8.2E: Mazoezi ya Sehemu ya 8.2

Last updated
Save as PDF

Page ID: 178788

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
OpenStax

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Kwa mazoezi 1 - 3, tumia uwanja wa mwelekeo hapa chini kutoka kwa usawa wa tofauti$ y'=−2y.$ Mchoro grafu ya suluhisho kwa hali zilizopewa awali.

$uwanja mwelekeo na mishale usawa akizungumzia haki katika 0. Mishale juu ya mhimili wa x inaelekeza chini na kulia. Zaidi ya mbali na mhimili wa x, mishale ya mwinuko ni, na karibu na mhimili wa x, flatter mishale ni. Vivyo hivyo, mishale chini ya mhimili x hatua juu na kulia. Zaidi ya mbali na mhimili wa x, mishale ya mwinuko ni, na karibu na mhimili wa x, flatter mishale ni.$

1)$ y(0)=1$

2)$ y(0)=0$

Jibu: 0. Karibu nao ni kwa mhimili wa x, mishale ya usawa ni zaidi, na zaidi ya mbali, wima zaidi huwa." style="width: 325px; height: 321px;" width="325px" height="321px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...08_02_203.jpeg">

3)$ y(0)=−1$

4) Je, kuna usawa wowote kati ya ufumbuzi wa usawa tofauti kutoka kwa mazoezi 1 - 3? Andika orodha ya usawa wowote pamoja na utulivu wao.

Jibu: $ y=0$ni usawa thabiti

Kwa mazoezi 5 - 7, tumia uwanja wa mwelekeo chini kutoka kwa usawa tofauti$ y'=y^2−2y$. Mchoro grafu ya suluhisho kwa hali ya awali iliyotolewa.

Shamba la mwelekeo na mishale ya usawa katika y = 0 na y = 2. Mishale inaelekeza kwa y 2 na kwa y <0. Mishale inaelekeza chini kwa 0

5)$ y(0)=3$

6)$ y(0)=1$

Jibu: 2 na kwa y <0. Mishale inaelekeza chini kwa 0

7)$ y(0)=−1$

8) Je, kuna usawa wowote kati ya ufumbuzi wa usawa tofauti kutoka kwa mazoezi 5 - 7? Andika orodha ya usawa wowote pamoja na utulivu wao.

Jibu: $ y=0$ni usawa thabiti na$ y=2$ ni imara

Katika mazoezi 9 - 13, futa uwanja wa mwelekeo kwa equations tofauti zifuatazo, kisha kutatua equation tofauti. Chora ufumbuzi wako juu ya uwanja wa mwelekeo. Je, suluhisho lako linafuata mishale kwenye uwanja wako wa uongozi?

9)$ y'=t^3$

10)$ y'=e^t$

Jibu: $uwanja mwelekeo juu ya quadrants nne. Kama t inakwenda kutoka 0 hadi infinity, mishale inakuwa zaidi na zaidi wima baada ya kuwa usawa karibu na x = 0.$

11)$ \dfrac{dy}{dx}=x^2\cos x$

12)$ \dfrac{dy}{dt}=te^t$

Jibu: $Shamba la mwelekeo juu ya [-2, 2] katika shoka za x na y. Mishale inaelekeza kidogo chini na kulia juu ya [-2, 0] na hatua kwa hatua kuwa wima juu ya [0, 2].$

13)$ \dfrac{dx}{dt}=\cosh(t)$

Katika mazoezi 14 - 18, futa shamba la uongozi kwa equations tofauti zifuatazo. Unaweza kusema nini kuhusu tabia ya suluhisho? Je, kuna usawa? Je, usawa huu una utulivu gani?

14)$ y'=y^2−1$

Jibu: Kuna kuonekana kuwa equlibria katika$y = -1$ (imara) na$y = 1$ (imara).
1. Mishale inaelekeza chini kwa -1

15)$ y'=y−x$

16)$ y'=1−y^2−x^2$

Jibu: Haionekani kuwa na usawa wowote.
$uwanja mwelekeo na mishale akizungumzia chini na haki kwa karibu wote pointi katika [-2, 2] juu ya x na y shoka. Karibu na asili, mishale inakuwa ya usawa zaidi, inaelezea juu ya kulia, kuwa zaidi ya usawa, na kisha uelekeze kwa haki tena.$

17)$ y'=t^2\sin y$

18)$ y'=3y+xy$

Jibu: Inaonekana kuwa na usawa usio na uhakika$y=0.$
-3, mishale inaelezea. Chini ya mhimili x na kwa x <-3, mishale inaelezea. Kwa x> -3, mishale inaelekeza chini. Zaidi ya mbali na mhimili x na x = -3, mishale inakuwa wima zaidi, na karibu wao kuwa, zaidi ya usawa wao kuwa." style="width: 405px; height: 344px;" width="405px" height="344px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...08_02_218.jpeg">

Mechi ya uwanja wa mwelekeo na equations tofauti iliyotolewa. Eleza uchaguzi wako.

$Shamba la mwelekeo na mishale inayoelezea chini na kulia katika quadrants mbili na tatu. Baada ya kuvuka mhimili y, mishale hubadilisha mwelekeo na kuelekeza hadi kulia.$ $Shamba la mwelekeo na mishale ya usawa inayoelezea upande wa kushoto katika quadrants mbili na tatu. Katika kuvuka mhimili y, mishale inabadilisha na kuelekeza juu katika quadrants moja na nne.$ $Shamba la mwelekeo na mishale ya usawa inayoelezea kulia kwenye mhimili wa x. Juu, mishale inaelekeza chini na kulia, na chini, mishale inaelekeza juu na kulia. Zaidi kutoka kwa mhimili wa x, mishale zaidi ya wima inakuwa.$ $Shamba la mwelekeo na mishale ya usawa kwenye axes x na y. Mishale inaelekeza chini na kulia katika quadrants moja na tatu. Wanasema juu na haki katika quadrants mbili na nne.$ $Shamba la mwelekeo na mishale inayoelekeza katika quadrants mbili na tatu, kwa haki juu ya mhimili y, na chini katika quadrants moja na nne.$

19)$ y'=−3y$

20)$ y'=−3t$

Jibu: $ E$

21)$ y'=e^t$

22)$ y'=\frac{1}{2}y+t$

Jibu: $ A$

23)$ y'=−ty$

Mechi ya uwanja wa mwelekeo na equations tofauti iliyotolewa. Eleza uchaguzi wako.

$Shamba la mwelekeo na mishale ya usawa inayoelezea haki juu ya x na y axes. Katika quadrants moja na tatu, mishale inaelezea, na katika quadrants mbili na nne, wao huweka chini.$ $Shamba la mwelekeo na mishale ya usawa inayoelezea haki juu ya x na y axes. Katika quadrants moja na tatu, mishale inaelekeza juu na kulia, na katika quadrants mbili na nne, mishale inaelekeza chini na kulia.$ $Shamba la mwelekeo na mishale ya usawa inayoelezea haki juu ya x na y axes. Katika quadrants mbili na tatu, mishale inaelekeza chini, na katika quadrants moja na nne, mishale inaelezea.$ $Shamba la mwelekeo na mishale ya usawa inayoelezea kulia kwenye mhimili wa x. Mishale inaelekeza juu na kulia katika quadrants zote. Mishale ya karibu ni kwa mhimili wa x, mishale ya usawa ni zaidi, na zaidi ya mbali, ni wima zaidi.$ 1.5 na x <0, kwa y <-1.5 na x <0, na kwa -1.5 < 1.5 and x > 0-, mishale inaelekeza. Kwa y> 1.5 na x> 0, kwa y <-1.5, kwa y < -1.5 and x > 0, na kwa -1.5 <1.5>

24)$ y'=t\sin y$

Jibu: $ B$

25)$ y'=−t\cos y$

26)$ y'=t\tan y$

Jibu: $ A$

27)$ y'=\sin^2y$

28)$ y'=y^2t^3$

Jibu: $ C$

Tathmini ufumbuzi wafuatayo kwa kutumia njia ya Euler na$ n=5$ hatua juu ya muda$ t=[0,1].$ Ikiwa una uwezo wa kutatua tatizo la thamani ya awali hasa, kulinganisha suluhisho lako na suluhisho halisi. Ikiwa huwezi kutatua tatizo la thamani ya awali, suluhisho halisi litatolewa kwako kulinganisha na njia ya Euler. Njia ya Euler ni sahihi gani?

29)$ y'=−3y,\quad y(0)=1$

30)$ y'=t^2,\quad y(0)=1$

Jibu: $ 2.24,$sahihi:$ 3$

Suluhisho:

31) Ufumbuzi$ y′=3t−y,\quad y(0)=1.$ halisi ni$ y=3t+4e^{−t}−3$

32) Ufumbuzi$ y′=y+t^2,\quad y(0)=3.$ halisi ni$ y=5e^t−2−t^2−2t$

Jibu: $ 7.739364,$sahihi:$ 5(e−1)$

33)$ y′=2t,\quad y(0)=0$

34) [T] Ufumbuzi$ y'=e^{x+y},y(0)=−1.$ halisi ni$ y=−\ln(e+1−e^x)$

Jibu: $ −0.2535,$sahihi:$ 0$

35) Suluhisho$ y′=y^2\ln(x+1),\quad y(0)=1.$ halisi ni$ y=−\dfrac{1}{(x+1)(\ln(x+1)−1)}$

36) Suluhisho$ y′=2^x,\quad y(0)=0.$ halisi ni$ y=\dfrac{2^x−1}{\ln 2}$

Jibu: $ 1.345,$sahihi:$ \frac{1}{\ln(2)}$

37) Ufumbuzi$ y′=y,\quad y(0)=−1.$ halisi ni$ y=−e^x$.

38) Ufumbuzi$ y′=−5t,\quad y(0)=−2.$ halisi ni$ y=−\frac{5}{2}t^2−2$

Jibu: $ −4,$sahihi:$ −1/2$

Ulinganisho tofauti unaweza kutumika kutengeneza magonjwa ya magonjwa. Katika seti ya pili ya matatizo, sisi kuchunguza mabadiliko ya ukubwa wa watu wawili ndogo ya watu wanaoishi katika mji: watu ambao wameambukizwa na watu binafsi ambao wanaathirika na maambukizi. $ S$inawakilisha ukubwa wa idadi ya watu wanaohusika, na$ I$ inawakilisha ukubwa wa idadi ya watu walioambukizwa. Tunadhani kwamba ikiwa mtu anayehusika anaingiliana na mtu aliyeambukizwa, kuna uwezekano$ c$ kwamba mtu anayehusika ataambukizwa. Kila mtu aliyeambukizwa hupona kutokana na maambukizi kwa kiwango$ r$ na huathiriwa tena. Tunazingatia kesi ya mafua, ambapo tunadhani kwamba hakuna mtu anayekufa kutokana na ugonjwa huo, kwa hiyo tunadhani kwamba ukubwa wa jumla wa idadi ya watu wawili ni idadi ya mara kwa mara,$ N$. Equations tofauti ambazo zinaonyesha ukubwa wa idadi ya watu ni

$ S'=rI−cSI$na$ I'=cSI−rI.$

Hapa$ c$ inawakilisha kiwango cha mawasiliano na$ r$ ni kiwango cha kurejesha.

39) Onyesha kwamba, kwa dhana yetu kwamba ukubwa wa idadi ya watu ni mara kwa mara$ (S+I=N),$ unaweza kupunguza mfumo kwa equation moja tofauti katika$ I:I'=c(N−I)I−rI.$

40) Kutokana vigezo ni$ c=0.5,N=5,$ na$ r=0.5$, kuteka kusababisha directional shamba.

Jibu: $Shamba la mwelekeo na mishale ya usawa inayoelezea haki kwenye mhimili x na saa y = 4. Mishale chini ya mhimili x na juu y = 4 kumweka chini na kulia. Mishale kati ya mhimili x na y = 4 inaweka juu na kulia.$

41) [T] Tumia programu ya computational au calculator kukokotoa suluhisho la tatizo la thamani ya awali$ y'=ty,y(0)=2$ kwa kutumia Method ya Euler na ukubwa wa hatua uliopewa$ h$. Kupata ufumbuzi katika$ t=1$. Kwa ladha, hapa ni “pseudo-code” ya jinsi ya kuandika programu ya kompyuta ili kufanya Njia ya Euler$ y'=f(t,y),y(0)=2:$

Unda kazi$ f(t,y)$

Eleza vigezo$ y(1)=y_0,t(0)=0,$ hatua ukubwa$ h$, na jumla ya idadi ya hatua,$ N$

Andika kitanzi kwa-kwa-:

$ k=1$kwa$ N$

$ fn=f(t(k),y(k))$

$ y(k+1)=y(k)+h*fn$

$ t(k+1)=t(k)+h$

42) Tatua tatizo la thamani ya awali kwa suluhisho halisi.

Jibu: $ y'=2e^{t^2/2}$

43) Chora shamba la uongozi

44)$ h=1$

Jibu: $ 2$

45) [T]$ h=10$

46) [T]$ h=100$

Jibu: $ 3.2756$

47) [T]$ h=1000$

48) [T] Tathmini ufumbuzi halisi katika$ t=1$. Fanya meza ya makosa kwa kosa la jamaa kati ya ufumbuzi wa njia ya Euler na suluhisho halisi. Hitilafu inabadilika kiasi gani? Je, unaweza kueleza?

Jibu

Suluhisho halisi: y =$ 2\sqrt{e}.$

Ukubwa wa Hatua	Hitilafu
$ h=1$	$ 0.3935$
$ h=10$	$ 0.06163$
$ h=100$	$ 0.006612$
$ h=10000$	$ 0.0006661$

Kwa mazoezi 49 - 53, fikiria tatizo$ y'=−2y,$ la thamani ya awali$y(0)=2.$

49) Onyesha kwamba$ y=2e^{−2x}$ hutatua tatizo hili la thamani ya awali.

50) Chora uwanja wa uongozi wa equation hii tofauti.

Jibu: $Sehemu ya mwelekeo kwa equation tofauti y' = -2y. Shamba la mwelekeo na mishale ya usawa inayoelezea haki kwenye mhimili wa x. Juu ya mhimili wa x, mishale inaelekeza chini na kulia. Chini ya mhimili wa x, mishale inaelezea juu na kulia. Mishale ya karibu ni kwa mhimili wa x, mishale ya usawa ni zaidi, na zaidi ya mbali ni kutoka kwa x-axis, mishale zaidi ya wima ni.$

51) [T] Kwa mkono au kwa calculator au kompyuta, takriban ufumbuzi kwa kutumia Method Euler katika$ t=10$ kutumia$ h=5$.

52) [T] Kwa calculator au kompyuta, takriban suluhisho kwa kutumia Method ya Euler kwa$ t=10$ kutumia$ h=100.$

Jibu: $ 4.0741e^{−10}$

53) [T] Plot jibu halisi na kila Euler makadirio (kwa$ h=5$ na$ h=100$) katika kila h kwenye uwanja directional. Unaona nini?

Ukubwa wa Hatua	Hitilafu
\( h=1\)	\( 0.3935\)
\( h=10\)	\( 0.06163\)
\( h=100\)	\( 0.006612\)
\( h=10000\)	\( 0.0006661\)