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17.5 : Exercices de révision du chapitre 17

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    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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    Vrai ou faux ? Justifiez votre réponse par une preuve ou un contre-exemple.

    1. Si\(y\) et\(z\) sont les deux solutions\(y''+2y′+y=0,\), alors\(y+z\) c'est aussi une solution.

    Réponse
    Vrai

    2. Le système d'équations algébriques suivant a une solution unique :

    \(\begin{align*} 6z_1+3z_2 &=8 \\ 4z_1+2z_2 &=4. \end{align*}\)

    3. \(y=e^x \cos (3x)+e^x \sin (2x)\)est une solution à l'équation différentielle du second ordre\(y″+2y′+10=0.\)

    Réponse
    Faux

    4. Pour trouver la solution particulière à une équation différentielle du second ordre, vous avez besoin d'une condition initiale.

    Dans les problèmes 5 à 8, classez les équations différentielles. Déterminez l'ordre, s'il est linéaire et, s'il est linéaire, si l'équation différentielle est homogène ou non homogène. Si l'équation est homogène et linéaire du second ordre, trouvez l'équation caractéristique.

    5. \(y″−2y=0\)

    Réponse
    second ordre, linéaire, homogène,\(λ^2−2=0\)

    6. \(y''−3y+2y= \cos (t)\)

    7. \(\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2+yy′=1\)

    Réponse
    premier ordre, non linéaire, non homogène

    8. \(\dfrac{d^2y}{dt^2}+t \dfrac{dy}{dt}+\sin^2 (t)y=e^t\)

    Dans les problèmes 9 à 16, trouvez la solution générale.

    9. \(y''+9y=0\)

    Réponse
    \(y=c_1 \sin (3x)+c_2 \cos (3x)\)

    10. \(y''+2y′+y=0\)

    11. \(y''−2y′+10y=4x\)

    Réponse
    \(y=c_1e^x \sin (3x)+c_2e^x \cos (3x)+\frac{2}{5}x+\frac{2}{25}\)

    12. \(y''= \cos (x)+2y′+y\)

    13. \(y''+5y+y=x+e^{2x}\)

    Réponse
    \(y=c_1e^{−x}+c_2e^{−4x}+\frac{x}{4}+\frac{e^{2x}}{18}−\frac{5}{16}\)

    14. \(y''=3y′+xe^{−x}\)

    15. \(y''−x^2=−3y′−\frac{9}{4}y+3x\)

    Réponse
    \(y=c_1e^{(−3/2)x}+c_2xe^{(−3/2)x}+\frac{4}{9}x^2+\frac{4}{27}x−\frac{16}{27}\)

    16. \(y''=2 \cos x+y′−y\)

    Dans les problèmes 17 à 18, trouvez la solution au problème de la valeur initiale, si possible.

    17. \(y''+4y′+6y=0, \; y(0)=0, \; y′(0)=\sqrt{2}\)

    Réponse
    \(y=e^{−2x} \sin (\sqrt{2}x)\)

    18. \(y''=3y− \cos (x), \; y(0)=\frac{9}{4}, \; y′(0)=0\)

    Dans les problèmes 19 à 20, trouvez la solution au problème des valeurs limites.

    19. \(4y′=−6y+2y″, \; y(0)=0, \; y(1)=1\)

    Réponse
    \(y=\dfrac{e^{1−x}}{e^4−1}(e^{4x}−1)\)

    20. \(y''=3x−y−y′, \; y(0)=−3, \; y(1)=0\)

    Pour le problème suivant, configurez et résolvez l'équation différentielle.

    21. Le mouvement d'un pendule oscillant pour de petits angles\(θ\) peut être approximé\(\dfrac{d^2θ}{dt^2}+\dfrac{g}{L}θ=0,\) en\(θ\) fonction de l'angle que fait le pendule par rapport à une ligne verticale,\(g\) de l'accélération résultant de la gravité et\(L\) de la longueur du pendule. Trouvez l'équation décrivant l'angle du pendule à un moment donné\(t,\) en supposant un déplacement initial\(θ_0\) et une vitesse initiale de zéro.

    Réponse
    \(θ(t)=θ_0 \cos\left(\sqrt{\frac{g}{l}}t\right)\)

    Dans les problèmes 22 à 23, considérez les « battements » qui se produisent lorsque le terme de forçage d'une équation différentielle provoque des amplitudes « lentes » et « rapides ». Considérez l'équation différentielle générale\(ay″+by= \cos (ωt)\) qui régit les mouvements non amortis. Supposons que\(\sqrt{\frac{b}{a}}≠ω.\)

    22. Trouvez la solution générale à cette équation (Astuce : appel\(ω_0=\sqrt{b/a}\)).

    23. En supposant que le système part du repos, montrez que la solution particulière peut être écrite comme\(y=\dfrac{2}{a(ω_0^2−ω^2)} \sin \left(\dfrac{ω_0−ωt}{2}\right) \sin\left(\dfrac{ω_0+ωt}{2}\right).\)

    24. [T] À l'aide de vos solutions dérivées précédemment, tracez la solution\(2y″+9y= \cos (2t)\) par rapport au système sur l'intervalle\(t=[−50,50].\) Trouvez, de manière analytique, la période des amplitudes rapides et lentes.

    Pour le problème suivant, configurez et résolvez les équations différentielles.

    25. Un chanteur d'opéra tente de briser un verre en chantant une note particulière. Les vibrations du verre peuvent être modélisées par\(y″+ay= \cos (bt)\), où\(y''+ay=0\) représente la fréquence naturelle du verre et où le chanteur force les vibrations à\( \cos (bt)\). Pour quelle valeur le chanteur\(b\) serait-il capable de briser ce verre ? (Remarque : pour que le verre se brise, les oscillations devraient augmenter de plus en plus.)

    Réponse
    \(b=\sqrt{a}\)