8.3E: Mazoezi ya Sehemu ya 8.3

Katika mazoezi ya 1 - 4, tatua matatizo yafuatayo ya thamani ya awali na hali ya awali\( y_0=0\) na graph suluhisho.

1)\( \dfrac{dy}{dt}=y+1\)

Jibu

\( y=e^t−1\)

2)\( \dfrac{dy}{dt}=y−1\)

3)\( \dfrac{dy}{dt}=-y+1\)

Jibu

\( y=1−e^{−t}\)

4)\( \dfrac{dy}{dt}=−y−1\)

Katika mazoezi ya 5 - 14, pata suluhisho la jumla kwa usawa tofauti.

5)\( x^2y'=(x+1)y\)

Jibu

\( y=Cxe^{−1/x}\)

6)\( y'=\tan(y)x\)

7)\( y'=2xy^2\)

Jibu

\( y=\dfrac{1}{C−x^2}\)

8)\( \dfrac{dy}{dt}=y\cos(3t+2)\)

9)\( 2x\dfrac{dy}{dx}=y^2\)

Jibu

\( y=−\dfrac{2}{C+\ln|x|}\)

10)\( y'=e^yx^2\)

11)\( (1+x)y'=(x+2)(y−1)\)

Jibu

\( y=Ce^x(x+1)+1\)

12)\( \dfrac{dx}{dt}=3t^2(x^2+4)\)

13)\( t\dfrac{dy}{dt}=\sqrt{1−y^2}\)

Jibu

\( y=\sin(\ln|t|+C)\)

14)\( y'=e^xe^y\)

Katika mazoezi 15 - 24, pata suluhisho la tatizo la thamani ya awali.

15)\( y'=e^{y−x}, \quad y(0)=0\)

Jibu

\( y=−\ln(e^{−x})\)ambayo simplifies kwa\(y = x\)

16)\( y'=y^2(x+1), \quad y(0)=2\)

17)\( \dfrac{dy}{dx}=y^3xe^{x^2}, \quad y(0)=1\)

Jibu

\( y=\dfrac{1}{\sqrt{2−e^{x^2}}}\)

18)\( \dfrac{dy}{dt}=y^2e^x\sin(3x), \quad y(0)=1\)

19)\( y'=\dfrac{x}{\text{sech}^2y}, \quad y(0)=0\)

Jibu

\( y=\tanh^{−1}\left(\dfrac{x^2}{2}\right)\)

20)\( y'=2xy(1+2y), \quad y(0)=−1\)

21)\( \dfrac{dx}{dt}=\ln(t)\sqrt{1−x^2}, \quad x(1)=0\)

Jibu

\( x=\sin(1 - t + t\ln t)\)

22)\( y'=3x^2(y^2+4),\quad y(0)=0\)

23)\( y'=e^y5^x, \quad y(0)=\ln(\ln(5))\)

Jibu

\( y=\ln(\ln(5))−\ln(2−5^x)\)

24)\( y'=−2x\tan(y), \quad y(0)=\dfrac{π}{2}\)

Kwa matatizo 25 - 29, tumia programu ya programu au calculator yako ili kuzalisha mashamba ya uongozi. Kutatua wazi na kuteka ufumbuzi curves kwa hali kadhaa ya awali. Je, kuna baadhi ya hali muhimu ya awali ambayo hubadilisha tabia ya suluhisho?

25) [T]\( y'=1−2y\)

Jibu

\( y=Ce^{−2}x+\dfrac{1}{2}\)

26) [T]\( y'=y^2x^3\)

27) [T]\( y'=y^3e^x\)

Jibu

\( y=\dfrac{1}{\sqrt{2}\sqrt{C−e^x}}\)

28) [T]\( y'=e^y\)

29) [T]\( y'=y\ln(x)\)

Jibu

\( y=Ce^{−x}x^x\)

30) Dawa nyingi katika kuoza kwa damu kulingana na equation\( y'=cy\), wapi\( y\) mkusanyiko wa madawa ya kulevya katika damu. Ikiwa nusu ya maisha ya madawa ya kulevya ni\( 2\) masaa, ni sehemu gani ya dozi ya awali inabaki baada ya\( 6\) masaa?

31) Dawa ya kulevya inasimamiwa kwa mgonjwa kwa kiwango cha\( r\) mg/h na inafutwa kutoka kwa mwili kwa kiwango cha sawia na kiasi cha madawa ya kulevya bado iko katika mwili,\( d\) Weka na kutatua equation tofauti, kuchukua hakuna dawa ya awali iliyopo katika mwili.

Jibu

\( y=\frac{r}{d}(1−e^{−dt})\)

32) [T] Ni mara ngapi dawa inapaswa kuchukuliwa ikiwa kipimo chake ni\( 3\) mg, inafutwa kwa kiwango cha\( c=0.1\) mg/h, na\( 1\) mg inahitajika kuwa katika damu wakati wote?

33) Tangi ina\( 1\) kilo cha chumvi kilichopasuka katika\( 100\) lita za maji. Suluhisho la chumvi la chumvi la\( 0.1\) kilo/L hupigwa ndani ya tangi kwa kiwango cha\( 2\) L/min na hutolewa kwa kiwango sawa. Tatua kwa mkusanyiko wa chumvi kwa wakati\( t\). Tuseme tank imechanganywa vizuri.

Jibu

\( y(t)=10−9e^{−t/50}\)

34) Tangi iliyo na\( 10\) kilo cha chumvi kilichopasuka katika\( 1000\) lita za maji ina ufumbuzi wa chumvi mbili zilizopigwa. Suluhisho la kwanza la chumvi la\( 0.2\) kilo/L hupigwa kwa kiwango cha\( 20\) L/min na suluhisho la pili la\( 0.05\) chumvi la kilo/L hupigwa kwa kiwango cha\( 5\) L/min. Tangi hutoka kwenye\( 25\) L/min. Tuseme tank imechanganywa vizuri. Tatua kwa mkusanyiko wa chumvi kwa wakati\( t\).

35) [T] Kwa tatizo lililotangulia, tafuta kiasi gani cha chumvi kilicho katika\( 1\) saa ya tank baada ya mchakato kuanza.

Jibu

\( 134.3\)kilo

36) Sheria ya Torricelli inasema kuwa kwa tank ya maji yenye shimo chini ambayo ina sehemu ya msalaba\( A\) na urefu wa maji\( h\) juu ya chini ya tank, kiwango cha mabadiliko ya kiasi cha maji kinachotokana na tank ni sawia na mizizi ya mraba ya urefu wa maji, kulingana kwa\( \dfrac{dV}{dt}=−A\sqrt{2gh}\), ambapo\( g\) ni kuongeza kasi kutokana na mvuto. Kumbuka kwamba\( \dfrac{dV}{dt}=A\dfrac{dh}{dt}\). Tatua tatizo la thamani ya awali kwa urefu wa maji, kuchukua tank na shimo la\( 2\) ft radius. Urefu wa awali wa maji ni\( 100\) ft.

37) Kwa tatizo lililotangulia, tambua muda gani inachukua tank kukimbia.

Jibu

\( 720\)sekunde

Kwa matatizo 38 - 44, tumia sheria ya Newton ya baridi.

38) Msingi wa kioevu wa ice cream ina joto la awali la\( 200°F\) kabla ya kuwekwa kwenye friji na joto la kawaida la\( 0°F\). Baada ya\( 1\) saa, joto la msingi wa barafu limepungua hadi\( 140°F\). Kuunda na kutatua tatizo la thamani ya awali ili kuamua joto la ice cream.

39) [T] msingi kioevu ya ice cream ina joto ya awali ya\( 210°F\) kabla ni kuwekwa katika freezer na joto mara kwa mara ya\( 20°F\). Baada ya\( 2\) masaa, joto la msingi wa barafu limepungua hadi\( 170°F\). Wakati gani ice cream itakuwa tayari kula? (Kudhani\( 30°F\) ni mojawapo ya kula joto.)

Jibu

\( 24\)masaa\( 55\) dakika

40) [T] Wewe ni kuandaa ice cream kijamii. Joto la nje ni\( 80°F\) na ice cream iko\( 10°F\). Baada ya\( 10\) dakika, joto la ice cream limeongezeka\( 10°F\). Ni muda gani unaweza kusubiri kabla ya ice cream inakayeyuka\( 40°F\)?

41) Una kikombe cha kahawa katika joto\( 70°C\) na joto la kawaida katika chumba ni\( 20°C\). Kutokana kiwango cha baridi\( k\) ya\( 0.125,\) kuandika na kutatua equation tofauti kuelezea joto la kahawa kwa heshima na wakati.

Jibu

\( T(t)=20+50e^{−0.125t}\)

42) [T] Una kikombe cha kahawa katika joto\( 70°C\) kwamba kuweka nje, ambapo joto la kawaida ni\( 0°C.\) Baada ya\( 5\) dakika, ni kiasi gani baridi ni kahawa?

43) Una kikombe cha kahawa kwenye joto\( 70°C\) na mara moja unamwaga\( 1\) sehemu ya maziwa kwa\( 5\) sehemu za kahawa. Maziwa ni awali kwenye joto\( 1°C.\) Andika na kutatua equation tofauti ambayo inasimamia halijoto ya kahawa hii.

Jibu

\( T(t)=20+38.5e^{−0.125t}\)

44) Una kikombe cha kahawa kwenye joto\( 70°C,\) ambalo unaruhusu\( 10\) dakika baridi kabla ya kumwaga kwa kiasi sawa cha maziwa\( 1°C\) kama ilivyo katika tatizo lililotangulia. Je! Joto linalinganishaje na kikombe kilichopita baada ya\( 10\) dakika?

45) Tatua tatizo la generic\( y'=ay+b\) na hali ya awali\( y(0)=c.\)

Jibu

\( y=(c+ba)e^{ax}−\frac{b}{a}\)

46) Kuthibitisha msingi daima imezungukwa maslahi equation. Kutokana amana ya awali ya\( P_0\) na kiwango cha riba ya\( r\), kuanzisha na kutatua equation kwa maslahi daima imezungukwa.

47) Fikiria kiasi cha awali cha\( I\) kilo cha kilo katika tangi na\( L\) lita. Fikiria mkusanyiko wa\( c\) kg/L kuwa pumped katika kiwango cha\( r\) L/min. Tangi imechanganywa vizuri na imevuliwa kwa kiwango cha\( r\) L/min. Pata equation kuelezea kiasi cha virutubisho katika tank.

Jibu

\( y(t)=cL+(I−cL)e^{−rt/L}\)

48) Majani hujilimbikiza kwenye sakafu ya misitu kwa kiwango cha\( 2\) g/cm ² /yr na pia hutengana kwa kiwango cha\( 90%\) mwaka. Andika equation tofauti inayoongoza idadi ya gramu ya takataka ya majani kwa sentimita ya mraba ya sakafu ya misitu, kwa kuzingatia wakati\( 0\) hakuna takataka ya majani chini. Je, kiasi hiki kinakaribia thamani ya kutosha? Thamani hiyo ni nini?

49) Majani hujilimbikiza kwenye sakafu ya misitu kwa kiwango cha\( 4\) g/cm ² /yr. Majani haya yanaharibika kwa kiwango cha\( 10%\) mwaka. Andika equation tofauti inayoongoza idadi ya gramu ya takataka ya majani kwa sentimita ya mraba ya sakafu ya misitu. Je, kiasi hiki kinakaribia thamani ya kutosha? Thamani hiyo ni nini?

Jibu

Tofauti Equation:\(\dfrac{dy}{dt} = 4 - 0.1y\)
Suluhisho, mfano wa hali hii:\( y=40(1−e^{−0.1t})\),
Kiasi kinakaribia thamani ya kutosha ya 40 g/cm ²