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17.0 : Prélude aux équations différentielles du second ordre

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    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
    • OpenStax
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    Nous avons déjà étudié les bases des équations différentielles, y compris les équations séparables du premier ordre. Dans ce chapitre, nous allons un peu plus loin et examinons les équations du second ordre, qui sont des équations contenant des dérivées secondes de la variable dépendante. Les méthodes de résolution que nous examinons sont différentes de celles discutées précédemment, et les solutions ont tendance à faire intervenir des fonctions trigonométriques ainsi que des fonctions exponentielles. Nous nous concentrons ici principalement sur les équations du second ordre à coefficients constants.

    Voici une photo d'un amortisseur sur une moto.
    Figure\(\PageIndex{1}\) : Un système de suspension de motocyclette est un exemple de système de masse à ressort amorti. Le ressort absorbe les chocs et maintient le pneu en contact avec la route. L'amortisseur amortit le mouvement afin que la moto ne continue pas à rebondir après chaque bosse. (crédit : NSeika, Flickr)

    De telles équations ont de nombreuses applications pratiques. Le fonctionnement de certains circuits électriques, appelés circuits résistance-inducteur-condensateur (RLC), peut être décrit par des équations différentielles du second ordre à coefficients constants. Ces circuits se retrouvent dans toutes sortes d'appareils électroniques modernes, des ordinateurs aux smartphones en passant par les téléviseurs. De tels circuits peuvent être utilisés pour sélectionner une gamme de fréquences parmi l'ensemble du spectre des ondes radio et sont couramment utilisés pour régler les radios AM/FM. Nous examinons ces circuits de plus près dans Applications.

    Les systèmes à masse à ressort, tels que les amortisseurs de motocyclettes, constituent une deuxième application courante des équations différentielles du second ordre. Pour les pilotes de motocross, les systèmes de suspension de leurs motos sont très importants. Les parcours hors route qu'ils empruntent comportent souvent des sauts, et perdre le contrôle de la moto à l'atterrissage peut leur coûter la course. Le mouvement de l'amortisseur dépend du degré d'amortissement du système. Dans ce chapitre, nous modélisons des systèmes de masse à ressort forcés et non forcés avec différents niveaux d'amortissement.