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17.1E : Exercices pour la section 17.1

  • Page ID
    197542
    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
    • OpenStax
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Dans les exercices 1 à 6, classez chacune des équations suivantes comme étant linéaires ou non linéaires. Si l'équation est linéaire, déterminez si elle est homogène ou non homogène.

    1. \(x^3y''+(x-1)y'-8y=0\)

    Réponse
    linéaire, homogène

    2. \((1+y^2)y''+xy'-3y= \cos x\)

    3. \(xy''+e^yy'=x\)

    Réponse
    non linéaire

    4. \(y''+ \dfrac{4}{x}y'-8xy=5x^2+1 \)

    5. \(y''+( \sin x)y'-xy=4y \)

    Réponse
    linéaire, homogène

    6. \(y''+\left(\dfrac{x+3}{y}\right)y'=0\)

    Dans les exercices 7 à 10, vérifiez que la fonction donnée est une solution à l'équation différentielle. Utilisez un utilitaire de création graphique pour représenter graphiquement les solutions particulières pour plusieurs valeurs de\(c_1\) et\(c_2.\) Qu'est-ce que les solutions ont en commun ?

    7. [T]\(y''+2y'-3y=0; \quad y(x)=c_1e^x+c_2e^{-3x}\)

    8. [T]\(x^2y''-2y-3x^2+1=0; \quad y(x)=c_1x^2+c_2x^{-1}+x^2 \ln(x)+ \frac{1}{2} \)

    9. [T]\(y''+14y+49y=0; \quad y(x)=c_1e^{−7x}+c_2xe^{−7x}\)

    10. [T]\(6y''−49y′+8y=0; \quad y(x)=c_1e^{x/6}+c_2e^{8x}\)

    Dans les exercices 11 à 30, trouvez la solution générale à l'équation différentielle linéaire.

    11. \(y''−3y′−10y=0\)

    Réponse
    \(y = c_1e^{5x} + c_2e^{-2x}\)

    12. \(y''−7y′+12y=0\)

    13. \(y''+4y′+4y=0\)

    Réponse
    \(y = c_1e^{-2x} + c_2xe^{-2x}\)

    14. \(4y''−12y′+9y=0\)

    15. \(2y''−3y′−5y=0\)

    Réponse
    \(y = c_1e^{5x/2} + c_2e^{-x}\)

    16. \(3y''−14y′+8y=0\)

    17. \(y''+y′+y=0\)

    Réponse
    \(y = e^{-x/2}\left(c_1\cos\frac{\sqrt{3}x}{2} + c_2\sin\frac{\sqrt{3}x}{2}\right)\)

    18. \(5y''+2y′+4y=0\)

    19. \(y''−121y=0\)

    Réponse
    \(y = c_1e^{-11x} + c_2e^{11x}\)

    20. \(8y''+14y′−15y=0\)

    21. \(y''+81y=0\)

    Réponse
    \(y = c_1\cos 9x + c_2\sin 9x\)

    22. \(y''−y′+11y=0\)

    23. \(2y''=0\)

    Réponse
    \(y = c_1 + c_2x\)

    24. \(y''−6y′+9y=0\)

    25. \(3y''−2y′−7y=0\)

    Réponse
    \(y = c_1e^{\left( (1+\sqrt{22})/3 \right)x} + c_2e^{\left( (1-\sqrt{22})/3 \right)x}\)

    26. \(4y''−10y′=0\)

    27. \(36\dfrac{d^2y}{dx^2}+12\dfrac{dy}{dx}+y=0\)

    Réponse
    \(y = c_1e^{-x/6} + c_2xe^{-x/6}\)

    28. \(25\dfrac{d^2y}{dx^2}−80\dfrac{dy}{dx}+64y=0\)

    29. \(\dfrac{d^2y}{dx^2}−9\dfrac{dy}{dx}=0\)

    Réponse
    \(y = c_1 + c_2e^{9x}\)

    30. \(4\dfrac{d^2y}{dx^2}+8y=0\)

    Dans les exercices 31 à 38, résolvez le problème de la valeur initiale.

    31. \(y''+5y′+6y=0, \quad y(0)=0,\; y′(0)=−2\)

    Réponse
    \(y = -2e^{-2x} + 2e^{-3x}\)

    32. \(y''+2y′−8y=0, \quad y(0)=5,\; y′(0)=4\)

    33. \(y''+4y=0, \quad y(0)=3, \; y′(0)=10\)

    Réponse
    \(y = 3\cos(2x) + 5\sin(2x)\)

    34. \(y''−18y′+81y=0, \quad y(0)=1, \; y′(0)=5 \)

    35. \(y''−y′−30y=0, \quad y(0)=1, \; y′(0)=−16\)

    Réponse
    \(y = -e^{6x} + 2e^{-5x}\)

    36. \(4y''+4y′−8y=0, \quad y(0)=2, \; y′(0)=1\)

    37. \(25y''+10y′+y=0, \quad y(0)=2, \; y′(0)=1\)

    Réponse
    \(y = 2e^{-x/5} + \frac{7}{5}xe^{-x/5}\)

    38. \(y''+y=0, \quad y(π)=1, \; y′(π)=−5\)

    Dans les exercices 39 à 46, résolvez le problème des valeurs limites, si possible.

    39. \(y''+y′−42y=0, \quad y(0)=0, \; y(1)=2\)

    Réponse
    \(y = \left( \frac{2}{e^6 - e^{-7}} \right)e^{6x} - \left( \frac{2}{e^6 - e^{-7}} \right)e^{-7x}\)

    40. \(9y''+y=0, \quad y(3π^2)=6, \; y(0)=−8\)

    41. \(y''+10y′+34y=0, \quad y(0)=6, \; y(π)=2\)

    Réponse
    Aucune solution n'existe.

    42. \(y''+7y′−60y=0, \quad y(0)=4, \; y(2)=0\)

    43. \(y''−4y′+4y=0, \quad y(0)=2, \; y(1)=−1\)

    Réponse
    \(y = 2e^{2x} - \left( \frac{2e^{2}+1}{e^2} \right)xe^{2x}\)

    44. \(y''−5y′=0, \quad y(0)=3, \; y(−1)=2\)

    45. \(y''+9y=0, \quad y(0)=4, \; y(π^3)=−4\)

    Réponse
    \(y = 4\cos 3x + c_2\sin 3x,\)une infinité de solutions

    46. \(4y''+25y=0, \quad y(0)=2, \; y(2π)=−2\)

    47. Trouvez une équation différentielle avec une solution générale qui est\(y=c_1e^{x/5}+c_2e^{−4x}.\)

    Réponse
    \(5y'' +19y' -4y = 0\)

    48. Trouvez une équation différentielle avec une solution générale qui est\(y=c_1e^{x}+c_2e^{−4x/3}.\)

    Pour chaque équation différentielle des exercices 49 à 51 :

    1. Résolvez le problème de valeur initiale.
    2. [T] Utilisez un utilitaire de création graphique pour représenter graphiquement la solution en question.

    49. \(y''+64y=0; \quad y(0)=3, \; y′(0)=16\)

    Réponse
    a.\(y = 3\cos 8x + 2\sin 8x\)
    b.
    Cette figure est un graphique périodique. Il a une amplitude de 3,5. Les axes x et y sont redimensionnés par incréments de 1.

    50. \(y''−2y′+10y=0; \quad y(0)=1, \; y′(0)=13\)

    51. \(y''+5y′+15y=0; \quad y(0)=−2, \; y′(0)=7\)

    Réponse
    a.\(y = e^{-5/2}\left[-2\cos\left(\frac{\sqrt{35}}{2}x\right) + \frac{4\sqrt{35}}{35}\sin\left(\frac{\sqrt{35}}{2}x\right) \right]\)
    b.
    Cette figure est un graphique d'une fonction oscillante. Les axes x et y sont redimensionnés par incréments de nombres pairs. L'amplitude du graphe diminue à mesure que x augmente.

    52. (Principe de superposition) Prouvez que si\(y_1(x)\) et\(y_2(x)\) sont des solutions à une équation différentielle homogène linéaire,\(y''+p(x)y′+q(x)y=0,\) alors la fonction\(y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x),\)\(c_1\) et\(c_2\) sont des constantes est également une solution.

    53. Prouvez que si\(a, \, b\) et\(c\) sont des constantes positives, alors toutes les solutions à l'équation différentielle linéaire du second ordre s'\(ay''+by′+cy=0\)approchent de zéro comme\(x→∞.\) (Conseil : considérez trois cas : deux racines distinctes, des racines réelles répétées et des racines conjuguées complexes.)