# 5.5: Tatua Maombi ya Mchanganyiko na Mifumo ya Equations

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$ $$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

##### Malengo ya kujifunza

Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

• Kutatua maombi mchanganyiko
• Kutatua maombi maslahi
##### Kumbuka

Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

1. Panua 4.025 (1,562).
Kama amekosa tatizo hili, kupitia Zoezi 1.8.22.
2. Andika 8.2% kama decimal.
Kama amekosa tatizo hili, mapitio Zoezi 1.8.46.
3. chakula cha jioni muswada wa Earl alikuja $32.50 na alitaka kuondoka 18% ncha. Je, ncha inapaswa kuwa kiasi gani? Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini Zoezi 3.2.10. ## Kutatua Maombi ya Mchanganyiko Wakati sisi kutatuliwa maombi mchanganyiko na sarafu na tiketi mapema, sisi ilianza kwa kujenga meza ili tuweze kupanga habari. Kwa mfano wa sarafu na nickels na dimes, meza inaonekana kama hii: Kutumia variable moja ilimaanisha kwamba tulikuwa na kuhusisha idadi ya nickels na idadi ya dimes. Tulikuwa na kuamua kama sisi walikuwa kwenda basi n kuwa idadi ya nickels na kisha kuandika idadi ya dimes katika suala la n, au kama sisi basi d kuwa idadi ya dimes na kuandika idadi ya nickels katika suala la d. Sasa kwa kuwa tunajua jinsi ya kutatua mifumo ya equations na vigezo mbili, tutaweza tu basi n kuwa idadi ya nickels na d kuwa idadi ya dimes. Tutaweza kuandika equation moja kulingana na safu ya jumla ya thamani, kama tulivyofanya kabla, na equation nyingine atakuja kutoka safu ya idadi. Kwa mfano wa kwanza, tutafanya tatizo la tiketi ambapo bei za tiketi ziko katika dola nzima, kwa hivyo hatutahitaji kutumia decimals bado. ##### Zoezi$$\PageIndex{1}$$ Tafsiri kwa mfumo wa equations na kutatua: Ofisi ya sanduku kwenye ukumbi wa sinema iliuza tiketi 147 za show ya jioni, na risiti zilifikia$1,302. Ni ngapi $11 watu wazima na ngapi tiketi za watoto wa$8 ziliuzwa?

Jibu
 Hatua ya 1. Soma tatizo. Tutaunda meza ili kuandaa habari. Hatua ya 2. Tambua kile tunachotafuta. Tunatafuta idadi ya tiketi za watu wazima na idadi ya tiketi za mtoto zinazouzwa. Hatua ya 3. Jina kile tunachotafuta. Hebu = idadi ya tiketi ya watu wazima. c= idadi ya tiketi za watoto Jedwali litatusaidia kuandaa data. Tuna aina mbili za tiketi: watu wazima na mtoto. Andika na c kwa idadi ya tiketi. Andika jumla ya tiketi zilizouzwa chini ya safu ya Idadi. Kwa jumla 147 ziliuzwa. Andika thamani ya kila aina ya tiketi katika safu ya Thamani. Thamani ya kila tiketi ya watu wazima ni $11. Thamani ya kila tiketi ya mtoto ni$8. Nambari mara thamani inatoa thamani ya jumla, hivyo thamani ya jumla ya tiketi ya watu wazima ni $$a\cdot 11=11a$$, na thamani ya jumla ya tiketi ya mtoto ni$$c\cdot 8=8c$$. Kwa ujumla thamani ya jumla ya tiketi ilikuwa $1,302. Jaza safu ya Thamani ya Jumla. Hatua ya 4. Tafsiri katika mfumo wa equations. Safu ya Idadi na safu ya Thamani ya Jumla inatupa mfumo wa equations. Tutatumia njia ya kuondoa ili kutatua mfumo huu. Panua equation ya kwanza kwa -8. Kurahisisha na kuongeza, kisha kutatua kwa. Badilisha a = 42 katika equation ya kwanza, kisha kutatua kwa c. Hatua ya 5. Angalia jibu katika tatizo. 42 tiketi ya watu wazima katika$11 kwa tiketi inafanya $462 105 tiketi mtoto katika$8 kwa tiketi inafanya $840. risiti jumla ni$1,302. ✓ Hatua ya 6. Jibu swali. Ukumbi wa sinema uliuza tiketi 42 za watu wazima na tiketi 105 za watoto.
##### Zoezi$$\PageIndex{2}$$

Tafsiri kwa mfumo wa equations na kutatua:

Ofisi ya tiketi katika zoo iliuza tiketi 553 siku moja. Mapokezi yalifikia $3,936. Ni tiketi ngapi za$9 za watu wazima na ngapi tiketi za watoto wa $6 ziliuzwa? Jibu Kulikuwa na tiketi 206 za watu wazima zilizouzwa na tiketi za watoto 347 ziliuzwa. ##### Zoezi$$\PageIndex{3}$$ Tafsiri kwa mfumo wa equations na kutatua: kituo cha sayansi kuuzwa 1,363 tiketi mwishoni mwa wiki busy. Mapokezi yalifikia$12,146. Ni tiketi ngapi za $12 za watu wazima na ngapi tiketi za watoto wa$7 ziliuzwa?

Jibu

Kulikuwa na tiketi za watu wazima 521 zilizouzwa na tiketi za watoto 842 ziliuzwa.

Katika Zoezi$$\PageIndex{4}$$ tutaweza kutatua tatizo sarafu. Sasa kwa kuwa tunajua jinsi ya kufanya kazi na mifumo ya vigezo viwili, kumtaja vigezo katika safu ya 'idadi' itakuwa rahisi.

##### Zoezi$$\PageIndex{4}$$

Tafsiri kwa mfumo wa equations na kutatua:

Priam ina mkusanyiko wa nickels na robo, na thamani ya jumla ya $7.30. Idadi ya nickels ni sita chini ya mara tatu idadi ya robo. Ni nickels ngapi na robo ngapi anayo? Jibu  Hatua ya 1. Soma tatizo. Tutaunda meza ili kuandaa habari. Hatua ya 2. Tambua kile tunachotafuta. Tunatafuta idadi ya nickels na idadi ya robo. Hatua ya 3. Jina kile tunachotafuta. Hebu n= idadi ya nickels. q= idadi ya robo Jedwali litatusaidia kuandaa data. Tuna aina mbili za sarafu, nickels na robo. Andika n na q kwa idadi ya kila aina ya sarafu. Jaza safu ya Thamani na thamani ya kila aina ya sarafu. Thamani ya kila nickel ni$0.05. Thamani ya kila robo ni $0.25. Nambari mara thamani inatoa thamani ya jumla , kwa hiyo, thamani ya jumla ya nickels ni n (0.05) = 0.05 n na thamani ya jumla ya robo ni q (0.25) = 0.25 q. Kwa ujumla thamani ya jumla ya sarafu ni$7.30. Hatua ya 4. Tafsiri katika mfumo wa equations. Safu ya thamani ya jumla inatoa equation moja. Tunajua pia idadi ya nickels ni sita chini ya mara tatu idadi ya robo. Tafsiri ili kupata equation ya pili. Sasa tuna mfumo wa kutatua. Hatua ya 5. Tatua mfumo wa equations Tutatumia njia ya kubadilisha. Mbadala n = 3 q - 6 katika equation kwanza. Kurahisisha na kutatua kwa q. Ili kupata idadi ya nickels, mbadala q = 19 katika equation ya pili. Hatua ya 6. Angalia jibu katika tatizo. \begin{aligned} 19 \text { quarters at } \ 0.25 &=\ 4.75 \\ 51 \text { ickels at } \ 0.05 &=\ 2.55 \\ \text { Total } &=\ 7.30 \checkmark \\ 3 \cdot 19-16 &=51 \checkmark\end{aligned} Hatua ya 7. Jibu swali. Priam ina robo 19 na nikeli 51.
##### Zoezi$$\PageIndex{5}$$

Tafsiri kwa mfumo wa equations na kutatua:

Matilda ina wachache wa robo na dimes, na thamani ya jumla ya $8.55. Idadi ya robo ni 3 zaidi ya mara mbili idadi ya dimes. Ni dimes ngapi na ni robo ngapi anazo? Jibu Matilda ina dimes 13 na robo 29. ##### Zoezi$$\PageIndex{6}$$ Tafsiri kwa mfumo wa equations na kutatua: Juan ana pocketful ya nickels na dimes. Thamani ya jumla ya sarafu ni$8.10. Idadi ya dimes ni 9 chini ya mara mbili idadi ya nickels. Je, ni nickels ngapi na ni dimes ngapi Juan anayo?

Jibu

Juan ana nickels 36 na dimes 63.

Baadhi ya maombi ya mchanganyiko huhusisha kuchanganya vyakula au vinywaji. Mfano hali ni pamoja na kuchanganya zabibu na karanga kufanya mchanganyiko wa uchaguzi au kutumia aina mbili za maharage ya kahawa kufanya mchanganyiko.

##### Zoezi$$\PageIndex{7}$$

Tafsiri kwa mfumo wa equations na kutatua:

Carson anataka kufanya 20 paundi ya uchaguzi mchanganyiko kwa kutumia karanga na chips chocolate. Bajeti yake inahitaji kwamba uchaguzi mchanganyiko gharama yake $7.60 kwa pauni. Nuts gharama$9.00 kwa pauni na chips chocolate gharama 2.00 kwa pauni. Ni paundi ngapi za karanga na ni paundi ngapi za chips za chokoleti anapaswa kutumia? Jibu  Hatua ya 1. Soma tatizo. Tutaunda meza ili kuandaa habari. Hatua ya 2. Tambua kile tunachotafuta. Tunatafuta idadi ya paundi za karanga na idadi ya paundi za chips za chokoleti. Hatua ya 3. Jina kile tunachotafuta. Hebu n= idadi ya pound ya karanga. c= idadi ya paundi ya chips Carson kuchanganya karanga na chips chocolate kupata uchaguzi mchanganyiko. Andika katika n na c kwa idadi ya paundi ya karanga na chips chokoleti. Kutakuwa na paundi 20 za mchanganyiko wa uchaguzi. Weka bei kwa pauni ya kila kitu kwenye safu ya Thamani. Jaza safu ya mwisho kwa kutumia Idadi · Thamani = Thamani ya Jumla Hatua ya 4. Tafsiri katika mfumo wa equations. Tunapata equations kutoka safu ya Idadi na Jumla ya Thamani. Hatua ya 5. Tatua mfumo wa equations Tutatumia kuondoa kutatua mfumo. Panua equation ya kwanza na -1 ili kuondoa c. Kurahisisha na kuongeza. Kutatua kwa n. Ili kupata idadi ya paundi ya chips chokoleti, mbadala n = 16 katika equation kwanza, kisha kutatua kwa c. c=4 Hatua ya 6. Angalia jibu katika tatizo. \begin{aligned} 16+4 &=20 \checkmark \\ 9 \cdot 16+2 \cdot 4 &=152 \checkmark \end{aligned} Hatua ya 7. Jibu swali. Carson anapaswa kuchanganya paundi 16 za karanga na paundi 4 za chips za chokoleti ili kuunda mchanganyiko wa uchaguzi. ##### Zoezi$$\PageIndex{8}$$ Tafsiri kwa mfumo wa equations na kutatua: Greta anataka kutengeneza paundi 5 za mchanganyiko wa nati kwa kutumia karanga na korosho. Bajeti yake inahitaji mchanganyiko wa gharama yake6 kwa pauni. Karanga ni $4 kwa pauni na korosho ni$9 kwa pauni. Ni paundi ngapi za karanga na ni paundi ngapi za korosho anapaswa kutumia?

Jibu

Greta anapaswa kutumia paundi 3 za karanga na paundi 2 za korosho.

##### Zoezi$$\PageIndex{9}$$

Tafsiri kwa mfumo wa equations na kutatua:

Sammy ana viungo vingi anavyohitaji kufanya kundi kubwa la pilipili. Vitu pekee anavyopoteza ni maharagwe na nyama ya ng'ombe. Anahitaji jumla ya paundi 20 pamoja na maharage na nyama ya ardhi na ina bajeti ya $3 kwa pauni. Bei ya maharagwe ni$1 kwa pauni na bei ya nyama ya nyama ni $5 kwa pauni. Ni paundi ngapi za maharagwe na pounds ngapi za nyama ya nyama ya nyama ya nyama anapaswa kununua Jibu Sammy anapaswa kununua paundi 10 za maharagwe na paundi 10 za nyama ya nyama. Matumizi mengine ya matatizo ya mchanganyiko yanahusiana na vifaa vya kusafisha vya kujilimbikizia, kemikali nyingine, na vinywaji vyenye mchanganyiko. Mkusanyiko hutolewa kama asilimia. Kwa mfano, utakaso wa kaya wa 20% unaojilimbikizia ina maana kwamba asilimia 20 ya jumla ni safi, na wengine ni maji. Ili kufanya ounces 35 ya mkusanyiko wa 20%, unachanganya ounces 7 (20% ya 35) ya utakaso na ounces 28 za maji. Kwa aina hii ya matatizo mchanganyiko, tutaweza kutumia asilimia badala ya thamani kwa moja ya nguzo katika meza yetu. ##### Zoezi$$\PageIndex{10}$$ Tafsiri kwa mfumo wa equations na kutatua: Sasheena ni msaidizi wa maabara katika chuo chake cha jamii. Anahitaji kufanya mililita 200 ya suluhisho la 40% ya asidi sulfuriki kwa majaribio ya maabara. Maabara ina ufumbuzi wa 25% na 50% tu katika chumba cha kuhifadhi. Ni kiasi gani anapaswa kuchanganya ufumbuzi wa 25% na 50% ili kufanya suluhisho la 40%? Jibu  Hatua ya 1. Soma tatizo. Takwimu inaweza kutusaidia kutazama hali hiyo, basi tutaunda meza ili kuandaa habari. Sasheena lazima kuchanganya baadhi ya ufumbuzi wa 25% na baadhi ya ufumbuzi wa 50% pamoja ili kupata 200 ml ya suluhisho la 40%. Hatua ya 2. Tambua kile tunachotafuta. Tunatafuta kiasi gani cha kila suluhisho anachohitaji. Hatua ya 3. Jina kile tunachotafuta. Hebu x= idadi ya ml ya ufumbuzi wa 25%. y= idadi ya ml ya ufumbuzi wa 50% Jedwali litatusaidia kuandaa data. Atachanganya x ml ya 25% na y ml ya 50% ili kupata 200 ml ya ufumbuzi wa 40%. Tunaandika percents kama decimals katika chati. Tunazidisha idadi ya vitengo mara mkusanyiko ili kupata jumla ya asidi sulfuriki katika kila suluhisho. Hatua ya 4. Tafsiri katika mfumo wa equations. Tunapata equations kutoka safu ya Nambari na safu ya Kiasi . Sasa tuna mfumo. Hatua ya 5. Tatua mfumo wa equations. Tutatatua mfumo kwa kuondoa. Panua equation ya kwanza na -0.5 ili kuondoa y. Kurahisisha na kuongeza kutatua kwa x. Ili kutatua kwa y, mbadala x = 80 katika equation ya kwanza. Hatua ya 6. Angalia jibu katika tatizo. $$\begin{array}{rll} 80+120 &=&120 \checkmark\\ 0.25(80)+0.50(120) &=&80 \checkmark \\ &&\text{Yes!} \end{array}$$ Hatua ya 7. Jibu swali. Sasheena inapaswa kuchanganya 80 ml ya ufumbuzi wa 25% na 120 ml ya ufumbuzi wa 50% ili kupata 200 ml ya suluhisho la 40%. ##### Zoezi$$\PageIndex{11}$$ Tafsiri kwa mfumo wa equations na kutatua: LeBron inahitaji mililita 150 ya suluhisho la asilimia 30 ya asidi sulfuriki kwa ajili ya majaribio ya maabara lakini tu ina upatikanaji wa ufumbuzi wa 25% na 50%. Ni kiasi gani cha 25% na ni kiasi gani cha ufumbuzi wa 50% anapaswa kuchanganya ili kufanya suluhisho la 30%? Jibu LeBron inahitaji 120 ml ya ufumbuzi wa 25% na 30 ml ya ufumbuzi wa 50%. ##### Zoezi$$\PageIndex{12}$$ Tafsiri kwa mfumo wa equations na kutatua: Anatole inahitaji kufanya mililita 250 ya suluhisho la 25% ya asidi hidrokloriki kwa majaribio ya maabara. Maabara tu ina suluhisho la 10% na suluhisho la 40% katika chumba cha kuhifadhi. Ni kiasi gani cha 10% na ni kiasi gani cha ufumbuzi wa 40% anapaswa kuchanganya ili kufanya suluhisho la 25%? Jibu Anatole inapaswa kuchanganya 125 ml ya ufumbuzi wa 10% na 125 ml ya suluhisho la 40%. ## Kutatua maslahi Maombi Fomu ya kuiga maombi ya riba ni I = Prt. Maslahi, mimi, ni bidhaa ya mkuu, P, kiwango, r, na wakati, t. Katika kazi yetu hapa, tutahesabu maslahi yaliyopatikana kwa mwaka mmoja, hivyo itakuwa 1. Sisi kurekebisha majina safu katika meza mchanganyiko kuonyesha formula kwa riba, kama utaona katika Zoezi$$\PageIndex{13}$$. ##### Zoezi$$\PageIndex{13}$$ Tafsiri kwa mfumo wa equations na kutatua: Adnan ana dola 40,000 kuwekeza na anatarajia kupata riba 7.1% kwa mwaka. Yeye kuweka baadhi ya fedha katika mfuko wa hisa kwamba chuma 8% kwa mwaka na wengine katika vifungo kwamba chuma 3% kwa mwaka. Ni kiasi gani cha fedha anapaswa kuweka katika kila mfuko? Jibu 2,000 katika hisa na$7,200 katika vifungo.” >
 Hatua ya 1. Soma tatizo. Chati itatusaidia kuandaa habari. Hatua ya 2. Tambua kile tunachotafuta. Tunatafuta kiasi cha kuwekeza katika kila mfuko. Hatua ya 3. Jina kile tunachotafuta. Hebu s= kiasi kilichowekeza katika hifadhi. b = kiasi imewekeza katika vifungo. Andika kiwango cha riba kama decimal kwa kila mfuko. Kuzidisha: Mkuu · Kiwango · Muda wa kupata riba. Hatua ya 4. Tafsiri katika mfumo wa equations. Tunapata mfumo wetu wa equations kutoka safu kuu na safu ya riba. Hatua ya 5. Tatua mfumo wa equations Tatua kwa kuondoa. Panua equation ya juu na -0.03. Kurahisisha na kuongeza kutatua kwa s. Ili kupata b, mbadala s = 32,800 katika equation kwanza. Hatua ya 6. Angalia jibu katika tatizo. Tunaacha hundi kwako. Hatua ya 7. Jibu swali. Adnan lazima kuwekeza $32,800 katika hisa na$7,200 katika vifungo.
Je, umeona kwamba safu kuu inawakilisha jumla ya fedha zilizowekeza wakati safu ya riba inawakilisha tu riba iliyopatikana? Vivyo hivyo, equation ya kwanza katika mfumo wetu, s + b = 40,000, inawakilisha jumla ya fedha zilizowekeza na equation ya pili, 0.08 s + 0.03 b = 0.071 (40,000), inawakilisha riba iliyopatikana.
##### Zoezi$$\PageIndex{14}$$

Tafsiri kwa mfumo wa equations na kutatua:

Leon alikuwa na $50,000 kuwekeza na matumaini ya kupata riba 6.2% kwa mwaka. Yeye kuweka baadhi ya fedha katika mfuko wa hisa kwamba chuma 7% kwa mwaka na wengine katika akaunti ya akiba kwamba chuma 2% kwa mwaka. Ni kiasi gani cha fedha anapaswa kuweka katika kila mfuko? Jibu Leon anapaswa kuweka$42,000 katika mfuko wa hisa na $8000 katika akaunti ya akiba. ##### Zoezi$$\PageIndex{15}$$ Tafsiri kwa mfumo wa equations na kutatua: Julius imewekeza$7,000 katika uwekezaji wa hisa mbili. Moja ya hisa kulipwa 11% riba na hisa nyingine kulipwa 13% riba. Alipata asilimia 12.5% juu ya uwekezaji wa jumla. Ni kiasi gani cha fedha alichoweka katika kila hisa?

Jibu

Julius imewekeza $1,750 kwa 11% na$5,250 kwa 13%.

##### Zoezi$$\PageIndex{16}$$

Tafsiri kwa mfumo wa equations na kutatua:

Rosie amepata $21,540 juu ya mikopo yake miwili ya wanafunzi. Kiwango cha riba kwa mkopo wake wa benki ni 10.5% na kiwango cha riba kwa mkopo wa shirikisho ni 5.9%. Jumla ya riba aliyolipa mwaka jana ilikuwa$1,669.68. Nini ilikuwa kuu kwa kila mkopo?

Jibu

##### Zoezi$$\PageIndex{18}$$

Tafsiri kwa mfumo wa equations na kutatua:

Jill's Sandwich Shoppe amepata $65,200 juu ya mikopo miwili ya biashara, moja kwa 4.5% riba na nyingine kwa 7.2% riba. Jumla ya maslahi yaliyodaiwa mwaka jana ilikuwa$3,582. Nini ilikuwa kuu kwa kila mkopo?

Jibu

Kiasi kikubwa kilikuwa $41,200 kwa 4.5%. Kiasi kikubwa kilikuwa,$24,000 saa 7.2%.

##### Kumbuka

Fikia rasilimali hizi za mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na kutatua matatizo ya maombi na mifumo ya usawa wa mstari.

## Dhana muhimu

• Jedwali la sarafu na maombi ya mchanganyiko

• Jedwali la maombi ya ukolezi

• Jedwali la maombi ya riba