17.2 : Équations linéaires non homogènes
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- Ecrivez la solution générale d'une équation différentielle non homogène.
- Résolvez une équation différentielle non homogène en utilisant la méthode des coefficients indéterminés.
- Résolvez une équation différentielle non homogène par la méthode de variation des paramètres.
Dans cette section, nous examinons comment résoudre des équations différentielles non homogènes. La terminologie et les méthodes sont différentes de celles que nous avons utilisées pour les équations homogènes. Commençons donc par définir de nouveaux termes.
Solution générale à une équation linéaire non homogène
Considérez l'équation différentielle linéaire non homogène.
\[a_2(x)y″+a_1(x)y′+a_0(x)y=r(x). \nonumber \]
L'équation homogène associée
\[a_2(x)y″+a_1(x)y′+a_0(x)y=0 \nonumber \]
est appelée équation complémentaire. Nous verrons que la résolution de l'équation complémentaire est une étape importante dans la résolution d'une équation différentielle non homogène.
La solution\(y_p(x)\) d'une équation différentielle qui ne contient aucune constante arbitraire est appelée solution particulière de l'équation.
\(y_p(x)\)Soit une solution particulière à l'équation différentielle linéaire non homogène
\[a_2(x)y″+a_1(x)y′+a_0(x)y=r(x). \nonumber \]
Notons\(c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\) également la solution générale à l'équation complémentaire. Ensuite, la solution générale à l'équation non homogène est donnée par
\[y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+y_p(x). \nonumber \]
Pour prouver que\(y(x)\) c'est la solution générale, nous devons d'abord montrer qu'elle résout l'équation différentielle et, deuxièmement, que toute solution à l'équation différentielle peut être écrite sous cette forme. En remplaçant\(y(x)\) dans l'équation différentielle, nous avons
\[\begin{align*}a_2(x)y″+a_1(x)y′+a_0(x)y &=a_2(x)(c_1y_1+c_2y_2+y_p)″+a_1(x)(c_1y_1+c_2y_2+y_p)′ \\ &\;\;\;\; +a_0(x)(c_1y_1+c_2y_2+y_p) \\[4pt] &=[a_2(x)(c_1y_1+c_2y_2)″+a_1(x)(c_1y_1+c_2y_2)′+a_0(x)(c_1y_1+c_2y_2)] \\ &\;\;\;\; +a_2(x)y_p″+a_1(x)y_p′+a_0(x)y_p \\[4pt] &=0+r(x) \\[4pt] &=r(x). \end{align*}\]
La solution l'\(y(x)\)est aussi.
Maintenant,\(z(x)\) laissons une solution à\(a_2(x)y''+a_1(x)y′+a_0(x)y=r(x).\) Then
\[\begin{align*}a_2(x)(z−y_p)″+a_1(x)(z−y_p)′+a_0(x)(z−y_p) &=(a_2(x)z″+a_1(x)z′+a_0(x)z) \\ &\;\;\;\;−(a_2(x)y_p″+a_1(x)y_p′+a_0(x)y_p) \\[4pt] &=r(x)−r(x) \\[4pt] &=0, \end{align*}\]
il en\(z(x)−y_p(x)\) va de même pour une solution à l'équation complémentaire. Mais,\(c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\) est la solution générale à l'équation complémentaire, il y a donc des constantes\(c_1\) et\(c_2\) telles que
\[z(x)−y_p(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x). \nonumber \]
Par conséquent, nous voyons que
\[z(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+y_p(x). \nonumber \]
Étant donné qu'il\(y_p(x)=x\) s'agit d'une solution particulière à l'équation différentielle,\(y″+y=x,\) écrivez la solution générale et vérifiez en vérifiant que la solution satisfait à l'équation.
Solution
L'équation complémentaire est\(y″+y=0,\) celle qui a la solution générale.\(c_1 \cos x+c_2 \sin x.\) Donc, la solution générale à l'équation non homogène est
\[y(x)=c_1 \cos x+c_2 \sin x+x. \nonumber \]
Pour vérifier qu'il s'agit d'une solution, remplacez-la dans l'équation différentielle. Nous avons
\[y′(x)=−c_1 \sin x+c_2 \cos x+1 \nonumber \]
et
\[y″(x)=−c_1 \cos x−c_2 \sin x. \nonumber \]
Alors
\[\begin{align*} y″(x)+y(x) &=−c_1 \cos x−c_2 \sin x+c_1 \cos x+c_2 \sin x+x \\[4pt] &=x.\end{align*} \nonumber \]
Donc,\(y(x)\) est une solution pour\(y″+y=x\).
Étant donné qu'\(y_p(x)=−2\)il s'agit d'une solution particulière,\(y″−3y′−4y=8,\) écrivez la solution générale et vérifiez que la solution générale satisfait à l'équation.
- Allusion
-
Trouvez la solution générale à l'équation complémentaire.
- Réponse
-
\(y(x)=c_1e^{−x}+c_2e^{4x}−2\)
Dans la section précédente, nous avons appris à résoudre des équations homogènes à coefficients constants. Par conséquent, pour les équations non homogènes de la forme\(ay″+by′+cy=r(x)\), nous savons déjà comment résoudre l'équation complémentaire, et le problème se résume à trouver une solution particulière pour l'équation non homogène. Nous examinons maintenant deux techniques pour cela : la méthode des coefficients indéterminés et la méthode de variation des paramètres.
Coefficients indéterminés
La méthode des coefficients indéterminés consiste à faire des suppositions éclairées sur la forme de la solution particulière en fonction de la forme de\(r(x)\). Lorsque nous prenons des dérivées de polynômes, de fonctions exponentielles, de sinus et de cosinus, nous obtenons des polynômes, des fonctions exponentielles, des sinus et des cosinus. Ainsi, lorsqu'elle\(r(x)\) a l'une de ces formes, il est possible que la solution à l'équation différentielle non homogène prenne la même forme. Regardons quelques exemples pour voir comment cela fonctionne.
Trouvez la solution générale pour\(y″+4y′+3y=3x\).
Solution
L'équation complémentaire est\(y″+4y′+3y=0\), avec solution générale\(c_1e^{−x}+c_2e^{−3x}\). Puisque\(r(x)=3x\), la solution particulière peut avoir la forme\(y_p(x)=Ax+B\). Si tel est le cas, alors nous avons\(y_p′(x)=A\) et\(y_p″(x)=0\). \(y_p\)Pour être une solution à l'équation différentielle, nous devons trouver des valeurs pour\(A\) et\(B\) telles que
\[\begin{align*} y″+4y′+3y &=3x \\[4pt] 0+4(A)+3(Ax+B) &=3x \\[4pt] 3Ax+(4A+3B) &=3x. \nonumber \end{align*} \nonumber \]
En fixant les coefficients de termes similaires égaux, nous avons
\[\begin{align*} 3A &=3 \\ 4A+3B &=0. \end{align*} \nonumber \]
Ensuite\(B=−\frac{4}{3}\),\(A=1\) et donc\(y_p(x)=x−\frac{4}{3}\) et la solution générale est
\[y(x)=c_1e^{−x}+c_2e^{−3x}+x−\frac{4}{3}. \nonumber \]
Dans Exemple\(\PageIndex{2}\), notez que même si nous\(r(x)\) n'incluons pas de terme constant, il nous a fallu inclure le terme constant dans notre estimation. Si nous avions supposé une solution du formulaire\(y_p=Ax\) (sans terme constant), nous n'aurions pas pu trouver de solution. (Vérifiez cela !) Si la fonction\(r(x)\) est un polynôme, notre hypothèse pour la solution particulière doit être un polynôme du même degré, et elle doit inclure tous les termes d'ordre inférieur, qu'ils soient présents ou non dans\(r(x)\).
Trouvez la solution générale pour\(y″−y′−2y=2e^{3x}\).
Solution
L'équation complémentaire est\(y″−y′−2y=0\), avec la solution générale\(c_1e^{−x}+c_2e^{2x}\). Puisque\(r(x)=2e^{3x}\), la solution particulière peut avoir la forme\(y_p(x)=Ae^{3x}.\) Alors, nous avons\(yp′(x)=3Ae^{3x}\) et\(y_p″(x)=9Ae^{3x}\). \(y_p\)Pour être une solution à l'équation différentielle, nous devons trouver une valeur\(A\) telle que
\[\begin{align*} y″−y′−2y &=2e^{3x} \\[4pt] 9Ae^{3x}−3Ae^{3x}−2Ae^{3x} &=2e^{3x} \\[4pt] 4Ae^{3x} &=2e^{3x}. \end{align*} \nonumber \]
Donc,\(4A=2\) et\(A=1/2\). Ensuite\(y_p(x)=(\frac{1}{2})e^{3x}\), et la solution générale est
\[y(x)=c_1e^{−x}+c_2e^{2x}+\dfrac{1}{2}e^{3x}. \nonumber \]
Trouvez la solution générale pour\(y″−4y′+4y=7 \sin t− \cos t.\)
- Allusion
-
À utiliser\(y_p(t)=A \sin t+B \cos t \) comme estimation pour la solution particulière.
- Réponse
-
\(y(t)=c_1e^{2t}+c_2te^{2t}+ \sin t+ \cos t \)
Dans le point de contrôle précédent,\(r(x)\) incluait à la fois des termes sinus et cosinus. Toutefois, même si vous\(r(x)\) incluez un terme sinusoïdal uniquement ou un terme cosinus uniquement, les deux termes doivent être présents dans la supposition. La méthode des coefficients indéterminés fonctionne également avec les produits des polynômes, des exponentielles, des sinus et des cosinus. Certaines des principales formes\(r(x)\) et les suppositions associées\(y_p(x)\) sont résumées dans le tableau\(\PageIndex{1}\).
| \(r(x)\) | Estimation initiale pour\(y_p(x)\) |
|---|---|
| \ (r (x) \) » style="vertical-align:middle ; ">\(k\) (une constante) | \ (y_p (x) \) » style="vertical-align:middle ; ">\(A\) (une constante) |
| \ (r (x) \) » style="vertical-align:middle ; « >\(ax+b\) | \ (y_p (x) \) » style="vertical-align:middle ; ">\(Ax+B\) (Remarque : la supposition doit inclure les deux termes, même si\(b=0\).) |
| \ (r (x) \) » style="vertical-align:middle ; « >\(ax^2+bx+c\) | \ (y_p (x) \) » style="vertical-align:middle ; ">\(Ax^2+Bx+C\) (Remarque : l'estimation doit inclure les trois termes, même s'\(c\)ils sont nuls\(b\) ou égaux à zéro.) |
| \ (r (x) \) » style="vertical-align:middle ; ">Polynômes d'ordre supérieur | \ (y_p (x) \) » style="vertical-align:middle ; ">Polynôme du même ordre que\(r(x)\) |
| \ (r (x) \) » style="vertical-align:middle ; « >\(ae^{λx}\) | \ (y_p (x) \) » style="vertical-align:middle ; « >\(Ae^{λx}\) |
| \ (r (x) \) » style="vertical-align:middle ; « >\(a \cos βx+b \sin βx\) | \ (y_p (x) \) » style="vertical-align:middle ; ">\(A \cos βx+B \sin βx\) (Remarque : la supposition doit inclure les deux termes, même si l'un\(a=0\) ou l'autre\(b=0.\)) |
| \ (r (x) \) » style="vertical-align:middle ; « >\(ae^{αx} \cos βx+be^{αx} \sin βx\) | \ (y_p (x) \) » style="vertical-align:middle ; « >\(Ae^{αx} \cos βx+Be^{αx} \sin βx\) |
| \ (r (x) \) » style="vertical-align:middle ; « >\((ax^2+bx+c)e^{λx}\) | \ (y_p (x) \) » style="vertical-align:middle ; « >\((Ax^2+Bx+C)e^{λx}\) |
| \ (r (x) \) » style="vertical-align:middle ; « >\((a_2x^2+a_1x+a0) \cos βx \\ +(b_2x^2+b_1x+b_0) \sin βx\) | \ (y_p (x) \) » style="vertical-align:middle ; « >\((A_2x^2+A_1x+A_0) \cos βx \\ +(B_2x^2+B_1x+B_0) \sin βx \) |
| \ (r (x) \) » style="vertical-align:middle ; « >\((a_2x^2+a_1x+a_0)e^{αx} \cos βx \\ +(b_2x^2+b_1x+b_0)e^{αx} \sin βx \) | \ (y_p (x) \) » style="vertical-align:middle ; « >\((A_2x^2+A_1x+A_0)e^{αx} \cos βx \\ +(B_2x^2+B_1x+B_0)e^{αx} \sin βx \) |
Gardez à l'esprit que cette méthode présente un écueil majeur. Considérez l'équation différentielle\(y″+5y′+6y=3e^{−2x}\). Sur la base de la forme de\(r(x)\), nous devinons une solution particulière du formulaire\(y_p(x)=Ae^{−2x}\). Mais lorsque nous substituons cette expression à l'équation différentielle pour trouver une valeur pour\(A\), nous rencontrons un problème. Nous avons
\[y_p′(x)=−2Ae^{−2x} \nonumber \]
et
\[y_p''=4Ae^{−2x}, \nonumber \]
donc nous voulons
\[\begin{align*} y″+5y′+6y &=3e^{−2x} \\[4pt] 4Ae^{−2x}+5(−2Ae^{−2x})+6Ae^{−2x} &=3e^{−2x} \\[4pt] 4Ae^{−2x}−10Ae^{−2x}+6Ae^{−2x} &=3e^{−2x} \\[4pt] 0 &=3e^{−2x}, \end{align*}\]
ce qui n'est pas possible.
En y regardant de plus près, nous voyons que, dans ce cas, la solution générale à l'équation complémentaire est\(c_1e^{−2x}+c_2e^{−3x}.\) La fonction exponentielle dans\(r(x)\) est en fait une solution à l'équation complémentaire, donc, comme nous venons de le voir, tous les termes du côté gauche de l'équation s'annulent. Nous pouvons toujours utiliser la méthode des coefficients indéterminés dans ce cas, mais nous devons modifier notre estimation en la multipliant par\(x\). En utilisant la nouvelle estimation\(y_p(x)=Axe^{−2x}\), nous avons
\[y_p′(x)=A(e^{−2x}−2xe^{−2x} \nonumber \]
et
\[y_p''(x)=−4Ae^{−2x}+4Axe^{−2x}. \nonumber \]
La substitution donne
\[\begin{align*}y″+5y′+6y &=3e^{−2x} \\[4pt] (−4Ae^{−2x}+4Axe^{−2x})+5(Ae^{−2x}−2Axe^{−2x})+6Axe^{−2x} &=3e^{−2x} \\[4pt]−4Ae^{−2x}+4Axe^{−2x}+5Ae^{−2x}−10Axe^{−2x}+6Axe^{−2x} &=3e^{−2x} \\[4pt] Ae^{−2x} &=3e^{−2x}.\end{align*}\]
Donc,\(A=3\) et\(y_p(x)=3xe^{−2x}\). Cela nous donne la solution générale suivante
\[y(x)=c_1e^{−2x}+c_2e^{−3x}+3xe^{−2x}. \nonumber \]
Notez que s'il s'\(xe^{−2x}\)agissait également d'une solution à l'équation complémentaire, nous devrions multiplier par à\(x\) nouveau, et nous essaierions\(y_p(x)=Ax^2e^{−2x}\).
- Résolvez l'équation complémentaire et notez la solution générale.
- Sur la base de la forme de\(r(x)\), faites une première estimation pour\(y_p(x)\).
- Vérifiez si l'un des termes de la supposition\(y_p(x)\) est une solution à l'équation complémentaire. Si c'est le cas, multipliez la supposition par\(x.\) Répétez cette étape jusqu'à ce qu'il n'y\(y_p(x)\) ait plus de termes permettant de résoudre l'équation complémentaire.
- \(y_p(x)\)Substituez-le dans l'équation différentielle et assimilez des termes similaires pour trouver des valeurs pour les coefficients inconnus dans\(y_p(x)\).
- Ajoutez la solution générale à l'équation complémentaire et la solution particulière que vous venez de trouver pour obtenir la solution générale à l'équation non homogène.
Trouvez les solutions générales aux équations différentielles suivantes.
- \(y''−9y=−6 \cos 3x\)
- \(x″+2x′+x=4e^{−t}\)
- \(y″−2y′+5y=10x^2−3x−3\)
- \(y''−3y′=−12t\)
Solution
- L'équation complémentaire est\(y″−9y=0\), qui a la solution générale\(c_1e^{3x}+c_2e^{−3x}\) (étape 1). Sur la base de la forme de\(r(x)=−6 \cos 3x,\) notre estimation initiale, la solution particulière est\(y_p(x)=A \cos 3x+B \sin 3x\) (étape 2). Aucun des termes ne\(y_p(x)\) résout l'équation complémentaire, il s'agit donc d'une estimation valide (étape 3).
Nous voulons maintenant trouver des valeurs pour\(A\) et\(B,\) donc les remplacer\(y_p\) dans l'équation différentielle. Nous avons\[y_p′(x)=−3A \sin 3x+3B \cos 3x \text{ and } y_p″(x)=−9A \cos 3x−9B \sin 3x, \nonumber \]
nous voulons donc trouver des valeurs de\(A\) et\(B\) telles que\[\begin{align*}y″−9y &=−6 \cos 3x \\[4pt] −9A \cos 3x−9B \sin 3x−9(A \cos 3x+B \sin 3x) &=−6 \cos 3x \\[4pt] −18A \cos 3x−18B \sin 3x &=−6 \cos 3x. \end{align*}\]
Par conséquent,\[\begin{align*}−18A &=−6 \\[4pt] −18B &=0. \end{align*}\]
Cela donne\(A=\frac{1}{3}\) et\(B=0,\) ainsi de suite\(y_p(x)=(\frac{1}{3}) \cos 3x\) (étape 4).
En rassemblant tout, nous avons la solution générale\[y(x)=c_1e^{3x}+c_2e^{−3x}+\dfrac{1}{3} \cos 3x.\nonumber \]
- L'équation complémentaire est\(x''+2x′+x=0,\) celle qui a la solution générale\(c_1e^{−t}+c_2te^{−t}\) (étape 1). Sur la base du formulaire\(r(t)=4e^{−t}\), notre estimation initiale pour la solution particulière est\(x_p(t)=Ae^{−t}\) (étape 2). Cependant, nous voyons que cette supposition résout l'équation complémentaire, nous devons donc multiplier par\(t,\) ce qui donne une nouvelle estimation :\(x_p(t)=Ate^{−t}\) (étape 3). En vérifiant cette nouvelle estimation, nous voyons qu'elle résout également l'équation complémentaire, nous devons donc multiplier à nouveau par t, ce qui donne\(x_p(t)=At^2e^{−t}\) (étape 3 à nouveau). Maintenant, en vérifiant cette supposition, nous voyons que\(x_p(t)\) cela ne résout pas l'équation complémentaire, donc c'est une estimation valide (étape 3 encore une fois).
Nous voulons maintenant trouver une valeur pour\(A\), donc nous la substituons\(x_p\) dans l'équation différentielle. Nous avons\[\begin{align*}x_p(t) &=At^2e^{−t}, \text{ so} \\[4pt] x_p′(t) &=2Ate^{−t}−At^2e^{−t} \end{align*}\]
et En\[x_p″(t)=2Ae^{−t}−2Ate^{−t}−(2Ate^{−t}−At^2e^{−t})=2Ae^{−t}−4Ate^{−t}+At^2e^{−t}. \nonumber \]
substituant dans l'équation différentielle, nous voulons trouver une valeur de\(A\) telle sorte que\[\begin{align*} x″+2x′+x &=4e^{−t} \\[4pt] 2Ae^{−t}−4Ate^{−t}+At^2e^{−t}+2(2Ate^{−t}−At^2e^{−t})+At^2e^{−t} &=4e^{−t} \\[4pt] 2Ae^{−t}&=4e^{−t}. \end{align*} \nonumber \]
Cela donne\(A=2\) donc\(x_p(t)=2t^2e^{−t}\) (étape 4). En rassemblant tout, nous avons la solution générale\[x(t)=c_1e^{−t}+c_2te^{−t}+2t^2e^{−t}.\nonumber \]
- L'équation complémentaire est\(y″−2y′+5y=0\), qui a la solution générale\(c_1e^x \cos 2x+c_2 e^x \sin 2x\) (étape 1). Sur la base du formulaire\(r(x)=10x^2−3x−3\), notre estimation initiale pour la solution particulière est\(y_p(x)=Ax^2+Bx+C\) (étape 2). Aucun des termes ne\(y_p(x)\) résout l'équation complémentaire, il s'agit donc d'une estimation valide (étape 3). Nous voulons maintenant trouver des valeurs pour\(A\), et\(B\)\(C\), donc nous les substituons\(y_p\) dans l'équation différentielle. Nous avons\(y_p′(x)=2Ax+B\) et\(y_p″(x)=2A\) voulons donc trouver des valeurs de\(A\)\(B\), et\(C\) telles que
\[\begin{align*}y″−2y′+5y &=10x^2−3x−3 \\[4pt] 2A−2(2Ax+B)+5(Ax^2+Bx+C) &=10x^2−3x−3 \\[4pt] 5Ax^2+(5B−4A)x+(5C−2B+2A) &=10x^2−3x−3. \end{align*}\]
Par conséquent,\[\begin{align*} 5A &=10 \\[4pt] 5B−4A &=−3 \\[4pt] 5C−2B+2A &=−3. \end{align*}\]
Cela donne\(A=2\)\(B=1\)\(C=−1\), et donc\(y_p(x)=2x^2+x−1\) (étape 4). En rassemblant tout, nous avons la solution générale\[y(x)=c_1e^x \cos 2x+c_2e^x \sin 2x+2x^2+x−1.\nonumber \]
- L'équation complémentaire est\(y″−3y′=0\), qui a la solution générale\(c_1e^{3t}+c_2\) (étape 1). Sur la base de la forme r (t) =−12t, r (t) =−12t, notre estimation initiale pour la solution particulière est\(y_p(t)=At+B\) (étape 2). Cependant, nous voyons que le terme constant dans cette supposition résout l'équation complémentaire, nous devons donc multiplier par\(t\), ce qui donne une nouvelle estimation :\(y_p(t)=At^2+Bt\) (étape 3). En vérifiant cette nouvelle estimation, nous voyons qu'aucun des termes ne\(y_p(t)\) résout l'équation complémentaire, donc c'est une estimation valide (étape 3 à nouveau). Nous voulons maintenant trouver des valeurs pour\(A\) et\(B,\) nous les substituons\(y_p\) dans l'équation différentielle. Nous avons\(y_p′(t)=2At+B\) et\(y_p″(t)=2A\) voulons donc trouver des valeurs de AA et BB telles que
\[\begin{align*}y″−3y′ &=−12t \\[4pt] 2A−3(2At+B) &=−12t \\[4pt] −6At+(2A−3B) &=−12t. \end{align*}\]
Par conséquent,\[\begin{align*}−6A &=−12 \\[4pt] 2A−3B &=0. \end{align*}\]
Cela donne\(A=2\) et\(B=4/3\) donc\(y_p(t)=2t^2+(4/3)t\) (étape 4). En rassemblant tout, nous avons la solution générale\[y(t)=c_1e^{3t}+c_2+2t^2+\dfrac{4}{3}t.\nonumber \]
Trouvez la solution générale aux équations différentielles suivantes.
- \(y″−5y′+4y=3e^x\)
- \(y″+y′−6y=52 \cos 2t \)
- Allusion
-
Utilisez la stratégie de résolution de problèmes.
- Répondez à une
-
\(y(x)=c_1e^{4x}+c_2e^x−xe^x\)
- Réponse b
-
\(y(t)=c_1e^{−3t}+c_2e^{2t}−5 \cos 2t+ \sin 2t\)
Variation des paramètres
Parfois,\(r(x)\) ce n'est pas une combinaison de polynômes, d'exponentielles ou de sinus et de cosinus. Dans ce cas, la méthode des coefficients indéterminés ne fonctionne pas et nous devons utiliser une autre approche pour trouver une solution particulière à l'équation différentielle. Nous utilisons une approche appelée méthode de variation des paramètres.
Pour simplifier un peu nos calculs, nous allons diviser l'équation différentielle par\(a,\) afin d'avoir un coefficient principal de 1. L'équation différentielle a alors la forme
\[y″+py′+qy=r(x), \nonumber \]
où\(p\) et\(q\) sont des constantes.
Si la solution générale de l'équation complémentaire est donnée par\(c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\), nous allons rechercher une solution particulière de la forme
\[y_p(x)=u(x)y_1(x)+v(x)y_2(x). \nonumber \]
Dans ce cas, nous utilisons les deux solutions linéairement indépendantes de l'équation complémentaire pour former notre solution particulière. Cependant, nous supposons que les coefficients sont des\(x\) fonctions plutôt que des constantes. Nous voulons trouver des fonctions\(u(x)\) et des\(v(x)\) fonctions qui\(y_p(x)\) répondent à l'équation différentielle. Nous avons
\[\begin{align*}y_p &=uy_1+vy_2 \\[4pt] y_p′ &=u′y_1+uy_1′+v′y_2+vy_2′ \\[4pt] y_p″ &=(u′y_1+v′y_2)′+u′y_1′+uy_1″+v′y_2′+vy_2″. \end{align*}\]
En substituant dans l'équation différentielle, nous obtenons
\[\begin{align*}y_p″+py_p′+qy_p &=[(u′y_1+v′y_2)′+u′y_1′+uy_1″+v′y_2′+vy_2″] \\ &\;\;\;\;+p[u′y_1+uy_1′+v′y_2+vy_2′]+q[uy_1+vy_2] \\[4pt] &=u[y_1″+p_y1′+qy_1]+v[y_2″+py_2′+qy_2] \\ &\;\;\;\; +(u′y_1+v′y_2)′+p(u′y_1+v′y_2)+(u′y_1′+v′y_2′). \end{align*}\]
Notez que\(y_1\) et\(y_2\) sont des solutions à l'équation complémentaire, de sorte que les deux premiers termes sont nuls. Ainsi, nous avons
\[(u′y_1+v′y_2)′+p(u′y_1+v′y_2)+(u′y_1′+v′y_2′)=r(x). \nonumber \]
Si l'on simplifie cette équation en imposant la condition supplémentaire\(u′y_1+v′y_2=0\), les deux premiers termes sont nuls, et cela se réduit à\(u′y_1′+v′y_2′=r(x)\). Donc, avec cette condition supplémentaire, nous avons un système de deux équations dans deux inconnues :
\[\begin{align*} u′y_1+v′y_2 &= 0 \\[4pt] u′y_1′+v′y_2′ &=r(x). \end{align*}\]
La résolution de ce système nous donne\(u′\) et\(v′\), que nous pouvons intégrer pour trouver\(u\) et\(v\).
Ensuite,\(y_p(x)=u(x)y_1(x)+v(x)y_2(x)\) il y a une solution particulière à l'équation différentielle. La résolution de ce système d'équations est parfois difficile, alors profitons de l'occasion pour revoir la règle de Cramer, qui nous permet de résoudre le système d'équations à l'aide de déterminants.
Le système d'équations
\[\begin{align*} a_1z_1+b_1z_2 &=r_1 \\[4pt] a_2z_1+b_2z_2 &=r_2 \end{align*}\]
possède une solution unique si et seulement si le déterminant des coefficients n'est pas nul. Dans ce cas, la solution est donnée par
\[z_1=\dfrac{\begin{array}{|ll|}r_1 b_1 \\ r_2 b_2 \end{array}}{\begin{array}{|ll|}a_1 b_1 \\ a_2 b_2 \end{array}} \; \; \; \; \; \text{and} \; \; \; \; \; z_2= \dfrac{\begin{array}{|ll|}a_1 r_1 \\ a_2 r_2 \end{array}}{\begin{array}{|ll|}a_1 b_1 \\ a_2 b_2 \end{array}}. \label{cramer} \]
Utilisez la règle de Cramer pour résoudre le système d'équations suivant.
\[\begin{align*}x^2z_1+2xz_2 &=0 \\[4pt] z_1−3x^2z_2 &=2x \end{align*}\]
Solution
Nous avons
\[\begin{align*} a_1(x) &=x^2 \\[4pt] a_2(x) &=1 \\[4pt] b_1(x) &=2x \\[4pt] b_2(x) &=−3x^2 \\[4pt] r_1(x) &=0 \\[4pt] r_2(x) &=2x. \end{align*}\]
Ensuite,\[\begin{array}{|ll|}a_1 b_1 \\ a_2 b_2 \end{array}=\begin{array}{|ll|}x^2 2x \\ 1 −3x^2 \end{array}=−3x^4−2x \nonumber \]
et
\[\begin{array}{|ll|}r_1 b_1 \\ r_2 b_2 \end{array}=\begin{array}{|ll|}0 2x \\ 2x -3x^2 \end{array}=0−4x^2=−4x^2. \nonumber \]
Ainsi,
\[z1=\dfrac{\begin{array}{|ll|}r_1 b_1 \\ r_2 b_2 \end{array}}{\begin{array}{|ll|}a_1 b_1 \\ a_2 b_2 \end{array}}=\dfrac{−4x^2}{−3x^4−2x}=\dfrac{4x}{3x^3+2}. \nonumber \]
En outre,
\[\begin{array}{|ll|}a_1 r_1 \\ a_2 r_2 \end{array}=\begin{array}{|ll|} x^2 0 \\ 1 2x \end{array}=2x^3−0=2x^3. \nonumber \]
Ainsi,
\[z2=\dfrac{\begin{array}{|ll|}a_1 r_1 \\ a_2 r_2 \end{array}}{\begin{array}{|ll|}a_1 b_1 \\ a_2 b_2 \end{array}}=\dfrac{2x^3}{−3x^4−2x}=\dfrac{−2x^2}{3x^3+2}.\nonumber \]
Utilisez la règle de Cramer pour résoudre le système d'équations suivant.
\[\begin{align*} 2xz_1−3z_2 &=0 \\[4pt] x^2z_1+4xz_2 &=x+1 \end{align*}\]
- Allusion
-
Utilisez le processus de l'exemple précédent.
- Réponse
-
\(z_1=\frac{3x+3}{11x^2}\),\( z_2=\frac{2x+2}{11x}\)
- Résolvez l'équation complémentaire et notez la solution générale\[c_1y_1(x)+c_2y_2(x). \nonumber \]
- Utilisez la règle de Cramer ou une autre technique appropriée pour trouver des fonctions\(u′(x)\) et\(v′(x)\) satisfaire\[\begin{align*} u′y_1+v′y_2 &=0 \\[4pt] u′y_1′+v′y_2′ &=r(x). \end{align*}\]
- \(v′\)Intégrer\(u′\) et trouver\(u(x)\) et\(v(x)\). Ensuite,\(y_p(x)=u(x)y_1(x)+v(x)y_2(x)\) il y a une solution particulière à l'équation.
- Ajoutez la solution générale à l'équation complémentaire et la solution particulière trouvée à l'étape 3 pour obtenir la solution générale à l'équation non homogène.
Trouvez la solution générale aux équations différentielles suivantes.
- \(y″−2y′+y=\dfrac{e^t}{t^2}\)
- \(y″+y=3 \sin ^2 x\)
Solution
- L'équation complémentaire est\(y″−2y′+y=0\) associée à la solution générale\(c_1e^t+c_2te^t\). Donc,\(y_1(t)=e^t\) et\(y_2(t)=te^t\). En calculant les dérivées, on obtient\(y_1′(t)=e^t\) et\(y_2′(t)=e^t+te^t\) (étape 1). Ensuite, nous voulons trouver des fonctions\(u′(t)\) et\(v′(t)\) pour que
\[\begin{align*} u′e^t+v′te^t &=0 \\[4pt] u′e^t+v′(e^t+te^t) &= \dfrac{e^t}{t^2}. \end{align*}\]
En appliquant la règle de Cramer (équation \ ref {cramer}), nous avons
\[u′=\dfrac{\begin{array}{|lc|}0 te^t \\ \frac{e^t}{t^2} e^t+te^t \end{array}}{ \begin{array}{|lc|}e^t te^t \\ e^t e^t+te^t \end{array}} =\dfrac{0−te^t(\frac{e^t}{t^2})}{e^t(e^t+te^t)−e^tte^t}=\dfrac{−\frac{e^{2t}}{t}}{e^{2t}}=−\dfrac{1}{t} \nonumber \]
et
\[v′= \dfrac{\begin{array}{|ll|}e^t 0 \\ e^t \frac{e^t}{t^2} \end{array} }{\begin{array}{|lc|}e^t te^t \\ e^t e^t+te^t \end{array} } =\dfrac{e^t(\frac{e^t}{t^2})}{e^{2t}}=\dfrac{1}{t^2}\quad(\text{step 2}). \nonumber \]
En intégrant, nous obtenons
\[\begin{align*} u &=−\int \dfrac{1}{t}dt=− \ln|t| \\[4pt] v &=\int \dfrac{1}{t^2}dt=−\dfrac{1}{t} \tag{step 3} \end{align*} \]
Ensuite, nous avons
\[\begin{align*}y_p &=−e^t \ln|t|−\frac{1}{t}te^t \\[4pt] &=−e^t \ln |t|−e^t \tag{step 4}.\end{align*} \]
Le\(e^t\) terme est une solution à l'équation complémentaire, nous n'avons donc pas besoin de l'inclure explicitement dans notre solution générale. La solution générale est
\[y(t)=c_1e^t+c_2te^t−e^t \ln |t| \tag{step 5} \]
- L'équation complémentaire est\(y″+y=0\) associée à la solution générale\(c_1 \cos x+c_2 \sin x\). Donc,\(y_1(x)= \cos x\) et\(y_2(x)= \sin x\) (étape 1). Ensuite, nous voulons trouver des fonctions\(u′(x)\) et\(v′(x)\) telles que
\[\begin{align*} u′ \cos x+v′ \sin x &=0 \\[4pt] −u′ \sin x+v′ \cos x &=3 \sin _2 x \end{align*}. \nonumber \]
En appliquant la règle de Cramer, nous avons
\[u′= \dfrac{\begin{array}{|cc|}0 \sin x \\ 3 \sin ^2 x \cos x \end{array}}{ \begin{array}{|cc|} \cos x \sin x \\ − \sin x \cos x \end{array}}=\dfrac{0−3 \sin^3 x}{ \cos ^2 x+ \sin ^2 x}=−3 \sin^3 x \nonumber \]
et
\[v′=\dfrac{\begin{array}{|cc|} \cos x 0 \\ - \sin x 3 \sin^2 x \end{array}}{ \begin{array}{|cc|} \cos x \sin x \\ − \sin x \cos x \end{array}}=\dfrac{ 3 \sin^2x \cos x}{ 1}=3 \sin^2 x \cos x( \text{step 2}). \nonumber \]
S'intégrer d'abord pour découvrir\(u,\) que nous obtenons
\[u=\int −3 \sin^3 x dx=−3 \bigg[ −\dfrac{1}{3} \sin ^2 x \cos x+\dfrac{2}{3} \int \sin x dx \bigg]= \sin^2 x \cos x+2 \cos x. \nonumber \]
Maintenant, nous intégrons pour trouver\(v.\) En utilisant la substitution (avec\(w= \sin x\)), nous obtenons
\[v= \int 3 \sin ^2 x \cos x dx=\int 3w^2dw=w^3=sin^3x.\nonumber \]
Ensuite,
\[\begin{align*}y_p &=(\sin^2 x \cos x+2 \cos x) \cos x+(\sin^3 x)\sin x \\[4pt] &=\sin_2 x \cos _2 x+2 \cos _2 x+ \sin _4x \\[4pt] &=2 \cos_2 x+ \sin_2 x(\cos^2 x+\sin ^2 x) & & (\text{step 4}). \\[4pt] &=2 \cos _2 x+\sin_2x \\[4pt] &= \cos _2 x+1 \end{align*}\]
La solution générale est
\[y(x)=c_1 \cos x+c_2 \sin x+1+ \cos^2 x(\text{step 5}).\nonumber \]
Trouvez la solution générale aux équations différentielles suivantes.
- \(y″+y= \sec x\)
- \(x″−2x′+x=\dfrac{e^t}{t}\)
- Allusion
-
Suivez la stratégie de résolution des problèmes.
- Répondez à une
-
\(y(x)=c_1 \cos x+c_2 \sin x+ \cos x \ln| \cos x|+x \sin x\)
- Réponse b
-
\(x(t)=c_1e^t+c_2te^t+te^t \ln|t| \)
Concepts clés
- Pour résoudre une équation différentielle linéaire du second ordre non homogène, trouvez d'abord la solution générale à l'équation complémentaire, puis trouvez une solution particulière à l'équation non homogène.
- \(y_p(x)\)Soit une solution particulière à l'équation différentielle linéaire non homogène\[a_2(x)y''+a_1(x)y′+a_0(x)y=r(x), \nonumber \] et\(c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\) notons la solution générale de l'équation complémentaire. Ensuite, la solution générale à l'équation non homogène est donnée par\[y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+y_p(x). \nonumber \]
- Quand\(r(x)\) est une combinaison de polynômes, de fonctions exponentielles, de sinus et de cosinus, utilisez la méthode des coefficients indéterminés pour trouver la solution particulière. Pour utiliser cette méthode, supposons une solution sous la même forme que\(r(x)\), en multipliant par x si nécessaire jusqu'à ce que la solution supposée soit linéairement indépendante de la solution générale de l'équation complémentaire. Ensuite, remplacez la solution supposée dans l'équation différentielle pour trouver les valeurs des coefficients.
- Lorsqu'il ne\(r(x)\) s'agit pas d'une combinaison de polynômes, de fonctions exponentielles ou de sinus et de cosinus, utilisez la méthode de variation des paramètres pour trouver la solution particulière. Cette méthode consiste à utiliser la règle de Cramer ou une autre technique appropriée pour trouver des fonctions et\(v′(x)\) satisfaire\[\begin{align*}u′y_1+v′y_2 &=0 \\[4pt] u′y_1′+v′y_2′ &=r(x). \end{align*}\] Then,\(y_p(x)=u(x)y_1(x)+v(x)y_2(x)\) est une solution particulière à l'équation différentielle.
Équations clés
- Équation complémentaire
\(a_2(x)y″+a_1(x)y′+a_0(x)y=0\) - Solution générale à une équation différentielle linéaire non homogène
\(y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+y_p(x)\)
Lexique
- équation complémentaire
- pour l'équation\(a+2(x)y″+a_1(x)y′+a_0(x)y=r(x),\) différentielle linéaire non homogène, l'équation homogène associée, appelée équation complémentaire, est\(a_2(x)y''+a_1(x)y′+a_0(x)y=0\)
- méthode des coefficients indéterminés
- méthode qui consiste à deviner la forme de la solution en question, puis à résoudre les coefficients de l'estimation
- méthode de variation des paramètres
- une méthode qui consiste à rechercher des solutions particulières sous la forme\(y_p(x)=u(x)y_1(x)+v(x)y_2(x)\), où\(y_1\) et\(y_2\) sont des solutions linéairement indépendantes aux équations complémentaires, puis à résoudre un système d'équations pour trouver\(u(x)\) et\(v(x)\)
- solution particulière
- une solution\(y_p(x)\) d'une équation différentielle qui ne contient aucune constante arbitraire