6.7 : Exposants entiers et notation scientifique

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

• Utiliser la définition d'un exposant négatif
• Simplifier les expressions avec des exposants entiers
• Conversion de la notation décimale en notation scientifique
• Convertir la notation scientifique en forme décimale
• Multiplier et diviser en utilisant la notation scientifique

Remarque

Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.

1. Quelle est la valeur de la place du 6 dans le nombre 64891 ?
   Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.2.1.
2. Nommez la décimale : 0,0012.
   Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.8.1.
3. Soustraire : 5− (−3).
   Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.4.33.

Utiliser la définition d'un exposant négatif

Nous avons vu que la propriété du quotient pour les exposants, présentée plus tôt dans ce chapitre, a deux formes selon que l'exposant est plus grand au numérateur ou au dénominateur.

PROPRIÉTÉ DE QUOTIENT POUR LES EXPOSANTS

Si a est un nombre réel et que m et n sont des nombres entiers, alors$a\neq0$

$$\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, m>n \quad$$

et

$$\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=\dfrac{1}{a^{n-m}}, n>m$$

Et si nous soustrayions simplement les exposants, quel que soit le plus grand ?

Considérons$\dfrac{x^{2}}{x^{5}}$.

Nous soustrayons l'exposant du dénominateur de l'exposant du numérateur.

$$\begin{array}{c}{\dfrac{x^{2}}{x^{5}}} \\ {x^{2-5}} \\ {x^{-3}}\end{array}$$

Nous pouvons également simplifier$\dfrac{x^{2}}{x^{5}}$ en divisant les facteurs communs :

cela implique cela$x^{-3}=\dfrac{1}{x^{3}}$ et cela nous amène à la définition d'un exposant négatif.

Définition : EXPOSANT NÉGATIF

Si n est un entier et$a\neq 0$, alors$a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$

L'exposant négatif nous indique que nous pouvons réécrire l'expression en prenant l'inverse de la base puis en changeant le signe de l'exposant.

Toute expression qui possède des exposants négatifs n'est pas considérée comme étant sous sa forme la plus simple. Nous utiliserons la définition d'un exposant négatif et d'autres propriétés des exposants pour écrire l'expression avec uniquement des exposants positifs.

Par exemple, si après avoir simplifié une expression, nous obtenons l'expression$x^{-3}$, nous ferons une étape supplémentaire et écrirons$\dfrac{1}{x^{3}}$. La réponse est considérée comme étant dans sa forme la plus simple lorsqu'elle ne comporte que des exposants positifs.

Exercice$\PageIndex{1}$

Simplifiez :

1. $4^{-2}$
2. $10^{-3}$

Réponse

1. $\begin{array}{ll}& 4^{-2} \\{\text { Use the definition of a negative exponent, } a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}},} & {\dfrac{1}{4^{2}}} \\ {\text { Simplify. }} & \dfrac{1}{16} \end{array}$
2. $\begin{array}{ll}& 10^{-3} \\{\text { Use the definition of a negative exponent, } a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}},} & \dfrac{1}{10^{3}} \\ {\text { Simplify. }} & \dfrac{1}{1000}\end{array}$

Exercice$\PageIndex{2}$

Simplifiez :

1. $2^{-3}$
2. $10^{-7}$

Réponse

1. $\dfrac{1}{8}$
2. $\dfrac{1}{10^{7}}$

Exercice$\PageIndex{3}$

Simplifiez :

1. $3^{-2}$
2. $10^{-4}$

Réponse

1. $\dfrac{1}{9}$
2. $\dfrac{1}{10,000}$

Dans l'exercice,$\PageIndex{1}$ nous avons élevé un entier à un exposant négatif. Que se passe-t-il lorsque nous élevons une fraction à un exposant négatif ? Nous allons commencer par examiner ce qui arrive à une fraction dont le numérateur est un et dont le dénominateur est un entier élevé à un exposant négatif.

$\begin{array}{ll}& \dfrac{1}{a^{-n}}\\ {\text { Use the definition of a negative exponent, } a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}} } & \dfrac{1}{\dfrac{1}{a^{n}}} \\ {\text { Simplify the complex fraction. }} & 1 \cdot \dfrac{a^{n}}{1}\\ {\text { Multiply. }} & a^{n}\end{array}$

Cela conduit à la propriété des exposants négatifs.

PROPRIÉTÉ DES EXPOSANTS NÉGATIFS

Si n est un entier et$a\neq 0$, alors$\dfrac{1}{a^{-n}}=a^{n}$.

Exercice$\PageIndex{4}$

Simplifiez :

1. $\dfrac{1}{y^{-4}}$
2. $\dfrac{1}{3^{-2}}$

Réponse

1. $\begin{array} { ll } & \dfrac{1}{y^{-4}}\\ \text { Use the property of a negative exponent, } \dfrac{1}{a^{-n}}=a^{n} . & y^{4}\end{array}$
2. $\begin{array} { ll } & \dfrac{1}{3^{-2}}\\ \text {Use the property of a negative exponent, } \dfrac{1}{a^{-n}}=a^{n} . & 3^{2} \\ \text{Simplify.}& 9\end{array}$

Exercice$\PageIndex{5}$

Simplifiez :

1. $\dfrac{1}{p^{-8}}$
2. $\dfrac{1}{4^{-3}}$

Réponse

1. $p^{8}$
2. 64

Exercice$\PageIndex{6}$

Simplifiez :

1. $\dfrac{1}{q^{-7}}$
2. $\dfrac{1}{2^{-4}}$

Réponse

1. $q^{7}$
2. 16

Supposons maintenant que nous ayons une fraction élevée à un exposant négatif. Utilisons notre définition des exposants négatifs pour nous mener à une nouvelle propriété.

$\begin{array}{ll}& \left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2}\\ {\text { Use the definition of a negative exponent, } a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}} } & \dfrac{1}{\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}} \\ {\text { Simplify the denominator. }} & \dfrac{1}{\dfrac{9}{16}}\\ {\text { Simplify the complex fraction.}} &\dfrac{16}{9}\\ \text { But we know that } \dfrac{16}{9} \text { is }\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2} & \\ \text { This tells us that: } & \left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2}=\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2}\end{array}$

Pour passer de la fraction initiale élevée à un exposant négatif au résultat final, nous avons pris l'inverse de la base, la fraction, et avons changé le signe de l'exposant.

Cela nous amène au quotient d'une propriété de puissance négative.

QUOTIENT À UNE PROPRIÉTÉ D'EXPOSANT NÉGATIF

Si$a$ et$b$ sont des nombres réels,$a \neq 0, b \neq 0,$ et$n$ est un entier, alors$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}$

Exercice$\PageIndex{7}$

Simplifiez :

1. $\left(\dfrac{5}{7}\right)^{-2}$
2. $\left(-\dfrac{2 x}{y}\right)^{-3}$

Réponse

1. $\begin{array}{ll}& \left(\dfrac{5}{7}\right)^{-2}\\ \text { Use the Quotient to a Negative Exponent Property, }\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}& \\ \text { Take the reciprocal of the fraction and change the sign of the exponent. }&\left(\dfrac{7}{5}\right)^{2}\\ \text { Simplify. } & \dfrac{49}{25}\end{array}$
2. $\begin{array}{ll}& \left(-\dfrac{2 x}{y}\right)^{-3}\\ \text { Use the Quotient to a Negative Exponent Property, }\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}& \\ \text { Take the reciprocal of the fraction and change the sign of the exponent. }&\left(-\dfrac{y}{2 x}\right)^{3}\\ \text { Simplify. } & -\dfrac{y^{3}}{8 x^{3}}\end{array}$

Exercice$\PageIndex{8}$

Simplifiez :

1. $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-4}$
2. $\left(-\dfrac{6 m}{n}\right)^{-2}$

Réponse

1. $\dfrac{81}{16}$
2. $\dfrac{n^{2}}{36 m^{2}}$

Exercice$\PageIndex{9}$

Simplifiez :

1. $\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-3}$
2. $\left(-\dfrac{a}{2 b}\right)^{-4}$

Réponse

1. $\dfrac{125}{27}$
2. $\dfrac{16 b^{4}}{a^{4}}$

Lorsque vous simplifiez une expression avec des exposants, nous devons veiller à identifier correctement la base.

Exercice$\PageIndex{10}$

Simplifiez :

1. $(-3)^{-2}$
2. $-3^{-2}$
3. $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{-2}$
4. $-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}$

Réponse

1. Ici, l'exposant s'applique à la base −3. $\begin{array}{ll} & (-3)^{-2}\\ {\text { Take the reciprocal of the base and change the sign of the exponent. }}& \dfrac{1}{(-3)^{-2}} \\ {\text { Simplify. }} & \dfrac{1}{9}\end{array}$
2. L'expression$-3^{-2}$ signifie « trouver le contraire de$3^{-2}$ ». Ici, l'exposant s'applique à la base 3. $\begin{array}{ll} &-3^{-2}\\ \text { Rewrite as a product with }-1&-1 \cdot 3^{-2}\\\text { Take the reciprocal of the base and change the sign of the exponent. } & -1 \cdot \dfrac{1}{3^{2}}\\ {\text { Simplify. }} & -\dfrac{1}{9}\end{array}$
3. Ici, l'exposant s'applique à la base$\left(-\dfrac{1}{3}\right)$. $\begin{array}{ll} &\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{-2}\\ {\text { Take the reciprocal of the base and change the sign of the exponent. }}& \left(-\dfrac{3}{1}\right)^{2}\\ {\text { Simplify. }} & 9\end{array}$
4. L'expression$-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}$ signifie « trouver le contraire de$\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}$ ». Ici, l'exposant s'applique à la base$\left(\dfrac{1}{3}\right)$. $\begin{array}{ll} &-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}\\ \text { Rewrite as a product with }-1&-1 \cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}\\\text { Take the reciprocal of the base and change the sign of the exponent. } & -1 \cdot\left(\dfrac{3}{1}\right)^{2}\\ {\text { Simplify. }} & -9 \end{array}$

Exercice$\PageIndex{11}$

Simplifiez :

1. $(-5)^{-2}$
2. $-5^{-2}$
3. $\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{-2}$
4. $-\left(\dfrac{1}{5}\right)^{-2}$

Réponse

1. $\dfrac{1}{25}$
2. $-\dfrac{1}{25}$
3. 25
4. −25

Exercice$\PageIndex{12}$

Simplifiez :

1. $(-7)^{-2}$
2. $-7^{-2}$
3. $\left(-\dfrac{1}{7}\right)^{-2}$
4. $-\left(\dfrac{1}{7}\right)^{-2}$

Réponse

1. $\dfrac{1}{49}$
2. $-\dfrac{1}{49}$
3. 49
4. −49

Nous devons faire attention à suivre l'ordre des opérations. Dans l'exemple suivant, les parties (a) et (b) se ressemblent, mais les résultats sont différents.

Exercice$\PageIndex{13}$

Simplifiez :

1. 4$\cdot 2^{-1}$
2. $(4 \cdot 2)^{-1}$

Réponse

1. $\begin{array}{ll} \text { Do exponents before multiplication. }&4 \cdot 2^{-1}\\ \text { Use } a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}&4 \cdot \dfrac{1}{2^{1}}\\ {\text { Simplify. }} & 2 \end{array}$
2. $\begin{array}{ll} &(4 \cdot 2)^{-1}\\ \text { Simplify inside the parentheses first. }&(8)^{-1}\\ \text { Use } a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}} & \dfrac{1}{8^{1}}\\{\text { Simplify. }} & \dfrac{1}{8} \end{array}$

Exercice$\PageIndex{14}$

Simplifiez :

1. 6$\cdot 3^{-1}$
2. $(6 \cdot 3)^{-1}$

Réponse

1. 2
2. $\dfrac{1}{18}$

Exercice$\PageIndex{15}$

Simplifiez :

1. 8$\cdot 2^{-2}$
2. $(8 \cdot 2)^{-2}$

Réponse

1. 2
2. $\dfrac{1}{256}$

Lorsqu'une variable est élevée à un exposant négatif, nous appliquons la définition de la même manière que nous l'avons fait pour les nombres. Nous supposerons que toutes les variables sont différentes de zéro.

Exercice$\PageIndex{16}$

Simplifiez :

1. $x^{-6}$
2. $\left(u^{4}\right)^{-3}$

Réponse

1. $\begin{array}{ll} &x^{-6}\\ \text { Use the definition of a negative exponent, } a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}&\dfrac{1}{x^{6}}\end{array}$
2. $\begin{array}{ll} &\left(u^{4}\right)^{-3}\\ \text { Use the definition of a negative exponent, } a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}&\dfrac{1}{\left(u^{4}\right)^{3}} \\ \text{ Simplify.} & \dfrac{1}{u^{12}}\end{array}$

Exercice$\PageIndex{17}$

Simplifiez :

1. $y^{-7}$
2. $\left(z^{3}\right)^{-5}$

Réponse

1. $\dfrac{1}{y^{7}}$
2. $\dfrac{1}{z^{15}}$

Exercice$\PageIndex{18}$

Simplifiez :

1. $p^{-9}$
2. $\left(q^{4}\right)^{-6}$

Réponse

1. $\dfrac{1}{p^{9}}$
2. $\dfrac{1}{q^{24}}$

Lorsqu'il y a un produit et un exposant, nous devons veiller à appliquer l'exposant à la bonne quantité. Selon l'ordre des opérations, nous simplifions les expressions entre parenthèses avant d'appliquer des exposants. Nous verrons comment cela fonctionne dans l'exemple suivant.

Exercice$\PageIndex{19}$

Simplifiez :

1. 5$y^{-1}$
2. $(5 y)^{-1}$
3. $(-5 y)^{-1}$

Réponse

1. $\begin{array}{ll} &5 y^{-1}\\ \text { Notice the exponent applies to just the base y. }& \\ \text { Take the reciprocal of } y \text { and change the sign of the exponent. }&5 \cdot \dfrac{1}{y^{1}} \\ \text { Simplify. } & \dfrac{5}{y}\end{array}$
2. $\begin{array}{ll} &(5 y)^{-1}\\\text { Here the parentheses make the exponent apply to the base } 5 y .& \\ \text { Take the reciprocal of } 5 y \text { and change the sign of the exponent. }&\dfrac{1}{(5 y)^{1}}\\ \text { Simplify. } &\dfrac{1}{5 y}\end{array}$
3. $\begin{array}{ll} &(-5 y)^{-1}\\\text { The base here is }-5 y& \\ \text { Take the reciprocal of }-5 y \text { and change the sign of the exponent. }&\dfrac{1}{(-5 y)^{1}}\\ \text { Simplify. } &\dfrac{1}{-5 y}\\ \text { Use } \dfrac{a}{-b}=-\dfrac{a}{b} & -\dfrac{1}{5 y}\end{array}$

Exercice$\PageIndex{20}$

Simplifiez :

1. 8$p^{-1}$
2. $(8 p)^{-1}$
3. $(-8 p)^{-1}$

Réponse

1. $\dfrac{8}{p}$
2. $\dfrac{1}{8 p}$
3. $-\dfrac{1}{8 p}$

Exercice$\PageIndex{21}$

Simplifiez :

1. 11$q^{-1}$
2. $(11 q)^{-1}-(11 q)^{-1}$
3. $(-11 q)^{-1}$

Réponse

1. $\dfrac{11}{1 q}$
2. $\dfrac{1}{11 q}-\dfrac{1}{11 q}$
3. $-\dfrac{1}{11 q}$

Avec des exposants négatifs, la règle du quotient n'a besoin que d'une seule forme$\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n},$ pour$a \neq 0$ 0. Lorsque l'exposant du dénominateur est plus grand que l'exposant du numérateur, l'exposant du quotient sera négatif.

Simplifier les expressions avec des exposants entiers

Toutes les propriétés des exposants que nous avons développées plus tôt dans le chapitre avec des exposants entiers s'appliquent également aux exposants entiers. Nous les reformulons ici à titre de référence.

RÉSUMÉ DES PROPRIÉTÉS DES EXPOSANTS

Si$a$ et$b$ sont des nombres réels, et$m$ et$n$ sont des nombres entiers, alors

$\begin{array}{lrll}{\textbf { Product Property }}& a^{m} \cdot a^{n} &=&a^{m+n} \\ {\textbf { Power Property }} &\left(a^{m}\right)^{n} &=&a^{m \cdot n} \\ {\textbf { Product to a Power }} &(a b)^{m} &=&a^{m} b^{m} \\ {\textbf { Quotient Property }} & \dfrac{a^{m}}{a^{n}} &=&a^{m-n}, a \neq 0 \\ {\textbf { Zero Exponent Property }}& a^{0} &= & 1, a \neq 0 \\ {\textbf { Quotient to a Power Property }} & \left(\dfrac{a}{b}\right)^{m} &=&\dfrac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0 \\ {\textbf { Properties of Negative Exponents }} & a^{-n} &=&\dfrac{1}{a^{n}} \text { and } \dfrac{1}{a^{-n}}=a^{n}\\ {\textbf { Quotient to a Negative Exponents }}& \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} &=&\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n} \\\end{array}$

Exercice$\PageIndex{22}$

Simplifiez :

1. $x^{-4} \cdot x^{6}$
2. $y^{-6} \cdot y^{4}$
3. $z^{-5} \cdot z^{-3}$

Réponse

1. $\begin{array}{ll}& x^{-4} \cdot x^{6} \\ \text { Use the Product Property, } a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n} & x^{-4+6} \\ \text { Simplify. } & x^{2} \end{array}$
2. $\begin{array}{ll}& y^{-6} \cdot y^{4} \\ \text { Notice the same bases, so add the exponents. }& y^{-6+4}\\ \text { Simplify. } & y^{-2} \\ \text { Use the definition of a negative exponent, } a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}} & \dfrac{1}{y^{2}}\end{array}$
3. $\begin{array}{ll}& z^{-5} \cdot z^{-3} \\ \text { Add the exponents, since the bases are the same. }& z^{-5-3}\\ \text { Simplify. } & z^{-8}\\ \text { Take the reciprocal and change the sign of the exponent, }& \dfrac{1}{z^{8}} \\ \text { using the definition of a negative exponent. }\end{array}$

Exercice$\PageIndex{23}$

Simplifiez :

1. $x^{-3} \cdot x^{7}$
2. $y^{-7} \cdot y^{2}$
3. $z^{-4} \cdot z^{-5}$

Réponse

1. $x^{4}$
2. $\dfrac{1}{y^{5}}$
3. $\dfrac{1}{z^{9}}$

Exercice$\PageIndex{24}$

Simplifiez :

1. $a^{-1} \cdot a^{6}$
2. $b^{-8} \cdot b^{4}$
3. $c^{-8} \cdot c^{-7}$

Réponse

1. $a^{5}$
2. $\dfrac{1}{b^{4}}$
3. $\dfrac{1}{c^{15}}$

Dans les deux exemples suivants, nous allons commencer par utiliser la propriété de commutation pour regrouper les mêmes variables. Cela permet d'identifier plus facilement les bases similaires avant d'utiliser la propriété du produit.

Exercice$\PageIndex{25}$

Simplifiez :$\left(m^{4} n^{-3}\right)\left(m^{-5} n^{-2}\right)$

Réponse

$\begin{array}{ll}& \left(m^{4} n^{-3}\right)\left(m^{-5} n^{-2}\right) \\ \text { Use the Commutative Property to get like bases together. }& m^{4} m^{-5} \cdot n^{-2} n^{-3}\\ \text { Add the exponents for each base. }&m^{-1} \cdot n^{-5}\\ \text { Take reciprocals and change the signs of the exponents. }& \dfrac{1}{m^{1}} \cdot \dfrac{1}{n^{5}} \\ \text { Simplify. } & \dfrac{1}{m n^{5}}\end{array}$

Exercice$\PageIndex{26}$

Simplifiez :$\left(p^{6} q^{-2}\right)\left(p^{-9} q^{-1}\right)$

Réponse

$\frac{1}{p^3 q^3}$

Exercice$\PageIndex{27}$

Simplifiez :$\left(r^{5} s^{-3}\right)\left(r^{-7} s^{-5}\right)$

Réponse

$\frac{1}{r^2 s^8}$

Si les monômes ont des coefficients numériques, nous multiplions les coefficients, comme nous le faisions précédemment.

Exercice$\PageIndex{28}$

Simplifiez :$\left(2 x^{-6} y^{8}\right)\left(-5 x^{5} y^{-3}\right)$

Réponse

$\begin{array}{ll}& \left(2 x^{-6} y^{8}\right)\left(-5 x^{5} y^{-3}\right) \\ \text { Rewrite with the like bases together. }& 2(-5) \cdot\left(x^{-6} x^{5}\right) \cdot\left(y^{8} y^{-3}\right)\\ \text { Multiply the coefficients and add the exponents of each variable. }&-10 \cdot x^{-1} \cdot y^{5}\\ \text { Use the definition of a negative exponent, } a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}&-10 \cdot \dfrac{1}{x^{1}} \cdot y^{5} \\ \text { Simplify. } & \dfrac{-10 y^{5}}{x}\end{array}$

Exercice$\PageIndex{29}$

Simplifiez :$\left(3 u^{-5} v^{7}\right)\left(-4 u^{4} v^{-2}\right)$

Réponse

$-\frac{12v^5}{u}$

Exercice$\PageIndex{30}$

Simplifiez :$\left(-6 c^{-6} d^{4}\right)\left(-5 c^{-2} d^{-1}\right)$

Réponse

$\frac{30d^3}{c^8}$

Dans les deux exemples suivants, nous utiliserons la propriété Power et la propriété Product to a Power.

Exercice$\PageIndex{31}$

Simplifiez :$\left(6 k^{3}\right)^{-2}$

Réponse

$\begin{array}{ll}&\left(6 k^{3}\right)^{-2}\\ \text { Use the Product to a Power Property, }(a b)^{m}=a^{n} b^{m}&(6)^{-2}\left(k^{3}\right)^{-2}\\ \text { Use the Power Property, }\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}&6^{-2} k^{-6}\\ \text { Use the definition of a negative exponent, } a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}&\dfrac{1}{6^{2}} \cdot \dfrac{1}{k^{6}} \\ \text { Simplify. } & \dfrac{1}{36 k^{6}}\end{array}$

Exercice$\PageIndex{32}$

Simplifiez :$\left(-4 x^{4}\right)^{-2}$

Réponse

$\frac{1}{16x^8}$

Exercice$\PageIndex{33}$

Simplifiez :$\left(2 b^{3}\right)^{-4}$

Réponse

$\frac{1}{16b^{12}}$

Exercice$\PageIndex{34}$

Simplifiez :$\left(5 x^{-3}\right)^{2}$

Réponse

$\begin{array}{ll}&\left(5 x^{-3}\right)^{2}\\ \text { Use the Product to a Power Property, }(a b)^{m}=a^{n} b^{m}&5^{2}\left(x^{-3}\right)^{2}\\ \begin{array}{l}{\text { Simplify } 5^{2} \text { and multiply the exponents of } x \text { using the Power }} \\ {\text { Property, }\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n} .}\end{array}&25 \cdot x^{-6}\\ \begin{array}{l}{\text { Rewrite } x^{-6} \text { by using the Definition of a Negative Exponent, }} \\ {\space a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}}\end{array}&25 \cdot \dfrac{1}{x^{6}}\\ \text { Simplify. } & \dfrac{25}{x^{6}}\end{array}$

Exercice$\PageIndex{35}$

Simplifiez :$\left(8 a^{-4}\right)^{2}$

Réponse

$\frac{64}{a^8}$

Exercice$\PageIndex{36}$

Simplifiez :$\left(2 c^{-4}\right)^{3}$

Réponse

$\frac{8}{c^{12}}$

Pour simplifier une fraction, nous utilisons la propriété du quotient et soustrayons les exposants.

Exercice$\PageIndex{37}$

Simplifiez :$\dfrac{r^{5}}{r^{-4}}$

Réponse

$\begin{array}{l} & \dfrac{r^{5}}{r^{-4}}\\ {\text { Use the Quotient Property, } \dfrac{a^{n}}{a^{n}}=a^{m-n}} & r^{5-(-4)}\\ {\text { Simplify. }} & r^{9}\end{array}$

Exercice$\PageIndex{38}$

Simplifiez :$\dfrac{x^{8}}{x^{-3}}$

Réponse

$x^{11}$

Exercice$\PageIndex{39}$

Simplifiez :$\dfrac{y^{8}}{y^{-6}}$

Réponse

$y^{14}$

Convertir de la notation décimale en notation scientifique

Vous vous souvenez de travailler avec des valeurs de position pour des nombres entiers et décimaux ? Notre système de numérotation est basé sur des puissances de 10. Nous utilisons des dizaines, des centaines, des milliers, etc. Nos nombres décimaux sont également basés sur des puissances de dix dixièmes, centièmes, millièmes, etc. Considérez les nombres 4 000 et 0,004. Nous savons que 4 000 signifie$4 \times 1,000$ et 0,004 signifie$4 \times \dfrac{1}{1,000}$.

Si nous écrivons le 1000 comme une puissance de dix sous forme exponentielle, nous pouvons réécrire ces nombres de la manière suivante :

$$\begin{array}{ll}{4,000} & {0.004} \\ {4 \times 1,000} & {4 \times \dfrac{1}{1,000}} \\ {4 \times 10^{3}} & {4 \times \dfrac{1}{10^{3}}} \\ & {4 \times 10^{-3}}\end{array}$$

Lorsqu'un nombre est écrit comme le produit de deux nombres, où le premier facteur est un nombre supérieur ou égal à un mais inférieur à 10, et le second facteur est une puissance de 10 écrite sous forme exponentielle, on dit que c'est en notation scientifique.

NOTATION SCIENTIFIQUE

Un nombre est exprimé en notation scientifique lorsqu'il est de la forme

$$a \times 10^{n} \text { where } 1 \leq a<10 \text { and } n \text { is an integer }$$

Il est habituel en notation scientifique de l'utiliser comme signe de$\times$ multiplication, même si nous évitons d'utiliser ce signe ailleurs en algèbre.

Si nous examinons ce qui est arrivé à la virgule décimale, nous pouvons voir une méthode permettant de passer facilement de la notation décimale à la notation scientifique.

Dans les deux cas, la décimale a été déplacée de 3 places pour obtenir le premier facteur entre 1 et 10.

$\begin{array}{ll}{\text { The power of } 10 \text { is positive when the number is larger than } 1 :} & {4,000=4 \times 10^{3}} \\ {\text { The power of } 10 \text { is negative when the number is between } 0 \text { and } 1 :} & {0.004=4 \times 10^{-3}} \end{array}$

Exercice$\PageIndex{40}$: HOW TO CONVERT FROM DECIMAL NOTATION TO SCIENTIFIC NOTATION

Ecrire en notation scientifique : 37000.

Réponse

Exercice$\PageIndex{41}$

Écrire en notation scientifique : 96000.

Réponse

$9.6 \times 10^{4}$

Exercice$\PageIndex{42}$

Ecrire en notation scientifique : 48300.

Réponse

$4.83 \times 10^{4}$

COMMENT : Convertir de la notation décimale à la notation scientifique

1. Étape 1. Déplacez la virgule décimale de manière à ce que le premier facteur soit supérieur ou égal à 1 mais inférieur à 10.
2. Étape 2. Comptez le nombre de décimales, n, pendant lesquelles le point décimal a été déplacé.
3. Étape 3. Écrivez le nombre sous la forme d'un produit d'une puissance de 10.
   Si le numéro d'origine est :
   • supérieure à 1, la puissance de 10 sera de 10 ^n.
   • entre 0 et 1, la puissance de 10 sera de 10 ^-n.
4. Étape 4. Vérifiez.

Exercice$\PageIndex{43}$

Ecrire en notation scientifique : 0,0052.

Réponse

Le nombre d'origine, 0,0052, est compris entre 0 et 1, donc nous aurons une puissance négative de 10.

Déplacez le point décimal pour obtenir 5,2, un nombre compris entre 1 et 10.
Comptez le nombre de décimales pendant lesquelles le point a été déplacé.
Écrivez comme un produit d'une puissance de 10.
Vérifiez.
$\begin{array}{l}{5.2 \times 10^{-3}} \\ {5.2 \times \dfrac{1}{10^{3}}} \\ {5.2 \times \dfrac{1}{1000}} \\ {5.2 \times 0.001}\end{array}$
0,0052

Exercice$\PageIndex{44}$

Écrire en notation scientifique : 0.0078

Réponse

$7.8 \times 10^{-3}$

Exercice$\PageIndex{45}$

Écrire en notation scientifique : 0.0129

Réponse

$1.29 \times 10^{-2}$

Convertir la notation scientifique en forme décimale

Comment passer de la notation scientifique à la forme décimale ? Regardons deux nombres écrits en notation scientifique et voyons.

$$\begin{array}{cc}{9.12 \times 10^{4}} & {9.12 \times 10^{-4}} \\ {9.12 \times 10,000} & {9.12 \times 0.0001} \\ {91,200} & {0.000912}\end{array}$$

Si nous examinons l'emplacement du point décimal, nous pouvons voir une méthode simple pour convertir un nombre de la notation scientifique à la forme décimale.

$$9.12 \times 10^{4}=91,200 \quad 9.12 \times 10^{-4}=0.000912$$

Dans les deux cas, le point décimal s'est déplacé de 4 places. Lorsque l'exposant était positif, la décimale se déplaçait vers la droite. Lorsque l'exposant était négatif, le point décimal se déplaçait vers la gauche.

Exercice$\PageIndex{46}$

Convertir au format décimal :$6.2 \times 10^{3}$

Réponse

Exercice$\PageIndex{47}$

Convertir au format décimal :$1.3 \times 10^{3}$

Réponse

$1,300$

Exercice$\PageIndex{48}$

Convertir au format décimal :$9.25 \times 10^{4}$

Réponse

$92,500$

Les étapes sont résumées ci-dessous.

COMMENT

Convertissez la notation scientifique en forme décimale.

Pour convertir la notation scientifique au format décimal :

1. Étape 1. Déterminez l'exposant,$n$, sur le facteur$10$.
2. Étape 2. Déplacez les$n$ décimales, en ajoutant des zéros si nécessaire.
   • Si l'exposant est positif, déplacez la virgule$n$ décimale vers la droite.
   • Si l'exposant est négatif, déplacez la virgule$|n|$ décimale vers la gauche.
3. Étape 3. Vérifiez.

Exercice$\PageIndex{49}$

Convertir au format décimal :$8.9\times 10^{-2}$

Réponse

Déterminez l'exposant,$n$, sur le facteur$10$.
Comme l'exposant est négatif, déplacez la virgule décimale de 2 places vers la gauche.
Ajoutez des zéros si nécessaire pour les espaces réservés.

Exercice$\PageIndex{50}$

Convertir au format décimal :$1.2 \times 10^{-4}$

Réponse

$0.00012$

Exercice$\PageIndex{51}$

Convertir au format décimal :$7.5 \times 10^{-2}$

Réponse

$0.075$

Multiplier et diviser en utilisant la notation scientifique

Les astronomes utilisent de très grands nombres pour décrire les distances dans l'univers et l'âge des étoiles et des planètes. Les chimistes utilisent de très petits nombres pour décrire la taille d'un atome ou la charge d'un électron. Lorsque les scientifiques effectuent des calculs avec des nombres très grands ou très petits, ils utilisent la notation scientifique. La notation scientifique permet d'effectuer les calculs sans écrire beaucoup de zéros. Nous verrons comment les propriétés des exposants sont utilisées pour multiplier et diviser des nombres en notation scientifique.

Exercice$\PageIndex{52}$

Multipliez. Écrivez les réponses sous forme décimale :$\left(4 \times 10^{5}\right)\left(2 \times 10^{-7}\right)$

Réponse

$\begin{array}{ll} & \left(4 \times 10^{5}\right)\left(2 \times 10^{-7}\right)\\\text { Use the Commutative Property to rearrange the factors. }& 4 \cdot 2 \cdot 10^{5} \cdot 10^{-7} \\ \text{ Multiply.} & 8 \times 10^{-2} \\ \text { Change to decimal form by moving the decimal two places left. } & 0.08\end{array}$

Exercice$\PageIndex{53}$

Multipliez$(3\times 10^{6})(2\times 10^{-8})$. Écrivez les réponses sous forme décimale.

Réponse

$0.06$

Exercice$\PageIndex{54}$

Multipliez$\left(3 \times 10^{-2}\right)\left(3 \times 10^{-1}\right)$. Écrivez les réponses sous forme décimale.

Réponse

$0.009$

Exercice$\PageIndex{55}$

Diviser. Écrivez les réponses sous forme décimale :$\dfrac{9 \times 10^{3}}{3 \times 10^{-2}}$

Réponse

$\begin{array}{ll} & \dfrac{9 \times 10^{3}}{3 \times 10^{-2}}\\\text { Separate the factors, rewriting as the product of two fractions. }& \dfrac{9}{3} \times \dfrac{10^{3}}{10^{-2}}\\ \text{ Divide.} & 3 \times 10^{5} \\ \text { Change to decimal form by moving the decimal five places right. } & 300000\end{array}$

Exercice$\PageIndex{56}$

Divisez les réponses$\dfrac{8 \times 10^{4}}{2 \times 10^{-1}} .$ Écrivez sous forme décimale

Réponse

$400,000$

Exercice$\PageIndex{57}$

Divisez les réponses$\dfrac{8 \times 10^{2}}{4 \times 10^{-2}} .$ Écrivez sous forme décimale

Réponse

$20,000$

ACCÈS AUX MÉDIAS RESSOURCES EN LIGNE SUPPLÉMENTAIRES

Accédez à ces ressources en ligne pour obtenir des instructions et des exercices supplémentaires sur les exposants entiers et la notation scientifique :

• Exposants négatifs
• Notation scientifique
• Notation scientifique 2

Concepts clés

• Propriété des exposants négatifs
  • Si$n$ est un entier positif et$a \ne 0$, alors$\dfrac{1}{a^{−n}}=a^n$
    
• Quotient par rapport à un exposant négatif
  • Si$a$ et$b$ sont des nombres réels,$b \ne 0$ et$n$ est un entier, alors$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{−n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^n$
    
• Pour convertir la notation scientifique au format décimal :
  1. Déterminez l'exposant,$n$ sur le facteur$10$.
  2. Déplacez les$n$ décimales, en ajoutant des zéros si nécessaire.
     • Si l'exposant est positif, déplacez la virgule$n$ décimale vers la droite.
     • Si l'exposant est négatif, déplacez la virgule$|n|$ décimale vers la gauche.
  3. Vérifiez.
     
• Pour convertir une valeur décimale en notation scientifique :
  1. Déplacez la virgule décimale de manière à ce que le premier facteur soit supérieur ou égal à$1$ mais inférieur à$10$.
  2. Comptez le nombre de décimales pendant$n$ lesquelles le point décimal a été déplacé.
  3. Écrivez le numéro sous la forme d'un produit d'une puissance de$10$. Si le numéro d'origine est :
     • supérieur à$1$, le pouvoir de la$10$ volonté$10^n$
     • entre$0$ et$1$, le pouvoir de la$10$ volonté$10^{−n}$
  4. Vérifiez.

Lexique

exposant négatif

Si$n$ est un entier positif et$a \neq 0$, alors$a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$.

notation scientifique

Un nombre est exprimé en notation scientifique lorsqu'il est de la forme$a \times 10^{n}$ où$a \geq 1$ et a<10 et qu'il$n$ s'agit d'un entier.