Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
Library homepage
 
Global

8.4: Mlinganyo wa vifaa

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

Malengo ya kujifunza
  • Eleza dhana ya uwezo wa kubeba mazingira katika mfano wa vifaa vya ukuaji wa idadi ya watu.
  • Chora uwanja mwelekeo kwa equation vifaa na kutafsiri curves ufumbuzi.
  • Kutatua equation vifaa na kutafsiri matokeo.

Ulinganyo tofauti unaweza kutumika kuwakilisha ukubwa wa idadi ya watu kama inatofautiana baada ya muda. Tuliona hili katika sura ya awali katika sehemu ya ukuaji wa kielelezo na kuoza, ambayo ni mfano rahisi zaidi. Mfano wa kweli zaidi unajumuisha mambo mengine yanayoathiri ukuaji wa idadi ya watu. Katika sehemu hii, sisi kujifunza vifaa tofauti equation na kuona jinsi inatumika kwa utafiti wa mienendo ya idadi ya watu katika mazingira ya biolojia.

Ukuaji wa idadi ya watu na Uwezo

Kwa mfano ukuaji wa idadi ya watu kwa kutumia equation tofauti, sisi kwanza haja ya kuanzisha baadhi ya vigezo na masharti husika. kutofautianat. itawakilisha wakati. Vitengo vya muda vinaweza kuwa masaa, siku, wiki, miezi, au hata miaka. Tatizo lolote lolote linapaswa kutaja vitengo vinavyotumiwa katika tatizo hilo. VariableP itawakilisha idadi ya watu. Kwa kuwa idadi ya watu inatofautiana baada ya muda, inaeleweka kuwa kazi ya muda. Kwa hiyo tunatumia nukuuP(t) kwa idadi ya watu kama kazi ya wakati. IkiwaP(t) ni kazi tofauti, basi derivative ya kwanzadPdt inawakilisha kiwango cha instantaneous cha mabadiliko ya idadi ya watu kama kazi ya wakati.

Katika Ukuaji wa Kielelezo na Uozo, tulisoma ukuaji wa kielelezo na kuoza kwa idadi ya watu na vitu vyenye mionzi. Mfano wa kazi ya ukuaji wa kielelezo niP(t)=P0ert. Katika kazi hii,P(t) inawakilisha idadi ya watu kwa wakatit,P0 inawakilisha idadi ya awali (idadi ya watu kwa wakatit=0), na mara kwa marar>0 inaitwa kiwango cha ukuaji. Kielelezo8.4.1 inaonyesha grafu yaP(t)=100e0.03t. HapaP0=100 nar=0.03.

Grafu ya kazi ya kielelezo p (t) = 100 e ^ (0.03 t). Ni kuongezeka concave up kazi kuanzia katika roboduara 2, misalaba y mhimili katika (0, 100), na kuongezeka kwa roboduara 1.
Kielelezo8.4.1: mfano wa ukuaji wa kielelezo wa idadi ya watu.

Tunaweza kuthibitisha kwamba kaziP(t)=P0ert inatimiza tatizo la thamani ya awali

dPdt=rP

naP(0)=P0.

Equation hii tofauti ina tafsiri ya kuvutia. Upande wa kushoto unawakilisha kiwango ambacho idadi ya watu huongezeka (au inapungua). Upande wa mkono wa kulia ni sawa na mara kwa mara chanya inayoongezeka na idadi ya sasa. Kwa hiyo equation tofauti inasema kwamba kiwango ambacho idadi ya watu huongezeka ni sawia na idadi ya watu katika hatua hiyo kwa wakati. Zaidi ya hayo, inasema kwamba mara kwa mara ya uwiano kamwe mabadiliko.

Tatizo moja na kazi hii ni utabiri wake kwamba wakati unaendelea, idadi ya watu inakua bila kufungwa. Hii ni unrealistic katika mazingira halisi ya dunia. Sababu mbalimbali hupunguza kiwango cha ukuaji wa idadi fulani ya watu, ikiwa ni pamoja na kiwango cha kuzaliwa, kiwango cha kifo, ugavi wa chakula, wadudu, na kadhalika. Mara kwa mara ya ukuaji kwar kawaida huzingatia viwango vya kuzaliwa na vifo lakini hakuna sababu nyingine, na inaweza kutafsiriwa kama wavu (kuzaliwa bala kifo) kiwango cha ukuaji wa asilimia kwa wakati wa kitengo. Swali la asili la kuuliza ni kama kiwango cha ukuaji wa idadi ya watu kinakaa mara kwa mara, au kama kinabadilika kwa muda. Wanabiolojia wamegundua kwamba katika mifumo mingi ya kibaiolojia, idadi ya watu inakua mpaka idadi fulani ya hali ya kutosha itafikia. Uwezekano huu haukuzingatiwa na ukuaji wa kielelezo. Hata hivyo, dhana ya uwezo wa kubeba inaruhusu uwezekano kwamba katika eneo fulani, idadi fulani tu ya kiumbe au mnyama anayepewa inaweza kustawi bila kuingia katika masuala ya rasilimali.

Ufafanuzi: Uwezo wa kub

Uwezo wa kubeba wa kiumbe katika mazingira fulani hufafanuliwa kuwa idadi kubwa ya viumbe kwamba mazingira yanaweza kudumisha kwa muda usiojulikana.

Tunatumia variableK ili kutaja uwezo wa kubeba. Kiwango cha ukuaji kinawakilishwa na kutofautianar. Kutumia vigezo hivi, tunaweza kufafanua vifaa tofauti equation.

Ufafanuzi: Vifaa tofauti equation

HebuK kuwakilisha uwezo wa kubeba kwa viumbe fulani katika mazingira fulani, nar iwe namba halisi ambayo inawakilisha kiwango cha ukuaji. KaziP(t) inawakilisha idadi ya viumbe hivi kama kazi ya wakatit, na mara kwa maraP0 inawakilisha idadi ya awali (idadi ya viumbe kwa wakatit=0). Kisha vifaa tofauti equation ni

dPdt=rP(1PK).

equation vifaa mara ya kwanza kuchapishwa na Pierre Verhulst katika1845. Equation hii tofauti inaweza kuunganishwa na hali ya awaliP(0)=P0 ili kuunda tatizo la thamani ya awaliP(t).

Tuseme kwamba idadi ya awali ni ndogo jamaa na uwezo wa kubeba. KishaPK ni ndogo, labda karibu na sifuri. Hivyo, wingi katika mabano upande wa kulia wa Equation\ ref {LogisticDifeQ} ni karibu na1, na upande wa kulia wa equation hii ni karibu narP. Ikiwar>0, basi idadi ya watu inakua kwa kasi, inayofanana na ukuaji wa kielelezo.

Hata hivyo, kama idadi ya watu inakua, uwianoPK pia unakua, kwa sababuK ni mara kwa mara. Ikiwa idadi ya watu inabakia chini ya uwezo wa kubeba, basiPK ni chini ya1, hivyo1PK>0. Kwa hiyo upande wa kulia wa Equation\ ref {LogisticDifeQ} bado ni chanya, lakini wingi katika mabano hupata ndogo, na kiwango cha ukuaji hupungua kutokana. IkiwaP=K basi upande wa kulia ni sawa na sifuri, na idadi ya watu haibadilika.

Sasa tuseme kwamba idadi ya watu huanza kwa thamani ya juu kuliko uwezo wa kubeba. KishaPK>1, na1PK<0. Kisha upande wa kulia wa Equation\ ref {LogisticDifeQ} ni hasi, na idadi ya watu hupungua. Kwa muda mrefuP>K, idadi ya watu hupungua. Ni kamwe kweli kufikia K kwa sababudPdt kupata ndogo na ndogo, lakini idadi ya watu inakaribia uwezo wa kubeba kamat mbinu infinity. Uchunguzi huu unaweza kuwakilishwa kuibua kwa njia ya mstari wa awamu. Mstari wa awamu unaelezea tabia ya jumla ya suluhisho la usawa wa tofauti wa uhuru, kulingana na hali ya awali. Kwa kesi ya uwezo wa kubeba katika usawa wa vifaa, mstari wa awamu ni kama inavyoonekana kwenye Mchoro8.4.2.

Mchoro wa mstari wa awamu kwa equation tofauti iliyotolewa. Mstari wa bluu wa wima na mishale kwenye mwisho wowote una alama mbili zilizowekwa alama, saa P = K na P = 0, na K 0. Mishale nyekundu inaelezea kati ya 0 na K na chini chini ya sifuri na juu ya K." style="width: 90px; height: 338px;" width="90px" height="338px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...08_04_006.jpeg">
Kielelezo8.4.2: Mstari wa awamu kwa equation tofautidPdt=rP(1PK).

Mstari huu wa awamu unaonyesha kwamba wakatiP ni chini ya sifuri au zaidi kulikoK, idadi ya watu hupungua kwa muda. WakatiP ni kati0 naK, idadi ya watu huongezeka baada ya muda.

Mfano8.4.1: Examining the Carrying Capacity of a Deer Population

Hebu fikiria idadi ya watu wa kulungu nyeupe-tailed (Odocoileus virginianus) katika hali ya Kentucky. Idara ya Kentucky ya Samaki na Rasilimali za Wanyamapori (KDFWR) huweka miongozo ya uwindaji na uvuvi Kabla ya msimu wa uwindaji wa mwaka 2004, ilikadiria idadi ya kulungu 900,000. Johnson anabainisha: “Idadi ya kulungu ambayo ina mengi ya kula na si kuwindwa na binadamu au wadudu wengine itakuwa mara mbili kila baada ya miaka mitatu.” (George Johnson, “Tatizo la Kulipuka watu wa kulungu Haina Solutions Kuvutia,” Januari 12,2001, ilifikia Aprili 9, 2015)

Hii ni picha ya kulungu.
Kielelezo8.4.3: (mikopo: mabadiliko ya kazi na Rachel Kramer, Flickr)

Uchunguzi huu unalingana na kiwango cha ongezekor=ln(2)3=0.2311, hivyo kiwango cha ukuaji wa takriban ni 23.11% kwa mwaka. (Hii inadhani kwamba idadi ya watu inakua exponentially, ambayo ni busara —angalau katika muda mfupi-na ugavi wa chakula mwingi na hakuna wadudu.) KDFWR pia inaripoti wiani wa idadi ya kulungu kwa kaunti 32 huko Kentucky, wastani wa ambayo ni takriban kulungu 27 kwa maili ya mraba. Tuseme hii ni kulungu wiani kwa hali nzima (39,732 maili mraba). Uwezo wa kubebaK ni maili za mraba 39,732 mara kulungu 27 kwa maili mraba, au kulungu 1,072,764.

  1. Kwa programu hii, tunaP0=900,000,K=1,072,764, nar=0.2311. mbadala maadili haya katika Equation\ ref {LogisticDiffeQ} na kuunda tatizo awali thamani.
  2. Tatua tatizo la thamani ya awali kutoka sehemu a.
  3. Kwa mujibu wa mfano huu, itakuwa nini idadi ya watu katika3 miaka? Kumbuka kwamba muda mara mbili alitabiri na Johnson kwa idadi ya kulungu ilikuwa3 miaka. Je! Maadili haya yanalinganishaje?

Tuseme idadi ya watu imeweza kufikia 1,200,000 Je, usawa wa vifaa unatabiri utafanyika kwa idadi ya watu katika hali hii?

Suluhisho

a. thamani ya awali tatizo ni

dPdt=0.2311P(1P1,072,764),P(0)=900,000.

b. equation vifaa ni uhuru tofauti equation, hivyo tunaweza kutumia njia ya kujitenga ya vigezo.

Hatua ya 1: Kuweka upande wa kulia sawa na sifuri hutoaP=0 naP=1,072,764. Hii inamaanisha kwamba ikiwa idadi ya watu itaanza saa sifuri haitabadilika kamwe, na ikiwa itaanza kwa uwezo wa kubeba, haitabadilika kamwe.

Hatua ya 2: Andika upya equation tofauti na kuzidisha pande zote mbili na:

dPdt=0.2311P(1,072,764P1,072,764)dP=0.2311P(1,072,764P1,072,764)dtdPP(1,072,764P)=0.23111,072,764dt.

Hatua ya 3: Unganisha pande zote mbili za equation kwa kutumia sehemu ya sehemu ya kuharibika:

dPP(1,072,764P)=0.23111,072,764dt11,072,764(1P+11,072,764P)dP=0.2311t1,072,764+C11,072,764(ln|P|ln|1,072,764P|)=0.2311t1,072,764+C.

Hatua ya 4: Panua pande zote mbili kwa 1,072,764 na utumie utawala wa quotient kwa logarithms:

ln|P1,072,764P|=0.2311t+C1.

HapaC1=1,072,764C. Next exponentiate pande zote mbili na kuondoa thamani kamili:

eln|P1,072,764P|=e0.2311t+C1|P1,072,764P|=C2e0.2311tP1,072,764P=C2e0.2311t.

HapaC2=eC1 lakini baada ya kuondoa thamani kamili, inaweza kuwa hasi pia. Sasa tatua kwa:

P=C2e0.2311t(1,072,764P)P=1,072,764C2e0.2311tC2Pe0.2311tP+C2Pe0.2311t=1,072,764C2e0.2311tP(1+C2e0.2311t=1,072,764C2e0.2311tP(t)=1,072,764C2e0.2311t1+C2e0.2311t.

Hatua ya 5: Kuamua thamani yaC2, kwa kweli ni rahisi kurudi nyuma michache ya hatua ambapoC2 ilifafanuliwa. Hasa, tumia equation

P1,072,764P=C2e0.2311t.

Hali ya awali niP(0)=900,000. Badilisha nafasiP900,000t na kwa sifuri:

P1,072,764P=C2e0.2311t900,0001,072,764900,000=C2e0.2311(0)900,000172,764=C2C2=25,0004,7995.209.

Kwa hiyo

P(t)=1,072,764(250004799)e0.2311t1+(250004799)e0.2311t=1,072,764(25000)e0.2311t4799+25000e0.2311t.

Kugawanya nambari na denominator kwa 25,000 inatoa

P(t)=1,072,764e0.2311t0.19196+e0.2311t.

Kielelezo ni grafu ya equation hii.

Grafu ya Curve ya vifaa kwa idadi ya watu wa kulungu na idadi ya awali ya P_0 ya 900,000. Grafu huanza kama kuongezeka concave up kazi katika roboduara mbili, mabadiliko ya kuongezeka concave chini kazi, misalaba x mhimili katika (0, 900,000), na asymptotically inakaribia P = 1,072,764 kama x inakwenda infinity.
Kielelezo8.4.4: Vifaa Curve kwa idadi ya kulungu na idadi ya awali ya 900,000 kulungu.

c Kutumia mfano huu tunaweza kutabiri idadi ya watu katika miaka 3.

P(3)=1,072,764e0.2311(3)0.19196+e0.2311(3)978,830deer

Hii ni mbali mfupi wa mara mbili idadi ya awali ya900,000. Kumbuka kwamba mara mbili ni msingi wa dhana kwamba kiwango cha ukuaji kamwe mabadiliko, lakini mfano vifaa inachukua uwezekano huu katika akaunti.

d Kama idadi ya watu kufikiwa kulungu 1,200,000, basi mpya ya awali ya thamani tatizo itakuwa

dPdt=0.2311P(1P1,072,764),P(0)=1,200,000.

Suluhisho la jumla la equation tofauti lingebaki sawa.

P(t)=1,072,764C2e0.2311t1+C2e0.2311t

Kuamua thamani ya mara kwa mara, kurudi kwenye equation

P1,072,764P=C2e0.2311t.

Kubadilisha maadilit=0 naP=1,200,000, unapata

C2e0.2311(0)=1,200,0001,072,7641,200,000C2=100,00010,6039.431.

Kwa hiyo

P(t)=1,072,764C2e0.2311t1+C2e0.2311t=1,072,764(100,00010,603)e0.2311t1+(100,00010,603)e0.2311t=107,276,400,000e0.2311t100,000e0.2311t10,60310,117,551e0.2311t9.43129e0.2311t1

equation Hii ni graphid katika Kielelezo8.4.5.

Grafu ya curve ya vifaa kwa idadi ya awali ya kulungu 1,200,000. Grafu ni kupungua concave up kazi ambayo huanza katika roboduara mbili, misalaba y mhimili katika (0, 1,200,000), na asymptotically inakaribia P = 1,072,764 kama x inakwenda infinity.
Kielelezo8.4.5: Curve ya vifaa kwa idadi ya watu wa kulungu na idadi ya awali ya kulungu 1,200,000.

Kutatua equation tofauti ya vifaa

vifaa tofauti equation ni uhuru tofauti equation, hivyo tunaweza kutumia mgawanyo wa vigezo kupata ufumbuzi wa jumla, kama sisi tu alifanya katika Mfano8.4.1.

Hatua ya 1: Kuweka upande wa kulia sawa na sifuri husababishaP=0 naP=K kama ufumbuzi wa mara kwa mara. Suluhisho la kwanza linaonyesha kwamba wakati hakuna viumbe vilivyopo, idadi ya watu haitakua kamwe. Suluhisho la pili linaonyesha kwamba wakati idadi ya watu inapoanza uwezo wa kubeba, haitabadilika kamwe.

Hatua ya 2: Andika upya equation tofauti katika fomu

dPdt=rP(KP)K.

Kisha kuzidisha pande zote mbilidt na kugawanya pande zote mbili naP(KP). Hii inasababisha

dPP(KP)=rKdt.

Kuzidisha pande zote mbili za equationK na kuunganisha:

KP(KP)dP=rdt.

Upande wa kushoto wa equation hii unaweza kuunganishwa kwa kutumia sehemu ya utengano wa sehemu. Tunakuacha ili uhakikishe kwamba

KP(KP)=1P+1KP.

Kisha equation\ ref {eq20a} inakuwa

1P+1KPdP=rdt

ln|P|ln|KP|=rt+C

lnPKP∣=rt+C.

Sasa exponentiate pande zote mbili za equation kuondoa logarithm asili:

elnPKP=ert+C

PKP∣=eCert.

Sisi kufafanuaC1=ec ili equation inakuwa

PKP=C1ert.

Ili kutatua equation hii kwaP(t), kwanza kuzidisha pande zote mbiliKP na kukusanya maneno zenyeP upande wa kushoto wa equation:

P=C1ert(KP)=C1KertC1PertP+C1Pert=C1Kert.

Kisha, fikiriaP kutoka upande wa kushoto na ugawanye pande zote mbili kwa sababu nyingine:

P(1+C1ert)=C1KertP(t)=C1Kert1+C1ert.

Hatua ya mwisho ni kuamua thamani ya Njia rahisiC1. ya kufanya hivyo ni kubadilishat=0 na badala yaP0P katika Equation na kutatua kwaC1:

PKP=C1ertP0KP0=C1er(0)C1=P0KP0.

Hatimaye, badala ya kujieleza kwaC1 katika Equation\ ref {eq30a}:

P(t)=C1Kert1+C1ert=P0KP0Kert1+P0KP0ert

Sasa kuzidisha nambari na denominator ya upande wa kulia(KP0) na kurahisisha:

P(t)=P0KP0Kert1+P0KP0ert=P0KP0Kert1+P0KP0ertKP0KP0=P0Kert(KP0)+P0ert.

Tunasema matokeo haya kama theorem.

Suluhisho la Equation tofauti ya Vifaa

Fikiria vifaa tofauti equation chini ya idadi ya awali yaP0 na uwezo wa kubebaK na kiwango cha ukuajir. Suluhisho la tatizo la thamani ya awali linatolewa na

P(t)=P0Kert(KP0)+P0ert.

Sasa kwa kuwa tuna suluhisho la tatizo la thamani ya awali, tunaweza kuchagua maadiliP0,r,K na kujifunza ufumbuzi wa ufumbuzi. Kwa mfano, katika Mfano tulitumia maadilir=0.2311,K=1,072,764, na idadi ya awali ya900,000 kulungu. Hii inasababisha ufumbuzi

P(t)=P0Kert(KP0)+P0ert=900,000(1,072,764)e0.2311t(1,072,764900,000)+900,000e0.2311t=900,000(1,072,764)e0.2311t172,764+900,000e0.2311t.

Kugawanya juu na chini kwa900,000 anatoa

P(t)=1,072,764e0.2311t0.19196+e0.2311t.

Hii ni sawa na ufumbuzi wa awali. Grafu ya ufumbuzi huu inavyoonekana tena katika bluu katika Kielelezo8.4.6, juu ya grafu ya mfano wa ukuaji wa kielelezo na idadi ya awali900,000 na kiwango cha ukuaji0.2311 (kuonekana katika kijani). Mstari uliopigwa nyekundu unawakilisha uwezo wa kubeba, na ni asymptote ya usawa wa suluhisho la equation ya vifaa.

Grafu inayoonyesha ukuaji wa kielelezo na vifaa kwa idadi sawa ya awali ya viumbe 900,000 na kiwango cha ukuaji wa 23.11%. Wote kuanza katika roboduara mbili karibu na mhimili x kama kuongeza concave up curves. Curve ya ukuaji wa kielelezo inaendelea kukua, kupita P = 1,072,764 wakati bado katika roboduara mbili. Curve ya ukuaji wa vifaa hubadilika concavity, huvuka mhimili x saa P_0 = 900,000, na kwa njia isiyo ya kawaida inakaribia P = 1,072,764.
Kielelezo8.4.6: kulinganisha kielelezo dhidi ya ukuaji wa vifaa kwa idadi hiyo ya awali ya900,000 viumbe na kiwango cha ukuaji wa23.11

Kufanya kazi chini ya dhana kwamba idadi ya watu inakua kulingana na equation tofauti ya vifaa, grafu hii inabiri kwamba takriban20 miaka mapema(1984), ukuaji wa idadi ya watu ulikuwa karibu sana na kielelezo. Kiwango cha ukuaji halisi wakati huo ingekuwa karibu23.1 kwa mwaka. Kama muda unaendelea, grafu mbili tofauti. Hii hutokea kwa sababu idadi ya watu huongezeka, na equation tofauti ya vifaa inasema kuwa kiwango cha ukuaji hupungua kadiri idadi ya watu inavyoongezeka. Wakati idadi ya watu ilipimwa(2004), ilikuwa karibu na uwezo wa kubeba, na idadi ya watu ilianza kufikia ngazi.

Suluhisho la equation tofauti ya vifaa ina hatua ya kufuta. Ili kupata hatua hii, weka derivative ya pili sawa na sifuri:

P(t)=P0Kert(KP0)+P0ertP(t)=rP0K(KP0)ert((KP0)+P0ert)2P(t)=r2P0K(KP0)2ertr2P20K(KP0)e2rt((KP0)+P0ert)3=r2P0K(KP0)ert((KP0)P0ert)((KP0)+P0ert)3.

Kuweka namba sawa na sifuri,

r2P0K(KP0)ert((KP0)P0ert)=0.

Muda mrefu kamaP0K, kiasi nzima kabla na ikiwaert ni pamoja na nonzero, hivyo tunaweza kugawanya nje:

(KP0)P0ert=0.

Kutatua kwat,

P0ert=KP0

ert=KP0P0

lnert=lnKP0P0

rt=lnKP0P0

t=1rlnKP0P0.

Angalia kwamba ikiwaP0>K, basi kiasi hiki hakijulikani, na grafu haina uhakika wa kufuta. Katika grafu ya vifaa, hatua ya kufuta inaweza kuonekana kama hatua ambapo grafu inabadilika kutoka concave hadi concave chini. Hii ndio ambapo “kiwango cha mbali” kinaanza kutokea, kwa sababu kiwango cha ukuaji wa wavu kinakuwa polepole kadiri idadi ya watu inapoanza kufikia uwezo wa kubeba.

Zoezi8.4.1

Idadi ya sungura katika meadow inaonekana kuwa200 sungura kwa wakatit=0. Baada ya mwezi, idadi ya sungura inazingatiwa kuwa imeongezeka kwa4. Kwa kutumia idadi ya awali ya200 na kiwango cha ukuaji wa0.04, na uwezo wa kubeba ya750 sungura,

  1. Andika vifaa tofauti equation na hali ya awali kwa mfano huu.
  2. Chora uwanja mteremko kwa equation hii vifaa tofauti, na mchoro ufumbuzi sambamba na idadi ya awali ya200 sungura.
  3. Tatua tatizo la thamani ya awali kwaP(t).
  4. Tumia ufumbuzi wa kutabiri idadi ya watu baada ya1 mwaka.
Kidokezo

Kwanza kuamua maadili yar,K, naP0. Kisha uunda tatizo la thamani ya awali, futa uwanja wa mwelekeo, na usuluhishe tatizo.

Jibu

a.dPdt=0.04(1P750),P(0)=200

b.

Shamba la mwelekeo na mistari ya usawa kwenye mhimili x na y = 15. Mstari mwingine ni wima, isipokuwa kwa wale wanaojitokeza kwenye mhimili x na y = 15. Suluhisho hutolewa ambayo huvuka mhimili y karibu (0, 4) na mbinu zisizo za kawaida y = 15.

c.P(t)=3000e.04t11+4e.04t

d Baada ya12 miezi, idadi ya watu watakuwaP(12)278 sungura.

Mradi wa Wanafunzi: Mlinganyo wa vifaa na Idadi ya Watu

Uboreshaji wa mfano wa vifaa ni pamoja na idadi ya kizingiti. Idadi ya kizingiti hufafanuliwa kuwa idadi ya chini ambayo ni muhimu kwa spishi kuishi. Tunatumia variableT kuwakilisha idadi ya kizingiti. Equation tofauti ambayo inashirikisha idadi ya kizingitiT na uwezo wa kubebaK ni

dPdt=rP(1PK)(1PT)

ambapor inawakilisha kiwango cha ukuaji, kama kabla.

  1. Idadi ya kizingiti ni muhimu kwa wanabiolojia na inaweza kutumika ili kuamua kama aina fulani inapaswa kuwekwa kwenye orodha iliyohatarishwa. Kikundi cha watafiti wa Australia wanasema wameamua idadi ya kizingiti kwa aina yoyote ya kuishi:5000 watu wazima. (Catherine Claby, “Idadi Magic,” American Scientist 98 (1): 24, doi:10.1511/2010.82.24. kupatikana Aprili 9, 2015, www.americanscientist.org/iss... -magic-nambari). Kwa hiyo tunatumiaT=5000 kama idadi ya kizingiti katika mradi huu. Tuseme kwamba uwezo wa kubeba mazingira katika Montana kwa elk ni25,000. Weka Equation kutumia uwezo wa kubeba25,000 na kizingiti idadi ya5000. Kudhani kila mwaka wavu kiwango cha ukuaji wa 18%.
  2. Chora uwanja wa mwelekeo kwa usawa tofauti kutoka hatua1, pamoja na ufumbuzi kadhaa kwa idadi tofauti ya awali. Je, ni ufumbuzi wa mara kwa mara wa equation tofauti? Je, ufumbuzi huu unahusiana na mfano wa awali wa idadi ya watu (yaani, katika mazingira ya kibiolojia)?
  3. Idadi ya watu kikwazo ni nini kwa kila idadi ya awali uliyochagua kwa hatua2? (Kidokezo: tumia shamba la mteremko ili uone kinachotokea kwa wakazi mbalimbali wa awali, yaani, angalia asymptotes ya usawa ya ufumbuzi wako.)
  4. Equation hii inaweza kutatuliwa kwa kutumia njia ya kujitenga kwa vigezo. Hata hivyo, ni vigumu sana kupata ufumbuzi kama kazi wazi yat. Kutumia idadi ya awali ya18,000 elk, kutatua tatizo la thamani ya awali na ueleze suluhisho kama kazi thabiti ya t, au kutatua tatizo la jumla la thamani ya awali, kutafuta suluhisho kwa suala lar,K,T, naP0.

Dhana muhimu

  • Wakati wa kusoma kazi za idadi ya watu, dhana tofauti-kama ukuaji wa kielelezo, ukuaji wa vifaa, au idadi ya watu wa kizingiti husababisha viwango tofauti vya ukuaji.
  • Equation tofauti ya vifaa inashirikisha dhana ya uwezo wa kubeba. Thamani hii ni thamani ya kupunguza kwa idadi ya watu kwa mazingira yoyote.
  • Equation tofauti ya vifaa inaweza kutatuliwa kwa kiwango chochote cha ukuaji chanya, idadi ya awali, na uwezo wa kubeba.

Mlinganyo muhimu

  • Vifaa tofauti vya usawa na tatizo la thamani ya awali

dPdt=rP(1PK),P(0)=P0

  • Suluhisho la tatizo la usawa wa tofauti/thamani ya awali

P(t)=P0Kert(KP0)+P0ert

  • Kizingiti idadi ya watu mfano

dPdt=rP(1PK)(1PT)

faharasa

uwezo wa kubeba
idadi ya watu upeo wa viumbe kwamba mazingira yanaweza kuendeleza kwa muda usiojulikana
kiwango cha ukuaji
mara kwa marar>0 katika kazi ya ukuaji wa kielelezoP(t)=P0ert
idadi ya awali
idadi ya watu kwa wakatit=0
vifaa tofauti equation
equation tofauti ambayo inashirikisha uwezo wa kubebaK na kiwango cha ukuaji rr katika mfano wa idadi ya watu
mstari wa awamu
uwakilishi wa kuona wa tabia ya ufumbuzi wa usawa wa tofauti wa uhuru chini ya hali mbalimbali za awali
kizingiti idadi
kiwango cha chini cha idadi ya watu kwamba ni muhimu kwa ajili ya aina ya kuishi