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4.7E: Exercícios

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    A prática leva à perfeição

    Verificar soluções para uma desigualdade em duas variáveis

    Nos exercícios a seguir, determine se cada par ordenado é uma solução para a desigualdade dada.

    Exercício\(\PageIndex{1}\)

    Determine se cada par ordenado é uma solução para a desigualdade\(y>x−1\):

    1. \((0,1)\)
    2. \((−4,−1)\)
    3. \((4,2)\)
    4. \((3,0)\)
    5. \((−2,−3)\)
    Exercício\(\PageIndex{2}\)

    Determine se cada par ordenado é uma solução para a desigualdade\(y>x−3\):

    1. \((0,0)\)
    2. \((2,1)\)
    3. \((−1,−5)\)
    4. \((−6,−3)\)
    5. \((1,0)\)
    Resposta
    1. sim
    2. não
    3. não
    4. sim
    5. não
    Exercício\(\PageIndex{3}\)

    Determine se cada par ordenado é uma solução para a desigualdade\(y<x+2\):

    1. \((0,3)\)
    2. \((−3,−2)\)
    3. \((−2,0)\)
    4. \((0,0)\)
    5. \((−1,4)\)
    Exercício\(\PageIndex{4}\)

    Determine se cada par ordenado é uma solução para a desigualdade\(y<x+5\):

    1. \((−3,0)\)
    2. \((1,6)\)
    3. \((−6,−2)\)
    4. \((0,1)\)
    5. \((5,−4)\)
    Resposta
    1. sim
    2. não
    3. não
    4. sim
    5. sim
    Exercício\(\PageIndex{5}\)

    Determine se cada par ordenado é uma solução para a desigualdade\(x+y>4\):

    1. \((5,1)\)
    2. \((−2,6)\)
    3. \((3,2)\)
    4. \((10,−5)\)
    5. \((0,0)\)
    Exercício\(\PageIndex{6}\)

    Determine se cada par ordenado é uma solução para a desigualdade\(x+y>2\):

    1. \((1,1)\)
    2. \((4,−3)\)
    3. \((0,0)\)
    4. \((−8,12)\)
    5. \((3,0)\)
    Resposta
    1. não
    2. não
    3. não
    4. sim
    5. sim

    Reconhecer a relação entre as soluções de uma desigualdade e seu gráfico

    Nos exercícios a seguir, escreva a desigualdade mostrada pela região sombreada.

    Exercício\(\PageIndex{7}\)

    Escreva a desigualdade mostrada pelo gráfico com a linha limite\(y=3x−4\).

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 10 a 10. A linha y igual a 3x menos 4 é traçada como uma linha tracejada que se estende do canto inferior esquerdo em direção ao canto superior direito. A região à direita da linha está sombreada.

    Exercício\(\PageIndex{8}\)

    Escreva a desigualdade mostrada pelo gráfico com a linha limite\(y=2x−4\).

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 10 a 10. A linha y igual a 2x menos 4 é traçada como uma linha sólida que se estende do canto inferior esquerdo em direção ao canto superior direito. A região abaixo da linha está sombreada.

    Resposta

    \(y<2 x-4\)

    Exercício\(\PageIndex{9}\)

    Escreva a desigualdade mostrada pelo gráfico com a linha limite\(y=\frac{1}{2} x+1\)

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 10 a 10. A linha y igual a menos meio x mais 1 é traçada como uma linha sólida que se estende do canto inferior esquerdo em direção ao canto superior direito. A região abaixo da linha está sombreada.

    Exercício\(\PageIndex{10}\)

    Escreva a desigualdade mostrada pelo gráfico com a linha limite\(y=-\frac{1}{3} x-2\)

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 10 a 10. A linha y igual a menos um terço x menos 2 é traçada como uma linha sólida que se estende do canto superior esquerdo em direção ao canto inferior direito. A região abaixo da linha está sombreada.

    Resposta

    \(y \leq-\frac{1}{3} x-2\)

    Exercício\(\PageIndex{11}\)

    Escreva a desigualdade mostrada pela região sombreada no gráfico com a linha limite\(x+y=5\).

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 10 a 10. A linha x mais y é igual a 5 é traçada como uma linha sólida que se estende do canto superior esquerdo em direção ao canto inferior direito. A região acima da linha está sombreada.

    Exercício\(\PageIndex{12}\)

    Escreva a desigualdade mostrada pela região sombreada no gráfico com a linha limite\(x+y=3\).

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 10 a 10. A linha x mais y é igual a 3 é traçada como uma linha sólida que se estende do canto superior esquerdo em direção ao canto inferior direito. A região acima da linha está sombreada.

    Resposta

    \(x+y \geq 3\)

    Exercício\(\PageIndex{13}\)

    Escreva a desigualdade mostrada pela região sombreada no gráfico com a linha limite\(2x+y=−4\).

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 10 a 10. A linha 2 x mais y igual a menos 4 é traçada como uma linha sólida que se estende do canto superior esquerdo em direção ao canto inferior direito. A região abaixo da linha está sombreada.

    Exercício\(\PageIndex{14}\)

    Escreva a desigualdade mostrada pela região sombreada no gráfico com a linha limite\(x+2y=−2\).

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 10 a 10. A linha x mais 2 y igual a menos 2 é traçada como uma linha sólida que se estende do canto superior esquerdo em direção ao canto inferior direito. A região abaixo da linha está sombreada.

    Resposta

    \(x+2 y \geq-2\)

    Exercício\(\PageIndex{15}\)

    Escreva a desigualdade mostrada pela região sombreada no gráfico com a linha limite\(3x−y=6\).

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 10 a 10. A linha 3 x menos y é igual a 6 é traçada como uma linha tracejada que se estende do canto inferior esquerdo em direção ao canto superior direito. A região à esquerda da linha está sombreada.

    Exercício\(\PageIndex{16}\)

    Escreva a desigualdade mostrada pela região sombreada no gráfico com a linha limite\(2x−y=4\).

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 10 a 10. A linha 2 x menos y é igual a 4 é traçada como uma linha tracejada que se estende do canto inferior esquerdo em direção ao canto superior direito. A região à esquerda da linha está sombreada.

    Resposta

    \(2 x-y<4\)

    Exercício\(\PageIndex{17}\)

    Escreva a desigualdade mostrada pela região sombreada no gráfico com a linha limite\(2x−5y=10\).

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 10 a 10. A linha 2 x menos 5 y é igual a 10 é traçada como uma linha tracejada que se estende do canto inferior esquerdo em direção ao canto superior direito. A região abaixo da linha está sombreada.

    Exercício\(\PageIndex{18}\)

    Escreva a desigualdade mostrada pela região sombreada no gráfico com a linha limite\(4x−3y=12\).

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 10 a 10. A linha 4 x menos 3 y é igual a 12 é traçada como uma linha tracejada que se estende do canto inferior esquerdo em direção ao canto superior direito. A região abaixo da linha está sombreada.

    Resposta

    \(4 x-3 y>12\)

    Gráfico de desigualdades lineares

    Nos exercícios a seguir, represente graficamente cada desigualdade linear.

    Exercício\(\PageIndex{19}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(y>\frac{2}{3} x-1\)

    Exercício\(\PageIndex{20}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(y<\frac{3}{5} x+2\)

    Resposta

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 10 a 10. A linha y igual a três quintos x mais 2 é traçada como uma linha tracejada que se estende do canto inferior esquerdo em direção ao canto superior direito. A região abaixo da linha está sombreada.

    Exercício\(\PageIndex{21}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(y \leq-\frac{1}{2} x+4\)

    Exercício\(\PageIndex{22}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(y \geq-\frac{1}{3} x-2\)

    Resposta

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 10 a 10. A linha y igual a menos um terço x menos 2 é traçada como uma linha sólida que se estende do canto superior esquerdo em direção ao canto inferior direito. A região abaixo da linha está sombreada.

    Exercício\(\PageIndex{23}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(x-y \leq 3\)

    Exercício\(\PageIndex{24}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(x-y \geq -2\)

    Resposta

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 10 a 10. A linha x menos y igual a menos 2 é traçada como uma linha sólida que se estende do canto inferior esquerdo em direção ao canto superior direito. A região abaixo da linha está sombreada.

    Exercício\(\PageIndex{25}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(4x+y>-4\)

    Exercício\(\PageIndex{26}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(x+5y<-5\)

    Resposta

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 10 a 10. A linha x mais 5 y é igual a menos 5 é traçada como uma linha tracejada que se estende do canto superior esquerdo em direção ao canto inferior direito. A região abaixo da linha está sombreada.

    Exercício\(\PageIndex{27}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(3 x+2 y \geq-6\)

    Exercício\(\PageIndex{28}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(4 x+2 y \geq-8\)

    Resposta

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 10 a 10. A linha 4 x mais 2 y igual a menos 8 é traçada como uma linha sólida que se estende do canto superior esquerdo em direção ao canto inferior direito. A região à direita da linha está sombreada.

    Exercício\(\PageIndex{29}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(y>4x\)

    Exercício\(\PageIndex{30}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(y>x\)

    Resposta

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 10 a 10. A linha y igual a x é traçada como uma linha sólida que se estende do canto inferior esquerdo em direção ao canto superior direito. A região acima da linha está sombreada.

    Exercício\(\PageIndex{31}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(y \leq-x\)

    Exercício\(\PageIndex{32}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(y \leq-3 x\)

    Resposta

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 10 a 10. A linha y igual a menos 3 x é traçada como uma linha sólida que se estende do canto superior esquerdo em direção ao canto inferior direito. A região à esquerda da linha está sombreada.

    Exercício\(\PageIndex{33}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(y \geq-2\)

    Exercício\(\PageIndex{34}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(y<-1\)

    Resposta

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 10 a 10. A linha y igual a menos 1 é traçada como uma linha horizontal tracejada. A região abaixo da linha está sombreada.

    Exercício\(\PageIndex{35}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(y<4\)

    Exercício\(\PageIndex{36}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(y \geq 2\)

    Resposta

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 10 a 10. A linha y igual a 2 é plotada como uma linha horizontal sólida. A região acima da linha está sombreada.

    Exercício\(\PageIndex{37}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(x \leq 5\)

    Exercício\(\PageIndex{38}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(x>-2\)

    Resposta

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 10 a 10. A linha x igual a menos 2 é plotada como uma linha vertical tracejada. A região à direita da linha está sombreada.

    Exercício\(\PageIndex{39}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(x>-3\)

    Exercício\(\PageIndex{40}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(x \leq 4\)

    Resposta

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 10 a 10. A linha x igual a 4 é plotada como uma linha vertical sólida. A região à esquerda da linha está sombreada.

    Exercício\(\PageIndex{41}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(x-y<4\)

    Exercício\(\PageIndex{42}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(x-y<-3\)

    Resposta

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 10 a 10. A linha x menos y igual a menos 3 é traçada como uma linha tracejada que se estende do canto inferior esquerdo em direção ao canto superior direito. A região acima da linha está sombreada.

    Exercício\(\PageIndex{43}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(y \geq \frac{3}{2} x\)

    Exercício\(\PageIndex{44}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(y \leq \frac{5}{4} x\)

    Resposta

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 10 a 10. A linha y igual a cinco quartos de x é traçada como uma linha sólida que se estende do canto inferior esquerdo em direção ao canto superior direito. A região abaixo da linha está sombreada.

    Exercício\(\PageIndex{45}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(y>-2 x+1\)

    Exercício\(\PageIndex{46}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(y<-3 x-4\)

    Resposta

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 10 a 10. A linha y igual a menos 3 x menos 4 é traçada como uma linha tracejada que se estende do canto superior esquerdo em direção ao canto inferior direito. A região à esquerda da linha está sombreada.

    Exercício\(\PageIndex{47}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(x \leq-1\)

    Exercício\(\PageIndex{48}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(x \geq 0\)

    Resposta

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 10 a 10. A linha x igual a menos 0 é traçada como uma linha vertical sólida ao longo do eixo y. A região à direita da linha está sombreada.

    Matemática cotidiana

    Exercício\(\PageIndex{49}\)

    Dinheiro. Gerry quer ter um máximo de $100 em dinheiro na bilheteria quando o carnaval de sua igreja abrir. Ele terá notas de $1 e notas de $5. Se\(x\) for o número de notas de $1 e\(y\) for o número de notas de $5, a desigualdade\(x+5y \leq 100\) modela a situação.

    1. Faça um gráfico da desigualdade.
    2. Liste três soluções para a desigualdade\(x+5y \leq 100\) em que ambos\(x\) e\(y\) são números inteiros.
    Exercício\(\PageIndex{50}\)

    Compras. Tula tem $20 para gastar na venda de livros usados. Os livros de capa dura custam $2 cada e os livros de capa mole custam $0,50 cada. Se\(x\) é o número de livros de capa dura que Tula pode comprar e\(y\) é o número de livros de bolso que ela pode comprar, a desigualdade\(2x+\frac{1}{2} y \leq 20\) modela a situação.

    1. Faça um gráfico da desigualdade.
    2. Liste três soluções para a desigualdade\(2x+\frac{1}{2} y \leq 20\) onde ambos\(x\) e\(y\) são números inteiros.
    Resposta

    1.
    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. O eixo x vai de 0 a 20 e o eixo y vai de 0 a 30. A linha 2 x mais meio y igual a 20 é traçada como uma linha sólida que se estende do canto superior esquerdo em direção ao canto inferior direito. A região abaixo da linha está sombreada.

    2. As respostas podem variar.

    exercícios de escrita

    Exercício\(\PageIndex{51}\)

    Lester acha que a solução de qualquer desigualdade com um\(>\) sinal é a região acima da linha e a solução de qualquer desigualdade com um\(<\) sinal é a região abaixo da linha. Lester está correto? Explique por que ou por que não.

    Exercício\(\PageIndex{52}\)

    Explique por que em alguns gráficos de desigualdades lineares a linha limite é sólida, mas em outros gráficos ela é tracejada.

    Verificação automática

    a. Depois de concluir os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

    Essa é uma tabela que tem quatro linhas e quatro colunas. Na primeira linha, que é uma linha de cabeçalho, as células são lidas da esquerda para a direita: “Eu posso...”, “com confiança”, “com alguma ajuda” e “Não, eu não entendo!” A primeira coluna abaixo de “Eu posso...” diz “verificar soluções para uma desigualdade em duas variáveis”, “reconhecer a relação entre as soluções de uma desigualdade e seu gráfico” e “representar graficamente as desigualdades lineares”. O resto das células estão em branco.

    b. O que essa lista de verificação lhe diz sobre o seu domínio desta seção? Quais etapas você tomará para melhorar?