8.4E: Mazoezi ya Sehemu ya 8.4

Last updated
Save as PDF

Page ID: 178703

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
OpenStax

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Msingi Vifaa Model

Kwa matatizo 1 - 11, fikiria equation ya vifaa katika fomu\( P'=CP−P^2.\) Chora uwanja wa uongozi na kupata utulivu wa usawa.

1)\( C=3\)

2)\( C=0\)

Jibu

\( P=0\)nusu-imara

3)\( C=−3\)

4) Kutatua equation vifaa kwa\( C=10\) na hali ya awali ya\( P(0)=2.\)

Jibu: \( P=\dfrac{10e^{10x}}{e^{10x}+4}\)

5) Kutatua vifaa equation kwa\( C=−10\) na hali ya awali ya\( P(0)=2\).

6) Idadi ya kulungu ndani ya Hifadhi ina uwezo wa kubeba\( 200\) na kiwango cha ukuaji wa\( 2%\). Ikiwa idadi ya awali ni\( 50\) kulungu, ni nini idadi ya kulungu wakati wowote?

Jibu: \( P(t)=\dfrac{10000e^{0.02t}}{150+50e^{0.02t}}\)

7) idadi ya vyura katika bwawa ina kiwango cha ukuaji wa\( 5%.\) Kama idadi ya awali ni\( 1000\) vyura na uwezo wa kubeba ni nini idadi ya vyura wakati wowote?\( 6000\)

8) [T] Bakteria hukua kwa kiwango cha\( 20%\) saa moja katika sahani ya petri. Ikiwa kuna awali bakteria moja na uwezo wa kubeba seli\( 1\) milioni, inachukua muda gani kufikia\( 500,000\) seli?

Jibu: \( 69\)masaa\( 5\) dakika

9) [T] Sungura katika mbuga wana idadi ya awali ya\( 10\) na kukua kwa kiwango cha\( 4%\) kwa mwaka. Ikiwa uwezo wa kubeba ni\( 500\), wakati gani idadi ya watu hufikia\( 100\) sungura?

10) [T] Nyani mbili huwekwa kwenye kisiwa. Baada ya\( 5\) miaka, kuna\( 8\) nyani, na uwezo wa kubeba makadirio ni\( 25\) nyani. Idadi ya nyani hufikia lini\( 16\) nyani?

Jibu: \( 8\)\( 11\)miezi ya miaka

11) [T] patakatifu kipepeo ni kujengwa ambayo inaweza kushikilia\( 2000\) vipepeo, na\( 400\) vipepeo awali wakiongozwa katika. Ikiwa baada ya\( 2\) miezi kuna\( 800\) vipepeo sasa, idadi ya watu hupata\( 1500\) vipepeo lini?

Vifaa Idadi ya Watu Model na Kupungua

Matatizo yafuatayo yanazingatia usawa wa vifaa na muda ulioongezwa wa kupungua, ama kwa njia ya kifo au uhamiaji.

12) [T] Idadi ya trout katika bwawa hutolewa na\( P'=0.4P\left(1−\dfrac{P}{10000}\right)−400\), ambapo\( 400\) trout ni hawakupata kwa mwaka. Tumia calculator yako au programu ya kompyuta ili kuteka uwanja wa uongozi na kuteka ufumbuzi wa sampuli chache. Unatarajia nini kwa tabia?

Jibu

13) Katika tatizo lililotangulia, ni stabilities gani ya usawa\( 0<P_1<P_2\)?

14) [T] Kwa tatizo lililotangulia, tumia programu ili kuzalisha uwanja wa uongozi kwa thamani\( f=400\). Je, ni utulivu wa usawa?

Jibu

\( P_1\)nusu-imara

15) [T] Kwa matatizo yaliyotangulia, tumia programu ili kuzalisha shamba la uongozi kwa thamani\( f=600.\) Je, ni utulivu wa usawa?

16) [T] Kwa matatizo yaliyotangulia, fikiria kesi ambapo idadi fulani ya samaki huongezwa kwenye bwawa, au\( f=−200.\) ni usawa usio na hasi na utulivu wao?

Jibu

\( P_2>0\)thabiti

Inawezekana zaidi kwamba kiasi cha uvuvi kinasimamiwa na idadi ya sasa ya samaki sasa, hivyo badala ya idadi ya mara kwa mara ya samaki kuwa hawakupata, kiwango ni sawia na idadi ya sasa ya samaki sasa, na uwiano mara kwa mara\( k\), kama\( P'=0.4P\left(1−\dfrac{P}{10000}\right)−kP.\)

17) [T] Kwa tatizo uliopita uvuvi, kuteka uwanja directional kuchukua\( k=0.1\). Chora baadhi ya ufumbuzi unaoonyesha tabia hii. Usawa ni nini na utulivu wao ni nini?

18) [T] Tumia programu au calculator kuteka mashamba directional kwa\( k=0.4\). Je, ni usawa usio na hasi na utulivu wao?

Jibu

\( P_1=0\)ni nusu imara

19) [T] Tumia programu au calculator kuteka mashamba directional kwa\( k=0.6\). Usawa na utulivu wao ni nini?

20) Kutatua equation hii, kuchukua thamani ya\( k=0.05\) na hali ya awali ya\( 2000\) samaki.

Jibu: \( y=\dfrac{−20}{4×10^{−6}−0.002e^{0.01t}}\)

21) Kutatua equation hii, kuchukua thamani ya\( k=0.05\) na hali ya awali ya\( 5000\) samaki.

Vizingiti vidogo vya Idadi ya Watu endelevu

Matatizo yafuatayo yanaongeza thamani ndogo ya kizingiti kwa ajili ya aina ya kuishi,\( T\), ambayo inabadilisha equation tofauti kwa\( P'(t)=rP\left(1−\dfrac{P}{K}\right)\left(1−\dfrac{T}{P}\right)\).

22) Chora uwanja wa uongozi wa usawa wa vifaa vya kizingiti, ukichukua\( K=10,r=0.1,T=2\). Idadi ya watu wanaishi lini? Je, huenda lini?

Jibu

23) Kwa tatizo lililotangulia, tatua usawa wa kizingiti cha vifaa, ukichukua hali ya awali\( P(0)=P_0\).

24) Tigers ya Bengal katika hifadhi ya hifadhi wana uwezo wa kubeba\( 100\) na wanahitaji kiwango cha\( 10\) chini cha kuishi. Ikiwa wanakua kwa idadi ya watu kwa kiwango cha\( 1%\) mwaka, na idadi ya awali ya\( 15\) tigers, tatua kwa idadi ya tigers zilizopo.

Jibu: \( P(t)=\dfrac{850+500e^{0.009t}}{85+5e^{0.009t}}\)

25) Msitu ulio na lemurs wenye pete huko Madagascar una uwezo wa kusaidia\( 5000\) watu binafsi, na idadi ya watu wa lemur inakua kwa kiwango cha\( 5%\) mwaka. Kiwango cha chini cha watu 500 kinahitajika kwa lemurs kuishi. Kutokana na idadi ya awali ya\( 600\) lemurs, tatua kwa idadi ya lemurs.

26) Idadi ya watu wa simba mlima katika Kaskazini mwa Arizona ina makadirio ya uwezo wa kubeba\( 250\) na kukua kwa kiwango cha kwa\( 0.25%\) mwaka na kuna lazima kuwepo\( 25\) kwa idadi ya watu kuishi. Pamoja na idadi ya awali ya simba wa\( 30\) mlima, itachukua miaka ngapi ili kupata simba wa mlima kutoka kwenye orodha ya aina zilizohatarishwa (angalau\( 100\))?

Jibu: \( 13\)miezi ya miaka

Mlinganyo wa Gompertz

Maswali yafuatayo yanazingatia equation ya Gompertz, muundo wa ukuaji wa vifaa, ambayo mara nyingi hutumiwa kwa kuimarisha ukuaji wa kansa, hasa idadi ya seli za tumor.

27) Equation Gompertz inatolewa na\( P(t)'=α\ln\left(\frac{K}{P(t)}\right)P(t).\) Chora mashamba directional kwa equation hii kuchukua vigezo vyote ni chanya, na kutokana na kwamba\( K=1.\)

28) Kudhani kwamba kwa idadi ya watu,\( K=1000\) na\( α=0.05\). Chora uwanja wa uongozi unaohusishwa na equation hii tofauti na kuteka ufumbuzi wachache. Tabia ya idadi ya watu ni nini?

Jibu

29) Kutatua equation Gompertz kwa generic\( α\)\( K\) na na\( P(0)=P_0\).

30) [T] equation ya Gompertz imetumika kutengeneza ukuaji wa tumor katika mwili wa binadamu. Kuanzia kiini kimoja cha tumor siku\( 1\)\( α=0.1\) na kuchukua na uwezo wa kubeba wa seli\( 10\) milioni, inachukua muda gani kufikia hatua ya “kugundua” kwenye seli\( 5\) milioni?

Jibu: \( 31.465\)siku

31) [T] Inakadiriwa kuwa idadi ya watu duniani ilifikia watu\( 3\) bilioni ndani\( 1959\) na\( 6\) bilioni\( 1999\). Kutokana na uwezo wa kubeba wa binadamu\( 16\) bilioni, kuandika na kutatua equation tofauti kwa ajili ya ukuaji wa vifaa, na kuamua ni mwaka gani idadi ya watu kufikiwa\( 7\) bilioni.

32) [T] Inakadiriwa kuwa idadi ya watu duniani ilifikia watu\( 3\) bilioni ndani\( 1959\) na\( 6\) bilioni\( 1999\). Kutokana na uwezo wa kubeba wa binadamu\( 16\) bilioni, kuandika na kutatua equation tofauti kwa ukuaji wa Gompertz, na kuamua ni mwaka gani idadi ya watu kufikiwa\( 7\) bilioni. Alikuwa vifaa ukuaji au ukuaji Gompertz sahihi zaidi, kuzingatia idadi ya watu duniani kufikiwa\( 7\) bilioni Oktoba\( 31,2011?\)

Jibu: Septemba\( 2008\)

33) Onyesha kuwa idadi ya watu inakua kwa kasi zaidi wakati inafikia nusu ya uwezo wa kubeba kwa usawa wa vifaa\( P'=rP\left(1−\dfrac{P}{K}\right)\).

34) Je, idadi ya watu huongeza lini kwa kasi zaidi katika usawa wa vifaa vya kizingiti\( P'(t)=rP\left(1−\dfrac{P}{K}\right)\left(1−\dfrac{T}{P}\right)\)?

Jibu: \( \dfrac{K+T}{2}\)

35) Lini idadi ya watu huongeza kasi zaidi kwa equation ya Gompertz\( P(t)'=α\ln\left(\frac{K}{P(t)}\right)P(t)?\)

Chini ni meza ya wakazi wa cranes kifaduro katika pori kutoka\( 1940\) kwa\( 2000\). Wakazi walirudi kutoka kutoweka karibu baada ya juhudi za uhifadhi kuanza. Matatizo yafuatayo yanazingatia kutumia mifano ya idadi ya watu ili kufaa data. Fikiria uwezo wa kubeba wa\( 10,000\) cranes. Fit data kuchukua miaka tangu\( 1940\) (hivyo idadi yako ya awali kwa wakati\( 0\) itakuwa\( 22\) cranes).

Mwaka (miaka tangu uhifadhi ulianza)	Whooping crane idadi ya watu
1940 (0)	22
1950 (10)	31
1960 (20)	36
1970 (30)	57
1980 (40)	91
1990 (50)	159
2000 (60)	256

Chanzo: https://www.savingcranes.org/images/...wc_numbers.pdf

36) Kupata equation na parameter\( r\) kwamba bora fit data kwa equation vifaa.

Jibu: \( r=0.0405\)

37) Kupata equation na vigezo\( r\) na\( T\) kwamba bora fit data kwa kizingiti vifaa equation.

38) Kupata equation na parameter\( α\) kwamba bora fit data kwa Gompertz equation.

Jibu: \( α=0.0081\)

39) Grafu ufumbuzi wote watatu na data kwenye grafu sawa. Ni mfano gani unaonekana kuwa sahihi zaidi?

40) Kutumia equations tatu zilizopatikana katika matatizo ya awali, makadirio ya idadi ya watu katika\( 2010\) (mwaka\( 70\) baada ya uhifadhi). Idadi halisi ya watu iliyopimwa wakati huo ilikuwa\( 437\). Ni mfano gani unaofaa zaidi?

Jibu: vifaa:\( 361\), kizingiti:\( 436\), Gompertz:\( 309\).