17.3E : Exercices pour la section 17.3
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1. Une masse pesant 4 livres étire un ressort de 8 pouces. Trouvez l'équation du mouvement si le ressort est libéré de la position d'équilibre avec une vitesse descendante de 12 pieds/sec. Quelle est la période et la fréquence du mouvement ?
2. Une masse pesant 2 livres étire un ressort de 2 pieds. Trouvez l'équation du mouvement si le ressort est relâché à 2 pouces sous la position d'équilibre avec une vitesse ascendante de 8 pieds/sec. Quelle est la période et la fréquence du mouvement ?
- Réponse
- équation différentielle :\(x″+16x=0,\)
équation du mouvement :\(=\,\frac{π}{2} \text{ sec},\)
fréquence de\(x(t)=\frac{1}{6} \cos (4t)−2 \sin (4t),\)
la période\(=\,\frac{2}{π} \text{ Hz}\)
3. Une masse de 100 g étire un ressort de 0,1 m. Trouvez l'équation du mouvement de la masse si elle est libérée du repos d'une position située à 20 cm en dessous de la position d'équilibre. Quelle est la fréquence de ce mouvement ?
4. Une masse de 400 g étire un ressort de 5 cm. Trouvez l'équation du mouvement de la masse si elle est libérée du repos à partir d'une position située 15 cm en dessous de la position d'équilibre. Quelle est la fréquence de ce mouvement ?
- Réponse
- équation différentielle :\(x″+196x=0,\)
équation du mouvement :\(=\,\frac{π}{7} \text{ sec},\)
fréquence de\(x(t)=0.15 \cos (14t),\)
la période\(=\,\frac{7}{π} \text{ Hz}\)
5. Un bloc a une masse de 9 kg et est fixé à un ressort vertical avec une constante de ressort de 0,25 N/m. Le bloc est étiré à 0,75 m en dessous de sa position d'équilibre et relâché.
- Trouvez la fonction\(x(t)\) de position du bloc.
- Déterminez la période et la fréquence de la vibration.
- Esquissez un graphique de\(x(t)\).
- À quel moment le bloc passe pour la première fois en position d'équilibre ?
6. Un bloc a une masse de 5 kg et est fixé à un ressort vertical avec une constante de ressort de 20 N/m. Le bloc est libéré de la position d'équilibre à une vitesse descendante de 10 m/sec.
- Trouvez la fonction\(x(t)\) de position du bloc.
- Déterminez la période et la fréquence de la vibration.
- Esquissez un graphique de\(x(t)\).
- À quel moment le bloc passe pour la première fois en position d'équilibre ?
- Réponse
-
a.\(x(t)=5 \sin (2t)\)
b.\(=π \text{ sec},\)
fréquence de la période\(=\frac{1}{π} \text{ Hz}\)
c.
d.\(t=\frac{π}{2} \text{ sec}\)
7. Une masse de 1 kg est fixée à un ressort vertical avec une constante de ressort de 21 N/m. La résistance dans le système masse-ressort est égale à 10 fois la vitesse instantanée de la masse.
- Déterminez l'équation du mouvement si la masse est libérée d'une position située à 2 m en dessous de sa position d'équilibre avec une vitesse descendante de 2 m/sec.
- Représentez graphiquement la solution et déterminez si le mouvement est suramorti, amorti de manière critique ou sous-amortie.
8. Un poids de 800 livres (25 limaces) est fixé à un ressort vertical avec une constante de ressort de 226 lb/pi. Le système est immergé dans un milieu qui confère une force d'amortissement égale à 10 fois la vitesse instantanée de la masse.
- Trouvez l'équation du mouvement s'il est relâché d'une position située à 20 pieds en dessous de sa position d'équilibre avec une vitesse descendante de 41 pieds/sec.
- Représentez graphiquement la solution et déterminez si le mouvement est suramorti, amorti de manière critique ou sous-amortie.
- Réponse
-
un.\(x(t)=e^{−t/5}(20 \cos (3t)+15 \sin(3t))\)
b. sous-amorti
9. Une masse de 9 kg est fixée à un ressort vertical avec une constante de ressort de 16 N/m. Le système est immergé dans un milieu qui confère une force d'amortissement égale à 24 fois la vitesse instantanée de la masse.
- Trouvez l'équation du mouvement s'il est libéré de sa position d'équilibre avec une vitesse ascendante de 4 m/sec.
- Représentez graphiquement la solution et déterminez si le mouvement est suramorti, amorti de manière critique ou sous-amortie.
10. Une masse de 1 kg étire un ressort de 6,25 cm. La résistance dans le système masse-ressort est égale à huit fois la vitesse instantanée de la masse.
- Déterminez l'équation du mouvement si la masse est libérée d'une position située 5 m en dessous de sa position d'équilibre avec une vitesse ascendante de 10 m/sec.
- Déterminez si le mouvement est suramorti, amorti de manière critique ou sous-amortie.
- Réponse
-
un.\(x(t)=5e^{−4t}+10te^{−4t}\)
b. fortement amorti
11. Un poids de 32 livres (1 limace) étire un ressort vertical de 4 po. La résistance dans le système masse-ressort est égale à quatre fois la vitesse instantanée de la masse.
- Trouvez l'équation du mouvement s'il est libéré de sa position d'équilibre avec une vitesse descendante de 12 pieds/sec.
- Déterminez si le mouvement est suramorti, amorti de manière critique ou sous-amortie.
12. Un poids de 64 livres est fixé à un ressort vertical avec une constante de ressort de 4,625 lb/pi. La résistance dans le système masse-ressort est égale à la vitesse instantanée. Le poids est mis en mouvement à partir d'une position située à 1 pied en dessous de sa position d'équilibre avec une vitesse ascendante de 2 pieds/sec. La masse est-elle au-dessus ou en dessous de la position de l'équation à la fin de la\(π\) seconde ? À quelle distance ?
- Réponse
- \(x(π)=\frac{7e^{−π/4}}{6}\)pieds en dessous
13. Une masse qui pèse 8 livres étire un ressort de 6 pouces. Le système est soumis à une force externe de\(8 \sin 8t \) lb. Si la masse est abaissée de 3 pouces puis relâchée, déterminez la position de la masse à tout moment.
14. Une masse qui pèse 6 livres étire un ressort de 3 pouces. Le système est soumis à une force externe de\(8 \sin (4t) \) lb. Si la masse est abaissée de 1 pouce puis relâchée, déterminez la position de la masse à tout moment.
- Réponse
- \(x(t)=\frac{32}{9} \sin (4t)+ \cos (\sqrt{128}t)−\frac{16}{9\sqrt{2}} \sin (\sqrt{128}t)\)
15. Trouvez la charge du condensateur dans un circuit de la série RLC où\(L=40\) H\(R=30\,Ω\),\(C=1/200\) F et\(E(t)=200\) V. Supposons que la charge initiale du condensateur est de 7 C et que le courant initial est de 0 A.
16. Trouvez la charge du condensateur dans un circuit de la série RLC où\(L=2\) H,\(R=24\,Ω,\)\(C=0.005\) F et\(E(t)=12 \sin 10t\) V. Supposons que la charge initiale du condensateur est de 0,001 C et que le courant initial est de 0 A.
- Réponse
- \(q(t)=e^{−6t}(0.051 \cos (8t)+0.03825 \sin (8t))−\frac{1}{20} \cos (10t)\)
17. Un circuit en série consiste en un dispositif où\(L=1\) H,\(R=20\,Ω,\)\(C=0.002\) F et\(E(t)=12\) V. Si la charge et le courant initiaux sont tous deux nuls, trouvez la charge et le courant à la fois\(t.\)
18. Un circuit en série consiste en un dispositif où\(L=12\) H\(R=10\,Ω\),\(C=\frac{1}{50}\) F et\(E(t)=250\) V. Si la charge initiale du condensateur est de 0 C et que le courant initial est de 18 A, trouvez la charge et le courant à la fois\(t.\)
- Réponse
- \(q(t)=e^{−10t}(−32t−5)+5,I(t)=2e^{−10t}(160t+9)\)