17 : Équations différentielles du second ordre
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Nous avons déjà étudié les bases des équations différentielles, y compris les équations séparables du premier ordre. Dans ce chapitre, nous allons un peu plus loin et examinons les équations du second ordre, qui sont des équations contenant des dérivées secondes de la variable dépendante. Les méthodes de résolution que nous examinons sont différentes de celles discutées précédemment, et les solutions ont tendance à faire intervenir des fonctions trigonométriques ainsi que des fonctions exponentielles. Nous nous concentrons ici principalement sur les équations du second ordre à coefficients constants.
- 17.0 : Prélude aux équations différentielles du second ordre
- Dans ce chapitre, nous examinons les équations du second ordre, qui sont des équations contenant des dérivées secondes de la variable dépendante. Les méthodes de résolution que nous examinons sont différentes de celles discutées précédemment, et les solutions ont tendance à faire intervenir des fonctions trigonométriques ainsi que des fonctions exponentielles. Nous nous concentrons ici principalement sur les équations du second ordre à coefficients constants.
- 17.1 : Équations linéaires du second ordre
- Nous voulons souvent trouver une fonction (ou des fonctions) qui satisfait l'équation différentielle. La technique que nous utilisons pour trouver ces solutions varie en fonction de la forme de l'équation différentielle avec laquelle nous travaillons. Les équations différentielles du second ordre présentent plusieurs caractéristiques importantes qui peuvent nous aider à déterminer la méthode de solution à utiliser. Dans cette section, nous examinons certaines de ces caractéristiques et la terminologie associée.
- 17.2 : Équations linéaires non homogènes
- Dans cette section, nous examinons comment résoudre des équations différentielles non homogènes. La terminologie et les méthodes sont différentes de celles que nous avons utilisées pour les équations homogènes. Commençons donc par définir de nouveaux termes.
- 17.3 : Applications des équations différentielles du second ordre
- Les équations différentielles linéaires du second ordre sont utilisées pour modéliser de nombreuses situations en physique et en ingénierie. Nous examinons ici comment cela fonctionne pour les systèmes d'un objet dont la masse est fixée à un ressort vertical et d'un circuit électrique contenant une résistance, une inductance et un condensateur connectés en série. De tels modèles peuvent être utilisés pour approximer d'autres situations plus complexes ; par exemple, les liaisons entre des atomes ou des molécules sont souvent modélisées comme des ressorts qui vibrent.
- 17.4 : Solutions en séries d'équations différentielles
- Dans certains cas, les représentations en série de puissances des fonctions et de leurs dérivées peuvent être utilisées pour trouver des solutions à des équations différentielles.
Miniature : solution à la fonction d'onde 2D. (CC SA_BY 3.0 International ; BrenthFoster).