11.5: Mtihani wa Homogeneity

Last updated
Save as PDF

Page ID: 180996

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Mtihani mzuri wa kutosha unaweza kutumika kuamua kama idadi ya watu inafaa usambazaji uliopewa, lakini haitoshi kuamua kama watu wawili wanafuata usambazaji huo usiojulikana. Mtihani tofauti, unaoitwa mtihani wa homogeneity, unaweza kutumika kuteka hitimisho kuhusu kama watu wawili wana usambazaji sawa. Ili kuhesabu takwimu za mtihani kwa mtihani wa homogeneity, fuata utaratibu huo kama kwa mtihani wa uhuru.

Thamani inayotarajiwa kwa kila kiini inahitaji kuwa angalau tano ili uweze kutumia mtihani huu.

Nadharia

\(H_{0}\): Mgawanyo wa watu wawili ni sawa.
\(H_{a}\): mgawanyo wa watu wawili si sawa.

Takwimu za mtihani

Tumia takwimu za\(\chi^{2}\) mtihani. Inahesabiwa kwa njia sawa na mtihani wa uhuru.

Daraja la Uhuru (\(df\))

\(df = \text{number of columns} - 1\)

Mahitaji

Maadili yote katika meza lazima yawe makubwa kuliko au sawa na tano.

Matumizi ya kawaida

Kulinganisha idadi ya watu wawili. Kwa mfano: wanaume dhidi ya wanawake, kabla ya vs baada, mashariki vs magharibi. Variable ni categorical na maadili zaidi ya mbili iwezekanavyo majibu.

Mfano\(\PageIndex{1}\)

Je, wanafunzi wa chuo kiume na wa kike wana usambazaji sawa wa mipango ya maisha? Tumia kiwango cha umuhimu wa 0.05. Tuseme kwamba 250 nasibu kuchaguliwa kiume chuo wanafunzi na 300 nasibu kuchaguliwa kike chuo wanafunzi waliulizwa kuhusu mipango yao ya maisha: mabweni, ghorofa, na wazazi, nyingine. Matokeo yanaonyeshwa katika Jedwali\(\PageIndex{1}\). Je, wanafunzi wa chuo kiume na wa kike wana usambazaji sawa wa mipango ya maisha?

Jedwali\(\PageIndex{1}\): Usambazaji wa Mipangilio ya Maisha kwa Wanaume wa Chuo na Wanawake wa Chuo
	Mabweni	Ghorofa	Pamoja na Wazazi	Nyingine
Wanaume	72	84	49	45
Wanawake	91	86	88	35

Jibu

\(H_{0}\): Usambazaji wa mipango ya maisha kwa wanafunzi wa chuo kiume ni sawa na usambazaji wa mipango ya maisha kwa wanafunzi wa chuo kiume.
\(H_{a}\): Usambazaji wa mipango ya maisha kwa wanafunzi wa chuo kiume si sawa na usambazaji wa mipango ya maisha kwa wanafunzi wa chuo kiume.

Daraja la Uhuru (\(df\)):

\(df = \text{number of columns} - 1 = 4 - 1 = 3\)

Usambazaji kwa mtihani:\(\chi^{2}_{3}\)

Tumia takwimu za mtihani:\(\chi^{2} = 10.1287\) (calculator au kompyuta)

Taarifa ya uwezekano:\(p\text{-value} = P(\chi^{2} > 10.1287) = 0.0175\)

Vyombo vya habari

MATRX

ufunguo na mshale juu ya

EDIT

. Press

1:[A]

. Press

2 ENTER 4 ENTER

. Ingiza maadili ya meza kwa mstari. Press

ENTER

baada ya kila. Press

2nd QUIT

. Press

STAT

na mshale juu ya

TESTS

. Mshale chini

C:χ2-TEST

. Press

ENTER

. Unapaswa kuona

Observed:[A] and Expected:[B]

. Mshale chini

Calculate

. Press

ENTER

. Takwimu za mtihani ni 10.1287 na\(p\text{-value} = 0.0175\). Je, utaratibu mara ya pili lakini mshale chini

Draw

badala ya

calculate

Linganisha α na p -thamani: Kwa kuwa hakuna\(\alpha\) ni kutolewa, kudhani\(\alpha = 0.05\). \(p\text{-value} = 0.0175\). \(\alpha > p\text{-value}\).

Kufanya uamuzi: tangu\(\alpha > p\text{-value}\), kukataa\(H_{0}\). Hii ina maana kwamba mgawanyo si sawa.

Hitimisho: Katika kiwango cha 5% cha umuhimu, kutoka kwa data, kuna ushahidi wa kutosha ili kuhitimisha kuwa mgawanyo wa mipango ya maisha kwa wanafunzi wa chuo kiume na wa kike sio sawa.

Kumbuka kwamba hitimisho ni kwamba mgawanyo si sawa. Hatuwezi kutumia mtihani kwa homogeneity kutekeleza hitimisho lolote kuhusu jinsi tofauti.

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Je, familia na single zina usambazaji huo wa magari? Tumia kiwango cha umuhimu wa 0.05. Tuseme kwamba familia 100 zilizochaguliwa kwa nasibu na watu 200 waliochaguliwa kwa nasibu waliulizwa ni aina gani ya gari waliyoendesha: michezo, sedan, hatchback, lori, Van/SUV. Matokeo yanaonyeshwa katika Jedwali\(\PageIndex{2}\). Je, familia na single zina usambazaji huo wa magari? Mtihani kwa kiwango cha umuhimu wa 0.05.

Jedwali\(\PageIndex{1}\)
	Mchezo	Sedan	Hachback	Lori	Van/SUV
Familia	5	15	35	17	28
Single	45	65	37	46	7

Jibu

Na\(p\text{-value}\) ya karibu sifuri, sisi kukataa hypothesis null. Takwimu zinaonyesha kuwa usambazaji wa magari si sawa kwa familia na watu pekee.

Mfano 11.5.2

Kabla na baada ya tetemeko la ardhi la hivi karibuni, tafiti zilifanyika kuuliza wapiga kura ni nani kati ya wagombea watatu waliopanga kupiga kura katika uchaguzi ujao wa halmashauri ya jiji. Kumekuwa na mabadiliko tangu tetemeko la ardhi? Tumia kiwango cha umuhimu wa 0.05. Jedwali linaonyesha matokeo ya utafiti. Kumekuwa na mabadiliko katika usambazaji wa mapendekezo ya wapiga kura tangu tetemeko la ardhi?

	Perez	Chung	Stevens
Kabla	167	128	135
Baada	214	197	225

Jibu

\(H_{0}\): Usambazaji wa mapendekezo ya wapiga kura ulikuwa sawa kabla na baada ya tetemeko la ardhi.

\(H_{a}\): Usambazaji wa mapendekezo ya wapiga kura haukuwa sawa kabla na baada ya tetemeko la ardhi.

Daraja la Uhuru (df):

\(df = \text{number of columns} - 1 = 3 - 1 = 2\)

Usambazaji kwa mtihani:\(\chi^{2}_{2}\)

Tumia takwimu za mtihani:\(\chi^{2} = 3.2603\) (calculator au kompyuta)

Taarifa ya uwezekano:\(p\text{-value} = P(\chi^{2} > 3.2603) = 0.1959\)

Bonyeza kitufe cha MATRX na mshale juu ya EDIT. Vyombo vya habari 1: [A]. Waandishi wa habari 2 INGIZA 3 INGIZA. Ingiza maadili ya meza kwa mstari. Waandishi wa habari kuingia baada ya kila mmoja. Vyombo vya habari 2 QUIT. Bonyeza STAT na mshale juu ya vipimo. Mshale chini ya C: 2-mtihani. Bonyeza kuingia. Unapaswa kuona aliona: [A] na Inatarajiwa: [B]. Arrow chini ya Mahesabu. Bonyeza kuingia. Takwimu za mtihani ni 3.2603 na p -value = 0.1959. Kufanya utaratibu mara ya pili lakini mshale chini ya Chora badala ya kuhesabu.

Linganisha\(\alpha\) na\(p\text{-value}\):\(\alpha = 0.05\) na\(p\text{-value} = 0.1959\). \(\alpha < p\text{-value}\).

Kufanya uamuzi: tangu\(\alpha < p\text{-value}\), usikatae\(H_{0}\).

Hitimisho: Katika kiwango cha 5% cha umuhimu, kutoka kwa data, kuna ushahidi usio na uwezo wa kuhitimisha kuwa usambazaji wa mapendekezo ya wapiga kura haukuwa sawa kabla na baada ya tetemeko la ardhi.

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

Shule za Ivy League hupokea maombi mengi, lakini baadhi tu yanaweza kukubaliwa. Katika shule zilizoorodheshwa katika Jedwali, aina mbili za maombi zinakubaliwa: uamuzi wa kawaida na mapema.

Aina ya Maombi Imekubaliwa	Brown	Columbia	Cornell	Dartmouth	Penn	Yale
Mara kwa mara	2,115	1,792	5,306	1,734	2,685	1,245
Uamuzi wa Mapema	577	627	1,228	444	1,195	761

Tunataka kujua kama idadi ya maombi ya kawaida kukubalika ifuatavyo usambazaji sawa na idadi ya maombi mapema kukubaliwa. Eleza nadharia zisizo na null na mbadala, digrii za uhuru na takwimu za mtihani, mchoro grafu ya thamani ya p, na ufute hitimisho kuhusu mtihani wa homogeneity.

Jibu

\(H_{0}\): Usambazaji wa maombi ya kawaida kukubaliwa ni sawa na usambazaji wa maombi mapema kukubaliwa.

\(H_{a}\): Usambazaji wa maombi ya mara kwa mara kukubaliwa si sawa na usambazaji wa maombi mapema kukubaliwa.

\(df = 5\)

\(\chi^{2} \text{test statistic} = 430.06\)

Hii ni safu isiyo ya kawaida ya chi-mraba na df = 5. Maadili 0, 5, na 430.06 yanaandikwa kwenye mhimili usio na usawa. Thamani 5 inafanana na kilele cha pembe. Mstari wa juu wa wima unatoka 430.06 hadi kwenye pembe, na kanda ya kulia ya mstari huu ni kivuli. Eneo la kivuli ni sawa na thamani ya p. — Kielelezo\(\PageIndex{1}\).

Bonyeza kitufe cha MATRX na mshale juu ya EDIT. Vyombo vya habari 1: [A]. Waandishi wa habari 3 INGIZA 3 INGIZA. Ingiza maadili ya meza kwa mstari. Waandishi wa habari kuingia baada ya kila mmoja. Vyombo vya habari 2 QUIT. Bonyeza STAT na mshale juu ya vipimo. Mshale chini ya C: 2-mtihani. Bonyeza kuingia. Unapaswa kuona aliona: [A] na Inatarajiwa: [B]. Arrow chini ya Mahesabu. Bonyeza kuingia. Takwimu za mtihani ni 430.06 na\(p\text{-value} = 9.80E-91\). Kufanya utaratibu mara ya pili lakini mshale chini ya Chora badala ya kuhesabu.

Marejeo

Takwimu kutoka Taasisi ya Bima ya Usalama wa barabara kuu, 2013. Inapatikana mtandaoni kwenye www.iihs.org/iihs/ratings (imefikia Mei 24, 2013).
“Matumizi ya nishati (kg ya mafuta sawa kwa kila mtu).” Benki ya Dunia, 2013. Inapatikana mtandaoni kwenye http://data.worldbank.org/indicator/...G.OE/countries (imefikia Mei 24, 2013).
“Mzazi na Familia Ushiriki Utafiti wa 2007 Taifa Kaya Elimu Survey Programu (NHES),” Idara ya Elimu ya Marekani, Kituo cha Taifa cha Elimu Takwimu. Inapatikana mtandaoni kwenye http://nces.ed.gov/pubsearch/pubsinf...? pubid=2009030 (kupatikana Mei 24, 2013).
“Mzazi na Familia Ushiriki Utafiti wa 2007 Taifa Kaya Elimu Survey Programu (NHES),” Idara ya Elimu ya Marekani, Kituo cha Taifa cha Elimu Takwimu. Inapatikana mtandaoni kwenye http://nces.ed.gov/pubs2009/2009030_sup.pdf (imefikia Mei 24, 2013).

Mapitio

Kutathmini kama seti mbili za data zinatokana na usambazaji sawa-ambao hauhitaji kujulikana, unaweza kutumia mtihani wa homogeneity unaotumia usambazaji wa mraba wa chi. Nadharia tete null kwa mtihani huu inasema kwamba idadi ya seti mbili data kuja kutoka usambazaji huo. Jaribio linalinganisha maadili yaliyoonekana dhidi ya maadili yaliyotarajiwa ikiwa watu wawili walifuata usambazaji huo. Mtihani ni haki-tailed. Kila uchunguzi au kiini jamii lazima kuwa na thamani inatarajiwa ya angalau tano.

Mapitio ya Mfumo

\(\sum_{i \cdot j} \frac{(O-E)^{2}}{E}\)Homogeneity mtihani takwimu ambapo: maadili\(O =\) aliona

\(E =\)maadili yaliyotarajiwa

\(i =\)idadi ya safu katika meza ya dharura ya data

\(j =\)idadi ya nguzo katika meza ya dharura ya data

\(df = (i −1)(j −1)\)Degrees ya uhuru

Zoezi\(\PageIndex{3}\)

Mwalimu wa hesabu anataka kuona kama madarasa yake mawili yana usambazaji sawa wa alama za mtihani. Ni mtihani gani anapaswa kutumia?

Jibu

mtihani kwa homogeneity

Zoezi\(\PageIndex{4}\)

Je, ni null na mbadala nadharia kwa Zoezi?

Zoezi\(\PageIndex{5}\)

Mtafiti wa soko anataka kuona kama maduka mawili tofauti yana usambazaji sawa wa mauzo mwaka mzima. Ni aina gani ya mtihani anapaswa kutumia?

Jibu

mtihani kwa homogeneity

Zoezi\(\PageIndex{6}\)

Mtaalamu wa hali ya hewa anataka kujua kama Australia ya Mashariki na Magharibi ina usambazaji sawa wa dhoruba. Ni aina gani ya mtihani anapaswa kutumia?

Zoezi\(\PageIndex{7}\)

Ni hali gani inapaswa kupatikana ili kutumia mtihani wa homogeneity?

Jibu

Maadili yote katika meza lazima yawe makubwa kuliko au sawa na tano.

Tumia habari zifuatazo kujibu mazoezi tano zifuatazo: Je, madaktari wa kibinafsi na madaktari wa hospitali wana usambazaji sawa wa masaa ya kazi? Tuseme kwamba sampuli ya madaktari wa kibinafsi 100 na madaktari wa hospitali 150 huchaguliwa kwa random na kuulizwa kuhusu idadi ya masaa kwa wiki wanayofanya kazi. Matokeo yanaonyeshwa katika Jedwali.

	20—30	30—40	40—50	50—60
Mazoezi ya kibinafsi	16	40	38	6
Hospitali	8	44	59	39

Zoezi\(\PageIndex{8}\)

Hali nadharia null na mbadala.

Zoezi\(\PageIndex{9}\)

\(df =\)_______

Jibu

Zoezi\(\PageIndex{10}\)

Takwimu za mtihani ni nini?

Zoezi\(\PageIndex{11}\)

ni nini\(p\text{-value}\)?

Jibu

0.00005

Zoezi\(\PageIndex{12}\)

Je, unaweza kuhitimisha katika kiwango cha umuhimu wa 5%?