deux extrémités pour tenter de déplacer le nœud central d'un côté ou de l'autre. Deux élèves tirent avec une force de 196 N chacun vers la droite, quatre étudiants tirent avec une force de 98 N chacun vers la gauche, cinq étudiants tirent avec une force de 62 N chacun vers la gauche, trois étudiants tirent avec une force de 150 N chacun vers la droite et un élève tire avec une force de 250 N vers la gauche. En supposant que la direction est positive vers la droite, exprimez l'attraction nette sur le nœud en termes de vecteur unitaire. Quelle est la taille de la traction du filet sur le nœud ? Dans quelle direction ?
    3. Supposons que vous marchiez 18,0 m tout droit vers l'ouest puis 25,0 m tout droit vers le nord. À quelle distance vous trouvez-vous de votre point de départ et quelle est la direction boussole d'une ligne reliant votre point de départ à votre position finale ? Utilisez une méthode graphique.
    4. Pour les vecteurs présentés dans la figure suivante, utilisez une méthode graphique pour trouver les résultats suivants :
      1. \(\vec{A} + \vec{B}\),
      2. \(\vec{C} + \vec{B}\),
      3. \(\vec{D} + \vec{F}\),
      4. \(\vec{A} − \vec{B}\),
      5. \(\vec{D} − \vec{F}\),
      6. \(\vec{A} + 2 \vec{F}\),
      7. \(\vec{A} − 4 \vec{D} + 2 \vec{F}\).

    Le système de coordonnées x y est affiché, avec un x positif vers la droite et un y positif vers le haut. Le vecteur A a une magnitude de 10,0 et forme un angle de 30 degrés au-dessus de la direction x positive. Le vecteur B a une magnitude de 5,0 et forme un angle de 53 degrés au-dessus de la direction x positive. Le vecteur C a une magnitude de 12,0 et forme un angle de 60 degrés en dessous de la direction x positive. Le vecteur D a une magnitude de 20,0 et forme un angle de 37 degrés au-dessus de la direction x négative. Le vecteur F a une magnitude de 20,0 et forme un angle de 30 degrés en dessous de la direction x négative.

    1. Un livreur part du bureau de poste, parcourt 40 km au nord, puis 20 km à l'ouest, 60 km au nord-est et enfin 50 km au nord pour s'arrêter pour déjeuner. Utilisez une méthode graphique pour trouver son vecteur de déplacement net.
    2. Un chien aventureux s'éloigne de chez lui, court trois pâtés de maisons à l'est, deux pâtés de maisons au nord, un pâté de maisons à l'est, un pâté de maisons au nord et En supposant que chaque bloc mesure environ 100 m, à quelle distance de la maison et dans quelle direction se trouve le chien ? Utilisez une méthode graphique.
    3. Pour échapper à une île déserte, un naufragé construit un radeau et part en mer. Le vent se déplace beaucoup pendant la journée et il est soufflé dans les directions suivantes : 2,50 km et 45,0° au nord de l'ouest, puis 4,70 km et 60,0° au sud de l'est, puis 1,30 km et 25,0° au sud de l'ouest, puis 5,10 km tout droit à l'est, puis 1,70 km et 5,00° à l'est du nord, puis 7,20 km et 55,0° au sud-ouest, et enfin 2,80 km et 10,0° au nord de l'est. Utilisez une méthode graphique pour déterminer la position finale du naufragé par rapport à l'île.
    4. Un petit avion parcourt 40,0 km dans une direction de 60° au nord de l'est, puis parcourt 30,0 km dans une direction de 15° au nord de l'est. Utilisez une méthode graphique pour déterminer la distance totale parcourue par l'avion depuis le point de départ et la direction de la trajectoire jusqu'à la position finale.
    5. Un trappeur parcourt une distance de 5,0 km en ligne droite entre sa cabane et le lac, comme le montre la figure suivante. Utilisez une méthode graphique (la règle du parallélogramme) pour déterminer le déplacement du trappeur directement vers l'est et son déplacement directement vers le nord, qui se résument à son vecteur de déplacement résultant. Si le trappeur ne marchait que dans les directions est et nord, en zigzaguant jusqu'au lac, combien de kilomètres devrait-il parcourir pour se rendre au lac ?

    Le nord est en haut, l'est à droite. Une maison et un lac sont représentés. Le système de coordonnées x y est également indiqué, avec l'origine près de la maison, la direction x positive vers la droite et la direction y positive vers le haut. Le vecteur allant de la maison au lac est représenté par une flèche rouge droite, étiquetée comme vecteur S, magnitude S = 5,0 kilomètres, et à un angle de 40 degrés au-dessus de la direction x positive. Deux sentiers sinueux, le sentier 1 et le chemin 2, de la maison au lac sont indiqués en pointillés.

    1. Un géomètre mesure la distance à travers une rivière qui coule directement vers le nord selon la méthode suivante. En partant directement en face d'un arbre sur la rive opposée, l'arpenteur marche 100 m le long de la rivière pour établir une ligne de base. Elle regarde ensuite l'arbre et constate que l'angle entre la ligne de base et l'arbre est de 35°. Quelle est la largeur de la rivière ?
    2. Un piéton marche à 6 km vers l'est, puis 13 km vers le nord. Utilisez une méthode graphique pour déterminer le déplacement et la direction géographique qui en résultent pour le piéton.
    3. Les magnitudes de deux vecteurs de déplacement sont A = 20 m et B = 6 m. Quelles sont les plus grandes et les plus petites valeurs de l'amplitude de la résultante\(\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}\) ?

    2.2 Systèmes de coordonnées et composants d'un vecteur

    1. En supposant que l'axe+x est horizontal et pointe vers la droite, résolvez les vecteurs indiqués dans la figure suivante en leurs composantes scalaires et exprimez-les sous forme de composants vectoriels.

    Le système de coordonnées x y est affiché, avec un x positif vers la droite et un y positif vers le haut. Le vecteur A a une magnitude de 10,0 et forme un angle de 30 degrés au-dessus de la direction x positive. Le vecteur B a une magnitude de 5,0 et forme un angle de 53 degrés au-dessus de la direction x positive. Le vecteur C a une magnitude de 12,0 et forme un angle de 60 degrés en dessous de la direction x positive. Le vecteur D a une magnitude de 20,0 et forme un angle de 37 degrés au-dessus de la direction x négative. Le vecteur F a une magnitude de 20,0 et forme un angle de 30 degrés en dessous de la direction x négative.

    1. Supposons que vous marchiez 18,0 m tout droit vers l'ouest puis 25,0 m tout droit vers le nord. À quelle distance êtes-vous de votre point de départ ? Quel est votre vecteur de déplacement ? Quelle est la direction de votre déplacement ? Supposons que l'axe+x se trouve à l'est.
    2. Vous parcourez 7,50 km en ligne droite dans la direction 15° est par rapport au nord. (a) Déterminez les distances que vous devez parcourir tout droit vers l'est, puis tout droit vers le nord pour arriver au même point. (b) Montrez que vous arrivez toujours au même point si les étapes est et nord sont inversées dans l'ordre. Supposons que l'axe +x se trouve à l'est.
    3. Un traîneau est tiré par deux chevaux sur un terrain plat. La force nette sur le traîneau peut être exprimée dans le système de coordonnées cartésien sous la forme d'un vecteur\(\vec{F}\) = (−2980,0\(\hat{i}\) + 8200,0\(\hat{j}\)) N, où\(\hat{i}\) et\(\hat{j}\) indiquent les directions vers l'est et le nord, respectivement. Déterminez l'amplitude et la direction de l'attraction.
    4. Une trappeuse parcourt une distance de 5,0 km en ligne droite entre sa cabane et le lac, comme le montre la figure suivante. Déterminez les composantes est et nord de son vecteur de déplacement. Combien de kilomètres aurait-elle encore à parcourir si elle marchait le long des déplacements des composants ? Quel est son vecteur de déplacement ?

    Le vecteur allant de la cabane au lac est le vecteur S, d'une magnitude de 5,0 kilomètres et pointant à 40 degrés au nord de l'est. Deux chemins sinueux supplémentaires sont illustrés et étiquetés chemin 1 et chemin 2.

    1. Les coordonnées polaires d'un point sont\(\frac{4 \pi}{3}\) et 5,50 m. Quelles sont ses coordonnées cartésiennes ?
    2. Deux points d'un plan ont des coordonnées polaires P 1 (2 500 m\(\frac{\pi}{6}\)) et P 2 (3 800 m,\(\frac{2 \pi}{3}\)). Déterminez leurs coordonnées cartésiennes et la distance qui les sépare dans le système de coordonnées cartésiennes. Arrondissez la distance au centimètre le plus proche.
    3. Un caméléon se repose tranquillement sur un paravent, attendant l'arrivée d'un insecte. Supposons que l'origine d'un système de coordonnées cartésiennes se trouve dans le coin inférieur gauche de l'écran et que la direction horizontale vers la droite correspond à la direction +x. Si ses coordonnées sont (2 000 m, 1 000 m), (a) à quelle distance se trouve-t-il du coin de l'écran ? (b) Quelle est sa position en coordonnées polaires ?
    4. Deux points du plan cartésien sont A (2,00 m, −4,00 m) et B (−3,00 m, 3,00 m). Déterminez la distance qui les sépare de leurs coordonnées polaires.
    5. Une mouche entre par une fenêtre ouverte et zoome autour de la pièce. Dans un système de coordonnées cartésien comportant trois axes le long de trois bords de la pièce, la mouche change de position du point b (4,0 m, 1,5 m, 2,5 m) au point e (1,0 m, 4,5 m, 0,5 m). Trouvez les composantes scalaires du vecteur de déplacement de la mouche et exprimez son vecteur de déplacement sous forme de composante vectorielle. Quelle est son ampleur ?

    2.3 Algèbre des vecteurs

    1. Pour les vecteurs\(\vec{B} = − \hat{i} − 4 \hat{j}\) et\(\vec{A} = −3 \hat{i} − 2 \hat{j}\), calculez (a)\(\vec{A} + \vec{B}\) et son amplitude et son angle de direction, et (b)\(\vec{A} − \vec{B}\) son amplitude et son angle de direction.
    2. Une particule subit trois déplacements consécutifs donnés par des vecteurs\(\vec{D}_{1}\) = (3,0\(\hat{i}\) − 4,0\(\hat{j}\) − 2,0\(\hat{k}\)) mm,\(\vec{D}_{2}\) = (1,0\(\hat{i}\) − 7,0\(\hat{j}\) + 4,0\(\hat{i}\)) mm et\(\vec{D}_{3}\) = (−7,0\(\hat{i}\) + 4,0\(\hat{j}\) + 1,0\(\hat{k}\)) mm. (a) Détermine le vecteur de déplacement résultant de la particule. (b) Quelle est l'ampleur du déplacement qui en résulte ? (c) Si tous les déplacements se faisaient le long d'une seule ligne, quelle distance parcourrait la particule ?
    3. Étant donné deux vecteurs de déplacement\(\vec{A}\) = (3,00\(\hat{i}\) − 4,00\(\hat{j}\) + 4,00\(\hat{k}\)) m et\(\vec{B}\) = (2,00\(\hat{i}\) + 3,00\(\hat{j}\) − 7,00\(\hat{k}\)) m, déterminez les déplacements et leurs amplitudes pour (a)\(\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}\) et (b)\(\vec{D} = 2 \vec{A} − \vec{B}\).
    4. Un petit avion parcourt 40,0 km dans une direction de 60° au nord de l'est, puis parcourt 30,0 km dans une direction de 15° au nord de l'est. Utilisez la méthode analytique pour déterminer la distance totale parcourue par l'avion depuis le point de départ et la direction géographique de son vecteur de déplacement. Quel est son vecteur de déplacement ?
    5. . Pour échapper à une île déserte, un naufragé construit un radeau et part en mer. Le vent se déplace beaucoup pendant la journée, et il est soufflé selon les lignes droites suivantes : 2,50 km et 45,0° au nord de l'ouest, puis 4,70 km et 60,0° au sud de l'est, puis 1,30 km et 25,0° au sud de l'ouest, puis 5,10 km plein est, puis 1,70 km et 5,00° à l'est du nord, puis 7,20 km et 55,0° au sud-ouest, et enfin 2,80 km et 10,0° au nord de l'est. Utilisez la méthode analytique pour trouver le vecteur résultant de tous ses vecteurs de déplacement. Quelles en sont l'ampleur et l'orientation ?
    6. En supposant que l'axe+x est horizontal vers la droite pour les vecteurs indiqués dans la figure suivante, utilisez la méthode analytique pour trouver les résultats suivants :
      1. \(\vec{A} + \vec{B}\),
      2. \(\vec{C} + \vec{B}\),
      3. \(\vec{D} + \vec{F}\),
      4. \(\vec{A} - \vec{B}\),
      5. \(\vec{D} - \vec{F}\),
      6. \(\vec{A} + 2 \vec{F}\),
      7. \(\vec{C} - 2 \vec{B} + 3 \vec{F}\), et
      8. \(\vec{A} - 4 \vec{D} + 2 \vec{F}\).
    7. À partir des vecteurs de la figure précédente, trouvez le vecteur\(\vec{R}\) qui résout les équations (a)\(\vec{D} + \vec{R} = \vec{F}\) et (b)\(\vec{C} - 2 \vec{D} + 5 \vec{R} = 3 \vec{F}\). Supposons que l'axe+x soit horizontal vers la droite.
    8. Un livreur part du bureau de poste, parcourt 40 km au nord, puis 20 km à l'ouest, 60 km au nord-est et enfin 50 km au nord pour s'arrêter pour déjeuner. Utilisez la méthode analytique pour déterminer ce qui suit : (a) Trouvez son vecteur de déplacement net. (b) À quelle distance se trouve le restaurant du bureau de poste ? (c) S'il revient directement du restaurant au bureau de poste, quel est son vecteur de déplacement lors du voyage aller-retour ? (d) Quelle est la direction de sa boussole lors du voyage de retour ? Supposons que l'axe+x se trouve à l'est.
    9. Un chien aventureux s'éloigne de chez lui, court trois pâtés de maisons à l'est, deux pâtés de maisons au nord, et un pâté de maisons à l'est, un pâté de maisons au nord et En supposant que chaque bloc mesure environ 100 m, utilisez la méthode analytique pour déterminer le vecteur de déplacement net du chien, son amplitude et sa direction. Supposons que l'axe+x se trouve à l'est. Comment votre réponse serait-elle affectée si chaque bloc mesurait environ 100 m ?
    10. Si\(\vec{D}\) = (6,00\(\hat{i}\) − 8,00\(\hat{j}\) m,\(\vec{B}\) = (−8,00\(\hat{i}\) + 3,00\(\hat{j}\)) m et\(\vec{A}\) = (26,0\(\hat{i}\) + 19,0\(\hat{j}\)) m, trouvez les constantes inconnues a et b telles que\(\vec{D} + b \vec{B} + \vec{A} = \vec{0}\) a.
    11. Étant donné que le vecteur de déplacement\(\vec{D}\) = (3\(\hat{i}\) − 4\(\hat{j}\)) m, déterminez le vecteur de déplacement de\(\vec{R}\) telle sorte que\(\vec{D}\) +\(\vec{R}\) = −4D\(\hat{j}\).
    12. Détermine le vecteur unitaire de direction pour les quantités vectorielles suivantes : (a) Force\(\vec{F}\) = (3,0\(\hat{i}\) − 2,0\(\hat{j}\)) N, (b) déplacement\(\vec{D}\) = (−3,0\(\hat{i}\) − 4,0\(\hat{j}\)) m et (c) vitesse\(\vec{v}\) = (−5,00\(\hat{i}\) + 4,00\(\hat{j}\)) m/s.
    13. À un point de l'espace, la direction du vecteur du champ électrique est donnée dans le système cartésien par le vecteur unitaire\(\hat{E} = \frac{1}{\sqrt{5}} \hat{i} - \frac{2}{\sqrt{5}} \hat{j}\). Si l'amplitude du vecteur de champ électrique est E = 400,0 V/m, quelles sont les composantes scalaires E x, E y et E z du vecteur de champ électrique\(\vec{E}\) à ce stade ? Quel est l'angle\(\theta_{E}\) de direction du vecteur du champ électrique à ce point ?
    14. Une barge est tractée par les deux remorqueurs illustrés dans la figure suivante. Un remorqueur tire sur la barge avec une force de magnitude de 4 000 unités de force à 15° au-dessus de la ligne AB (voir la figure) et l'autre remorqueur tire sur la barge avec une force de magnitude de 5 000 unités de force à 12° en dessous de la ligne AB. Déterminez les forces de traction sur leurs composantes scalaires et déterminez les composantes de la force résultante qui exerce une traction sur la barge. Quelle est l'ampleur de l'attraction qui en résulte ? Quelle est sa direction par rapport à la ligne AB ?
    15. Dans la tour de contrôle d'un aéroport régional, un contrôleur de la circulation aérienne surveille deux aéronefs lorsque leur position change par rapport à la tour de contrôle. L'un des avions est un cargo Boeing 747 et l'autre est un Douglas DC-3. Le Boeing se trouve à une altitude de 2 500 m, monte à 10° au-dessus de l'horizontale et se déplace à 30° au nord-ouest. Le DC-3 se trouve à 3 000 m d'altitude, grimpe à 5° au-dessus de l'horizontale et navigue directement vers l'ouest. (a) Trouvez les vecteurs de position des plans par rapport à la tour de contrôle. (b) Quelle est la distance entre les avions au moment où le contrôleur de la circulation aérienne prend note de leur position ?

    2.4 Produits de vecteurs

    1. En supposant que l'axe+x est horizontal vers la droite pour les vecteurs de la figure suivante, recherchez les produits scalaires suivants :
      1. \(\vec{A} \cdotp \vec{C}\),
      2. \(\vec{A} \cdotp \vec{F}\),
      3. \(\vec{D} \cdotp \vec{C}\),
      4. \(\vec{A} \cdotp ( \vec{F} + 2 \vec{C})\),
      5. \(\hat{i} \cdotp \vec{B}\),
      6. \(\hat{j} \cdotp \vec{B}\),
      7. \((3 \hat{i} - \hat{j}) \cdotp \vec{B}\)et
      8. \(\hat{B} \cdotp \vec{B}\).

    Le système de coordonnées x y a un x positif vers la droite et un y positif vers le haut. Le vecteur A a une magnitude de 10,0 et pointe à 30 degrés dans le sens antihoraire à partir de la direction x positive. Le vecteur B a une magnitude de 5,0 et pointe à 53 degrés dans le sens antihoraire à partir de la direction x positive. Le vecteur C a une magnitude de 12,0 et pointe à 60 degrés dans le sens des aiguilles d'une montre depuis la direction x positive. Le vecteur D a une magnitude 20,0 et pointe à 37 degrés dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de la direction x négative Le vecteur F a une magnitude de 20,0 et pointe à 30 degrés dans le sens antihoraire à partir de la direction x négative.

    1. En supposant que l'axe+x est horizontal vers la droite pour les vecteurs de la figure précédente, trouvez (a) la composante du vecteur\(\vec{A}\) le long du vecteur\(\vec{C}\), (b) la composante du vecteur\(\vec{C}\) le long du vecteur\(\vec{A}\), (c) la composante du vecteur\(\hat{i}\)\(\vec{F}\) le long du vecteur et (d) la composante de vecteur\(\vec{F}\) sur vecteur\(\hat{i}\).
    2. Trouvez l'angle entre les vecteurs pour
      1. \(\vec{D}\)= (−3,0\(\hat{i}\) − 4,0\(\hat{j}\)) m et\(\vec{A}\) = (−3,0\(\hat{i}\) + 4,0\(\hat{j}\)) m et
      2. \(\vec{D}\)= (2,0\(\hat{i}\) − 4,0\(\hat{j}\) +\(\hat{k}\)) m et\(\vec{B}\) = (−2,0\(\hat{i}\) + 3,0\(\hat{j}\) + 2,0\(\hat{k}\)) m.
    3. Déterminez les angles que le vecteur\(\vec{D}\) = (2,0\(\hat{i}\) − 4,0\(\hat{j}\) +\(\hat{k}\)) m fait avec les axes x, y et z.
    4. Montrez que le vecteur de force\(\vec{D}\) = (2,0\(\hat{i}\) − 4,0\(\hat{j}\) +\(\hat{k}\)) N est orthogonal au vecteur de force\(\vec{G}\) = (3,0\(\hat{i}\) + 4,0\(\hat{j}\) + 10,0\(\hat{k}\)) N.
    5. En supposant que l'axe+x est horizontal vers la droite pour les vecteurs de la figure suivante, recherchez les produits vectoriels suivants :
      1. \(\vec{A} \times \vec{C}\),
      2. \(\vec{A} \times \vec{F}\),
      3. \(\vec{D} \times \vec{C}\)
      4. \(\vec{A} \times (\vec{F} + 2 \vec{C})\),
      5. \(\hat{i} \times \vec{B}\),
      6. \(\hat{j} \times \vec{B}\),
      7. \((3 \hat{i} - \hat{j}) \times \vec{B}\)et
      8. \(\hat{B} \times \vec{B}\).

    Le système de coordonnées x y a un x positif vers la droite et un y positif vers le haut. Le vecteur A a une magnitude de 10,0 et pointe à 30 degrés dans le sens antihoraire à partir de la direction x positive. Le vecteur B a une magnitude de 5,0 et pointe à 53 degrés dans le sens antihoraire à partir de la direction x positive. Le vecteur C a une magnitude de 12,0 et pointe à 60 degrés dans le sens des aiguilles d'une montre depuis la direction x positive. Le vecteur D a une magnitude 20,0 et pointe à 37 degrés dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de la direction x négative Le vecteur F a une magnitude de 20,0 et pointe à 30 degrés dans le sens antihoraire à partir de la direction x négative.

    1. Trouvez le produit Cross\(\vec{A} \times \vec{C}\) pour
      1. \(\vec{A}\)= 2,0\(\hat{i}\) − 4,0\(\hat{j}\) +\(\hat{k}\) et\(\vec{C}\) = 3,0\(\hat{i}\) + 4,0\(\hat{j}\) + 10,0\(\hat{k}\),
      2. \(\vec{A}\)= 3,0\(\hat{i}\) + 4,0\(\hat{j}\) + 10,0\(\hat{k}\) et\(\vec{C}\) = 2,0\(\hat{i}\) − 4,0\(\hat{j}\) +\(\hat{k}\),
      3. \(\vec{A}\)= −3,0\(\hat{i}\) − 4,0\(\hat{j}\) et\(\vec{C}\) = −3,0\(\hat{i}\) + 4,0\(\hat{j}\), et
      4. \(\vec{C}\)= −2,0\(\hat{i}\) + 3,0\(\hat{j}\) + 2,0\(\hat{k}\) et\(\vec{A}\) = −9,0\(\hat{j}\).
    2. Pour les vecteurs de la figure suivante, recherchez (a) (\(\vec{A} \times \vec{F} \cdotp \vec{D}\)), (b) (\(\vec{A} \times \vec{F}) \cdotp (\vec{A} \times \vec{C}\)) et (c) (\(\vec{A} \cdotp \vec{F})(\vec{D} \times \vec{B}\)).

    Le système de coordonnées x y a un x positif vers la droite et un y positif vers le haut. Le vecteur A a une magnitude de 10,0 et pointe à 30 degrés dans le sens antihoraire à partir de la direction x positive. Le vecteur B a une magnitude de 5,0 et pointe à 53 degrés dans le sens antihoraire à partir de la direction x positive. Le vecteur C a une magnitude de 12,0 et pointe à 60 degrés dans le sens des aiguilles d'une montre depuis la direction x positive. Le vecteur D a une magnitude 20,0 et pointe à 37 degrés dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de la direction x négative Le vecteur F a une magnitude de 20,0 et pointe à 30 degrés dans le sens antihoraire à partir de la direction x négative.

    1. (a) Si\(\vec{A} \times \vec{F} = \vec{B} \times \vec{F}\), pouvons-nous conclure\(\vec{A}\) =\(\vec{B}\) ? (b) Si\(\vec{A} \cdotp \vec{F}\) =\(\vec{B} \cdotp \vec{F}\), pouvons-nous conclure\(\vec{A}\) =\(\vec{B}\) ? (c) Si\(F \vec{A}\) =\(\vec{B} F\), pouvons-nous conclure\(\vec{A}\) =\(\vec{B}\) ? Pourquoi ou pourquoi pas ?

    Problèmes supplémentaires

    1. Vous parcourez 32,0 km en ligne droite dans des airs calmes dans la direction de 35,0° au sud-ouest. (a) Déterminez les distances que vous devez parcourir plein sud puis plein ouest pour arriver au même point. (b) Déterminez les distances que vous devez parcourir d'abord dans une direction de 45,0° au sud de l'ouest, puis dans une direction de 45,0° à l'ouest par rapport au nord. Notez que ce sont les composantes du déplacement le long d'un ensemble d'axes différent, à savoir celui pivoté de 45° par rapport aux axes indiqués dans (a).
    2. Les coordonnées rectangulaires d'un point sont données par (2, y) et ses coordonnées polaires sont données par (r,\(\frac{\pi}{6}\)). Trouve y et r.
    3. Si les coordonnées polaires d'un point sont (r,\(\varphi\)) et ses coordonnées rectangulaires sont (x, y), déterminez les coordonnées polaires des points suivants : (a) (−x, y), (b) (−2x, −2y) et (c) (3x, −3y).
    4. Les vecteurs\(\vec{A}\) et\(\vec{B}\) ont des magnitudes identiques de 5,0 unités. Trouvez l'angle entre eux si\(\vec{A}\) +\(\vec{B}\) = 5 2\(\hat{j}\).
    5. Au départ de l'île de Moi, dans un archipel inconnu, un bateau de pêche fait un aller-retour avec deux arrêts sur les îles de Noi et Poi. Il navigue depuis Moi sur une distance de 4,76 milles marins (nmi) en direction de 37° au nord de l'est jusqu'à Noi. Depuis Noi, il navigue à 69° à l'ouest en direction du nord jusqu'à Poi. Au retour de Poi, il navigue à 28° à l'est du sud. À quelle distance navigue le bateau entre Noi et Poi ? Quelle distance navigue entre Moi et Poi ? Exprimez votre réponse en miles nautiques et en kilomètres. Remarque : 1 nmi = 1852 m.
    6. Un contrôleur de la circulation aérienne remarque deux signaux provenant de deux avions sur le moniteur radar. Un avion se trouve à une altitude de 800 m et à une distance horizontale de 19,2 km de la tour, dans une direction de 25° au sud-ouest. Le second plan se trouve à 1100 m d'altitude et sa distance horizontale est de 17,6 km et à 20° au sud de l'ouest. Quelle est la distance entre ces avions ?
    7. Montrez que lorsque\(\vec{A}\) +\(\vec{B}\) =\(\vec{C}\), alors C 2 = A 2 + B 2 + 2AB cos\(\varphi\), où\(\varphi\) est l'angle entre les vecteurs\(\vec{A}\) et\(\vec{B}\).
    8. Quatre vecteurs de force ont chacun la même amplitude f. Quelle est la plus grande amplitude que peut avoir le vecteur de force résultant lorsque ces forces sont ajoutées ? Quelle est la plus petite magnitude de la résultante ? Faites un graphique des deux situations.
    9. Un patineur glisse le long d'une trajectoire circulaire d'un rayon de 5,00 m dans le sens des aiguilles d'une montre. Lorsqu'il parcourt environ la moitié du cercle, en partant de la pointe ouest, trouvez (a) l'amplitude de son vecteur de déplacement et (b) la distance réelle sur laquelle il a patiné. (c) Quelle est l'ampleur de son vecteur de déplacement lorsqu'il fait tout le tour du cercle et revient à la pointe ouest ?
    10. Un chien têtu se fait promener en laisse par son propriétaire. À un moment donné, le chien trouve une odeur intéressante à un endroit quelconque du sol et souhaite l'explorer en détail, mais le propriétaire s'impatiente et tire la laisse avec force\(\vec{F}\) = (98,0\(\hat{i}\) + 132,0\(\hat{j}\) + 32,0\(\hat{j}\)) N le long de la laisse. a) Quelle est l'ampleur de la force de traction ? (b) Quel est l'angle de la laisse par rapport à la verticale ?
    11. Si le vecteur de vitesse d'un ours polaire est\(\vec{u}\) = (−18,0\(\hat{i}\) − 13,0\(\hat{j}\)) km/h, à quelle vitesse et dans quelle direction géographique se dirige-t-il ? Ici,\(\hat{i}\) et\(\hat{j}\) se trouvent les directions géographiques vers l'est et le nord, respectivement.
    12. Trouvez les composantes scalaires des vecteurs tridimensionnels\(\vec{G}\) et,\(\vec{H}\) dans la figure suivante, écrivez les vecteurs sous forme de composants vectoriels en termes de vecteurs unitaires des axes.

    Le vecteur G a une magnitude de 10,0. Sa projection dans le plan x y se situe entre les directions positive x et positive y, à un angle de 45 degrés par rapport à la direction x positive. L'angle entre le vecteur G et la direction z positive est de 60 degrés. Le vecteur H a une magnitude de 15,0. Sa projection dans le plan x y se situe entre les directions x négative et positive y, à un angle de 30 degrés par rapport à la direction y positive. L'angle entre le vecteur H et la direction z positive est de 450 degrés.

    1. Un plongeur explore un récif peu profond au large des côtes du Belize. Elle nage d'abord à 90,0 m vers le nord, fait un virage vers l'est et continue sur 200,0 m, puis suit un gros mérou sur 80,0 m en direction de 30° au nord de l'est. Entre-temps, un courant local la déplace de 150,0 m vers le sud. En supposant que le courant n'est plus présent, dans quelle direction et jusqu'où doit-elle maintenant nager pour revenir au point de départ ?
    2. Un vecteur de force\(\vec{A}\) possède des composantes x et y, respectivement, de −8,80 unités de force et de 15,00 unités de force. Les composantes x et y du vecteur de force\(\vec{B}\) sont, respectivement, 13,20 unités de force et −6,60 unités de force. Détermine les composantes du vecteur de force\(\vec{C}\) qui satisfait l'équation vectorielle\(\vec{A}\) −\(\vec{B}\) + 3\(\vec{C}\) = 0.
    3. Les vecteurs A\(\vec{A}\) et\(\vec{B}\) sont deux vecteurs orthogonaux dans le plan xy et ils ont des magnitudes identiques. Si\(\vec{A}\) = 3,0\(\hat{i}\) + 4,0\(\hat{j}\), trouvez\(\vec{B}\).
    4. Pour les vecteurs tridimensionnels de la figure suivante, recherchez (a)\(\vec{G} \times \vec{H}\), (b)\(\vec{G} \times \vec{H}\) | | et (c)\(\vec{G} \cdotp \vec{H}\).

    Le vecteur G a une magnitude de 10,0. Sa projection dans le plan x y se situe entre les directions positive x et positive y, à un angle de 45 degrés par rapport à la direction x positive. L'angle entre le vecteur G et la direction z positive est de 60 degrés. Le vecteur H a une magnitude de 15,0. Sa projection dans le plan x y se situe entre les directions x négative et positive y, à un angle de 30 degrés par rapport à la direction y positive. L'angle entre le vecteur H et la direction z positive est de 450 degrés.

    1. Montrez qu'il\((\vec{B} \times \vec{C}) \cdotp \vec{A}\) s'agit du volume du parallélépipède, avec des arêtes formées par les trois vecteurs de la figure suivante.

    Le vecteur G a une magnitude de 10,0. Sa projection dans le plan x y se situe entre les directions positive x et positive y, à un angle de 45 degrés par rapport à la direction x positive. L'angle entre le vecteur G et la direction z positive est de 60 degrés. Le vecteur H a une magnitude de 15,0. Sa projection dans le plan x y se situe entre les directions x négative et positive y, à un angle de 30 degrés par rapport à la direction y positive. L'angle entre le vecteur H et la direction z positive est de 450 degrés.

    Problèmes liés au défi

    1. \(\vec{B}\)Le vecteur mesure 5,0 cm de long et\(\vec{A}\) le vecteur 4 cm de long. Détermine l'angle entre ces deux vecteurs lorsque |\(\vec{A} + \vec{B}\) | = 3,0 cm et |\(\vec{A}\) −\(\vec{B}\) | = 3,0 cm.
    2. Quelle est la composante du vecteur de force\(\vec{G}\) = (3,0\(\hat{i}\) + 4,0\(\hat{j}\) + 10,0\(\hat{k}\)) N le long du vecteur de force\(\vec{H}\) = (1,0\(\hat{i}\) + 4,0\(\hat{j}\)) N ?
    3. La figure suivante montre un triangle formé par les trois vecteurs\(\vec{A}\),\(\vec{B}\) et\(\vec{C}\). Si le vecteur\(\vec{C}\; '\) est dessiné entre les points médians des vecteurs\(\vec{A}\) et\(\vec{B}\), montrez que\(\vec{C}\; '\) =\(\frac{\vec{C}}{2}\).

    Les vecteurs A, B et C forment un triangle. Le vecteur A pointe vers le haut et vers la droite, le vecteur B commence à la tête de A et pointe vers le bas et la droite, et le vecteur C commence à la tête de B, se termine à la queue de A et pointe vers la gauche. Le vecteur C prime est parallèle au vecteur C et relie les points médians des vecteurs A et B.

    1. Les distances entre les points d'un plan ne changent pas lors de la rotation d'un système de coordonnées. En d'autres termes, l'amplitude d'un vecteur est invariante lors des rotations du système de coordonnées. Supposons qu'un système de coordonnées S pivote autour de son origine d'un angle\(\varphi\) pour devenir un nouveau système de coordonnées S', comme illustré dans la figure suivante. Un point dans un plan possède des coordonnées (x, y) en S et des coordonnées (x′, y′) en S'.
      1. Montrez que, lors de la transformation de la rotation, les coordonnées en S'sont exprimées en termes de coordonnées en S par les relations suivantes : $$ \ begin {cases} x' = x \ cos \ varphi + y \ sin \ varphi \ \ y' = -x \ sin \ varphi + y \ cos \ varphi \ end {cases} \ ldotp$$
      2. Montrez que la distance entre le point P et l'origine est invariante lors des rotations du système de coordonnées. Ici, vous devez montrer que $$ \ sqrt {x^ {2} + y^ {2}} = \ sqrt {x'^ {2} + y'^ {2}} \ ldotp$$
      3. Montrez que la distance entre les points P et Q est invariante lors des rotations du système de coordonnées. Ici, vous devez montrer que $$ \ sqrt {(x_ {P} - x_ {Q}) ^ {2} + (y_ {P} - y_ {Q}) ^ {2}} = \ sqrt {(x'_ {P} - x'_ {Q}) ^ {2} + (y'_ {P} - y'_ {Q}) ^ {2}} ldot$$

    Deux systèmes de coordonnées sont affichés. Le système de coordonnées x y S, en rouge, a un x positif vers la droite et un y positif vers le haut. Le système de coordonnées x prime y premier S prime, en bleu, partage la même origine que S mais pivote par rapport à S dans le sens antihoraire d'un angle phi. Deux points, P et Q, sont représentés. La coordonnée x du point P dans le cadre S est représentée par une ligne pointillée allant de P à l'axe x, tracée parallèlement à l'axe y. La coordonnée y du point P dans le cadre S est représentée par une ligne pointillée allant de P à l'axe y, tracée parallèlement à l'axe x. La coordonnée x première du point P dans le cadre S prime est représentée par une ligne pointillée allant de P à l'axe x premier, tracée parallèlement à l'axe y premier. La coordonnée première y du point P dans le cadre S prime est représentée par une ligne pointillée allant de P à l'axe y premier, tracée parallèlement à l'axe x premier.