2.S : Vecteurs (résumé)

Termes clés

propriété anticommutative	la modification de l'ordre de fonctionnement introduit le signe moins
vecteurs antiparallèles	deux vecteurs dont les directions diffèrent de 180°
associatif	les termes peuvent être regroupés de n'importe quelle façon
commutatif	les opérations peuvent être effectuées dans n'importe quel ordre
forme constitutive d'un vecteur	un vecteur écrit comme la somme vectorielle de ses composantes en termes de vecteurs unitaires
règle du tire-bouchon pour la main droite	une règle utilisée pour déterminer la direction du produit vectoriel
produit croisé	le résultat de la multiplication vectorielle de vecteurs est un vecteur appelé produit croisé ; également appelé produit vectoriel
différence de deux vecteurs	somme vectorielle du premier vecteur avec le vecteur antiparallèle au second
angle de direction	dans un plan, un angle entre la direction positive de l'axe x et le vecteur, mesuré dans le sens antihoraire entre l'axe et le vecteur
déplacement	changement de position
distributif	la multiplication peut être répartie sur des termes sous forme de sommation
produit dot	le résultat de la multiplication scalaire de deux vecteurs est un scalaire appelé produit scalaire ; également appelé produit scalaire
vecteurs égaux	deux vecteurs sont égaux si et seulement si toutes leurs composantes correspondantes sont égales ; en alternance, deux vecteurs parallèles de magnitudes égales
magnitude	longueur d'un vecteur
vecteur nul	un vecteur dont toutes ses composantes sont égales à zéro
vecteurs orthogonaux	deux vecteurs dont les directions diffèrent exactement de 90°, synonymes de vecteurs perpendiculaires
vecteurs parallèles	deux vecteurs avec exactement les mêmes angles de direction
règle du parallélogramme	construction géométrique de la somme vectorielle dans un plan
système de coordonnées polaires	un système de coordonnées orthogonales où la position dans un plan est donnée par des coordonnées polaires
coordonnées polaires	une coordonnée radiale et un angle
coordonnée radicale	distance par rapport à l'origine dans un système de coordonnées polaires
vecteur résultant	somme vectorielle de deux vecteurs (ou plus)
scalaire	un nombre, synonyme d'une quantité scalaire en physique
composant scalaire	un nombre qui multiplie un vecteur unitaire dans une composante vectorielle d'un vecteur
équation scalaire	équation dans laquelle les côtés gauche et droit sont des nombres
produit scalaire	le résultat de la multiplication scalaire de deux vecteurs est un scalaire appelé produit scalaire ; également appelé produit scalaire
quantité scalaire	quantité qui peut être spécifiée complètement par un numéro unique avec une unité physique appropriée
construction géométrique de la queue à la tête	construction géométrique pour dessiner le vecteur résultant de nombreux vecteurs
vecteur unitaire	vecteur d'une unité de grandeur qui indique la direction ; n'a aucune unité physique
vecteurs unitaires des axes	vecteurs unitaires qui définissent des directions orthogonales dans un plan ou dans l'espace
vecteur	objet mathématique avec magnitude et direction
composants vectoriels	composantes orthogonales d'un vecteur ; un vecteur est la somme vectorielle de ses composantes vectorielles
équation vectorielle	équation dans laquelle les côtés gauche et droit sont des vecteurs
produit vectoriel	le résultat de la multiplication vectorielle de vecteurs est un vecteur appelé produit vectoriel ; également appelé produit croisé
quantité vectorielle	quantité physique décrite par un vecteur mathématique, c'est-à-dire en spécifiant à la fois sa magnitude et sa direction ; synonyme de vecteur en physique
somme vectorielle	résultant de la combinaison de deux vecteurs (ou plus)

Équations clés

Multiplication par un scalaire (équation vectorielle)	$$ \ vec {B} = \ alpha \ vec {A} $$
Multiplication par un scalaire (équation scalaire pour les magnitudes)	$$B = | \ alpha| A$$
Résultant de deux vecteurs	$$ \ vec {D} _ {AD} = \ vec {D} _ {AC} + \ vec {D} _ {CD} $$
Droit commutatif	$$ \ vec {A} + \ vec {B} = \ vec {B} + \ vec {A} $$
Droit associatif	$$ (\ vec {A} + \ vec {B}) + \ vec {C} = \ vec {A} + (\ vec {B} + \ vec {C}) $$
Droit distributif	$$ \ alpha_ {1} \ vec {A} + \ alpha_ {2} \ vec {A} = (\ alpha_ {1} + \ alpha_ {2}) \ vec {A} $$
La forme constitutive d'un vecteur en deux dimensions	$$ \ vec {A} = A_ {x} \ chapeau {i} + A_ {y} \ chapeau {j} $$
Composantes scalaires d'un vecteur en deux dimensions	$$ \ begin {cas} A_ {x} = x_ {e} - x_ {b} \ \ A_ {y} = y_ {e} - y_ {b} \ end {cas} $$
Magnitude d'un vecteur dans un plan	$$A = \ sqrt {A_ {x} ^ {2} + A_ {y} ^ {2}} $$
L'angle de direction d'un vecteur dans un plan	$$ \ theta_ {A} = \ tan^ {-1} \ gauche (\ dfrac {A_ {y}} {A_ {x}} \ droite) $$
Composantes scalaires d'un vecteur dans un plan	$$ \ begin {cas} A_ {x} = A \ cos \ theta_ {A} \ \ A_ {y} = A \ sin \ theta_ {A} \ end {cas} $$
Coordonnées polaires dans un plan	$$ \ begin {cas} x = r \ cos \ varphi \ \ y = r \ sin \ varphi \ end {cas} $$
La forme constitutive d'un vecteur en trois dimensions	$$ \ vec {A} = A_ {x} \ chapeau {i} + A_ {y} \ chapeau {j} + A_ {z} \ chapeau {k} $$
La composante z scalaire d'un vecteur en trois dimensions	$A_ {z} = z_ {e} - z_ {b} $$
Magnitude d'un vecteur en trois dimensions	$$A = \ sqrt {A_ {x} ^ {2} + A_ {y} ^ {2} + A_ {z} ^ {2}} $$
Propriété distributive	$$ \ alpha (\ vec {A} + \ vec {B}) = \ alpha \ vec {A} + \ alpha \ vec {B} $$
Vecteur antiparallèle à\(\vec{A}\)	$$- \ vec {A} = A_ {x} \ chapeau {i} - A_ {y} \ chapeau {j} - A_ {z} \ chapeau {k} $$
Vecteurs égaux	$$ \ vec {A} = \ vec {B} \ Flèche gauche/ début {cas} A_ {x} = B_ {x} \ \ A_ {y} = B_ {y} \ \ A_ {z} = B_ {z} \ end {cas} $$
Composantes de la résultante de N vecteurs	$$ \ begin {cas} F_ {Rx} = \ sum_ {k = 1} ^ {N} F_ {kx} = F_ {1x} + F_ {2x} + \ ldots + F_ {Nx} \ \ F_ {Ry} = \ sum_ {k = 1} ^ {N} F_ {ky} = F_ {1y} + F_ {2y} \ ldots + F_ {Ny} \ \ F_ {Rz} = \ sum_ {k = 1} ^ {N} F_ {kz} = F_ {1z} + F_ {2z} + \ ldots + F_ {Nz} \ fin {cas} $$
Vecteur unitaire général	$$ \ chapeau {V} = \ frac {\ vec {V}} {V} $$
Définition du produit scalaire	$$ \ vec {A} \ cdotp \ vec {B} = AB \ cos \ varphi$$
Propriété commutative du produit scalaire	$$ \ vec {A} \ cdotp \ vec {B} = \ vec {B} \ cdotp \ vec {A} $$
Propriété distributive du produit scalaire	$$ \ vec {A} \ cdotp (\ vec {B} + \ vec {C}) = \ vec {A} \ cdotp \ vec {B} + \ vec {A} \ cdotp \ vec {C} $$
Produit scalaire en termes de composantes scalaires des vecteurs	$$ \ vec {A} \ cdotp \ vec {B} = A_ {x} B_ {x} + A_ {y} B_ {y} + A_ {z} B_ {z} $$
Cosinus de l'angle entre deux vecteurs	$$ \ cos \ varphi = \ frac {\ vec {A} \ cdotp \ vec {B}} {AB} $$
Produits scalaires de vecteurs unitaires	$$ \ hat {i} \ cdotp \ hat {j} = \ chapeau {j} \ cdotp \ hat {k} = \ chapeau {k} \ cdotp \ chapeau {i} = 0$$
Ampleur du produit vectoriel (définition)	$$| \ vec {A} \ times \ vec {B} | = AB \ sin \ varphi$$
Propriété anticommutative du produit vectoriel	$$| \ vec {A} \ times \ vec {B} = - \ vec {B} \ fois \ vec {A} $$
Propriété distributive du produit vectoriel	$$ \ vec {A} \ times (\ vec {B} + \ vec {C}) = \ vec {A} \ times \ vec {B} + \ vec {A} \ fois \ vec {C} $$
Produits croisés de vecteurs unitaires	$$ \ begin {cases} \ hat {i} \ times \ hat {j} = + \ hat {k}, \ \ \ hat {j} \ times \ hat {l} = + \ chapeau {i}, \ \ \ chapeau {l} \ times \ hat {i} = + \ chapeau {j} \ ldotp \ end {cas} $$
Le produit croisé en termes de composantes scalaires des vecteurs	$$ \ vec {A} \ times \ vec {B} = (A_ {y} B_ {z} - A_ {z} B_ {y}) \ hat {i} + (A_ {z} B_ {x} - A_ {x} B_ {z}) \ chapeau {j} + (A_ {x} B_ {y} - A_ {y} B_ {y} - A_ {y} B_ {y} x}) \ chapeau {k} $$

Résumé

2.1 Scalaires et vecteurs

• Une quantité vectorielle est toute quantité ayant une amplitude et une direction, telles que le déplacement ou la vitesse.
• Géométriquement, les vecteurs sont représentés par des flèches, dont l'extrémité est marquée par une pointe de flèche. La longueur du vecteur est sa magnitude, qui est un scalaire positif. Sur un plan, la direction d'un vecteur est donnée par l'angle que le vecteur fait avec une direction de référence, souvent un angle avec l'horizontale. L'angle de direction d'un vecteur est un scalaire.
• Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes magnitudes et directions. Les vecteurs parallèles ont les mêmes angles de direction mais peuvent avoir des magnitudes différentes. Les vecteurs antiparallèles ont des angles de direction qui diffèrent de 180°. Les vecteurs orthogonaux ont des angles de direction qui diffèrent de 90°.
• Lorsqu'un vecteur est multiplié par un scalaire, le résultat est un autre vecteur d'une longueur différente de celle du vecteur d'origine. La multiplication par un scalaire positif ne modifie pas la direction initiale ; seule l'amplitude est affectée. La multiplication par un scalaire négatif inverse la direction initiale. Le vecteur obtenu est antiparallèle au vecteur d'origine. La multiplication par un scalaire est distributive. Les vecteurs peuvent être divisés par des scalaires non nuls, mais ne peuvent pas être divisés par des vecteurs.
• Deux vecteurs ou plus peuvent être ajoutés pour former un autre vecteur. La somme des vecteurs est appelée vecteur résultant. Nous pouvons ajouter des vecteurs à des vecteurs ou des scalaires à des scalaires, mais nous ne pouvons pas ajouter de scalaires à des vecteurs. L'addition de vecteurs est commutative et associative.
• Pour construire un vecteur résultant de deux vecteurs dans un plan de manière géométrique, nous utilisons la règle du parallélogramme. Pour construire un vecteur résultant de nombreux vecteurs dans un plan de manière géométrique, nous utilisons la méthode de la queue à la tête.

2.2 Systèmes de coordonnées et composants d'un vecteur

• Les vecteurs sont décrits en fonction de leurs composants dans un système de coordonnées. En deux dimensions (dans un plan), les vecteurs ont deux composantes. En trois dimensions (dans l'espace), les vecteurs ont trois composantes.
• Une composante vectorielle d'un vecteur est sa partie dans une direction axiale. La composante vectorielle est le produit du vecteur unitaire d'un axe avec sa composante scalaire le long de cet axe. Un vecteur est la résultante de ses composantes vectorielles.
• Les composantes scalaires d'un vecteur sont des différences de coordonnées, les coordonnées de l'origine étant soustraites des coordonnées du point final d'un vecteur. Dans un système rectangulaire, l'amplitude d'un vecteur est la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes.
• Dans un plan, la direction d'un vecteur est donnée par l'angle que le vecteur a avec l'axe X positif. Cet angle de direction est mesuré dans le sens antihoraire. La composante scalaire x d'un vecteur peut être exprimée comme le produit de sa magnitude par le cosinus de son angle de direction, et la composante y scalaire peut être exprimée comme le produit de sa magnitude par le sinus de son angle de direction.
• Dans un plan, il existe deux systèmes de coordonnées équivalents. Le système de coordonnées cartésien est défini par des vecteurs unitaires\(\hat{i}\) et\(\hat{j}\) le long de l'axe X et de l'axe Y, respectivement. Le système de coordonnées polaires est défini par le vecteur unitaire radial\(\hat{r}\), qui donne la direction depuis l'origine, et un vecteur unitaire\(\hat{t}\), qui est perpendiculaire (orthogonal) à la direction radiale.

2.3 Algèbre des vecteurs

• Les méthodes analytiques d'algèbre vectorielle nous permettent de trouver des résultants de sommes ou de différences de vecteurs sans avoir à les dessiner. Les méthodes analytiques d'addition de vecteurs sont exactes, contrairement aux méthodes graphiques, qui sont approximatives.
• Les méthodes d'analyse de l'algèbre vectorielle sont couramment utilisées en mécanique, en électricité et en magnétisme. Ce sont des outils mathématiques importants de la physique.

2.4 Produits de vecteurs

• Il existe deux types de multiplication pour les vecteurs. Un type de multiplication est le produit scalaire, également connu sous le nom de produit scalaire. L'autre type de multiplication est le produit vectoriel, également connu sous le nom de produit croisé. Le produit scalaire des vecteurs est un nombre (scalaire). Le produit vectoriel des vecteurs est un vecteur.
• Les deux types de multiplication possèdent la propriété distributive, mais seul le produit scalaire possède la propriété commutative. Le produit vectoriel possède la propriété anticommutative, ce qui signifie que lorsque nous changeons l'ordre dans lequel deux vecteurs sont multipliés, le résultat acquiert un signe moins.
• Le produit scalaire de deux vecteurs est obtenu en multipliant leurs magnitudes par le cosinus de l'angle qui les sépare. Le produit scalaire des vecteurs orthogonaux disparaît ; le produit scalaire des vecteurs antiparallèles est négatif.
• Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur perpendiculaire à l'un et à l'autre. Sa magnitude est obtenue en multipliant leurs magnitudes par le sinus de l'angle qui les sépare. La direction du produit vectoriel peut être déterminée par la règle du tire-bouchon à droite. Le produit vectoriel de deux vecteurs parallèles ou antiparallèles disparaît. L'amplitude du produit vectoriel est maximale pour les vecteurs orthogonaux.
• Le produit scalaire des vecteurs est utilisé pour déterminer les angles entre les vecteurs et dans les définitions de grandeurs physiques scalaires dérivées telles que le travail ou l'énergie.
• Le produit croisé des vecteurs est utilisé dans les définitions des grandeurs physiques dérivées des vecteurs, telles que le couple ou la force magnétique, et dans la description des rotations.

Contributeurs

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