6.2E: Mazoezi ya Sehemu ya 6.2

Last updated
Save as PDF

Page ID: 178303

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
OpenStax

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

1) Pata formula kwa kiasi cha nyanja kwa kutumia njia ya slicing.

2) Tumia njia ya slicing kupata formula kwa kiasi cha koni.

3) Tumia njia ya slicing kupata formula kwa kiasi cha tetrahedron na urefu wa upande$a.$

4) Tumia njia ya disk ili kupata formula kwa kiasi cha silinda ya trapezoidal.

5) Eleza wakati ungependa kutumia njia ya disk dhidi ya njia ya washer. Je, wanabadilishana lini?

Kiasi kwa Slicing

Kwa mazoezi 6 - 10, futa kipande cha kawaida na kupata kiasi kwa kutumia njia ya slicing kwa kiasi kilichopewa.

6) piramidi na urefu 6 vitengo na msingi mraba wa upande 2 vitengo, kama picha hapa.

$Takwimu hii ni piramidi yenye upana wa msingi wa 2 na urefu wa vitengo 6.$

Suluhisho:: Hapa sehemu za msalaba ni mraba zilizochukuliwa perpendicular kwa$y$ -axis.
Tunatumia sehemu ya msalaba wa wima ya piramidi kupitia kituo chake ili kupata usawa unaohusiana$x$ na$y$.
Hapa hii itakuwa equation,$ y = 6 - 6x $. Kwa kuwa tunahitaji vipimo ya mraba katika kila$y$ ngazi ya, sisi kutatua equation hii$x$ kwa kupata,$x = 1 - \tfrac{y}{6}$.
Hii ni umbali wa nusu katika sehemu ya msalaba mraba katika$y$ ngazi ya, hivyo urefu wa upande wa sehemu ya msalaba mraba ni,$s = 2\left(1 - \tfrac{y}{6}\right).$
Hivyo, tuna eneo la sehemu ya msalaba ni,

$A(y) = \left[2\left(1 - \tfrac{y}{6}\right)\right]^2 = 4\left(1 - \tfrac{y}{6}\right)^2.$

\ (\ kuanza {align*}\ maandishi {Kisha},\ quad V &=\ int_0 ^ 6 4\ kushoto (1 -\ tfrac {y} {6}\ haki) ^2\, dy\\ [5pt]
&= -24\ int_1 ^ 0 u ^ 2\, du,\ quad\ maandishi {wapi}\, u = 1 -\ tfrac {y} {6},\,\ maandishi {hivyo}\, du = -\ tfrac {1} {6}\, dy,\ quad\ ina maana\ quad -6\, du = dy\\ [5pt]
&= 24\ int_0 ^ 1 u ^ 2\, du = 24\ dfrac {u ^ 3} {3}\ kubwa|_0 ^ 1\\ [5pt]
&= 8u ^ 3\ big|_0 ^ 1\\ [5pt]
&= 8\ kushoto (1^3 - 0 ^ 3\ haki)\ quad =\ quad 8\,\ maandishi {vitengo} ^3\ mwisho {align*}\)

7) Piramidi yenye urefu wa vitengo 4 na msingi wa mstatili na vitengo vya urefu 2 na upana vitengo 3, kama ilivyoonyeshwa hapa.

$Takwimu hii ni piramidi yenye upana wa msingi wa 2, urefu wa 3, na urefu wa vitengo 4.$

8) Tetrahedron yenye upande wa msingi wa vitengo 4, kama inavyoonekana hapa.

$Takwimu hii ni pembetatu ya equilateral na urefu wa upande wa vitengo 4.$

Jibu: $V = \frac{32}{3\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{3}$vitengo ³

9) Piramidi yenye urefu wa vitengo 5, na msingi wa triangular wa isosceles na urefu wa vitengo 6 na vitengo 8, kama inavyoonekana hapa.

$Takwimu hii ni piramidi yenye msingi wa triangular. Mtazamo ni wa msingi. Pande za pembetatu hupima vitengo 6, vitengo 8, na vitengo 8. Urefu wa piramidi ni vitengo 5.$

10) koni ya radius$ r$ na urefu$ h$ ina koni ndogo ya radius$ r/2$ na urefu$ h/2$ kuondolewa kutoka juu, kama inavyoonekana hapa. Mango inayoitwa huitwa frustum.

$Takwimu hii ni grafu ya 3-dimensional ya koni ya chini. Koni iko ndani ya mche wa mstatili unaowakilisha mfumo wa kuratibu wa xyz. radius ya chini ya koni ni “r” na radius ya juu ya koni inaitwa “r/2".$

Jibu: $V = \frac{7\pi}{12} hr^2$vitengo ³

Kwa mazoezi 11 - 16, futa muhtasari wa imara na kupata kiasi kwa kutumia njia ya slicing.

11) Msingi ni mduara wa radius$ a$. Slices perpendicular kwa msingi ni mraba.

12) Msingi ni pembetatu na vipeo$ (0,0),(1,0),$ na$ (0,1)$. Slices perpendicular kwa$xy$ -ndege ni semicircles.

Jibu

$Takwimu hii inaonyesha mhimili wa x na mhimili wa y na mstari unaoanzia kwenye mhimili wa x saa (1,0) na kuishia kwenye mhimili wa y saa (0,1). Perpendicular kwa xy-ndege ni 4 kivuli nusu duru na kipenyo yao kuanzia x-axis na kuishia kwenye mstari, kupungua kwa ukubwa mbali na asili.$

$\displaystyle V = \int_0^1 \frac{\pi(1-x)^2}{8}\, dx \quad = \quad \frac{π}{24}$vitengo ³

13) Msingi ni kanda chini ya parabola$ y=1−x^2$ katika quadrant ya kwanza. Slices perpendicular kwa$xy$ -ndege ni mraba.

14) Msingi ni kanda chini ya parabola$ y=1−x^2$ na juu ya $x$-axis. Slices perpendicular kwa $y$-axis ni mraba.

Jibu

$Takwimu hii inaonyesha x-axis na y-mhimili katika mtazamo wa 3-dimensional. Katika grafu juu ya x-axis ni parabola, ambayo ina vertex yake katika y=1 na x-intercepts katika (-1,0) na (1,0). Kuna mikoa 3 ya mraba yenye kivuli perpendicular kwa ndege ya x y, ambayo hugusa parabola upande wowote, kupungua kwa ukubwa mbali na asili.$

$\displaystyle V = \int_0^1 4(1 - y)\,dy \quad = \quad 2$vitengo ³

15) Msingi ni kanda iliyofungwa$ y=x^2)$ na$ y=9.$ Slices perpendicular kwa$x$ -axis ni pembetatu ya isosceles sahihi.

16) Msingi ni eneo kati$ y=x$ na$ y=x^2$. Slices perpendicular kwa$x$ -axis ni semicircles.

Jibu

$Takwimu hii ni grafu yenye mshazari wa x na y ili kuonyesha mtazamo wa 3-dimensional. Katika roboduara ya kwanza ya grafu ni curves y = x, mstari, na y = x ^ 2, parabola. Wao intersect katika asili na katika (1,1). Mikoa kadhaa ya kivuli yenye umbo la semicircular ni perpendicular kwa ndege x y, ambayo huenda kutoka parabola hadi mstari na perpendicular kwa mstari.$

$\displaystyle V = \int_0^1 \frac{\pi}{8}\left( x - x^2 \right)^2 \, dx \quad=\quad \frac{π}{240}$vitengo ³

Njia ya Disk na Washer

Kwa mazoezi 17 - 24, futa kanda iliyofungwa na curves. Kisha, tumia njia ya disk au washer ili kupata kiasi wakati eneo limezungushwa karibu na$x$ -axis.

17)$ x+y=8,\quad x=0$, na$ y=0$

18)$ y=2x^2,\quad x=0,\quad x=4,$ na$ y=0$

Jibu

$Takwimu hii ni grafu katika quadrant ya kwanza. Ni eneo la kivuli lililofungwa hapo juu na safu y = 2x^2, chini na x-axis, na kulia kwa mstari wa wima x=4.$

$\displaystyle V = \int_0^4 4\pi x^4\, dx \quad=\quad \frac{4096π}{5}$vitengo ³

19)$ y=e^x+1,\quad x=0,\quad x=1,$ na$ y=0$

20)$ y=x^4,\quad x=0$, na$ y=1$

Jibu

$Takwimu hii ni grafu katika quadrant ya kwanza. Ni eneo la kivuli lililofungwa hapo juu na mstari y = 1, chini na safu y=x ^ 4, na upande wa kushoto na mhimili y.$

$\displaystyle V = \int_0^1 \pi\left( 1^2 - \left( x^4\right)^2\right)\, dx = \int_0^1 \pi\left( 1 - x^8\right)\, dx \quad = \quad \frac{8π}{9}$vitengo ³

21)$ y=\sqrt{x},\quad x=0,\quad x=4,$ na$ y=0$

22)$ y=\sin x,\quad y=\cos x,$ na$ x=0$

Jibu

$Takwimu hii ni eneo la kivuli lililofungwa hapo juu na curve y = cos (x), chini upande wa kushoto na y mhimili na chini kwenda kulia na y=sin (x). Eneo la kivuli liko katika roboduara ya kwanza.$

$\displaystyle V = \int_0^{\pi/4} \pi \left( \cos^2 x - \sin^2 x\right) \, dx = \int_0^{\pi/4} \pi \cos 2x \, dx \quad=\quad \frac{π}{2}$vitengo ³

23)$ y=\dfrac{1}{x},\quad x=2$, na$ y=3$

24)$ x^2−y^2=9$$ x+y=9,\quad y=0$ na$ x=0$

Jibu

$Takwimu hii ni grafu katika quadrant ya kwanza. Ni eneo la kivuli lililofungwa hapo juu na mstari x + y = 9, chini na x-axis, upande wa kushoto na mhimili wa y, na upande wa kushoto na Curve x ^ 2-y ^ 2=9.$

$V = 207π$vitengo ³

Kwa mazoezi 25 - 32, futa kanda iliyofungwa na curves. Kisha, tafuta kiasi wakati eneo limezungushwa karibu na$y$ -axis.

25)$ y=4−\dfrac{1}{2}x,\quad x=0,$ na$ y=0$

26)$ y=2x^3,\quad x=0,\quad x=1,$ na$ y=0$

Jibu

$Takwimu hii ni grafu katika quadrant ya kwanza. Ni kanda kivuli imepakana juu na Curve y = 2x^3, chini na x-axis, na kulia kwa mstari x = 1.$

$V = \frac{4π}{5}$vitengo ³

27)$ y=3x^2,\quad x=0,$ na$ y=3$

28)$ y=\sqrt{4−x^2},\quad y=0,$ na$ x=0$

Jibu

$Takwimu hii ni grafu katika quadrant ya kwanza. Ni robo ya mduara na kituo cha asili na radius ya 2. Ni kivuli ndani.$

$V = \frac{16π}{3}$vitengo ³

29)$ y=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}},\quad x=0$, na$ x=3$

30)$ x=\sec(y)$$ y=\dfrac{π}{4},\quad y=0$ na$ x=0$

Jibu

$Takwimu hii ni grafu katika quadrant ya kwanza. Ni eneo la kivuli lililofungwa hapo juu na mstari y = pi/4, upande wa kulia kwa pembe x=sec (y), chini na x-axis, na upande wa kushoto na mhimili y.$

$V = π$vitengo ³

31)$ y=\dfrac{1}{x+1},\quad x=0$, na$ x=2$

32)$ y=4−x,\quad y=x,$ na$ x=0$

Jibu

$Takwimu hii ni grafu katika quadrant ya kwanza. Ni pembetatu yenye kivuli iliyofungwa juu na mstari y = 4-x, chini na mstari y =x, na upande wa kushoto na mhimili y.$

$V = \frac{16π}{3}$vitengo ³

Kwa mazoezi 33 - 40, futa kanda iliyofungwa na curves. Kisha, tafuta kiasi wakati eneo limezungushwa karibu na$x$ -axis.

33)$ y=x+2,\quad y=x+6,\quad x=0$, na$ x=5$

34)$ y=x^2$ na$ y=x+2$

Jibu

$Takwimu hii ni grafu juu ya x-axis. Ni eneo la kivuli lililofungwa hapo juu na mstari y=x+2, na chini kwa parabola y=x ^ 2.$

$V = \frac{72π}{5}$vitengo ³

35)$ x^2=y^3$ na$ x^3=y^2$

36)$ y=4−x^2$ na$ y=2−x$

Jibu

$Takwimu hii ni eneo la kivuli lililofungwa hapo juu na safu y = 4-x ^ 2 na chini kwa mstari y = 2-x.$

$V = \frac{108π}{5}$vitengo ³

37) [T]$ y=\cos x,\quad y=e^{−x},\quad x=0$, na$ x=1.2927$

38)$ y=\sqrt{x}$ na$ y=x^2$

Jibu

$Takwimu hii ni grafu katika quadrant ya kwanza. Ni eneo la kivuli lililofungwa hapo juu na curve y = squareroot (x), chini na Curve y=x ^ 2.$

$V = \frac{3π}{10}$vitengo ³

39)$ y=\sin x,\quad y=5\sin x,\quad x=0$ na$ x=π$

40)$ y=\sqrt{1+x^2}$ na$ y=\sqrt{4−x^2}$

Jibu

$Takwimu hii ni eneo la kivuli lililofungwa hapo juu na safu y = squareroot (4-x ^ 2) na, chini na Curve y = squareroot (1+x ^ 2).$

$V = 2\sqrt{6}π$vitengo ³

Kwa mazoezi 41 - 45, futa kanda iliyofungwa na curves. Kisha, tumia njia ya washer ili kupata kiasi wakati kanda inazunguka$y$ -axis.

41)$ y=\sqrt{x},\quad x=4$, na$ y=0$

42)$ y=x+2,\quad y=2x−1$, na$ x=0$

Jibu

$Takwimu hii ni grafu katika quadrant ya kwanza. Ni eneo la kivuli lililofungwa hapo juu na mstari y=x+2, chini na mstari y = 2x-1, na upande wa kushoto na y-axis.$

$V = 9π$vitengo ³

43)$ y=\dfrac{3}{x}$ na$ y=x^3$

44)$ x=e^{2y},\quad x=y^2,\quad y=0$, na$ y=\ln(2)$

Jibu

$Takwimu hii ni grafu katika quadrant ya kwanza. Ni eneo la kivuli lililofungwa hapo juu na curve y = ln (2), chini na x-axis, upande wa kushoto na Curve x=y ^ 2, na kulia kwa Curve x=e ^ (2y).$

$V = \dfrac{π}{20}(75−4\ln^5(2))$vitengo ³

45)$ x=\sqrt{9−y^2},\quad x=e^{−y},\quad y=0$, na$ y=3$

46) Vyombo vya mtindi vinaweza kuumbwa kama frustums. Mzunguko mstari$ y=\left(\frac{1}{m}\right)x$ kuzunguka$y$ -axis kupata kiasi kati$ y=a$ na$ y=b$.

$Takwimu hii ina sehemu mbili. Sehemu ya kwanza ni koni imara. Msingi wa koni ni pana kuliko juu. Inaonyeshwa katika sanduku la 3-dimensional. Chini ya koni ni picha ya chombo cha mtindi na sura sawa na takwimu.$

Jibu: $V = \dfrac{m^2π}{3}(b^3−a^3)$vitengo ³

47) Mzunguko duaradufu$ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ kuzunguka$x$ -axis ili takriban kiasi cha soka, kama inavyoonekana hapa.

$Takwimu hii ina mviringo ambayo ni takriban sawa na picha ya mpira wa miguu.$

48) Mzunguko duaradufu$ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ kuzunguka$y$ -axis ili takriban kiasi cha soka.

Jibu: $V = \frac{4a^2bπ}{3}$vitengo ³

49) makadirio bora ya kiasi cha mpira wa miguu hutolewa na imara inayotokana na kupokezana$ y=\sin x) around the \(x$ -mhimili kutoka$ x=0$ kwa$ x=π$. ni kiasi cha makadirio hii ya mpira wa miguu nini, kama inavyoonekana hapa?

$Takwimu hii ina sura ya mviringo ya 3-dimensional. Ni ndani ya sanduku sambamba na mhimili x kwenye makali ya chini mbele ya sanduku. Mhimili wa y ni wima kwa imara.$

Kwa mazoezi 51 - 56, pata kiasi cha imara iliyoelezwa.

51) Msingi ni kanda kati$ y=x$ na$ y=x^2$. Slices perpendicular kwa$x$ -axis ni semicircles.

52) Msingi ni kanda iliyofungwa na ellipse ya generic$ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1.$ Slices perpendicular kwa$x$ -axis ni semicircles.

Jibu: $V = \frac{2ab^2π}{3}$vitengo ³

53) Kuzaa shimo la Radius chini mhimili wa koni$a$ haki na kwa njia ya msingi wa Radius$b$, kama inavyoonekana hapa.

$Takwimu hii ni koni ya chini. Ina radius ya juu kama “b”, kituo cha “a”, na urefu kama “b”.$

54) Pata kiasi cha kawaida kwa nyanja mbili za radius$r$ na vituo vilivyo$2h$ mbali, kama inavyoonekana hapa.

$Takwimu hii ina miduara miwili inayoingiliana. Miduara yote ina radius “r”. Kuna sehemu ya mstari kutoka kituo kimoja hadi kingine. Katikati ya makutano ya miduara ni uhakika “h”. Ni juu ya sehemu ya mstari.$

Jibu: $V = \frac{π}{12}(r+h)^2(6r−h)$vitengo ³

55) Pata kiasi cha cap ya spherical ya urefu$h$ na radius$r$ ambapo$h<r$, kama inavyoonekana hapa.

$Takwimu hii ni sehemu ya nyanja. Kofia hii ya spherical ina radius “r” na urefu “h”.$

56) Pata kiasi cha nyanja ya radius$R$ yenye kichwa cha urefu$h$ kilichoondolewa kutoka juu, kama inavyoonekana hapa.

$Takwimu hii ni nyanja yenye sehemu ya juu imeondolewa. Radi ya nyanja ni “R”. Umbali kutoka katikati hadi sehemu ya juu imeondolewa ni “r-h”.$

Jibu: $V = \dfrac{π}{3}(h+R)(h−2R)^2$vitengo ³

Wachangiaji

Template:ContribOpenStaxCalc