10.5E: Exercícios

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

A prática leva à perfeição

Reconhecer o gráfico de uma equação quadrática em duas variáveis

Nos exercícios a seguir, faça um gráfico:

Exemplo$\PageIndex{37}$

$y=x^2+3$

Resposta: $Esta figura mostra uma parábola de abertura ascendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do avião vai de -10 a 10. O eixo y do plano vai de -10 a 10. A parábola tem um vértice em (0, 3) e passa pelo ponto (1, 4).$

Exemplo$\PageIndex{38}$:

$y=−x^2+1$

Nos exercícios a seguir, determine se a parábola se abre para cima ou para baixo.

Exemplo$\PageIndex{39}$

$y=−2x^2−6x−7$

Resposta: para baixo

Exemplo$\PageIndex{40}$:

$y=6x^2+2x+3$

Exemplo$\PageIndex{41}$

y=4x^2+x−4

Resposta: Para cima

Exemplo$\PageIndex{42}$:

$y=−9x^2−24x−16$

Encontre o eixo de simetria e o vértice de uma parábola

Nos exercícios a seguir, encontre ⓐ o eixo de simetria e ⓑ o vértice.

Exemplo$\PageIndex{43}$

$y=x^2+8x−1$

Resposta: ⓐ x=−4 ⓑ (−4, −17)

Exemplo$\PageIndex{44}$:

$y=x^2+10x+25$

Exemplo$\PageIndex{45}$

$y=−x^2+2x+5$

Responda: ⓐ x=1 ⓑ (1,6)

Exemplo$\PageIndex{46}$:

$y=−2x^2−8x−3$

Encontre as interceptações de uma parábola

Nos exercícios a seguir, encontre as interceptações x e y.

Exemplo$\PageIndex{47}$

$y=x^2+7x+6$

Responda: y: (0,6); x: (−1,0), (−6,0)

Exemplo$\PageIndex{48}$:

$y=x^2+10x−11$

Exemplo$\PageIndex{49}$

$y=−x^2+8x−19$

Responda: y: (0, −19); x:nenhum

Exemplo$\PageIndex{50}$:

$y=x^2+6x+13$

Exemplo$\PageIndex{51}$

$y=4x^2−20x+25$

Responda: y: (0,25); x: (5,20)

Exemplo$\PageIndex{52}$:

$y=−x^2−14x−49$

Representar graficamente equações quadráticas em duas variáveis

Nos exercícios a seguir, faça um gráfico usando interceptos, o vértice e o eixo de simetria.

Exemplo$\PageIndex{53}$

$y=x^2+6x+5$

Responda

y: (0,5); x: (−1,0), (−5,0);
eixo: x=−3; vértice :( −3, −4)

$Esta figura mostra uma parábola de abertura ascendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do avião vai de -10 a 10. O eixo y do plano vai de -10 a 10. A parábola tem pontos traçados no vértice (-3, -4) e nos interceptos (-5, 0), (-1, 0) e (0, 5). Também no gráfico há uma linha vertical tracejada representando o eixo de simetria. A linha passa pelo vértice em x é igual a -3.$

Exemplo$\PageIndex{54}$:

$y=x^2+4x−12$

Exemplo$\PageIndex{55}$

$y=x^2+4x+3$

Responda

y: (0,3); x: (−1,0), (−3,0);
eixo: x=−2; vértice :( −2, −1)

$Esta figura mostra uma parábola de abertura ascendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do avião vai de -10 a 10. O eixo y do plano vai de -10 a 10. A parábola tem pontos traçados no vértice (-2, -1) e nos interceptos (-1, 0), (-3, 0) e (0, 3). Também no gráfico há uma linha vertical tracejada representando o eixo de simetria. A linha passa pelo vértice em x é igual a -2.$

Exemplo$\PageIndex{56}$:

$y=x^2−6x+8$

Exemplo$\PageIndex{57}$

$y=9x^2+12x+4$

Responda

y: (0,4); x:$(−\frac{2}{3},0)$;
eixo:$(−\frac{2}{3}$; vértice:$(−\frac{2}{3},0)$

$Esta figura mostra uma parábola de abertura ascendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do plano vai de -5 a 5. O eixo y do plano vai de -5 a 5. A parábola tem pontos traçados no vértice (-2 terços, 0) e no intercepto (0, 4). Também no gráfico há uma linha vertical tracejada representando o eixo de simetria. A linha passa pelo vértice em x é igual a -2 terços.$

Exemplo$\PageIndex{58}$:

$y=−x^2+8x−16$

Exemplo$\PageIndex{59}$

$y=−x^2+2x−7$

Responda

y: (0, −7); x:nenhum;
eixo: x=1; vértice :( 1, −6)

$Esta figura mostra uma parábola de abertura descendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do avião vai de -10 a 10. O eixo y do avião vai de -15 a 5. A parábola tem pontos traçados no vértice (1, -6) e no intercepto (0, -7). Também no gráfico há uma linha vertical tracejada representando o eixo de simetria. A linha passa pelo vértice em x igual a 1.$

Exemplo$\PageIndex{60}$:

$y=5x^2+2$

Exemplo$\PageIndex{61}$

$y=2x^2−4x+1$

Responda: y: (0,1); x: (1,7,0), (0,3,0);
eixo: x=1; vértice :( 1, −1)
$Esta figura mostra uma parábola de abertura ascendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do avião vai de -10 a 10. O eixo y do plano vai de -10 a 10. A parábola tem pontos traçados no vértice (1, -1) e nos interceptos (1,7, 0), (0,3, 0) e (0, 1). Também no gráfico há uma linha vertical tracejada representando o eixo de simetria. A linha passa pelo vértice em x igual a 1.$

Exemplo$\PageIndex{62}$:

$y=−4x^2−6x−2$

Exemplo$\PageIndex{63}$

$y=−x^2−4x+2$

Responda

y: (0,2); x: (−4,4,0), (0,4,0);
eixo: x=−2; vértice :( −2,6)

$Esta figura mostra uma parábola de abertura descendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do avião vai de -10 a 10. O eixo y do plano vai de -10 a 10. A parábola tem pontos traçados no vértice (-2, 6) e nos interceptos (-4,4, 0), (0,4, 0) e (0, 2). Também no gráfico há uma linha vertical tracejada representando o eixo de simetria. A linha passa pelo vértice em x é igual a -2.$

Exemplo$\PageIndex{64}$:

$y=x^2+6x+8$

Exemplo$\PageIndex{65}$

$y=5x^2−10x+8$

Responda

y: (0,8); x:nenhum;
eixo: x=1; vértice :( 1,3)

$Esta figura mostra uma parábola de abertura ascendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do avião vai de -10 a 10. O eixo y do plano vai de -10 a 10. A parábola tem pontos traçados no vértice (1, 3) e no intercepto (0, 8). Também no gráfico há uma linha vertical tracejada representando o eixo de simetria. A linha passa pelo vértice em x igual a 1.$

Exemplo$\PageIndex{66}$:

$y=−16x^2+24x−9$

Exemplo$\PageIndex{67}$

$y=3x^2+18x+20$

Responda

y: (0,20); x: (−4,5,0), (−1,5,0)
eixo: x=−3; vértice :( −3, −7)

$Esta figura mostra uma parábola de abertura ascendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do avião vai de -10 a 10. O eixo y do plano vai de -10 a 10. A parábola tem pontos traçados no vértice (-3, -7) e nos interceptos (-4,5, 0) e (-1,5, 0). Também no gráfico há uma linha vertical tracejada representando o eixo de simetria. A linha passa pelo vértice em x é igual a -3.$

Exemplo$\PageIndex{68}$:

$y=−2x^2+8x−10$

Resolva aplicações máximas e mínimas

Nos exercícios a seguir, encontre o valor máximo ou mínimo.

Exemplo$\PageIndex{69}$

$y=2x^2+x−1$

Responda: O valor mínimo é$−\frac{9}{8}$ quando$x=−\frac{1}{4}$.

Exemplo$\PageIndex{70}$:

$y=−4x^2+12x−5$

Exemplo$\PageIndex{71}$

$y=x^2−6x+15$

Responda: O valor mínimo é 6 quando x=3.

Exemplo$\PageIndex{72}$:

$y=−x^2+4x−5$

Exemplo$\PageIndex{73}$

$y=−9x^2+16$

Responda: O valor máximo é 16 quando x=0.

Exemplo$\PageIndex{74}$:

$y=4x^2−49$

Nos exercícios a seguir, resolva. Arredonde as respostas para o décimo mais próximo.

Exemplo$\PageIndex{75}$

Uma flecha é disparada verticalmente para cima a partir de uma plataforma de 45 pés de altura a uma taxa de 168 pés/seg. Use a equação quadrática$h=−16t^2+168t+45$ para descobrir quanto tempo a seta levará para atingir sua altura máxima e, em seguida, encontre a altura máxima.

Responda: Em 5,3 s, a flecha alcançará a altura máxima de 486 pés.

Exemplo$\PageIndex{76}$:

Uma pedra é lançada verticalmente para cima a partir de uma plataforma com 20 pés de altura a uma taxa de 160 pés/seg. Use a equação quadrática$h=−16t^2+160t+20$ para descobrir quanto tempo a pedra levará para atingir sua altura máxima e, em seguida, encontre a altura máxima.

Exemplo$\PageIndex{77}$

O dono de uma loja de informática estima que, cobrando x dólares cada por um determinado computador, ele pode vender$40−x$ computadores toda semana. A equação quadrática$R=−x^2+40x$ é usada para encontrar a receita, R, recebida quando o preço de venda de um computador é x. Encontre o preço de venda que lhe dará a receita máxima e, em seguida, encontre o valor da receita máxima.

Responda: 20 computadores darão o máximo de $400 em recibo.

Exemplo$\PageIndex{78}$:

Um varejista que vende mochilas estima que, ao vendê-las por x dólares cada, ele poderá vender$100−x$ mochilas por mês. A equação quadrática$R=−x^2+100x$ é usada para encontrar o R recebido quando o preço de venda de uma mochila é x. Encontre o preço de venda que lhe dará a receita máxima e, em seguida, encontre o valor da receita máxima.

Exemplo$\PageIndex{79}$

Um fazendeiro vai cercar três lados de um curral próximo a um rio. Ele precisa maximizar a área do curral usando 240 pés de cerca. A equação quadrática A=x (240−2x) fornece a área do curral, A, para o comprimento, x, do curral ao longo do rio. Encontre o comprimento do curral ao longo do rio que fornecerá a área máxima e, em seguida, encontre a área máxima do curral.

Responda: O comprimento do lado ao longo do rio do curral é de 120 pés e a área máxima é de 7.200 pés quadrados.

Exemplo$\PageIndex{80}$:

Um veterinário está encerrando uma área retangular de corrida externa contra seu prédio para os cães que ele cuida. Ele precisa maximizar a área usando 100 pés de cerca. A equação quadrática$A=x(100−2x)$ fornece a área, A, da corrida do cão pelo comprimento, x, do prédio que margeará a corrida de cães. Encontre o comprimento do prédio que deve delimitar a corrida de cães para obter a área máxima e, em seguida, encontre a área máxima da corrida de cães.

Matemática cotidiana

Exemplo$\PageIndex{81}$

No conjunto anterior de exercícios, você trabalhou com a equação quadrática$R=−x^2+40x$ que modelou a receita recebida com a venda de computadores a um preço de x dólares. Você encontrou o preço de venda que daria a receita máxima e calculou a receita máxima. Agora você verá mais características desse modelo.
1. Faça um gráfico da equação$R=−x^2+40x$.

2. Encontre os valores dos interceptos x.

Responda

1.
$Esta figura mostra uma parábola de abertura descendente representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x do avião vai de -10 a 60. O eixo y do avião vai de -50 a 500. A parábola tem um vértice em (20, 400) e também passa pelos pontos (0, 0) e (40, 0).$

2. (0,0), (40,0)

Exemplo$\PageIndex{82}$:

no conjunto anterior de exercícios, você trabalhou com a equação quadrática$R=−x^2+100x$ que modelou a receita recebida com a venda de mochilas a um preço de x dólares. Você encontrou o preço de venda que daria a receita máxima e calculou a receita máxima. Agora você verá mais características desse modelo.

1. Faça um gráfico da equação$R=−x^2+100x$.

2. Encontre os valores dos interceptos x.

exercícios de escrita

Exemplo$\PageIndex{83}$

Para o modelo de receita em Exercício e Exercício, explique o que as interceptações x significam para o dono da loja de informática.

Responda: As respostas podem variar.

Exemplo$\PageIndex{84}$:

Para o modelo de receita em Exercício e Exercício, explique o que as interceptações x significam para o varejista de mochilas.

Verificação automática

a. Depois de concluir os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

$Essa tabela tem seis linhas e quatro colunas. A primeira linha é uma linha de cabeçalho e rotula cada coluna. A primeira coluna é chamada “Eu posso...”, a segunda “Confiantemente”, a terceira “Com alguma ajuda” e a última “Não, eu não entendo”. Na coluna “Eu posso...”, a segunda linha diz “resolver equações quadráticas usando a quadrática para reconhecer o gráfico de uma equação quadrática em duas variáveis”. A terceira linha diz “encontre o eixo de simetria e o vértice de uma parábola”. A quarta linha diz “encontre as interceptações de uma parábola”. A quinta linha diz “representar graficamente equações quadráticas em duas variáveis” e a última linha diz “resolver aplicações máximas e mínimas”. As colunas restantes estão em branco.$

b. O que essa lista de verificação lhe diz sobre o seu domínio desta seção? Quais etapas você tomará para melhorar?

A prática leva à perfeição

Exemplo\(\PageIndex{37}\)

Exemplo\(\PageIndex{38}\):

Exemplo\(\PageIndex{39}\)

Exemplo\(\PageIndex{40}\):

Exemplo\(\PageIndex{41}\)

Exemplo\(\PageIndex{42}\):

Exemplo\(\PageIndex{43}\)

Exemplo\(\PageIndex{44}\):

Exemplo\(\PageIndex{45}\)

Exemplo\(\PageIndex{46}\):

Exemplo\(\PageIndex{47}\)

Exemplo\(\PageIndex{48}\):

Exemplo\(\PageIndex{49}\)

Exemplo\(\PageIndex{50}\):

Exemplo\(\PageIndex{51}\)

Exemplo\(\PageIndex{52}\):

Exemplo\(\PageIndex{53}\)

Exemplo\(\PageIndex{54}\):

Exemplo\(\PageIndex{55}\)

Exemplo\(\PageIndex{56}\):

Exemplo\(\PageIndex{57}\)

Exemplo\(\PageIndex{58}\):

Exemplo\(\PageIndex{59}\)

Exemplo\(\PageIndex{60}\):

Exemplo\(\PageIndex{61}\)

Exemplo\(\PageIndex{62}\):

Exemplo\(\PageIndex{63}\)

Exemplo\(\PageIndex{64}\):

Exemplo\(\PageIndex{65}\)

Exemplo\(\PageIndex{66}\):

Exemplo\(\PageIndex{67}\)

Exemplo\(\PageIndex{68}\):

Exemplo\(\PageIndex{69}\)

Exemplo\(\PageIndex{70}\):

Exemplo\(\PageIndex{71}\)

Exemplo\(\PageIndex{72}\):

Exemplo\(\PageIndex{73}\)

Exemplo\(\PageIndex{74}\):

Exemplo\(\PageIndex{75}\)

Exemplo\(\PageIndex{76}\):

Exemplo\(\PageIndex{77}\)

Exemplo\(\PageIndex{78}\):

Exemplo\(\PageIndex{79}\)

Exemplo\(\PageIndex{80}\):

Matemática cotidiana

Exemplo\(\PageIndex{81}\)

Exemplo\(\PageIndex{82}\):

exercícios de escrita

Exemplo\(\PageIndex{83}\)

Exemplo\(\PageIndex{84}\):

Verificação automática