11.4: Mtihani wa Uhuru

Uchunguzi wa uhuru unahusisha kutumia meza ya dharura ya maadili yaliyozingatiwa (data).

Takwimu za mtihani kwa mtihani wa uhuru ni sawa na ile ya mtihani mzuri:

\[\sum_{(i \cdot j)} \frac{(O-E)^{2}}{E}\]

ambapo:

• \(O =\)maadili yaliyozingatiwa
• \(E =\)maadili yaliyotarajiwa
• \(i =\)idadi ya safu katika meza
• \(j =\)idadi ya nguzo katika meza

Kuna\(i \cdot j\) masharti ya fomu\(\frac{(O-E)^{2}}{E}\).

Thamani inayotarajiwa kwa kila kiini inahitaji kuwa angalau tano ili uweze kutumia mtihani huu.

Mtihani wa uhuru huamua kama mambo mawili yanajitegemea au la. Wewe kwanza ulikutana na neno uhuru katika Mada ya Uwezekano. Kama mapitio, fikiria mfano unaofuata.

Mfano\(\PageIndex{1}\)

Tuseme\(A =\) ukiukwaji kasi katika mwaka jana na mtumiaji wa simu\(B =\) ya mkononi wakati wa kuendesha gari. Ikiwa\(A\) na\(B\) ni huru basi\(P(A \text{ AND } B) = P(A)P(B)\). \(A \text{ AND } B\)ni tukio ambalo dereva alipokea ukiukwaji wa kasi mwaka jana na pia alitumia simu ya mkononi wakati wa kuendesha gari. Tuseme, katika utafiti wa madereva ambao walipata ukiukwaji kasi katika mwaka jana, na ambao walitumia simu ya mkononi wakati wa kuendesha gari, kwamba 755 watu walikuwa utafiti. Kati ya 755, 70 alikuwa na ukiukwaji kasi na 685 hawakuwa; 305 kutumika simu za mkononi wakati wa kuendesha gari na 450 hawakuwa.

Hebu\(y =\) inatarajiwa idadi ya madereva ambao walitumia simu ya mkononi wakati wa kuendesha gari na kupokea ukiukwaji kasi.

Ikiwa\(A\) na\(B\) ni huru, basi\(P(A \text{ AND } B) = P(A)P(B)\). Kwa badala,

\[\frac{y}{755} = \left(\frac{70}{755}\right)\left(\frac{305}{755}\right) \nonumber\]

Tatua kwa\(y\):

\[y = \frac{(70)(305)}{755} = 28.3 \nonumber\]

Kuhusu watu 28 kutoka sampuli wanatarajiwa kutumia simu za mkononi wakati wa kuendesha gari na kupokea ukiukwaji wa kasi.

Katika mtihani wa uhuru, tunasema nadharia zisizo na maana na mbadala kwa maneno. Kwa kuwa meza ya dharura ina mambo mawili, hypothesis ya null inasema kuwa mambo ni huru na nadharia mbadala inasema kuwa wao si huru (tegemezi). Ikiwa tunafanya mtihani wa uhuru kwa kutumia mfano, basi hypothesis ya null ni:

\(H_{0}\): Kuwa mtumiaji wa simu ya mkononi wakati wa kuendesha gari na kupokea ukiukwaji wa kasi ni matukio ya kujitegemea.

Kama hypothesis null walikuwa kweli, tunataka kutarajia kuhusu 28 watu kutumia simu za mkononi wakati wa kuendesha gari na kupokea ukiukaji kasi.

Mtihani wa uhuru daima ni sahihi kwa sababu ya hesabu ya takwimu za mtihani. Ikiwa maadili yaliyotarajiwa na yaliyozingatiwa hayana karibu pamoja, basi takwimu za mtihani ni kubwa sana na hutoka kwenye mkia wa kulia wa pembe ya mraba wa chi, kama ilivyo katika hali nzuri.

Idadi ya digrii za uhuru kwa mtihani wa uhuru ni:

\[df = (\text{number of columns} - 1)(\text{number of rows} - 1) \nonumber\]

Fomu ifuatayo inakadiriwa idadi inayotarajiwa (\(E\)):

\[E = \frac{\text{(row total)(column total)}}{\text{total number surveyed}} \nonumber\]

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Sampuli ya wanafunzi 300 inachukuliwa. Kati ya wanafunzi waliofanyiwa utafiti, 50 walikuwa wanafunzi wa muziki, wakati 250 hawakuwa. Tisini na saba walikuwa juu ya roll heshima, wakati 203 hawakuwa. Ikiwa tunadhani kuwa mwanafunzi wa muziki na kuwa kwenye roll ya heshima ni matukio ya kujitegemea, ni idadi gani inayotarajiwa ya wanafunzi wa muziki ambao pia wako kwenye roll ya heshima?

Jibu

Takriban wanafunzi 16 wanatarajiwa kuwa wanafunzi wa muziki na kwenye roll ya heshima.

Mfano\(\PageIndex{2}\)

Katika kundi la kujitolea, watu wazima 21 na wakubwa kujitolea kutoka saa moja hadi tisa kila wiki kutumia muda na raia mwandamizi mwenye ulemavu. Mpango huo unaajiri kati ya wanafunzi wa chuo cha jamii, wanafunzi wa chuo cha miaka minne, na wasio wanafunzi. Katika Jedwali\(\PageIndex{1}\) ni sampuli ya kujitolea watu wazima na idadi ya masaa wao kujitolea kwa wiki.

Jedwali\(\PageIndex{1}\): Idadi ya Masaa Kazi Kwa Wiki na Aina ya Kujitolea (Imeonekana). Jedwali lina maadili (O) yaliyozingatiwa (data).

Aina ya Kujitolea	Masaa 1—3	Masaa 4—6	Masaa 7—9	Jumla ya mstari
Wanafunzi wa Chuo cha Jamii	111	96	48	255
Wanafunzi wa Chuo cha Miaka	96	133	61	290
Wasiokuwa wanafunzi	91	150	53	294
Jumla ya safu	298	379	162	839

Je, idadi ya masaa waliojitolea huru ya aina ya kujitolea?

Jibu

Jedwali lililozingatiwa na swali mwishoni mwa tatizo, “Je, idadi ya masaa waliojitolea huru ya aina ya kujitolea?” kukuambia hii ni mtihani wa uhuru. Sababu mbili ni idadi ya masaa waliojitolea na aina ya kujitolea. Jaribio hili daima ni sahihi.

• \(H_{0}\): Idadi ya masaa waliojitolea ni huru ya aina ya kujitolea.
• \(H_{a}\): Idadi ya masaa waliojitolea inategemea aina ya kujitolea.

Matokeo yaliyotarajiwa ni katika Jedwali\(\PageIndex{2}\).

Jedwali\(\PageIndex{2}\): Idadi ya Masaa Kazi Kwa Wiki na Aina ya Kujitolea (Inatarajiwa). Jedwali lina maadili (\(E\)) yaliyotarajiwa (data).

Aina ya Kujitolea	Masaa 1-3	Masaa 4-6	Masaa 7-9
Wanafunzi wa Chuo cha Jamii	90.57	115.19	49.24
Wanafunzi wa Chuo cha Miaka	103.00	131.00	56.00
Wasiokuwa wanafunzi	104.42	132.81	56.77

Kwa mfano, hesabu ya mzunguko uliotarajiwa kwa kiini cha juu cha kushoto ni

\[E = \frac{(\text{row total})(\text{column total})}{\text{total number surveyed}} = \frac{(255)(298)}{839} = 90.57 \nonumber\]

Tumia takwimu za mtihani:\(\chi^{2} = 12.99\) (calculator au kompyuta)

Usambazaji kwa mtihani:\(\chi^{2}_{4}\)

\[df = (3 \text{ columns} – 1)(3 \text{ rows} – 1) = (2)(2) = 4 \nonumber\]

Grafu:

Kielelezo\(\PageIndex{1}\).

Taarifa ya uwezekano:\(p\text{-value} = P(\chi^{2} > 12.99) = 0.0113\)

Linganisha\(\alpha\) na\(p\text{-value}\): Kwa kuwa\(\alpha\) hakuna anapewa, kudhani\(\alpha = 0.05\). \(p\text{-value} = 0.0113\). \(\alpha > p\text{-value}\).

Kufanya uamuzi: tangu\(\alpha > p\text{-value}\), kukataa\(H_{0}\). Hii ina maana kwamba mambo hayajitegemea.

Hitimisho: Katika kiwango cha 5% cha umuhimu, kutoka kwa data, kuna ushahidi wa kutosha wa kuhitimisha kuwa idadi ya masaa waliojitolea na aina ya kujitolea hutegemea.

Kwa mfano katika Jedwali, ikiwa kulikuwa na aina nyingine ya kujitolea, vijana, digrii za uhuru zingekuwa nini?

KUTUMIA TI-83, 83+, 84, 84+ CALCULATOR

Bonyeza kitufe cha MATRX na mshale juu ya EDIT. Vyombo vya habari 1: [A]. Waandishi wa habari 3 INGIZA 3 INGIZA. Ingiza maadili ya meza kwa mstari kutoka Jedwali. Bonyeza kuingia baada ya kila. Waandishi wa habari 2 kuacha. Bonyeza STAT na mshale juu ya vipimo. Mshale chini ya C: 2-mtihani. Bonyeza kuingia. Unapaswa kuona aliona: [A] na Inatarajiwa: [B]. Ikiwa ni lazima, tumia funguo za mshale ili kusonga mshale baada ya Kuzingatiwa: na waandishi wa habari 2 MATRX. Press 1: [A] kuchagua Matrix A. si lazima kuingia maadili inatarajiwa. Matrix iliyoorodheshwa baada Inatarajiwa: inaweza kuwa tupu. Arrow chini ya Mahesabu. Bonyeza kuingia. Takwimu za mtihani ni 12.9909 na p -value = 0.0113. Kufanya utaratibu mara ya pili, lakini mshale chini ya Chora badala ya kuhesabu.

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

Ofisi ya Takwimu za Kazi hukusanya data kuhusu ajira nchini Marekani. Sampuli inachukuliwa ili kuhesabu idadi ya wananchi wa Marekani wanaofanya kazi katika moja ya sekta kadhaa za sekta baada ya muda. Jedwali\(\PageIndex{3}\) linaonyesha matokeo:

Jedwali\(\PageIndex{3}\)

Sekta ya Viwanda	2000	2010	2020	Jumla
Nonkilimo mshahara na mshahara	13,243	13,044	15,018	41,305
Bidhaa zinazozalisha, ukiondoa kilimo	2,457	1,771	1,950	6,178
Huduma-kutoa	10,786	11,273	13,068	35,127
Kilimo, misitu, uvuvi, na uwindaji	240	214	201	655
Nonkilimo kujiajiri na mfanyakazi wa familia bila kulipwa	931	894	972	2,797
Sekondari mshahara na ajira mshahara katika kilimo na viwanda binafsi kaya	14	11	11	36
Kazi za sekondari kama mfanyakazi wa familia aliyeajiriwa au asiyolipwa	196	144	152	492
Jumla	27,867	27,351	31,372	86,590

Tunataka kujua kama mabadiliko katika idadi ya ajira ni huru ya mabadiliko katika miaka. Hali nadharia null na mbadala na digrii ya uhuru.

Jibu

• \(H_{0}\): Idadi ya ajira ni huru ya mwaka.
• \(H_{a}\): Idadi ya ajira ni tegemezi kwa mwaka.

\(df = 12\)

Kielelezo\(\PageIndex{2}\).

Bonyeza kitufe cha MATRX na mshale juu ya EDIT. Vyombo vya habari 1: [A]. Waandishi wa habari 3 INGIZA 3 INGIZA. Ingiza maadili ya meza kwa mstari. Bonyeza kuingia baada ya kila. Waandishi wa habari 2 kuacha. Bonyeza STAT na mshale juu ya vipimo. Mshale chini ya c:\(\chi^{2}\) -MTIHANI. Bonyeza kuingia. Unapaswa kuona aliona: [A] na Inatarajiwa: [B]. Arrow chini ya Mahesabu. Bonyeza kuingia. Takwimu za mtihani ni 227.73 na\(p\text{-value} = 5.90E - 42 = 0\). Kufanya utaratibu mara ya pili lakini mshale chini ya Chora badala ya kuhesabu.

Mfano\(\PageIndex{3}\)

Chuo cha De Anza kinavutiwa na uhusiano kati ya kiwango cha wasiwasi na haja ya kufanikiwa shuleni. Sampuli ya random ya wanafunzi 400 ilichukua mtihani ambao ulipima kiwango cha wasiwasi na haja ya kufanikiwa shuleni. Jedwali linaonyesha matokeo. De Anza College anataka kujua kama kiwango cha wasiwasi na haja ya kufanikiwa shuleni ni matukio ya kujitegemea.

Haja ya Kufanikiwa katika Shule dhidi ya Ngazi ya Wasiwasi

Haja ya Kufanikiwa katika Shule	High wasiwasi	Med-high wasiwasi	Wasiwasi wa kati	Med-chini Wasiwasi	Chini Wasiwasi	Jumla ya mstari
Haja kubwa	35	42	53	15	10	155
Mahitaji ya kati	18	48	63	33	31	193
Mahitaji ya chini	4	5	11	15	17	52
Jumla ya safu	57	95	127	63	58	400

1. Ni wangapi wanafunzi wa ngazi ya juu wasiwasi wanatarajiwa kuwa na haja kubwa ya kufanikiwa shuleni?
2. Ikiwa vigezo viwili vinajitegemea, ni wanafunzi wangapi unatarajia kuwa na haja ndogo ya kufanikiwa shuleni na kiwango cha chini cha wasiwasi?
3. \(E = \frac{(\text{row total})(\text{column total})}{\text{total surveyed}} =\)________
4. Idadi inayotarajiwa ya wanafunzi ambao wana kiwango cha chini cha wasiwasi na haja ndogo ya kufanikiwa shuleni ni kuhusu ________.

Suluhisho

a. jumla ya safu kwa kiwango cha juu cha wasiwasi ni 57. Jumla ya mstari kwa haja kubwa ya kufanikiwa shuleni ni 155. Ukubwa wa sampuli au jumla ya utafiti ni 400.

\[E = \frac{(\text{row total})(\text{column total})}{\text{total surveyed}} = \frac{155 \cdot 57}{400} = 22.09\]

Idadi inayotarajiwa ya wanafunzi ambao wana kiwango cha juu cha wasiwasi na haja kubwa ya kufanikiwa shuleni ni takriban 22.

b. jumla ya safu kwa med-chini wasiwasi ngazi ni 63. Jumla ya mstari kwa haja ndogo ya kufanikiwa shuleni ni 52. Ukubwa wa sampuli au jumla ya utafiti ni 400.

c.\(E = \frac{(\text{row total})(\text{column total})}{\text{total surveyed}} = 8.19\)

d. 8

Zoezi\(\PageIndex{3}\)

Rejea tena maelezo katika Kumbuka. Ni huduma ngapi zinazotarajiwa kuwa katika 2020? Ni ajira ngapi za mshahara na mshahara zisizo za kilimo zinatarajiwa kuwa mwaka 2020?

Jibu

12,727, 14,965

Marejeo

1. DiCamilo, Mark, Mervin Field, “Wengi Californians Kuona uhusiano wa moja kwa moja kati ya Fetma na Sodas Sugary. Mbili kati ya Wapiga Kura Watatu wanaunga mkono Kodi ya Vinywaji vya Sukari-Tamu Kama Mapato yanafungwa na kuboresha Mipango ya Lishe na Shughuli za Uchaguzi wa Uwanja, iliyotolewa Februari 14, 2013. Inapatikana mtandaoni kwenye field.com/fieldpollonline/ndogo... rs/Rls2436.pdf (imefikia Mei 24, 2013).
2. Harris Interactive, “Favorite ladha ya Ice Cream.” Inapatikana mtandaoni kwenye http://www.statisticbrain.com/favori...r-of-ice-cream (imefikia Mei 24, 2013)
3. “Chache Online Wajasiriamali Orodha Inapatikana mtandaoni kwenye http://www.statisticbrain.com/younge...repreneur-list (imefikia Mei 24, 2013).

Mapitio

Ili kutathmini kama mambo mawili yanajitegemea au la, unaweza kutumia mtihani wa uhuru ambao unatumia usambazaji wa mraba wa chi. Nadharia tete null kwa mtihani huu inasema kwamba mambo mawili ni huru. Jaribio linalinganisha maadili yaliyozingatiwa na maadili yaliyotarajiwa. Mtihani ni haki-tailed. Kila uchunguzi au kiini jamii lazima kuwa na thamani inatarajiwa ya angalau 5.

Mapitio ya Mfumo

Mtihani wa Uhuru

• Idadi ya digrii za uhuru ni sawa na\((\text{number of columns - 1})(\text{number of rows - 1})\).
• Takwimu za mtihani ni\(\sum_{(i \cdot j)} \frac{(O-E)^{2}}{E}\) wapi maadili\(O =\) yaliyozingatiwa,\(i =\) maadili\(E =\) yaliyotarajiwa, idadi ya safu katika meza, na idadi\(j =\) ya nguzo katika meza.
• Kama hypothesis null ni kweli, idadi inatarajiwa\(E = \frac{(\text{row total})(\text{column total})}{\text{total surveyed}}\).

Kuamua mtihani sahihi wa kutumika katika mazoezi matatu ijayo.

Zoezi\(\PageIndex{4}\)

Kampuni ya dawa inavutiwa na uhusiano kati ya umri na uwasilishaji wa dalili za maambukizi ya kawaida ya virusi. Sampuli ya random inachukuliwa kwa watu 500 wenye maambukizi katika vikundi vya umri tofauti.

Jibu

mtihani wa uhuru

Zoezi\(\PageIndex{5}\)

Mmiliki wa timu ya baseball ana nia ya uhusiano kati ya mishahara ya mchezaji na asilimia ya kushinda timu. Anachukua sampuli random ya 100 wachezaji kutoka mashirika mbalimbali.

Zoezi\(\PageIndex{6}\)

Mkimbiaji wa marathon anavutiwa na uhusiano kati ya brand ya wanariadha wa viatu kuvaa na nyakati zao za kukimbia. Anachukua sampuli ya random ya wakimbiaji 50 na kurekodi nyakati zao za kukimbia pamoja na brand ya viatu walivyovaa.

Jibu

mtihani wa uhuru

Tumia maelezo yafuatayo kujibu mazoezi saba ijayo: Transit Railroads ni nia ya uhusiano kati ya umbali wa kusafiri na darasa tiketi kununuliwa. Sampuli ya random ya abiria 200 inachukuliwa. Jedwali\(\PageIndex{4}\) linaonyesha matokeo. Reli inataka kujua kama uchaguzi wa abiria katika darasa la tiketi ni huru ya umbali wanapaswa kusafiri.

Jedwali\(\PageIndex{4}\)

Umbali wa kusafiri	Darasa la tatu	Darasa la pili	Darasa la kwanza	Jumla
1—100 maili	21	14	6	41
101—200 maili	18	16	8	42
201—300 maili	16	17	15	48
301—400 maili	12	14	21	47
401—500 maili	6	6	10	22
Jumla	73	67	60	200

Zoezi\(\PageIndex{7}\)

Hali hypotheses.

• \(H_{0}\): _______
• \(H_{a}\): _______

Zoezi\(\PageIndex{8}\)

\(df =\)_______

Jibu

8

Zoezi\(\PageIndex{9}\)

Ni abiria wangapi wanatarajiwa kusafiri kati ya maili 201 na 300 na kununua tiketi za daraja la pili?

Zoezi\(\PageIndex{10}\)

Ni abiria wangapi wanatarajiwa kusafiri kati ya maili 401 na 500 na kununua tiketi za darasa la kwanza?

Jibu

6.6

Zoezi\(\PageIndex{11}\)

Takwimu za mtihani ni nini?

Zoezi\(\PageIndex{12}\)

ni nini\(p\text{-value}\)?

Jibu

0.0435

Zoezi\(\PageIndex{13}\)

Je, unaweza kuhitimisha katika kiwango cha 5% cha umuhimu?

Tumia habari zifuatazo kujibu mazoezi nane ijayo: Makala katika New England Journal of Medicine, kujadili utafiti juu ya wavuta katika California na Hawaii. Katika sehemu moja ya ripoti hiyo, viwango vya ukabila na uvutaji sigara kwa siku vilipewa. Kati ya watu wanaovuta sigara kumi zaidi kwa siku, kulikuwa na Wamarekani wa Afrika 9,886, 2,745 Wenyeji wa Hawaii, 12,831 Latinos, 8,378 Wamarekani wa Kijapani na wazungu 7,650. Kati ya watu wanaovuta sigara 11 hadi 20 kwa siku, kulikuwa na Wamarekani wa Afrika 6,514, 3,062 Wenyeji wa Hawaii, Kilatini 4,932, Wamarekani wa Kijapani 10,680, na wazungu 9,877. Kati ya watu wanaovuta sigara 21 hadi 30 kwa siku, kulikuwa na Wamarekani Waafrika 1,671, 1,419 Wenyeji wa Hawaii, 1,406 Kilatini, 4,715 Wamarekani wa Kijapani, na wazungu 6,062. Kati ya watu wanaovuta sigara angalau 31 kwa siku, kulikuwa na Wamarekani Waafrika 759, 788 Wenyeji wa Hawaii, Walatini 800, 2,305 Wamarekani wa Kijapani, na wazungu 3,970.

Zoezi\(\PageIndex{14}\)

Jaza meza.

Jedwali\(\PageIndex{5}\): Ngazi za Uvutaji sigara kwa Ukabila (

Sigara ngazi kwa siku	Mmarekani wa Afrika	Wenyeji Hawaii	Latino	Kijapani Wam	Nyeupe	JUMLA
1-10
11-20
21-30
31+
JUMLA

Jibu

Jedwali\(\PageIndex{5B}\)

Sigara ngazi kwa siku	Mmarekani wa Afrika	Wenyeji Hawaii	Latino	Kijapani Wam	Nyeupe	Jumla
1-10	9,886	2,745	12,831	8,378	7,650	41,490
11-20	6,514	3,062	4,932	10,680	9,877	35,065
21-30	1,671	1,419	1,406	4,715	6,062	15,273
31+	759	788	800	2,305	3,970	8,622
Jumla	18,830	8,014	19,969	26,078	27,559	10,0450

Zoezi\(\PageIndex{15}\)

Hali hypotheses.

• \(H_{0}\): _______
• \(H_{a}\): _______

Zoezi\(\PageIndex{16}\)

Ingiza maadili yaliyotarajiwa katika Jedwali. Pande zote kwa maeneo mawili ya decimal.

Tumia maadili yafuatayo:

Jibu

Jedwali\(\PageIndex{6}\)

Sigara ngazi kwa siku	Mmarekani wa Afrika	Wenyeji Hawaii	Latino	Kijapani Wam	Nyeupe
1-10	7777.57	3310.11	8248.02	10771.29	11383.01
11-20	6573.16	2797.52	6970.76	9103.29	9620.27
21-30	2863.02	1218.49	3036.20	3965.05	4190.23
31+	1616.25	687.87	1714.01	2238.37	2365.49

Zoezi\(\PageIndex{17}\)

\(df =\)_______

Zoezi\(\PageIndex{18}\)

\(\chi^{2} \text{test statistic} =\)______

Jibu

10,301.8

Zoezi\(\PageIndex{19}\)

\(p\text{-value} =\)______

Zoezi\(\PageIndex{20}\)

Je! Hii ni mtihani wa kulia, wa kushoto-tailed, au mbili-tailed? Eleza kwa nini.

Jibu

haki

Zoezi\(\PageIndex{21}\)

Grafu hali hiyo. Lebo na ueneze mhimili usio na usawa. Mark maana na mtihani takwimu. Kivuli katika kanda sambamba na\(p\text{-value}\).

Kielelezo\(\PageIndex{3}\).

Hali uamuzi na hitimisho (katika hukumu kamili) kwa yafuatayo ngazi preconcepienced ya\(\alpha\).

Zoezi\(\PageIndex{22}\)

\(\alpha = 0.05\)

1. Uamuzi: ___________________
2. Sababu ya uamuzi: ___________________
3. Hitimisho (kuandika katika sentensi kamili): ___________________

Jibu

1. Kataa hypothesis null.
2. \(p\text{-value} < \alpha\)
3. Kuna ushahidi wa kutosha kuhitimisha kuwa kiwango cha sigara kinategemea kikundi cha kikabila.

Zoezi\(\PageIndex{23}\)

\(\alpha = 0.05\)

1. Uamuzi: ___________________
2. Sababu ya uamuzi: ___________________
3. Hitimisho (kuandika katika sentensi kamili): ___________________

faharasa

Meza ya Dharura

meza ambayo inaonyesha maadili sampuli kwa sababu mbili tofauti ambayo inaweza kuwa tegemezi au contingent juu ya mtu mwingine; inawezesha kuamua probabilities masharti.