6.6: Dividir polinômios

Objetivos de

Ao final desta seção, você poderá:

• Divida um polinômio por um monômio
• Divida um polinômio por um binômio

Nota

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

1. Adicionar:$\dfrac{3}{d}+\dfrac{x}{d}$
   Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 1.7.1.
2. Simplifique:$\dfrac{30 x y^{3}}{5 x y}$
   se você perdeu esse problema, revise o Exercício 6.5.37.
3. Combine termos semelhantes:$8 a^{2}+12 a+1+3 a^{2}-5 a+4$
   se você perdeu esse problema, consulte o Exercício 1.3.37.

Divida um polinômio por um monômio

Na última seção, você aprendeu a dividir um monômio por um monômio. À medida que você continua desenvolvendo seu conhecimento sobre polinômios, o próximo procedimento é dividir um polinômio de dois ou mais termos por um monômio.

O método que usaremos para dividir um polinômio por um monômio é baseado nas propriedades da adição de frações. Então, começaremos com um exemplo para revisar a adição de frações.

$\begin{array}{ll}{\text { The sum, }} & {\dfrac{y}{5}+\dfrac{2}{5}} \\ {\text { simplifies to }} & {\dfrac{y+2}{5}}\end{array}$

Agora faremos isso ao contrário para dividir uma única fração em frações separadas.

Vamos declarar a propriedade de adição de frações aqui exatamente como você a aprendeu e ao contrário.

ADIÇÃO DE FRAÇÕES

Se a, b e c são números onde$c\neq 0$, então

$$\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c} \quad \text { and } \quad \dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}$$

Usamos a forma à esquerda para adicionar frações e usamos a forma à direita para dividir um polinômio por um monômio.

$\begin{array}{ll}{\text { For example, }} & {\dfrac{y+2}{5}} \\ {\text { can be written }} & {\dfrac{y}{5}+\dfrac{2}{5}}\end{array}$

Usamos essa forma de adição de frações para dividir polinômios por monômios.

DIVISÃO DE UM POLINÔMIO POR UM MONÔMIO

Para dividir um polinômio por um monômio, divida cada termo do polinômio pelo monômio.

Exercício$\PageIndex{1}$

Encontre o quociente:$\dfrac{7 y^{2}+21}{7}$

Resposta

$\begin{array}{ll} & \dfrac{7 y^{2}+21}{7}\\\text{Divide each term of the numerator by the denominator.} & \dfrac{7 y^{2}}{7}+\dfrac{21}{7} \\ \text {Simplify each fraction. } & y^{2}+3 \end{array}$

Exercício$\PageIndex{2}$

Encontre o quociente:$\dfrac{8 z^{2}+24}{4}$

Resposta

$2 z^{2}+6$

Exercício$\PageIndex{3}$

Encontre o quociente:$\dfrac{18 z^{2}-27}{9}$

Resposta

$2 z^{2}-3$

Lembre-se de que a divisão pode ser representada como uma fração. Quando você for solicitado a dividir um polinômio por um monômio e ele ainda não estiver na forma fracionária, escreva uma fração com o polinômio no numerador e o monômio no denominador.

Exercício$\PageIndex{4}$

Encontre o quociente:$\left(18 x^{3}-36 x^{2}\right) \div 6 x$

Resposta

$\begin{array}{ll} & \left(18 x^{3}-36 x^{2}\right) \div 6 x\\\text { Rewrite as a fraction. } & \dfrac{18 x^{3}-36 x^{2}}{6 x} \\ \text { Divide each term of the numerator by the denominator. }& \dfrac{18 x^{3}}{6 x}-\dfrac{36 x^{2}}{6 x}\\ \text { Simplify. } &3 x^{2}-6 x\end{array}$

Exercício$\PageIndex{5}$

Encontre o quociente:$\left(27 b^{3}-33 b^{2}\right) \div 3 b$

Resposta

$9 b^{2}-11 b$

Exercício$\PageIndex{6}$

Encontre o quociente:$\left(25 y^{3}-55 y^{2}\right) \div 5 y$

Resposta

$5 y^{2}-11 y$

Quando dividimos por um negativo, devemos ter muito cuidado com os sinais.

Exercício$\PageIndex{7}$

Encontre o quociente:$\dfrac{12 d^{2}-16 d}{-4}$

Resposta

$\begin{array}{ll} &\dfrac{12 d^{2}-16 d}{-4}\\ \text { Divide each term of the numerator by the denominator. }& \dfrac{18 x^{3}-36 x^{2}}{6 x} \\ \text { Simplify. Remember, subtracting a negative is like adding a positive! }& -3 d^{2}+4 d\end{array}$

Exercício$\PageIndex{8}$

Encontre o quociente:$\dfrac{25 y^{2}-15 y}{-5}$

Resposta

$-5 y^{2}+3 y$

Exercício$\PageIndex{9}$

Encontre o quociente:$\dfrac{42 b^{2}-18 b}{-6}$

Resposta

$-7 b^{2}+3 b$

Exercício$\PageIndex{10}$

Encontre o quociente:$\dfrac{105 y^{5}+75 y^{3}}{5 y^{2}}$

Resposta

$\begin{array}{ll} &\dfrac{105 y^{5}+75 y^{3}}{5 y^{2}}\\ \text { Separate the terms. }& \dfrac{105 y^{5}}{5 y^{2}}+\dfrac{75 y^{3}}{5 y^{2}}\\ \text { Simplify. }& 21 y^{3}+15 y\end{array}$

Exercício$\PageIndex{11}$

Encontre o quociente:$\dfrac{60 d^{7}+24 d^{5}}{4 d^{3}}$

Resposta

$15 d^{4}+6 d^{2}$

Exercício$\PageIndex{12}$

Encontre o quociente:$\dfrac{216 p^{7}-48 p^{5}}{6 p^{3}}$

Resposta

$36 p^{4}-8 p^{2}$

Exercício$\PageIndex{13}$

Encontre o quociente:$\left(15 x^{3} y-35 x y^{2}\right) \div(-5 x y)$

Resposta

$\begin{array}{ll} &\left(15 x^{3} y-35 x y^{2}\right) \div(-5 x y)\\ \text { Rewrite as a fraction. }& \dfrac{15 x^{3} y-35 x y^{2}}{-5 x y}\\\text { Separate the terms. Be careful with the signs! }& \dfrac{15 x^{3} y}{-5 x y}-\dfrac{35 x y^{2}}{-5 x y}\\ \text { Simplify. } & -3 x^{2}+7 y\end{array}$

Exercício$\PageIndex{14}$

Encontre o quociente:$\left(32 a^{2} b-16 a b^{2}\right) \div(-8 a b)$

Resposta

$-4 a+2 b$

Exercício$\PageIndex{15}$

Encontre o quociente:$\left(-48 a^{8} b^{4}-36 a^{6} b^{5}\right) \div\left(-6 a^{3} b^{3}\right)$

Resposta

$8 a^{5} b+6 a^{3} b^{2}$

Exercício$\PageIndex{13}$

Encontre o quociente:$\dfrac{36 x^{3} y^{2}+27 x^{2} y^{2}-9 x^{2} y^{3}}{9 x^{2} y}$

Resposta

$\begin{array}{ll} &\dfrac{36 x^{3} y^{2}+27 x^{2} y^{2}-9 x^{2} y^{3}}{9 x^{2} y}\\\text { Separate the terms. }& \dfrac{36 x^{3} y^{2}}{9 x^{2} y}+\dfrac{27 x^{2} y^{2}}{9 x^{2} y}-\dfrac{9 x^{2} y^{3}}{9 x^{2} y}\\ \text { Simplify. } & 4 x y+3 y-y^{2}\end{array}$

Exercício$\PageIndex{14}$

Encontre o quociente:$\dfrac{40 x^{3} y^{2}+24 x^{2} y^{2}-16 x^{2} y^{3}}{8 x^{2} y}$

Resposta

$5 x y+3 y-2 y^{2}$

Exercício$\PageIndex{15}$

Encontre o quociente:$\dfrac{35 a^{4} b^{2}+14 a^{4} b^{3}-42 a^{2} b^{4}}{7 a^{2} b^{2}}$

Resposta

$5 a^{2}+2 a^{2} b-6 b^{2}$

Exercício$\PageIndex{16}$

Encontre o quociente:$\dfrac{10 x^{2}+5 x-20}{5 x}$

Resposta

$\begin{array}{ll}&\dfrac{10 x^{2}+5 x-20}{5x}\\\text { Separate the terms. }& \dfrac{10 x^{2}}{5 x}+\dfrac{5 x}{5 x}-\dfrac{20}{5 x}\\ \text { Simplify. } &2 x+1-\dfrac{4}{x}\end{array}$

Exercício$\PageIndex{17}$

Encontre o quociente:$\dfrac{18 c^{2}+6 c-9}{6 c}$

Resposta

$3 c+1-\dfrac{3}{2 c}$

Exercício$\PageIndex{18}$

Encontre o quociente:$\dfrac{10 d^{2}-5 d-2}{5 d}$

Resposta

$2 d-1-\dfrac{2}{5 d}$

Divida um polinômio por um binômio

Para dividir um polinômio por um binômio, seguimos um procedimento muito semelhante à divisão longa de números. Então, vamos examinar cuidadosamente os passos que tomamos quando dividimos um número de 3 dígitos, 875, por um número de 2 dígitos, 25.

Nós escrevemos a divisão longa
Dividimos os dois primeiros dígitos, 87, por 25.
Multiplicamos 3 vezes 25 e escrevemos o produto abaixo de 87.
Agora subtraímos 75 de 87.
Em seguida, reduzimos o terceiro dígito do dividendo, 5.
Repita o processo, dividindo 25 em 125.

Verificamos a divisão multiplicando o quociente pelo divisor.

Se fizermos a divisão corretamente, o produto deve ser igual ao dividendo.

$$\begin{array}{l}{35 \cdot 25} \\ {875}\checkmark\end{array}$$

Agora vamos dividir um trinômio por um binômio. Ao ler o exemplo, observe como as etapas são semelhantes às do exemplo numérico acima.

Exercício$\PageIndex{19}$

Encontre o quociente:$\left(x^{2}+9 x+20\right) \div(x+5)$

Resposta

Escreva isso como um problema de divisão longa.
Certifique-se de que o dividendo esteja no formato padrão.
Divida x ^2 por x. Pode ser útil perguntar a si mesmo: “Por que preciso multiplicar x para obter x ^2?”
Coloque a resposta, x, no quociente sobre o termo x.
Multiplique x vezes x + 5. Alinhe os termos similares sob o dividendo.
Subtraia x ^2 + 5 x de x ^2 + 9 x.
Em seguida, reduza o último mandato, 20.
Divida 4 x por x. Pode ser útil perguntar a si mesmo: “Por que preciso multiplicar x para obter 4 x?”
Coloque a resposta, 4, no quociente sobre o termo constante.
Multiplique 4 vezes x + 5.
Subtraia 4 x + 20 de 4 x + 20.
Confira:
Multiplique o quociente pelo divisor.
(x + 4) (x + 5)
Você deve receber o dividendo.
x ^2 + 9 x + 20 ✓

Exercício$\PageIndex{20}$

Encontre o quociente:$\left(y^{2}+10 y+21\right) \div(y+3)$

Resposta

y+7

Exercício$\PageIndex{21}$

Encontre o quociente:$\left(m^{2}+9 m+20\right) \div(m+4)$

Resposta

m+5

Quando o divisor tem sinal de subtração, devemos ter muito cuidado ao multiplicar o quociente parcial e depois subtrair. Talvez seja mais seguro mostrar que alteramos os sinais e depois adicionamos.

Exercício$\PageIndex{22}$

Encontre o quociente:$\left(2 x^{2}-5 x-3\right) \div(x-3)$

Resposta

Escreva isso como um problema de divisão longa.
Certifique-se de que o dividendo esteja no formato padrão.
Divida 2 x ^2 por x. Coloque a resposta, 2 x, no quociente sobre o termo x.
Multiplique 2 x vezes x − 3. Alinhe os termos similares sob o dividendo.
Subtraia 2 x ^2 − 6 x de 2 x ^2 − 5 x. Mude os sinais e, em seguida, adicione. Em seguida, reduza o último mandato.
Divida x por x. Coloque a resposta, 1, no quociente sobre o termo constante.
Multiplique 1 vezes x − 3.
Subtraia x − 3 de x − 3 alterando os sinais e adicionando.
Para verificar, multiplique (x − 3) (2 x + 1).
O resultado deve ser 2 x ^2 − 5 x − 3.

Exercício$\PageIndex{23}$

Encontre o quociente:$\left(2 x^{2}-3 x-20\right) \div(x-4)$

Resposta

2x+5

Exercício$\PageIndex{24}$

Encontre o quociente:$\left(3 x^{2}-16 x-12\right) \div(x-6)$

Resposta

3x+2

Quando dividimos 875 por 25, não tínhamos resto. Mas às vezes a divisão de números deixa um resto. O mesmo acontece quando dividimos polinômios. No Exercício$\PageIndex{25}$, teremos uma divisão que deixa um restante. Escrevemos o restante como uma fração com o divisor como denominador.

Exercício$\PageIndex{25}$

Encontre o quociente:$\left(x^{3}-x^{2}+x+4\right) \div(x+1)$

Resposta

Escreva isso como um problema de divisão longa.
Certifique-se de que o dividendo esteja no formato padrão.
Divida x ^3 por x. Coloque a resposta, x ^2, no quociente sobre o termo x ^2. Multiplique x ^2 vezes x + 1. Alinhe os termos similares sob o dividendo.
Subtraia x ^3 + x ^2 de x ^3 − x ^2 alterando os sinais e adicionando. Em seguida, reduza o próximo semestre.
Divida −2 x ^2 por x. Coloque a resposta, −2 x, no quociente sobre o termo x. Multiplique −2 x vezes x + 1. Alinhe os termos similares sob o dividendo.
Subtraia −2 x ^2 − 2 x de −2 x ^2 + x alterando os sinais e adicionando. Em seguida, reduza o último mandato.
Divida 3 x por x. Coloque a resposta, 3, no quociente sobre o termo constante. Multiplique 3 vezes x + 1. Alinhe os termos similares sob o dividendo.
Subtraia 3 x + 3 de 3 x + 4 alterando os sinais e adicionando. Escreva o restante como uma fração com o divisor como denominador.
Para verificar, multiplique$(x+1)\left(x^{2}-2 x+3+\dfrac{1}{x+1}\right)$ O resultado deve ser$x^{3}-x^{2}+x+4$

Exercício$\PageIndex{26}$

Encontre o quociente:$\left(x^{3}+5 x^{2}+8 x+6\right) \div(x+2)$

Resposta

$x^{2}+3 x+2+\dfrac{2}{x+2}$

Exercício$\PageIndex{27}$

Encontre o quociente:$\left(2 x^{3}+8 x^{2}+x-8\right) \div(x+1)$

Resposta

$2 x^{2}+6 x-5-\dfrac{3}{x+1}$

Examine os dividendos em Exemplo, Exemplo e Exemplo. Os termos foram escritos em ordem decrescente de graus e não faltavam graus. O dividendo em Example será$x^{4}-x^{2}+5 x-2$. Está faltando um$x^{3}$ termo. Vamos adicionar$0x^{3}$ como um espaço reservado.

Exercício$\PageIndex{28}$

Encontre o quociente:$\left(x^{4}-x^{2}+5 x-2\right) \div(x+2)$

Resposta

Observe que não há$x^{3}$ prazo no dividendo. Vamos adicionar$0x^{3}$ como um espaço reservado.

Escreva isso como um problema de divisão longa. Certifique-se de que o dividendo esteja no formato padrão com espaços reservados para termos ausentes.
Divida x ^4 por x. Coloque a resposta, x ^3, no quociente sobre o termo x ^3. Multiplique x ^3 vezes x + 2. Alinhe os termos semelhantes. Subtraia e, em seguida, reduza o próximo termo.
Divida −2 x ^3 por x. Coloque a resposta, −2 x ^2, no quociente sobre o termo x ^2. Multiplique −2 x ^2 vezes x + 1. Alinhe os termos semelhantes. Subtraia e reduza o próximo termo.
Divida 3 x ^2 por x. Coloque a resposta, 3 x, no quociente sobre o termo x. Multiplique 3 x vezes x + 1. Alinhe os termos semelhantes. Subtraia e reduza o próximo termo.
Divida − x por x. Coloque a resposta −1 no quociente sobre o termo constante. Multiplique −1 vezes x + 1. Alinhe os termos semelhantes. Mude os sinais, adicione.
Para verificar, multiplique$(x+2)\left(x^{3}-2 x^{2}+3 x-1\right)$
O resultado deve ser$x^{4}-x^{2}+5 x-2$

Exercício$\PageIndex{29}$

Encontre o quociente:$\left(x^{3}+3 x+14\right) \div(x+2)$

Resposta

$x^{2}-2 x+7$

Exercício$\PageIndex{30}$

Encontre o quociente:$\left(x^{4}-3 x^{3}-1000\right) \div(x+5)$

Resposta

$x^{3}-8 x^{2}+40 x-200$

No Exercício$\PageIndex{31}$, dividiremos por$2a−3$. À medida que dividimos, teremos que considerar as constantes e as variáveis.

Exercício$\PageIndex{31}$

Encontre o quociente:$\left(8 a^{3}+27\right) \div(2 a+3)$

Resposta

Desta vez, mostraremos a divisão em uma única etapa. Precisamos adicionar dois espaços reservados para dividir.

Para verificar, multiplique$(2 a+3)\left(4 a^{2}-6 a+9\right)$

O resultado deve ser$8 a^{3}+27$

Exercício$\PageIndex{32}$

Encontre o quociente:$\left(x^{3}-64\right) \div(x-4)$

Responda

$x^{2}+4 x+16$

Exercício$\PageIndex{33}$

Encontre o quociente:$\left(125 x^{3}-8\right) \div(5 x-2)$

Responda

$25 x^{2}+10 x+4$

Nota

Acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais com a divisão de polinômios:

• Divida um polinômio por um monômio
• Divida um polinômio por um monômio 2
• Divida o polinômio pelo binômio

Conceitos-chave

• Adição de frações
  • Se a, b e c são números onde$c\neq 0$, então
    $\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}$ e$\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}$
    
• Divisão de um polinômio por um monômio
  • Para dividir um polinômio por um monômio, divida cada termo do polinômio pelo monômio.