6.3: הכפל פולינומים
- Page ID
- 205589
בסוף פרק זה, תוכל:
- הכפל פולינום על ידי מונומיום
- הכפל בינומי על ידי בינומי
- הכפל טרינום על ידי בינומי
לפני שתתחיל, קח את חידון המוכנות הזה.
- להפיץ:\(2(x+3)\).
אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 1.10.31. - שלב מונחים דומים:\(x^{2}+9x+7x+63\).
אם פספסת בעיה זו, סקור את תרגיל 1.3.37.
הכפל פולינום על ידי מונומיום
השתמשנו במאפיין החלוקה כדי לפשט ביטויים כמו\(2(x−3)\). הכפלת את שני המונחים בסוגריים, \(x\) ו, על ידי \(3\)\(2\), כדי לקבל\(2x−6\). עם אוצר המילים החדש של פרק זה, אתה יכול לומר שהכפלת בינומי,, על ידי מונומיום\(x−3\),. \(2\)
הכפלת בינומיום על ידי מונומיום אינה דבר חדש עבורך! הנה דוגמה:
הכפל:\(4(x+3)\).
- תשובה
-
להפיץ. \(4 \cdot x+4 \cdot 3\) לפשט. \(4 x+12\)
הכפל:\(5(x+7)\).
- תשובה
-
5x+35
הכפל:\(3(y+13)\).
- תשובה
-
3y+39
הכפל: y (y-2).
- תשובה
-
להפיץ. \(y \cdot y-y \cdot 2\) לפשט. \(y^{2}-2 y\)
הכפל:\(x(x−7)\).
- תשובה
-
\(x^{2}-7 x\)
הכפל:\(d(d−11)\).
- תשובה
-
\(d^{2}-11d\)
הכפל: \(7x(2 x+y)\)
- תשובה
-
להפיץ. 
לפשט. 
הכפל: \(5x(x+4 y)\)
- תשובה
-
\(5 x^{2}+20 x y\)
הכפל: \(2p(6 p+r)\)
- תשובה
-
\(12 p^{2}+2 p r\)
הכפל: \(-2 y\left(4 y^{2}+3 y-5\right)\)
- תשובה
-
להפיץ. 
לפשט. 
הכפל: \(-3 y\left(5 y^{2}+8 y-7\right)\)
- תשובה
-
\(-15 y^{3}-24 y^{2}+21 y\)
הכפל: \(4x^{2}\left(2 x^{2}-3 x+5\right)\)
- תשובה
-
\(8 x^{4}-24 x^{3}+20 x^{2}\)
הכפל: \(2x^{3}\left(x^{2}-8 x+1\right)\)
- תשובה
-
להפיץ. \(2 x^{3} \cdot x^{2}+\left(2 x^{3}\right) \cdot(-8 x)+\left(2 x^{3}\right) \cdot 1\) לפשט. \(2 x^{5}-16 x^{4}+2 x^{3}\)
הכפל: 4 \(x\left(3 x^{2}-5 x+3\right)\)
- תשובה
-
\(12 x^{3}-20 x^{2}+12 x\)
הכפל: \(-6 a^{3}\left(3 a^{2}-2 a+6\right)\)
- תשובה
-
\(-18 a^{5}+12 a^{4}-36 a^{3}\)
הכפל: \((x+3) p\)
- תשובה
-
המונומיום הוא הגורם השני. 
להפיץ. \(x \cdot p+3 \cdot p\) לפשט. \ (\ x עמ+3 עמ ')
הכפל: \((x+8) p\)
- תשובה
-
\(x p+8 p\)
הכפל: \((a+4) p\)
- תשובה
-
\(a p+4 p\)
הכפל בינומי על ידי בינומי
בדיוק כמו שישנן דרכים שונות לייצג כפל מספרים, ישנן מספר שיטות בהן ניתן להשתמש כדי להכפיל בינומי כפול בינומי. נתחיל בשימוש בנכס החלוקה.
הכפל בינומיום על ידי בינומי באמצעות המאפיין החלוקתי
התבונן בתרגיל\(\PageIndex{16}\), שם הכפלנו בינומיום במונומיום.
| הוראות | הבעה |
|---|---|
| ביטויים מתחילים |  |
| חילקנו את \(p\) כדי לקבל: |  |
| מה אם יש לנו \((x + 7)\) במקום\(p\)? |  |
| להפיץ\((x + 7)\). |  |
| להפיץ שוב. | \(x^{2}+7 x+3 x+21\) |
| לשלב מונחים כמו. | \(x^{2}+10 x+21\) |
שים לב שלפני שילוב מונחים דומים, היו לך ארבע קדנציות. הכפלת את שני המונחים של הבינום הראשון בשני המונחים של הבינומי השני - ארבע כפל.
הכפל: \((y+5)(y+8)\)
- תשובה
-
להפיץ (y + 8). 
להפיץ שוב \(y^{2}+8 y+5 y+40\) לשלב מונחים כמו. \ (\ y^ {2} +13 y+40)
הכפל: \((x+8)(x+9)\)
- תשובה
-
\(x^{2}+17 x+72\)
הכפל: \((5 x+9)(4 x+3)\)
- תשובה
-
\(20 x^{2}+51 x+27\)
הכפל: \((2 y+5)(3 y+4)\)
- תשובה
-
להפיץ (3 y + 4). 
להפיץ שוב \(6 y^{2}+8 y+15 y+20\) לשלב מונחים כמו. \(6 y^{2}+23 y+20\)
הכפל: \((3 b+5)(4 b+6)\)
- תשובה
-
\(12 b^{2}+38 b+30\)
הכפל: \((a+10)(a+7)\)
- תשובה
-
\(a^{2}+17 a+70\)
הכפל: \((4 y+3)(2 y-5)\)
- תשובה
-
להפיץ. 
להפיץ שוב. \(8 y^{2}-20 y+6 y-15\) לשלב מונחים כמו. \(8 y^{2}-14 y-15\)
הכפל: \((5 y+2)(6 y-3)\)
- תשובה
-
\(30 y^{2}-3 y-6\)
הכפל: \((3 c+4)(5 c-2)\)
- תשובה
-
\(15 c^{2}+14 c-8\)
הכפל: \((x-2)(x-y)\)
- תשובה
-
להפיץ. 
להפיץ שוב. \(x^{2}-x y-2 x+2 y\) אין מונחים כמו לשלב.
הכפל: \((a+7)(a-b)\)
- תשובה
-
\(a^{2}-a b+7 a-7 b\)
הכפל: \((x+5)(x-y)\)
- תשובה
-
\(x^{2}-x y+5 x-5 y\)
הכפל בינומי על ידי בינומיום בשיטת FOIL
זכור שכאשר אתה מכפיל בינומיום בבינומי אתה מקבל ארבעה מונחים. לפעמים אתה יכול לשלב מונחים דומים כדי לקבל טרינום, אבל לפעמים, כמו בתרגיל\(\PageIndex{28}\), אין מונחים כמו לשלב.
בואו נסתכל שוב על הדוגמה האחרונה ונשים לב במיוחד לאופן שבו קיבלנו את ארבעת הקדנציות.
\[\begin{array}{c}{(x-2)(x-y)} \\ {x^{2}-x y-2 x+2 y}\end{array} \nonumber\]
מאיפה הגיע הקדנציה הראשונה? \(x^{2}\)
אנו מקצרים את "ראשון, חיצוני, פנימי, אחרון" כ- FOIL. האותיות מייצגות 'F irst, O uter, I nner, L ast'. קל לזכור את המילה FOIL ומבטיח שנמצא את כל ארבעת המוצרים.
\[\begin{array}{c}{(x-2)(x-y)} \\ {x^{2}-x y-2 x+2 y} \\ {F \qquad O\qquad I\qquad L}\end{array}\]
בואו נסתכל על (x+3) (x+7).
| רכוש חלוקתי | לסכל |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
\(x^{2}+10 x+21\) |
שימו לב כיצד המונחים בשורה השלישית מתאימים לתבנית FOIL.
כעת נעשה דוגמה בה אנו משתמשים בתבנית FOIL בכדי להכפיל שני בינומים.
הכפל בשיטת FOIL: \((x+5)(x+9)\)
- תשובה
-
הכפל בשיטת FOIL: \((x+6)(x+8)\)
- תשובה
-
\(x^{2}+14 x+48\)
הכפל בשיטת FOIL: \((y+17)(y+3)\)
- תשובה
-
\(y^{2}+20 y+51\)
אנו מסכמים את השלבים של שיטת FOIL להלן. שיטת FOIL חלה רק על הכפלת בינומים, לא על פולינומים אחרים!
כשאתה מכפיל בשיטת FOIL, ציור הקווים יעזור למוח שלך להתמקד בתבנית ולהקל על היישום.
הכפל:\((y−7)(y+4)\).
- תשובה
-
הכפל:\((x−7)(x+5)\).
- תשובה
-
\(x^{2}-2 x-35\)
הכפל: (ב-3) (ב+6).
- תשובה
-
\(b^{2}+3 b-18\)
הכפל:\((4x+3)(2x−5)\).
- תשובה
-
הכפל:\((3x+7)(5x−2)\).
- תשובה
-
\(15 x^{2}+29 x-14\)
הכפל:\((4y+5)(4y−10)\).
- תשובה
-
\(16 y^{2}-20 y-50\)
התוצרים הסופיים בארבע הדוגמאות האחרונות היו טרינומים מכיוון שיכולנו לשלב בין שני המונחים האמצעיים. זה לא תמיד כך.
הכפל:\((3x−y)(2x−5)\).
- תשובה
-
\((3 x-y)(2 x-5)\) 
הכפל את הראשון. 
הכפל את החיצוני. 
הכפל את הפנימי. 
הכפל את האחרון. 
שלבו מונחים כמו - אין כאלה. \(6 x^{2}-15 x-2 x y+5 y\)
הכפל: (10 ג -ד) (ג-6).
- תשובה
-
\(10 c^{2}-60 c-c d+6 d\)
הכפל: (7x−y) (2x−5).
- תשובה
-
\(14 x^{2}-35 x-2 x y+10 y\)
היזהר מהמעריכים בדוגמה הבאה.
הכפל: \(\left(n^{2}+4\right)(n-1)\)
- תשובה
-
\(\left(n^{2}+4\right)(n-1)\) 
הכפל את הראשון. 
הכפל את החיצוני. 
הכפל את הפנימי. 
הכפל את האחרון. 
שלבו מונחים כמו - אין כאלה. \ (\n^ {3} -n ^ {2} +4 נ-4)
הכפל: \(\left(x^{2}+6\right)(x-8)\)
- תשובה
-
\(x^{3}-8 x^{2}+6 x-48\)
הכפל: \(\left(y^{2}+7\right)(y-9)\)
- תשובה
-
\(y^{3}-9 y^{2}+7 y-63\)
הכפל: \((3 p q+5)(6 p q-11)\)
- תשובה
-
\((3 p q+5)(6 p q-11)\) הכפל את הראשון. 
הכפל את החיצוני. 
הכפל את הפנימי. 
הכפל את האחרון. 
שלבו מונחים כמו - אין כאלה. \(18 p^{2} q^{2}-3 p q-55\)
הכפל: \((2 a b+5)(4 a b-4)\)
- תשובה
-
\(8 a^{2} b^{2}+12 a b-20\)
הכפל: \((2 x y+3)(4 x y-5)\)
- תשובה
-
\(8 x^{2} y^{2}+2 x y-15\)
הכפל בינומי על ידי בינומי בשיטה האנכית
שיטת FOIL היא בדרך כלל השיטה המהירה ביותר להכפלת שני בינומים, אך היא פועלת רק עבור בינומים. אתה יכול להשתמש במאפיין החלוקה כדי למצוא את המוצר של כל שני פולינומים. שיטה נוספת שעובדת עבור כל הפולינומים היא השיטה האנכית. זה דומה מאוד לשיטה בה אתה משתמש כדי להכפיל מספרים שלמים. התבונן היטב בדוגמה זו של הכפלת מספרים דו ספרתיים.
כעת נשתמש באותה שיטה כדי להכפיל שני בינומים.
הכפל בשיטה האנכית: \((3 y-1)(2 y-6)\)
- תשובה
-
זה לא משנה איזה בינומי הולך על הדף.
\[\begin{array}{lll}{\text { Multiply } 3 y-1 \text { by }-6 \text { . }}&& \\ {\text { Multiply } 3 y-1 \text { by } 2 y \text { . }}& &\\ \\ &{\qquad\space3 y-1} & \\& {\dfrac{ \space\space\times 2 y-6}{\quad-18 y+6}} & \text{partial product} & \\ &
ParseError: EOF expected (click for details)& \text{partial product} & \\ \text{Add like terms.} &&\text{product} \end{array}\]Callstack: at (עברית/אלגברה_יסודית_1e_(OpenStax)/06:_פולינומים/6.03:_הכפל_פולינומים), /content/body/div[4]/div[3]/div[1]/div/dl/dd/p[2]/span/span, line 1, column 3שימו לב שהמוצרים החלקיים זהים למונחים בשיטת FOIL.
הכפל בשיטה האנכית: \((5 m-7)(3 m-6)\)
- תשובה
-
\(15 m^{2}-51 m+42\)
הכפל בשיטה האנכית: \((6 b-5)(7 b-3)\)
- תשובה
-
\(42 b^{2}-53 b+15\)
השתמשנו כעת בשלוש שיטות להכפלת בינומים. הקפד לתרגל כל שיטה, ולנסות להחליט איזה מהם אתה מעדיף. השיטות מפורטות כאן יחד, כדי לעזור לך לזכור אותן.
כדי להכפיל בינומים, השתמש ב:
- רכוש חלוקתי
- שיטת נייר כסף
- שיטה אנכית
זכור, FOIL עובד רק כאשר מכפילים שני בינומים.
הכפל טרינום על ידי בינומי
הכפלנו מונומיאלים על ידי מונומיאלים, מונומיאלים על ידי פולינומים ובינומים על ידי בינומים. עכשיו אנחנו מוכנים להכפיל טרינום בבינומי. זכור, FOIL לא יעבוד במקרה זה, אך אנו יכולים להשתמש במאפיין החלוקה או בשיטה האנכית. ראשית אנו מסתכלים על דוגמה המשתמשת בנכס החלוקה.
הכפל באמצעות המאפיין החלוקתי: \((b+3)\left(2 b^{2}-5 b+8\right)\)
- תשובה
-
להפיץ. 
להכפיל. \(2 b^{3}-5 b^{2}+8 b+6 b^{2}-15 b+24\) לשלב מונחים כמו. \(2 b^{3}+b^{2}-7 b+24\)
הכפל באמצעות המאפיין החלוקתי: \((y-3)\left(y^{2}-5 y+2\right)\)
- תשובה
-
\(y^{3}-8 y^{2}+17 y-6\)
הכפל באמצעות המאפיין החלוקתי: \((x+4)\left(2 x^{2}-3 x+5\right)\)
- תשובה
-
\(2 x^{3}+5 x^{2}-7 x+20\)
עכשיו בואו נעשה את אותו הכפל בשיטה האנכית.
הכפל בשיטה האנכית: \((b+3)\left(2 b^{2}-5 b+8\right)\)
- תשובה
-
קל יותר לשים את הפולינום עם פחות מונחים בתחתית מכיוון שאנו מקבלים פחות מוצרים חלקיים בדרך זו.
הכפל \((2b^2 − 5b + 8)\) על ידי 3. 
הכפל \((2b^2 − 5b + 8)\) על ידי\(b\). \(2 b^{3}+b^{2}-7 b+24\) הוסף מונחים דומים.
הכפל בשיטה האנכית: \((y-3)\left(y^{2}-5 y+2\right)\)
- תשובה
-
\(y^{3}-8 y^{2}+17 y-6\)
הכפל בשיטה האנכית: \((x+4)\left(2 x^{2}-3 x+5\right)\)
- תשובה
-
\(2 x^{3}+5 x^{2}-7 x+20\)
ראינו כעת שתי שיטות בהן תוכלו להשתמש בכדי להכפיל טרינום בבינומי. לאחר שתתרגל כל שיטה, סביר להניח שתמצא שאתה מעדיף דרך אחת על פני השנייה. אנו מפרטים את שתי השיטות המפורטות כאן, לעיון קל.
כדי להכפיל טרינום על ידי בינומי, השתמש ב:
- רכוש חלוקתי
- שיטה אנכית
גש למשאבים מקוונים אלה להדרכה ותרגול נוספים עם ריבוי פולינומים:
- הכפלת אקספוננטים 1
- הכפלת אקספוננטים 2
- הכפלת אקספונסנטים 3
מושגי מפתח
- שיטת FOIL להכפלת שני בינומים - להכפלת שני בינומים:
- הכפל את המונחים הראשונים.
- הכפל את המונחים החיצוניים.
- הכפל את המונחים הפנימיים.
- הכפל את המונחים האחרונים.
- הכפלת שני בינומים - כדי להכפיל בינומים, השתמש ב:
- הכפלת טרינום על ידי בינומי —כדי להכפיל טרינום בבינומי, השתמש ב: