13 : Fonctions à valeur vectorielle
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Une fonction à valeur vectorielle, également appelée fonction vectorielle, est une fonction mathématique d'une ou de plusieurs variables dont la plage est un ensemble de vecteurs multidimensionnels ou de vecteurs de dimensions infinies. L'entrée d'une fonction à valeur vectorielle peut être un scalaire ou un vecteur. Les fonctions à valeur vectorielle constituent une méthode utile pour étudier diverses courbes à la fois dans le plan et dans l'espace tridimensionnel. Nous pouvons appliquer ce concept pour calculer la vitesse, l'accélération, la longueur de l'arc et la courbure de la trajectoire d'un objet. Dans ce chapitre, nous examinons ces méthodes et montrons comment elles sont utilisées.
- 13.0 : Prélude aux fonctions à valeurs vectorielles
- La comète de Halley suit une trajectoire elliptique à travers le système solaire, le Soleil apparaissant à l'un des foyers de l'ellipse. Ce mouvement est prédit par la première loi du mouvement planétaire de Johannes Kepler, que nous avons mentionnée brièvement précédemment. La troisième loi du mouvement planétaire de Kepler peut être utilisée avec le calcul de fonctions à valeur vectorielle pour déterminer la distance moyenne entre la comète de Halley et le Soleil.
- 13.1 : Fonctions à valeur vectorielle et courbes spatiales
- Notre étude des fonctions à valeur vectorielle combine des idées issues de notre examen antérieur du calcul à variable unique avec notre description des vecteurs en trois dimensions tirée du chapitre précédent. Dans cette section, nous étendons les concepts des chapitres précédents et examinons également de nouvelles idées concernant les courbes dans l'espace tridimensionnel. Ces définitions et théorèmes appuient la présentation du matériel dans le reste de ce chapitre ainsi que dans les autres chapitres du texte.
- 13.2 : Calcul des fonctions à valeurs vectorielles
- Pour étudier le calcul des fonctions à valeurs vectorielles, nous suivons une voie similaire à celle que nous avons empruntée pour étudier les fonctions à valeurs réelles. Nous définissons d'abord la dérivée, puis nous examinons les applications de la dérivée, puis nous passons à la définition des intégrales. Cependant, nous trouverons de nouvelles idées intéressantes en cours de route en raison de la nature vectorielle de ces fonctions et des propriétés des courbes spatiales.
- 13.3 : Longueur et courbure de l'arc
- Dans cette section, nous étudions les formules relatives aux courbes en deux et en trois dimensions et voyons comment elles sont liées aux différentes propriétés d'une même courbe. Supposons, par exemple, qu'une fonction à valeur vectorielle décrit le mouvement d'une particule dans l'espace. Nous aimerions déterminer la distance parcourue par la particule sur un intervalle de temps donné, qui peut être décrit par la longueur de l'arc de la trajectoire qu'elle suit.
- 13.4 : Mouvement dans l'espace
- Nous avons maintenant vu comment décrire des courbes dans le plan et dans l'espace, et comment déterminer leurs propriétés, telles que la longueur et la courbure de l'arc. Tout cela nous amène à l'objectif principal de ce chapitre, qui est de décrire le mouvement le long de courbes planes et de courbes spatiales. Nous disposons désormais de tous les outils dont nous avons besoin ; dans cette section, nous rassemblons ces idées et examinons comment les utiliser.