8.3: Equations inayoweza kutenganishwa
- Tumia mgawanyo wa vigezo ili kutatua equation tofauti.
- Tatua programu kwa kutumia kujitenga kwa vigezo.
Sasa tunachunguza mbinu ya ufumbuzi kwa ajili ya kutafuta ufumbuzi halisi kwa darasa la equations tofauti inayojulikana kama equations tofauti tofauti. Ulinganyo huu ni wa kawaida katika taaluma mbalimbali, ikiwa ni pamoja na fizikia, kemia, na uhandisi. Tunaonyesha maombi machache mwishoni mwa sehemu.
Kugawanyika kwa Vigezo
Tunaanza na ufafanuzi na baadhi ya mifano.
Equation tofauti tofauti ni equation yoyote ambayo inaweza kuandikwa kwa fomu
y′=f(x)g(y).
Neno 'kutenganishwa' linamaanisha ukweli kwamba upande wa kulia wa Equation\ ref {sep} inaweza kutengwa katika kazi yax nyakati kazi yay. Mifano ya equations tofauti tofauti ni pamoja na
y′=(x2−4)(3y+2)y′=6x2+4xy′=secy+tanyy′=xy+3x−2y−6.
Equation\ ref {eq2} inatenganishwaf(x)=6x2+4x nag(y)=1, Equation\ ref {eq3} inatenganishwaf(x)=1g(y)=secy+tany, na na na upande wa kulia wa Equation\ ref {eq4} unaweza(x+3)(y−2) kuhesabiwa kama, hivyo ni kutenganishwa pia. Equation\ ref {eq3} pia huitwa equation tofauti ya uhuru kwa sababu upande wa kulia wa equation ni kazi yay pekee. Ikiwa equation tofauti inatenganishwa, basi inawezekana kutatua equation kwa kutumia njia ya kujitenga kwa vigezo.
- Angalia kwa maadili yoyote yay kwamba kufanyag(y)=0. Hizi yanahusiana na ufumbuzi wa mara kwa mara.
- Andika upya equation tofauti katika fomudyg(y)=f(x)dx.
- Unganisha pande zote mbili za equation.
- Kutatua equation kusababishay kama inawezekana.
- Kama hali ya awali ipo, badala maadili sahihi kwax nay katika equation na kutatua kwa mara kwa mara.
Kumbuka kuwa Hatua ya 4 inasema “Tatua usaway unaosababisha iwezekanavyo.” Si mara zote inawezekana kupatay kama kazi wazi yax. Mara nyingi tunapaswa kuridhika na kutafuta y kama kazi thabiti yax.
Pata suluhisho la jumla kwa equation tofautiy′=(x2−4)(3y+2) kwa kutumia njia ya kujitenga kwa vigezo.
Suluhisho
Fuata njia ya hatua tano ya kujitenga kwa vigezo.
1. Katika mfano huu,f(x)=x2−4 nag(y)=3y+2. Kuwekag(y)=0 hutoay=−23 kama suluhisho la mara kwa mara.
2. Andika upya equation tofauti katika fomu
dy3y+2=(x2−4)dx.
3. Unganisha pande zote mbili za equation:
∫dy3y+2=∫(x2−4)dx.
Hebuu=3y+2. Kishadu=3dydxdx, hivyo equation inakuwa
13∫1udu=13x3−4x+C
13ln|u|=13x3−4x+C
13ln|3y+2|=13x3−4x+C.
4. Ili kutatua equation hii kway, kwanza kuzidisha pande zote mbili za equation na3.
ln|3y+2|=x3−12x+3C
Sasa tunatumia mantiki fulani katika kushughulika na mara kwa maraC. TanguC inawakilisha mara kwa mara ya kiholela,3C pia inawakilisha mara kwa mara. Ikiwa tunaita mara kwa mara ya pili ya kiholelaC1, ambapoC1=3C, equation inakuwa
ln|3y+2|=x3−12x+C1.
Sasa exponentiate pande zote mbili za equation (yaani, kufanya kila upande wa equation exponent kwa msingie).
eln|3y+2|=ex3−12x+C1|3y+2|=eC1ex3−12x
Tena kufafanua mara kwa mara mpyaC2=eC1 (kumbuka kuwaC2>0):
|3y+2|=C2ex3−12x.
Kwa sababu ya thamani kamili upande wa kushoto wa equation, hii inalingana na equations mbili tofauti:
3y+2=C2ex3−12x
na
3y+2=−C2ex3−12x.
Suluhisho la equation ama linaweza kuandikwa kwa fomu
y=−2±C2ex3−12x3.
Kwa kuwaC2>0, haijalishi kama tunatumia plus au minus, hivyo mara kwa mara anaweza kuwa na ishara ama. Zaidi ya hayo, subscript juu ya mara kwa maraC ni kabisa holela, na inaweza kuwa imeshuka. Kwa hiyo, ufumbuzi unaweza kuandikwa kama
y=−2+Cex3−12x3, where C=±C2 or C=0.
Kumbuka kuwa kwa kuandika suluhisho moja kwa ujumla kwa njia hii, sisi piaC tunaruhusu sawa0. Hii inatupa ufumbuzi umoja,y=−23, kwa equation tofauti iliyotolewa. Angalia kwamba hii ni kweli suluhisho la equation hii tofauti!
5. Hakuna hali ya awali iliyowekwa, kwa hiyo tumekamilika.
Tumia njia ya kujitenga kwa vigezo ili kupata suluhisho la jumla kwa usawa tofauti
y′=2xy+3y−4x−6.
- Kidokezo
-
Sababu ya kwanza upande wa kulia wa equation kwa kikundi, kisha utumie mkakati wa hatua tano wa kujitenga kwa vigezo.
- Jibu
-
y=2+Cex2+3x
Kutumia njia ya kujitenga kwa vigezo, tatua tatizo la thamani ya awali
y′=(2x+3)(y2−4),y(0)=−1.
Suluhisho
Fuata njia ya hatua tano ya kujitenga kwa vigezo.
1. Katika mfano huu,f(x)=2x+3 nag(y)=y2−4. Kuwekag(y)=0 hutoay=±2 kama ufumbuzi wa mara kwa mara.
2. Gawanya pande zote mbili za equationy2−4 na kuzidisha nadx. Hii inatoa equation
dyy2−4=(2x+3)dx.
3. Ifuatayo kuunganisha pande zote mbili:
∫1y2−4dy=∫(2x+3)dx.
Ili kutathmini upande wa kushoto, tumia njia ya uharibifu wa sehemu ya sehemu. Hii inasababisha utambulisho
1y2−4=14(1y−2−1y+2).
Kisha Equation\ ref {Ex2.2} inakuwa
14∫(1y−2−1y+2)dy=∫(2x+3)dx
14(ln|y−2|−ln|y+2|)=x2+3x+C.
Kuzidisha pande zote mbili za equation hii na4 na kuchukua nafasi4C naC1 anatoa
ln|y−2|−ln|y+2|=4x2+12x+C1
ln|y−2y+2|=4x2+12x+C1.
4. Inawezekana kutatua equation hii kway. Kwanza exponentiate pande zote mbili za equation na kufafanuaC2=eC1:
|y−2y+2|=C2e4x2+12x.
Halafu tunaweza kuondoa thamani kamili na kuruhusu mara kwa mara mpyaC3 kuwa chanya, hasi, au sifuri, yaani,C3=±C2 auC3=0.
Kisha kuzidisha pande zote mbili nay+2.
y−2=C3(y+2)e4x2+12x
y−2=C3ye4x2+12x+2C3e4x2+12x.
Sasa kukusanya masharti yote kuwashirikishay upande mmoja wa equation, na kutatua kway:
y−C3ye4x2+12x=2+2C3e4x2+12x
y(1−C3e4x2+12x)=2+2C3e4x2+12x
y=2+2C3e4x2+12x1−C3e4x2+12x.
5. Kuamua thamani yaC3, mbadalax=0 nay=−1 katika suluhisho la jumla. Vinginevyo, tunaweza kuweka maadili sawa katika equation mapema, yaani equationy−2y+2=C3e4x2+12. Hii ni rahisi sana kutatua kwaC3:
y−2y+2=C3e4x2+12x
−1−2−1+2=C3e4(0)2+12(0)
C3=−3.
Kwa hiyo, suluhisho la tatizo la thamani ya awali ni
y=2−6e4x2+12x1+3e4x2+12x.
Grafu ya suluhisho hili inaonekana kwenye Kielelezo8.3.1.
![Grafu ya suluhisho juu ya [-5, 3] kwa x na [-3, 2] kwa y Inaanza kama mstari wa usawa katika y = -2 kutoka x = -5 hadi kabla ya -3, karibu mara moja hatua hadi y = 2 kutoka tu baada ya x = -3 hadi kabla x = 0, na karibu mara moja kurudi chini y = -2 tu baada ya x = 0 hadi x = 3.](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/7854/imageedit_2_3087334010.png)
Pata suluhisho la tatizo la thamani ya awali
6y′=(2x+1)(y2−2y−8)
kway(0)=−3 kutumia njia ya kujitenga kwa vigezo.
- Kidokezo
-
Fuata hatua za kujitenga kwa vigezo ili kutatua tatizo la thamani ya awali.
- Jibu
-
y=4+14ex2+x1−7ex2+x
Matumizi ya Kugawanyika kwa Vigezo
Matatizo mengi ya kuvutia yanaweza kuelezewa na equations inayoweza kutenganishwa. Tunaonyesha aina mbili za matatizo: viwango vya ufumbuzi na sheria ya Newton ya baridi.
Suluhisho viwango
Fikiria tank kujazwa na suluhisho la chumvi. Tungependa kuamua kiasi cha chumvi kilichopo kwenye tangi kama kazi ya muda. Tunaweza kutumia mchakato wa kujitenga kwa vigezo kutatua tatizo hili na matatizo kama hayo yanayohusisha viwango vya ufumbuzi.
Tangi iliyo na100 L ya suluhisho la brine awali ina4 kilo cha chumvi kilichopasuka katika suluhisho. Kwa wakatit=0, suluhisho lingine la brine linaingia ndani ya tangi kwa kiwango cha2 L/min. Suluhisho hili la brine lina mkusanyiko wa0.5 kg/L ya chumvi. Wakati huo huo, stopcock inafunguliwa chini ya tank, kuruhusu suluhisho la pamoja linapita kwa kiwango cha2 L/min, ili kiwango cha kioevu katika tank kinabaki mara kwa mara (Kielelezo8.3.2). Kupata kiasi cha chumvi katika tank kama kazi ya muda (kipimo kwa dakika), na kupata kiasi kikubwa cha chumvi katika tank, kuchukua kwamba ufumbuzi katika tank ni vizuri mchanganyiko wakati wote.

Suluhisho
Kwanza tunafafanua kaziu(t) ambayo inawakilisha kiasi cha chumvi kwa kilo katika tangi kama kazi ya wakati. Kishadudt inawakilisha kiwango ambacho kiasi cha chumvi katika tangi kinabadilika kama kazi ya muda. Pia,u(0) inawakilisha kiasi cha chumvi katika tangi kwa wakatit=0, ambayo ni4 kilo.
Kuanzisha jumla kwa equation tofauti tutakayotatua ni ya fomu
dudt=INFLOW RATE − OUTFLOW RATE.
RATE YA UINGIZAJI inawakilisha kiwango ambacho chumvi huingia kwenye tangi, na OUTFLOW RATE inawakilisha kiwango ambacho chumvi huacha tank. Kwa sababu suluhisho huingia kwenye tangi kwa kiwango cha2 L/min, na lita moja ya suluhisho ina0.5 kilo cha chumvi, kila2(0.5)=1 kilo cha chumvi huingia kwenye tangi. Kwa hiyo uingiaji RATE =1.
Ili kuhesabu kiwango ambacho chumvi huacha tank, tunahitaji mkusanyiko wa chumvi kwenye tangi wakati wowote kwa wakati. Kwa kuwa kiasi halisi cha chumvi kinatofautiana kwa muda, ndivyo mkusanyiko wa chumvi. Hata hivyo, kiasi cha suluhisho kinaendelea kudumu kwa lita 100. Idadi ya kilo ya chumvi katika tangi kwa wakatit ni sawa nau(t). Hivyo, mkusanyiko wa chumvi niu(t)100 kg/L, na suluhisho linaacha tank kwa kiwango cha2 L/min. Kwa hiyo chumvi huacha tank kwa kiwango chau(t)100⋅2=u(t)50 kilo/min, na OUTFLOW RATE ni sawa nau(t)50. Kwa hiyo equation tofauti inakuwadudt=1−u50, na haliu(0)=4. ya awali ni. awali thamani tatizo kutatuliwa ni
dudt=1−u50,u(0)=4.
equation tofauti ni equation kujitenga, hivyo tunaweza kutumia mkakati wa hatua tano kwa ajili ya ufumbuzi.
Hatua ya 1. Kuweka1−u50=0 hutoau=50 kama suluhisho la mara kwa mara. Kwa kuwa kiasi cha awali cha chumvi katika tangi ni4 kilo, suluhisho hili halitumiki.
Hatua ya 2. Andika upya equation kama
dudt=50−u50.
Kisha kuzidisha pande zote mbilidt na kugawanya pande zote mbili50−u:
du50−u=dt50.
Hatua ya 3. Unganisha pande zote mbili:
∫du50−u=∫dt50−ln|50−u|=t50+C.
Hatua ya 4. Tatua kwau(t):
ln|50−u|=−t50−C
eln|50−u|=e−(t/50)−C
|50−u|=C1e−t/50, where C1=e−C.
Ondoa thamani kamili kwa kuruhusu mara kwa mara kuwa chanya, hasi, au sifuri, yaani,C1=±e−C auC1=0:
50−u=C1e−t/50.
Hatimaye, tatua kwau(t):
u(t)=50−C1e−t/50.
Hatua ya 5. Tatua kwaC1:
u(0)=50−C1e−0/504=50−C1C1=46.
Suluhisho la tatizo la thamani ya awali niu(t)=50−46e−t/50. Kupata kiasi kikubwa cha chumvi katika tangi, chukua kikomo kamat mbinu infinity:
limt→∞u(t)=50−46e−t/50=50−46(0)=50.
Kumbuka kwamba hii ilikuwa suluhisho la mara kwa mara kwa usawa tofauti. Ikiwa kiasi cha awali cha chumvi katika tangi ni50 kilo, basi inabakia mara kwa mara. Ikiwa huanza chini ya50 kilo, basi inakaribia50 kilo kwa muda.
Tangi ina3 kilo cha chumvi kilichopasuka katika75 lita za maji. Suluhisho la chumvi la chumvi la0.4 kilo/L hupigwa ndani ya tangi kwa kiwango cha6 L/min na hutolewa kwa kiwango sawa. Tatua kwa mkusanyiko wa chumvi kwa wakatit. Fikiria tank imechanganywa vizuri wakati wote.
- Kidokezo
-
Fuata hatua katika Mfano8.3.3 na ueleze kujieleza kwa uingizaji na OUTFLOW. Kuunda tatizo la thamani ya awali, na kisha uitatua.
Tatizo la thamani ya awali:
dudt=2.4−2u25,u(0)=3
- Jibu
-
u(t)=30−27e−t/50
Sheria ya Newton ya Baridi
Sheria ya Newton ya baridi inasema kwamba kiwango cha mabadiliko ya halijoto ya kitu ni sawia na tofauti kati ya halijoto lake mwenyewe na halijoto iliyoko (yaani, halijoto ya mazingira yake). Ikiwa tunaruhusuT(t) kuwakilisha joto la kitu kama kazi ya wakati, basidTdt inawakilisha kiwango ambacho joto hilo linabadilika. Joto la mazingira ya kitu linaweza kuwakilishwa naTs. Kisha sheria ya Newton ya baridi inaweza kuandikwa kwa fomu
dTdt=k(T(t)−Ts)
au tu
dTdt=k(T−Ts).
Joto la kitu mwanzoni mwa jaribio lolote ni thamani ya awali kwa tatizo la thamani ya awali. Tunaita joto hiliT0. Kwa hiyo, tatizo la thamani ya awali ambalo linahitaji kutatuliwa linachukua fomu
dTdt=k(T−Ts)
naT(0)=T0,k wapi mara kwa mara ambayo inahitaji kutolewa au kuamua katika mazingira ya tatizo. Tunatumia equations hizi katika Mfano8.3.4.
Pizza huondolewa kwenye tanuri baada ya kuoka vizuri, na joto la tanuri ni Joto350°F. la jikoni ni75°F, na baada ya5 dakika joto la pizza ni340°F. Tungependa kusubiri mpaka joto la pizza lifikia300°F kabla ya kukata na kuitumikia (Kielelezo\PageIndex{3}). Je! Tutahitaji kusubiri muda gani?

Suluhisho
Joto la kawaida (joto la jirani) ni75°F hivyoT_s=75. Joto la pizza linapotoka nje ya tanuri ni350°F, ambayo ni joto la awali (yaani, thamani ya awali), hivyoT_0=350. Kwa hiyo Equation\ ref {Newton} inakuwa
\dfrac{dT}{dt}=k(T−75) \nonumber
naT(0)=350.
Ili kutatua equation tofauti, tunatumia mbinu ya hatua tano ya kutatua equations inayoweza kutenganishwa.
1. Kuweka upande wa kulia sawa na sifuri hutoaT=75 kama suluhisho la mara kwa mara. Tangu pizza huanza saa350°F, hii sio suluhisho tunayotafuta.
2. Andika upya equation tofauti kwa kuzidisha pande zote mbilidt na kugawanya pande zote mbili kwaT−75:
\dfrac{dT}{T−75}=k\,dt. \nonumber
3. Unganisha pande zote mbili:
\begin{align*} ∫\dfrac{dT}{T−75} &=∫k\,dt \\ \ln|T−75| &=kt+C.\end{align*} \nonumber
4. TatuaT kwa kwanza kutafakari pande zote mbili:
\begin{align*}e^{\ln|T−75|} &=e^{kt+C} \\ |T−75| &=C_1e^{kt}, & & \text{where } C_1 = e^C. \\ T−75 &=\pm C_1e^{kt} \\ T−75 &=Ce^{kt}, & & \text{where } C = \pm C_1\text{ or } C = 0.\\ T(t) &=75+Ce^{kt}. \end{align*} \nonumber
5. TatuaC kwa kutumia hali ya awaliT(0)=350:
\begin{align*}T(t) &=75+Ce^{kt}\\ T(0) &=75+Ce^{k(0)} \\ 350 &=75+C \\ C &=275.\end{align*} \nonumber
Kwa hiyo, suluhisho la tatizo la thamani ya awali ni
T(t)=75+275e^{kt}.\nonumber
Kuamua thamani yak, tunahitaji kutumia ukweli kwamba baada ya5 dakika joto la pizza ni340°F. Kwa hiyoT(5)=340. Kubadilisha habari hii katika suluhisho la tatizo la thamani ya awali, tuna
T(t)=75+275e^{kt}\nonumber
T(5)=340=75+275e^{5k}\nonumber
265=275e^{5k}\nonumber
e^{5k}=\dfrac{53}{55}\nonumber
\ln e^{5k}=\ln(\dfrac{53}{55})\nonumber
5k=\ln(\dfrac{53}{55})\nonumber
k=\dfrac{1}{5}\ln(\dfrac{53}{55})≈−0.007408.\nonumber
Hivyo sasa tunaT(t)=75+275e^{−0.007048t}. wakati gani joto300°F? Kutatua kwat, tunapata
T(t)=75+275e^{−0.007048t}\nonumber
300=75+275e^{−0.007048t}\nonumber
225=275e^{−0.007048t}\nonumber
e^{−0.007048t}=\dfrac{9}{11}\nonumber
\ln e^{−0.007048t}=\ln\dfrac{9}{11}\nonumber
−0.007048t=\ln\dfrac{9}{11}\nonumber
t=−\dfrac{1}{0.007048}\ln\dfrac{9}{11}≈28.5.\nonumber
Kwa hiyo tunahitaji kusubiri23.5 dakika ya ziada (baada ya joto la pizza kufikiwa340°F). Hiyo inapaswa kuwa muda wa kutosha tu kumaliza hesabu hii.
Keki huondolewa kwenye tanuri baada ya kuoka vizuri, na joto la tanuri ni450°F. Joto la jikoni ni70°F, na baada ya10 dakika joto la keki ni430°F.
- Andika tatizo sahihi la thamani ya awali ili kuelezea hali hii.
- Tatua tatizo la thamani ya awali kwaT(t).
- Itachukua muda gani mpaka joto la keki liko ndani5°F ya joto la kawaida?
- Kidokezo
-
Kuamua maadili yaT_s naT_0 kisha kutumia Equation\ ref {Newton}.
- Jibu
-
Tatizo la thamani ya awali\dfrac{dT}{dt}=k(T−70),\quad T(0)=450\nonumber
- Jibu b
-
T(t)=70+380e^{kt}\nonumber
- Jibu c
-
Takriban114 dakika.
Dhana muhimu
- Equation tofauti tofauti ni equation yoyote ambayo inaweza kuandikwa kwa fomuy'=f(x)g(y).
- Njia ya kujitenga kwa vigezo hutumiwa kupata suluhisho la jumla kwa equation tofauti tofauti.
Mlinganyo muhimu
- Kutenganishwa tofauti equation
y′=f(x)g(y)
- Solution mkusanyiko
\dfrac{du}{dt}=\text{INFLOW RATE − OUTFLOW RATE}
- Sheria ya Newton ya baridi
\dfrac{dT}{dt}=k(T−T_s)
faharasa
- uhuru tofauti equation
- equation ambayo upande wa kulia ni kazi yay peke yake
- tofauti tofauti equation
- equation yoyote ambayo inaweza kuandikwa kwa fomuy'=f(x)g(y)
- kujitenga kwa vigezo
- njia inayotumiwa kutatua equation tofauti tofauti