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4.6: Encontre a equação de uma reta

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    objetivos de aprendizagem

    Ao final desta seção, você poderá:

    • Encontre uma equação da reta dada a inclinação e o intercepto y
    • Encontre uma equação da reta dada a inclinação e um ponto
    • Encontre uma equação da reta dados dois pontos
    • Encontre uma equação de uma reta paralela a uma determinada linha
    • Encontre uma equação de uma reta perpendicular a uma determinada linha
    Nota

    Antes de começar, faça este teste de prontidão.

    1. Resolver:\(\frac{2}{3} = \frac{x}{5}\).
      Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 2.2.4.
    2. Simplifique:\(−\frac{2}{5}(x−15)\).
      Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 1.10.34.

    Como os varejistas on-line sabem que “você também pode gostar” de um item específico com base em algo que você acabou de comprar? Como os economistas podem saber como o aumento do salário mínimo afetará a taxa de desemprego? Como os pesquisadores médicos criam medicamentos para atingir as células cancerosas? Como os engenheiros de trânsito podem prever o efeito em seu tempo de deslocamento de um aumento ou diminuição nos preços do gás? É tudo matemática.

    Você está em um ponto empolgante de sua jornada matemática, pois a matemática que você está estudando tem aplicações interessantes no mundo real.

    As ciências físicas, as ciências sociais e o mundo dos negócios estão cheios de situações que podem ser modeladas com equações lineares relacionando duas variáveis. Os dados são coletados e representados graficamente. Se os pontos de dados parecerem formar uma linha reta, uma equação dessa linha pode ser usada para prever o valor de uma variável com base no valor da outra variável.

    Para criar um modelo matemático de uma relação linear entre duas variáveis, precisamos ser capazes de encontrar a equação da linha. Nesta seção, veremos várias maneiras de escrever a equação de uma linha. O método específico que usamos será determinado pelas informações que recebemos.

    Encontre uma equação da reta dada a inclinação e a interceptação y

    Podemos determinar facilmente a inclinação e a interceptação de uma reta se a equação foi escrita na forma inclinação-intercepto, y=mx+b. Agora, faremos o inverso — começaremos com a inclinação e o intercepto y e os usaremos para encontrar a equação da reta.

    Exercício\(\PageIndex{1}\)

    Encontre uma equação de uma reta com inclinação −7 e intercepto y (0, −1).

    Resposta

    Como recebemos a inclinação e o intercepto y da linha, podemos substituir os valores necessários na forma inclinação-intercepto, y=mx+b.

    Dê um nome à inclinação. .
    Nomeie o y-intercept. .
    Substitua os valores em y=mx+b. .
      .
      .
    Exercício\(\PageIndex{2}\)

    Encontre uma equação de uma reta com inclinação\(\frac{2}{5}\) e intercepto y (0,4).

    Resposta

    \(y = \frac{2}{5}x + 4\)

    Exercício\(\PageIndex{3}\)

    Encontre uma equação de uma reta com inclinação −1 e intercepto y (0, −3).

    Resposta

    \(y=−x−3\)

    Às vezes, a inclinação e a interceptação precisam ser determinadas a partir do gráfico.

    Exercício\(\PageIndex{4}\)

    Encontre a equação da linha mostrada.

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 7 a 7. Uma linha intercepta o eixo y em (0, menos 4), passa pelo ponto traçado (3, menos 2) e intercepta o eixo x em (4, 0).

    Resposta

    Precisamos encontrar a inclinação e a interceptação y da linha do gráfico para que possamos substituir os valores necessários na forma inclinação-intercepto, y=mx+by=mx+b.

    Para encontrar a inclinação, escolhemos dois pontos no gráfico.

    O intercepto y é (0, −4) e o gráfico passa por (3, −2).

    Encontre a inclinação contando a subida e a corrida. .
      .
    Encontre o intercepto y. .
    Substitua os valores em y=mx+b. .
      .
    Exercício\(\PageIndex{5}\)

    Encontre a equação da linha mostrada no gráfico.

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 7 a 7. Uma linha intercepta o eixo x em (menos 2, 0), intercepta o eixo y em (0, 1) e passa pelo ponto traçado (5, 4).

    Resposta

    \(y=\frac{3}{5}x+1\)

    Exercício\(\PageIndex{6}\)

    Encontre a equação da linha mostrada no gráfico.

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 7 a 7. Uma linha intercepta o eixo y em (0, menos 5), passa pelo ponto traçado (3, menos 1) e intercepta o eixo x em (15 quartos, 0).

    Resposta

    \(y=\frac{4}{3}x−5\)

    Encontre uma equação da reta dada a inclinação e um ponto

    Encontrar uma equação de uma reta usando a forma inclinação-interceptação da equação funciona bem quando você recebe a inclinação e o intercepto y ou quando você os lê em um gráfico. Mas o que acontece quando você tem outro ponto em vez do intercepto y?

    Vamos usar a fórmula da inclinação para derivar outra forma de equação da reta. Suponha que tenhamos uma linha que tenha inclinação mm e que contenha algum ponto específico\((x_{1}, y_{1})\) e algum outro ponto, que chamaremos apenas de (x, y). Podemos escrever a inclinação dessa linha e depois alterá-la para uma forma diferente.

    \(\begin{array} {lrll}&m &=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}} \\ \text{Multiply both sides of the equation by }x−x_{1}.&m\left(x-x_{1}\right) &=\left(\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\right)\left(x-x_{1}\right) \\ \text{Simplify.}&m\left(x-x_{1}\right) &=y-y_{1} \\ \text{Rewrite the equation with the y terms on the left.} &y-y_{1} &=m\left(x-x_{1}\right) \end{array}\)

    Esse formato é chamado de forma ponto-declive de uma equação de uma reta.

    FORMA PONTO-DECLIVE DE UMA EQUAÇÃO DE UMA RETA

    A forma ponto-declive de uma equação de uma reta com inclinação mm e contendo o ponto\((x_{1}, y_{1})\) é

    Sem texto alternativo

    Podemos usar a forma ponto-declive de uma equação para encontrar a equação de uma reta quando recebemos a inclinação e um ponto. Em seguida, reescreveremos a equação na forma inclinação-intercepto. A maioria das aplicações de equações lineares usa a forma inclinação-interceptação.

    Exercício\(\PageIndex{7}\): Find an Equation of a Line Given the Slope and a Point

    Encontre uma equação de uma reta com inclinação\(m=\frac{2}{5}\) que contém o ponto (10,3). Escreva a equação na forma inclinação-interceptação.

    Resposta

    Essa figura é uma tabela que tem três colunas e quatro linhas. A primeira coluna é uma coluna de cabeçalho e contém os nomes e números de cada etapa. A segunda coluna contém mais instruções escritas. A terceira coluna contém matemática. Na primeira linha da tabela, a primeira célula à esquerda diz: “Etapa 1. Identifique a inclinação.” O texto na segunda célula diz: “A inclinação é dada”. A terceira célula contém a inclinação de uma linha, definida como m igual a 2 quintos.
    Na segunda linha, a primeira célula diz: “Etapa 2. Identifique o ponto.” A segunda célula diz: “O ponto é dado”. A terceira célula contém o par ordenado (10, 3). Um sobrescrito x subscrito 1 é escrito sobre 10, e um sobrescrito y subscrito 1 é escrito sobre 3.
    Na terceira linha, a primeira célula diz: “Etapa 3. Substitua os valores na forma de inclinação de pontos, y menos y subscrito 1 é igual a m vezes x menos x subscrito 1 entre parênteses.” A linha superior da segunda célula é deixada em branco. A terceira célula apresenta a forma de inclinação de pontos escrita novamente: y menos y subscrito 1 é igual a m vezes x menos x subscrito 1 entre parênteses. Abaixo está a forma de inclinação de pontos com 10 substituídos por x subscrito 1, 3 substituídos por y subscrito 1 e 2 quintos substituídos por m: y menos 3 é igual a 2 quintos vezes x menos 10 entre parênteses. Uma linha abaixo, as instruções na segunda célula dizem: “Simplifique”. Na terceira célula, y menos 3 é igual a 2 quintos x menos 4.
    Na quarta linha, a primeira célula diz: “Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação”. A segunda célula está em branco. Na terceira célula, y é igual a 2 quintos x menos 1.

    Exercício\(\PageIndex{8}\)

    Encontre uma equação de uma reta com inclinação\(m=\frac{5}{6}\) e contendo o ponto (6,3).

    Resposta

    \(y=\frac{5}{6}x−2\)

    Exercício\(\PageIndex{9}\)

    Encontre uma equação de uma reta com inclinação\(m=\frac{2}{3}\) e contendo o ponto (9,2).

    Resposta

    \(y=\frac{2}{3}x−4\)

    ENCONTRE A EQUAÇÃO DE UMA RETA DADA A INCLINAÇÃO E UM PONTO.
    1. Identifique a inclinação.
    2. Identifique o ponto.
    3. Substitua os valores na forma de inclinação do ponto,\(y−y_{1}=m(x−x_{1})\).
    4. Escreva a equação na forma inclinação-interceptação.
    Exercício\(\PageIndex{10}\)

    Encontre uma equação de uma reta com inclinação\(m=−\frac{1}{3}\) que contém o ponto (6, −4). Escreva a equação na forma inclinação-interceptação.

    Resposta

    Como recebemos um ponto e a inclinação da linha, podemos substituir os valores necessários na forma ponto-inclinação,\(y−y_{1}=m(x−x_{1})\).

    Identifique a inclinação. .
    Identifique o ponto. .
    Substitua os valores em\(y−y_{1}=m(x−x_{1})\). .
      .
    Simplifique. .
    Escreva em forma de inclinação e interceptação. .
    Exercício\(\PageIndex{11}\)

    Encontre uma equação de uma reta com inclinação\(m=−\frac{2}{5}\) e contendo o ponto (10, −5).

    Resposta

    \(y=−\frac{2}{5}x−1\)

    Exercício\(\PageIndex{12}\)

    Encontre uma equação de uma reta com\(m=−\frac{3}{4}\) inclinação e contendo o ponto (4, −7).

    Resposta

    \(y=−\frac{3}{4}x−4\)

    Exercício\(\PageIndex{13}\)

    Encontre uma equação de uma linha horizontal que contém o ponto (−1,2). Escreva a equação na forma inclinação-interceptação.

    Resposta

    Cada linha horizontal tem inclinação 0. Podemos substituir a inclinação e os pontos na forma ponto-inclinação,\(y−y_{1}=m(x−x_{1})\).

    Identifique a inclinação. .
    Identifique o ponto. .
    Substitua os valores em\(y−y_{1}=m(x−x_{1})\). .
      .
    Simplifique. .
      .
      .
    Escreva em forma de inclinação e interceptação. Está na forma y, mas pode ser escrito y=0x+2.
    Acabamos com a forma de uma linha horizontal, y=a?
    Exercício\(\PageIndex{14}\)

    Encontre uma equação de uma linha horizontal contendo o ponto (−3,8).

    Resposta

    y = 8

    Exercício\(\PageIndex{15}\)

    Encontre uma equação de uma linha horizontal contendo o ponto (−1,4).

    Resposta

    y = 4

    Encontre uma equação da reta dados dois pontos

    Quando dados do mundo real são coletados, um modelo linear pode ser criado a partir de dois pontos de dados. No próximo exemplo, veremos como encontrar a equação de uma reta quando apenas dois pontos são dados.

    Até agora, temos duas opções para encontrar uma equação de uma reta: inclinação—intercepto ou ponto-inclinação. Como conheceremos dois pontos, fará mais sentido usar a forma ponto-inclinação.

    Mas então precisamos da inclinação. Podemos encontrar a inclinação com apenas dois pontos? Sim. Então, uma vez que tenhamos a inclinação, podemos usá-la e um dos pontos dados para encontrar a equação.

    Exercício\(\PageIndex{16}\): Find an Equation of a Line Given Two Points

    Encontre uma equação de uma linha que contém os pontos (5,4) e (3,6). Escreva a equação na forma inclinação-interceptação.

    Resposta

    Essa figura é uma tabela que tem três colunas e quatro linhas. A primeira coluna é uma coluna de cabeçalho e contém os nomes e números de cada etapa. A segunda coluna contém mais instruções escritas. A terceira coluna contém matemática. Na primeira linha da tabela, a primeira célula à esquerda diz: “Etapa 1. Encontre a inclinação usando os pontos fornecidos.” O texto na segunda célula diz: “Para usar a forma de inclinação de pontos, primeiro encontramos a inclinação”. A terceira célula contém a inclinação de uma fórmula de linha: m é igual a y sobrescrito 2 menos y sobrescrito 1 dividido por x sobrescrito 2 menos x sobrescrito 1. Abaixo disso, m é igual a 6 menos 4 dividido por 3 menos 5. Abaixo disso, m é igual a 2 dividido por menos 2. Abaixo disso, m é igual a menos 1.Na segunda linha, a primeira célula diz: “Etapa 2. Escolha um ponto.” A segunda célula diz: “Escolha qualquer um dos pontos”. A terceira célula contém o par ordenado (5, 4) com um sobrescrito x subscrito 1 sobre 5 e um sobrescrito y subscrito 1 sobre 4.Na terceira linha, a primeira célula diz: “Etapa 3. Substitua os valores na forma de inclinação de pontos, y menos y subscrito 1 é igual a m vezes x menos x subscrito 1 entre parênteses.” A linha superior da segunda célula é deixada em branco. A terceira célula contém a forma de inclinação do ponto, y menos y subscrito 1 é igual a m vezes x menos x subscrito 1 entre parênteses. Abaixo está a forma de inclinação do ponto com 5 substituído por x subscrito 1, 4 substituído por y subscrito 1 e menos 1 substituído por m: y menos 4 é igual a menos 1 vezes x menos 5 entre parênteses. Abaixo disso está y menos 4 é igual a menos x mais 5.Na quarta linha, a primeira célula diz: “Etapa 4. Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.” A segunda célula está em branco. A terceira célula contém y igual a menos x mais 9.

    Use o ponto (3,6) e veja se você obtém a mesma equação.

    Exercício\(\PageIndex{17}\)

    Encontre uma equação de uma linha contendo os pontos (3,1) e (5,6).

    Resposta

    \(y=\frac{5}{2}x−\frac{13}{2}\)

    Exercício\(\PageIndex{18}\)

    Encontre uma equação de uma reta contendo os pontos (1,4) e (6,2).

    Resposta

    \(y=−\frac{2}{5}x+\frac{22}{5}\)

    ENCONTRE A EQUAÇÃO DE UMA RETA COM DOIS PONTOS.
    1. Encontre a inclinação usando os pontos fornecidos.
    2. Escolha um ponto.
    3. Substitua os valores na forma de inclinação do ponto,\(y−y_{1}=m(x−x_{1})\).
    4. Escreva a equação na forma inclinação-interceptação.
    Exercício\(\PageIndex{19}\)

    Encontre uma equação de uma reta que contém os pontos (−3, −1) e (2, −2). Escreva a equação na forma inclinação-interceptação.

    Resposta

    Como temos dois pontos, encontraremos uma equação da reta usando a forma ponto-inclinação. O primeiro passo será encontrar a inclinação.

    Encontre a inclinação da reta através de (−3, −1) e (2, −2). .
      .
      .
      .
    Escolha qualquer um dos pontos. .
    Substitua os valores em\(y−y_{1}=m(x−x_{1})\). .
      .
      .
    Escreva em forma de inclinação e interceptação. .
    Exercício\(\PageIndex{20}\)

    Encontre uma equação de uma reta contendo os pontos (−2, −4) e (1, −3).

    Resposta

    \(y=\frac{1}{3}x−\frac{10}{3}\)

    Exercício\(\PageIndex{21}\)

    Encontre uma equação de uma reta contendo os pontos (−4, −3) e (1, −5).

    Resposta

    \(y=−\frac{2}{5}x−\frac{23}{5}\)

    Exercício\(\PageIndex{22}\)

    Encontre uma equação de uma reta que contém os pontos (−2,4) e (−2, −3). Escreva a equação na forma inclinação-interceptação.

    Resposta

    Novamente, o primeiro passo será encontrar a inclinação.

    \(\begin{array}{lrl} \text { Find the slope of the line through }(-2,4) \text { and }(-2,-3) & & &\\ &m &=&\frac{y_{2}-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\ &m &=&\frac{-3-4}{-2-(-2)} \\ &m &= &\frac{-7}{0} \\ \\ \text { The slope is undefined. } & & &\end{array}\)

    Isso nos diz que é uma linha vertical. Ambos os nossos pontos têm uma coordenada x de −2. Portanto, nossa equação da reta é x=−2. Como não há yy, não podemos escrevê-lo na forma inclinação-interceptação.

    Talvez você queira esboçar um gráfico usando os dois pontos fornecidos. O gráfico concorda com nossa conclusão de que essa é uma linha vertical?

    Exercício\(\PageIndex{23}\)

    Encontre uma equação de uma reta contendo os pontos (5,1) e (5, −4).

    Responda

    x = 5

    Exercício\(\PageIndex{24}\)

    Encontre uma equação de uma reta contendo os pontos (−4,4) e (−4,3).

    Responda

    x=−4

    Vimos que podemos usar a forma inclinação-intercepto ou a forma ponto-inclinação para encontrar a equação de uma reta. O formulário que usaremos dependerá das informações que recebermos. Isso está resumido na Tabela\(\PageIndex{1}\).

    Para escrever uma equação de uma linha
    Se fornecido: Uso: Formulário:
    Inclinação e interceptação y inclinação—interceptação y=mx+b
    Inclinação e um ponto ponto-inclinação \(y−y_{1}=m(x−x_{1})\)
    Dois pontos ponto-inclinação \(y−y_{1}=m(x−x_{1})\)
    Tabela\(\PageIndex{1}\)

    Encontre uma equação de uma reta paralela a uma determinada linha

    Suponha que precisemos encontrar uma equação de uma reta que passa por um ponto específico e é paralela a uma determinada linha. Podemos usar o fato de que linhas paralelas têm a mesma inclinação. Então, teremos um ponto e a inclinação - exatamente o que precisamos para usar a equação do ponto - inclinação.

    Primeiro, vamos analisar isso graficamente.

    O gráfico mostra o gráfico de y=2x−3. Queremos representar graficamente uma linha paralela a essa linha e passando pelo ponto (−2,1).

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 7 a 7. A linha cuja equação é y igual a 2x menos 3 intercepta o eixo y em (0, menos 3) e intercepta o eixo x em (3 metades, 0). Em outro lugar no gráfico, o ponto (menos 2, 1) é plotado.
    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Sabemos que as linhas paralelas têm a mesma inclinação. Portanto, a segunda linha terá a mesma inclinação de y=2x−3. Essa inclinação é\(m_{\|} = 2\). Usaremos a notação\(m_{\|}\) para representar a inclinação de uma linha paralela a uma linha com inclinação m. (Observe que o subscrito se parece com duas linhas paralelas).

    A segunda linha passará por (−2,1) e terá m=2. Para representar graficamente a linha, começamos em (−2,1) e contamos a subida e a corrida. Com m=2 (ou\(m=\frac{2}{1}\)), contamos a subida 2 e a corrida 1. Nós traçamos a linha.

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 7 a 7. A linha cuja equação é y igual a 2x menos 3 intercepta o eixo y em (0, menos 3) e intercepta o eixo x em (3 metades, 0). Os pontos (menos 2, 1) e (menos 1, 3) são representados graficamente. Uma segunda linha, paralela à primeira, intercepta o eixo x em (menos 5 metades, 0), passa pelos pontos (menos 2, 1) e (menos 1, 3) e intercepta o eixo y em (0, 5).
    Figura\(\PageIndex{2}\)

    As linhas parecem paralelas? A segunda linha passa por (−2,1)?

    Agora, vamos ver como fazer isso algebricamente.

    Podemos usar a forma inclinação-interceptação ou a forma ponto-inclinação para encontrar a equação de uma reta. Aqui conhecemos um ponto e podemos encontrar a inclinação. Então, usaremos a forma ponto-inclinação.

    Exercício\(\PageIndex{25}\): How to Find an Equation of a Line Parallel to a Given Line

    Encontre uma equação de uma reta paralela a y=2x−3 que contém o ponto (−2,1). Escreva a equação na forma inclinação-interceptação.

    Responda

    Essa figura é uma tabela que tem três colunas e quatro linhas. A primeira coluna é uma coluna de cabeçalho e contém os nomes e números de cada etapa. A segunda coluna contém mais instruções escritas. A terceira coluna contém matemática. Na primeira linha da tabela, a primeira célula à esquerda diz: “Etapa 1. Encontre a inclinação da linha dada.” A segunda célula diz: “A linha está na forma de interceptação de inclinação. y é igual a 2x menos 3.” A terceira célula contém a inclinação de uma linha, definida como m igual a 2.Na segunda linha, a primeira célula diz: “Etapa 2. Encontre a inclinação da linha paralela.” A segunda célula diz “Linhas paralelas têm a mesma inclinação”. A terceira célula contém a inclinação da linha paralela, definida como m paralelo igual a 2.Na terceira linha, a primeira célula diz “Etapa 3. Identifique o ponto.” A segunda célula diz “O ponto dado é (menos 2, 1)”. A terceira célula contém o par ordenado (menos 2, 1) com um sobrescrito x subscrito 1 acima de menos 2 e um sobrescrito y subscrito 1 acima de 1.Na quarta linha, a primeira célula diz “Etapa 4. Substitua os valores na forma de inclinação de pontos, y menos y subscrito 1 é igual a m vezes x menos x subscrito 1 entre parênteses.” A parte superior da segunda célula está em branco. A terceira célula contém a forma de inclinação do ponto, y menos y subscrito 1 é igual a m vezes x menos x subscrito 1 entre parênteses. Abaixo está o formulário com menos 2 substituído por x subscrito 1, 1 substituído por y subscrito 1 e 2 substituído por m: y menos 1 é igual a 2 vezes x menos menos 2 entre parênteses. Uma linha abaixo, o texto na segunda célula diz “Simplificar”. A coluna da direita contém y menos 1 é igual a 2 vezes x mais 2. Abaixo disso está y menos 1 é igual a 2x mais 4.Na quinta linha, a primeira célula diz “Etapa 5. Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.” A segunda célula está em branco. A terceira célula contém y igual a 2x mais 5.

    Essa equação faz sentido? Qual é a interceptação y da linha? Qual é a inclinação?

    Exercício\(\PageIndex{26}\)

    Encontre uma equação de uma reta paralela à linha y=3x+1 que contém o ponto (4,2). Escreva a equação na forma inclinação-interceptação.

    Responda

    y=3x−10

    Exercício\(\PageIndex{27}\)

    Encontre uma equação de uma reta paralela à linha\(y=\frac{1}{2}x−3\) que contém o ponto (6,4).

    Responda

    \(y=\frac{1}{2}x+1\)

    ENCONTRE UMA EQUAÇÃO DE UMA RETA PARALELA A UMA DETERMINADA LINHA.
    1. Encontre a inclinação da linha dada.
    2. Encontre a inclinação da linha paralela.
    3. Identifique o ponto.
    4. Substitua os valores na forma ponto-inclinação,\(y−y_{1}=m(x−x_{1})\).
    5. Escreva a equação na forma inclinação-interceptação.

    Encontre uma equação de uma reta perpendicular a uma determinada linha

    Agora, vamos considerar as linhas perpendiculares. Suponha que precisemos encontrar uma linha passando por um ponto específico e que seja perpendicular a uma determinada linha. Podemos usar o fato de que as retas perpendiculares têm inclinações recíprocas negativas. Usaremos novamente a equação ponto-inclinação, como fizemos com linhas paralelas.

    O gráfico mostra o gráfico de y=2x−3. Agora, queremos representar graficamente uma linha perpendicular a essa linha e passando por (−2,1).

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 7 a 7. A linha cuja equação é y igual a 2x menos 3 intercepta o eixo y em (0, menos 3) e intercepta o eixo x em (3 metades, 0). Em outro lugar no gráfico, o ponto (menos 2, 1) é plotado.
    Figura\(\PageIndex{3}\)

    Sabemos que as retas perpendiculares têm inclinações recíprocas negativas. Usaremos a notação\(m_{\perp}\) para representar a inclinação de uma linha perpendicular a uma linha com inclinação m. (Observe que o subscrito\(_{\perp}\) se parece com os ângulos retos feitos por duas linhas perpendiculares).

    \[\begin{array}{cl}{y=2 x-3} & {\text { perpendicular line }} \\ {m=2} & {m_{\perp}=-\frac{1}{2}}\end{array}\]

    Agora sabemos que a reta perpendicular passará por (−2,1) com\(m_{\perp}=−\frac{1}{2}\).

    Para representar graficamente a linha, começaremos em (−2,1) e contaremos a subida −1 e a corrida 2. Em seguida, traçamos a linha.

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 7 a 7. A linha cuja equação é y igual a 2x menos 3 intercepta o eixo y em (0, menos 3) e intercepta o eixo x em (3 metades, 0). Em outro lugar, o ponto (menos 2, 1) é traçado. Outra linha perpendicular à primeira linha passa pelo ponto (menos 2, 1) e intercepta os eixos x e y em (0, 0). Uma linha vermelha com uma seta se estende para a esquerda de (0, 0) até (menos 2, 0), depois se estende para cima e termina em (menos 2, 1), formando um triângulo reto com a segunda linha como hipotenusa.
    Figura\(\PageIndex{4}\)

    As linhas parecem perpendiculares? A segunda linha passa por (−2,1)?

    Agora, vamos ver como fazer isso algebricamente. Podemos usar a forma inclinação-interceptação ou a forma ponto-inclinação para encontrar a equação de uma reta. Neste exemplo, conhecemos um ponto e podemos encontrar a inclinação, então usaremos a forma ponto-inclinação.

    Exercício\(\PageIndex{28}\)

    Encontre uma equação de uma reta perpendicular a y=2x−3 que contém o ponto (−2,1). Escreva a equação na forma inclinação-interceptação.

    Responda

    Essa figura é uma tabela que tem três colunas e quatro linhas. A primeira coluna é uma coluna de cabeçalho e contém os nomes e números de cada etapa. A segunda coluna contém mais instruções escritas. A terceira coluna contém matemática. Na primeira linha da tabela, a primeira célula à esquerda diz: “Etapa 1. Encontre a inclinação da linha dada.” A segunda célula diz: “A linha está na forma de interceptação de inclinação. y é igual a 2x menos 3.” A terceira célula contém a inclinação de uma linha, definida como m igual a 2.
    Na segunda linha, a primeira célula diz “Etapa 2. Encontre a inclinação da linha perpendicular.” A segunda célula diz “As inclinações das linhas perpendiculares são recíprocas negativas”. A terceira célula contém m igual a menos uma metade.
    Na terceira linha, a primeira célula diz “Etapa 3. Identifique o ponto.” A segunda célula diz “O ponto dado é (menos 2, 1)”. A terceira célula contém o par ordenado (menos 2, 1) com um sobrescrito x subscrito 1 acima de menos 2 e um sobrescrito y subscrito 1 acima de 1.
    Na quarta linha, a primeira célula diz “Etapa 4. Substitua os valores na forma de inclinação de pontos.” A segunda célula diz: “Simplifique”. A terceira célula mostra esse trabalho, terminando com y - 1 = - 1/2 x - 1.
    Na quinta linha, a primeira célula diz “Etapa 5. Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.” A segunda célula está em branco. A terceira célula contém y igual a menos 1 meio x.

    Exercício\(\PageIndex{29}\)

    Encontre uma equação de uma reta perpendicular à reta y=3x+1 que contém o ponto (4,2). Escreva a equação na forma inclinação-interceptação.

    Responda

    \(y=−\frac{1}{3}x+\frac{10}{3}\)

    Exercício\(\PageIndex{30}\)

    Encontre uma equação de uma reta perpendicular à reta\(y=\frac{1}{2}x−3\) que contém o ponto (6,4).

    Responda

    y=−2x+16

    ENCONTRE UMA EQUAÇÃO DE UMA RETA PERPENDICULAR A UMA DETERMINADA LINHA.
    1. Encontre a inclinação da linha dada.
    2. Encontre a inclinação da linha perpendicular.
    3. Identifique o ponto.
    4. Substitua os valores na forma ponto-inclinação,\(y−y_{1}=m(x−x_{1})\).
    5. Escreva a equação na forma inclinação-interceptação.
    Exercício\(\PageIndex{31}\)

    Encontre uma equação de uma reta perpendicular a x=5 que contém o ponto (3, −2). Escreva a equação na forma inclinação-interceptação.

    Responda

    Novamente, como conhecemos um ponto, a opção ponto-inclinação parece mais promissora do que a opção inclinação-interceptação. Precisamos da inclinação para usar essa forma e sabemos que a nova linha será perpendicular a x = 5. Essa linha é vertical, então sua perpendicular será horizontal. Isso nos diz que\(m_{\perp}=0\).

    \(\begin{array}{lrll}{\text { Identify the point. }} &{(3}&{,}&{-2)}\\ {\text { Identify the slope of the perpendicular line. }} & {m_{\perp}}&{=}&{0} \\ {\text { Substitute the values into } y-y_{1}=m\left(x-x_{1}\right) .} & {y-y_{1}}&{=}&{m\left(x-x_{1}\right)} \\{} &{y−(−2)}&{=}&{0(x−3)} \\{\text { Simplify. }} & {y+2}&{=}&{0} \\ &{y}&{=}&{-2}\end{array}\)

    Esboce o gráfico das duas linhas. Eles parecem ser perpendiculares?

    Exercício\(\PageIndex{32}\)

    Encontre uma equação de uma reta que seja perpendicular à reta x=4 que contém o ponto (4, −5). Escreva a equação na forma inclinação-interceptação.

    Responda

    y=−5

    Exercício\(\PageIndex{33}\)

    Encontre uma equação de uma reta que seja perpendicular à linha x=2 que contém o ponto (2, −1). Escreva a equação na forma inclinação-interceptação.

    Responda

    y=−1

    No Exercício\(\PageIndex{31}\), usamos a forma ponto-inclinação para encontrar a equação. Poderíamos ter visto isso de uma maneira diferente.

    Queremos encontrar uma linha perpendicular a x=5 que contenha o ponto (3, −2). O gráfico nos mostra a linha x=5 e o ponto (3, −2).

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 7 a 7. A linha cuja equação é x igual a 5 intercepta o eixo x em (5, 0) e corre paralelamente ao eixo y. Em outro lugar no gráfico, o ponto (3, menos 2) é plotado.
    Figura\(\PageIndex{5}\)

    Sabemos que cada linha perpendicular a uma linha vertical é horizontal, então vamos esboçar a linha horizontal através de (3, −2).

    O gráfico mostra o plano da coordenada x y. Cada um dos eixos x e y vai de menos 7 a 7. A linha cuja equação é x igual a 5 intercepta o eixo x em (5, 0) e corre paralelamente ao eixo y. Em outro lugar no gráfico, os pontos (menos 2, menos 2), (0, menos 2), (3, menos 2) e (6, menos 2) são plotados. Uma linha perpendicular à linha anterior passa por esses pontos e corre paralela ao eixo x.
    Figura\(\PageIndex{6}\)

    As linhas parecem perpendiculares?

    Se observarmos alguns pontos nessa linha horizontal, notamos que todos eles têm coordenadas y de −2. Então, a equação da reta perpendicular à linha vertical x=5 é y=−2.

    Exercício\(\PageIndex{34}\)

    Encontre uma equação de uma reta que seja perpendicular a y=−4 que contém o ponto (−4,2). Escreva a equação na forma inclinação-interceptação.

    Responda

    A linha y=−4 é uma linha horizontal. Qualquer linha perpendicular a ela deve ser vertical, na forma x=a. Como a linha perpendicular é vertical e passa por (−4,2), cada ponto nela tem uma coordenada x de −4. A equação da reta perpendicular é x=−4. Talvez você queira esboçar as linhas. Eles parecem perpendiculares?

    Exercício\(\PageIndex{35}\)

    Encontre uma equação de uma reta que seja perpendicular à reta y=1 que contém o ponto (−5,1). Escreva a equação na forma inclinação-interceptação.

    Responda

    x=−5

    Exercício\(\PageIndex{36}\)

    Encontre uma equação de uma reta que seja perpendicular à reta y=−5 que contém o ponto (−4, −5).

    Responda

    x=−4

    Nota

    Acesse este recurso on-line para obter instruções e práticas adicionais para encontrar a equação de uma linha.

    Conceitos-chave

    • Para encontrar uma equação de uma reta dada a inclinação e um ponto
      1. Identifique a inclinação.
      2. Identifique o ponto.
      3. Substitua os valores na forma de inclinação do ponto,\(y−y_{1}=m(x−x_{1})\).
      4. Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.
    • Para encontrar uma equação de uma reta com dois pontos
      1. Encontre a inclinação usando os pontos fornecidos.
      2. Escolha um ponto.
      3. Substitua os valores na forma de inclinação do ponto,\(y−y_{1}=m(x−x_{1})\).
      4. Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.
    • Para escrever uma equação de uma linha
      • Se for dada inclinação e\(y\) -intercepto, use a forma inclinação—intercepto\(y=mx+b\).
      • Se for dada uma inclinação e um ponto, use a forma ponto-inclinação\(y−y_{1}=m(x−x_{1})\).
      • Se receber dois pontos, use a forma ponto-inclinação\(y−y_{1}=m(x−x_{1})\).
    • Para encontrar uma equação de uma reta paralela a uma determinada linha
      1. Encontre a inclinação da linha dada.
      2. Encontre a inclinação da linha paralela.
      3. Identifique o ponto.
      4. Substitua os valores na forma de inclinação do ponto,\(y−y_{1}=m(x−x_{1})\).
      5. Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.
    • Para encontrar uma equação de uma reta perpendicular a uma determinada linha
      1. Encontre a inclinação da linha dada.
      2. Encontre a inclinação da linha perpendicular.
      3. Identifique o ponto.
      4. Substitua os valores na forma de inclinação do ponto,\(y−y_{1}=m(x−x_{1})\).
      5. Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.

    Glossário

    forma de ponto-inclinação
    A forma ponto-declive de uma equação de uma reta com inclinação mm e contendo o ponto\(\left(x_{1}, y_{1}\right)\) é\(y-y_{1}=m\left(x-x_{1}\right)\).