4.4E: Exercícios

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

A prática leva à perfeição

Use placas geográficas para modelar a inclinação

Nos exercícios a seguir, encontre a inclinação modelada em cada geoboard.

Exercício$\PageIndex{1}$

$A figura mostra uma grade de pinos uniformemente espaçados. Existem 5 colunas e 5 fileiras de pinos. Um elástico é esticado entre o pino na coluna 1, linha 3 e o pino na coluna 5, linha 2, formando uma linha.$

Resposta: $\frac{1}{4}$

Exercício$\PageIndex{2}$

$A figura mostra uma grade de pinos uniformemente espaçados. Existem 5 colunas e 5 fileiras de pinos. Um elástico é esticado entre o pino na coluna 2, linha 4 e o pino na coluna 5, linha 2, formando uma linha.$

Exercício$\PageIndex{3}$

$A figura mostra uma grade de pinos uniformemente espaçados. Existem 5 colunas e 5 fileiras de pinos. Um elástico é esticado entre o pino na coluna 1, linha 4 e o pino na coluna 4, linha 2, formando uma linha.$

Resposta: $\frac{2}{3}$

Exercício$\PageIndex{4}$

$A figura mostra uma grade de pinos uniformemente espaçados. Existem 5 colunas e 5 fileiras de pinos. Um elástico é esticado entre o pino na coluna 3, linha 4 e o pino na coluna 5, linha 1, formando uma linha.$

Exercício$\PageIndex{5}$

$A figura mostra uma grade de pinos uniformemente espaçados. Existem 5 colunas e 5 fileiras de pinos. Um elástico é esticado entre o pino na coluna 2, linha 1 e o pino na coluna 4, linha 4, formando uma linha.$

Resposta: $\frac{-3}{2}=-\frac{3}{2}$

Exercício$\PageIndex{6}$

Exercício$\PageIndex{7}$

$A figura mostra uma grade de pinos uniformemente espaçados. Existem 5 colunas e 5 fileiras de pinos. Um elástico é esticado entre o pino na coluna 1, linha 1 e o pino na coluna 5, linha 4, formando uma linha.$

Resposta: $-\frac{2}{3}$

Exercício$\PageIndex{8}$

$A figura mostra uma grade de pinos uniformemente espaçados. Existem 5 colunas e 5 fileiras de pinos. Um elástico é esticado entre o pino na coluna 2, linha 2 e o pino na coluna 4, linha 5, formando uma linha.$

Nos exercícios a seguir, modele cada inclinação. Faça um desenho para mostrar seus resultados.

Exercício$\PageIndex{9}$

$\frac{2}{3}$

Resposta: $A figura mostra uma grade de pinos uniformemente espaçados. Existem 5 colunas e 5 fileiras de pinos. Um elástico é esticado entre o pino na coluna 2, linha 5 e o pino na coluna 5, linha 3, formando uma linha.$

Exercício$\PageIndex{10}$

$\frac{3}{4}$

Exercício$\PageIndex{11}$

$\frac{1}{4}$

Resposta: $A figura mostra uma grade de pinos uniformemente espaçados. Existem 5 colunas e 5 fileiras de pinos. Um elástico é esticado entre o pino na coluna 1, linha 4 e o pino na coluna 5, linha 3, formando uma linha.$

Exercício$\PageIndex{12}$

$\frac{4}{3}$

Exercício$\PageIndex{13}$

$-\frac{1}{2}$

Resposta: $A figura mostra uma grade de pinos uniformemente espaçados. Existem 5 colunas e 5 fileiras de pinos. Um elástico é esticado entre o pino na coluna 1, linha 4 e o pino na coluna 3, linha 5, formando uma linha.$

Exercício$\PageIndex{14}$

$-\frac{3}{4}$

Exercício$\PageIndex{15}$

$-\frac{2}{3}$

Resposta: $A figura mostra uma grade de pinos uniformemente espaçados. Existem 5 colunas e 5 fileiras de pinos. Um elástico é esticado entre o pino na coluna 1, linha 2 e o pino na coluna 4, linha 4, formando uma linha.$

Exercício$\PageIndex{16}$

$-\frac{3}{2}$

Use$m=\frac{rise}{run}$ para encontrar a inclinação de uma reta a partir de seu gráfico

Nos exercícios a seguir, encontre a inclinação de cada linha mostrada.

Exercício$\PageIndex{17}$

$O gráfico mostra o plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha passa pelos pontos (menos 10, menos 8), (0, menos 4) e (10, 0).$

Resposta: $\frac{2}{5}$

Exercício$\PageIndex{18}$

$O gráfico mostra o plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 7 a 7. Uma linha passa pelos pontos (menos 2, menos 8) e (2, menos 2).$

Exercício$\PageIndex{19}$

$O gráfico mostra o plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 7 a 7. Uma linha passa pelos pontos (menos 4, menos 6) e (4, 4).$

Resposta: $\frac{5}{4}$

Exercício$\PageIndex{20}$

$O gráfico mostra o plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 7 a 7. Uma linha intercepta o eixo y em (0, menos 2) e passa pelo ponto (3, 3).$

Exercício$\PageIndex{21}$

$O gráfico mostra o plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 7 a 7. Uma linha passa pelos pontos (menos 3, 3) e (3, 1).$

Resposta: $-\frac{1}{3}$

Exercício$\PageIndex{22}$

$O gráfico mostra o plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 7 a 7. Uma linha passa pelos pontos (menos 2, 4) e (2, 2).$

Exercício$\PageIndex{23}$

$O gráfico mostra o plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 7 a 7. Uma linha intercepta o eixo y em (0, 6) e passa pelo ponto (4, 3).$

Resposta: $-\frac{3}{4}$

Exercício$\PageIndex{24}$

$O gráfico mostra o plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 7 a 7. Uma linha passa pelo ponto (menos 3, 1) e intercepta o eixo y em (0, menos 1).$

Exercício$\PageIndex{25}$

$O gráfico mostra o plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 7 a 7. Uma linha passa pelos pontos (menos 2, 1) e (2, 4).$

Resposta: $\frac{3}{4}$

Exercício$\PageIndex{26}$

$O gráfico mostra o plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 7 a 7. Uma linha passa pelos pontos (menos 1, 1) e (2, 3).$

Exercício$\PageIndex{27}$

$O gráfico mostra o plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 7 a 7. Uma linha passa pelos pontos (menos 1, 6) e (1, 1).$

Resposta: $-\frac{5}{2}$

Exercício$\PageIndex{28}$

$O gráfico mostra o plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 7 a 7. Uma linha passa pelo ponto (menos 1, 3) e intercepta o eixo x em (3, 0).$

Exercício$\PageIndex{29}$

$O gráfico mostra o plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 7 a 7. Uma linha passa pelos pontos (menos 2, 6) e (1, 4).$

Resposta: $-\frac{2}{3}$

Exercício$\PageIndex{30}$

$O gráfico mostra o plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha passa pelos pontos (menos 1, 3) e (1, 2).$

Exercício$\PageIndex{31}$

$O gráfico mostra o plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha intercepta o eixo x em (menos 2, 0) e passa pelo ponto (2, 1).$

Resposta: $\frac{1}{4}$

Exercício$\PageIndex{32}$

$O gráfico mostra o plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha passa pelos pontos (4, 2) e (7, 3).$

Encontre a inclinação das linhas horizontais e verticais

Nos exercícios a seguir, encontre a inclinação de cada linha.

Exercício$\PageIndex{33}$

y=3

Resposta: 0

Exercício$\PageIndex{34}$

y = 1

Exercício$\PageIndex{35}$

x=4

Resposta: indefinida

Exercício$\PageIndex{36}$

x=2

Exercício$\PageIndex{37}$

y=−2

Resposta: 0

Exercício$\PageIndex{38}$

y=−3

Exercício$\PageIndex{39}$

x=−5

Resposta: indefinida

Exercício$\PageIndex{40}$

x=−4

Use a fórmula de inclinação para encontrar a inclinação de uma linha entre dois pontos

Nos exercícios a seguir, use a fórmula da inclinação para encontrar a inclinação da linha entre cada par de pontos.

Exercício$\PageIndex{41}$

(1,4), (3,9)

Resposta: $\frac{5}{2}$

Exercício$\PageIndex{42}$

(2,3), (5,7)

Exercício$\PageIndex{43}$

(0,3), (4,6)

Resposta: $\frac{3}{4}$

Exercício$\PageIndex{44}$

(0,1), (5,4)

Exercício$\PageIndex{45}$

(2,5), (4,0)

Resposta: $-\frac{5}{2}$

Exercício$\PageIndex{46}$

(3,6), (8,0)

Exercício$\PageIndex{47}$

(−3,3), (4, −5)

Resposta: $-\frac{8}{7}$

Exercício$\PageIndex{48}$

(−2,4), (3, −1)

Exercício$\PageIndex{49}$

(−1, −2), (2,5)

Responda: $\frac{7}{3}$

Exercício$\PageIndex{50}$

(−2, −1), (6,5)

Exercício$\PageIndex{51}$

(4, −5), (1, −2)

Responda: −1

Exercício$\PageIndex{52}$

(3, −6), (2, −2)

Representar graficamente uma linha com um ponto e a inclinação

Nos exercícios a seguir, represente graficamente cada linha com o ponto e a inclinação fornecidos.

Exercício$\PageIndex{53}$

$(1,-2) ; m=\frac{3}{4}$

Responda: $O gráfico mostra o plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 12 a 12. Uma linha passa pelos pontos (1, menos 2) e (5, 1).$

Exercício$\PageIndex{54}$

$(1,-1) ; m=\frac{2}{3}$

Exercício$\PageIndex{55}$

$(2,5) ; m=-\frac{1}{3}$

Responda: $O gráfico mostra o plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 12 a 12. Uma linha passa pelos pontos (2, 5) e (5, 4).$

Exercício$\PageIndex{56}$

$(1,4) ; m=-\frac{1}{2}$

Exercício$\PageIndex{57}$

$(-3,4) ; m=-\frac{3}{2}$

Responda: $O gráfico mostra o plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 12 a 12. Uma linha passa pelos pontos (menos 3, 4) e (menos 1, 1).$

Exercício$\PageIndex{58}$

$(-2,5) ; m=-\frac{5}{4}$

Exercício$\PageIndex{59}$

$(-1,-4) ; m=\frac{4}{3}$

Responda: $O gráfico mostra o plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 12 a 12. Uma linha passa pelos pontos (menos 1, menos 4) e intercepta o eixo x em (2, 0).$

Exercício$\PageIndex{60}$

$(-3,-5) ; m=\frac{3}{2}$

Exercício$\PageIndex{61}$

$y$-interceptar$3 ; m=-\frac{2}{5}$

Responda: $O gráfico mostra o plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 12 a 12. Uma linha intercepta o eixo y em (0, 3) e passa pelo ponto (5, 1).$

Exercício$\PageIndex{62}$

$y$-interceptar$5 ; m=-\frac{4}{3}$

Exercício$\PageIndex{63}$

$x$-interceptar$-2 ; m=\frac{3}{4}$

Responda: $O gráfico mostra o plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 12 a 12. Uma linha intercepta o eixo x em (menos 2, 0) e passa pelo ponto (2, 3).$

Exercício$\PageIndex{64}$

$x$-interceptar$-1 ; m=\frac{1}{5}$

Exercício$\PageIndex{65}$

$(-3,3) ; m=2$

Responda: $O gráfico mostra o plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 12 a 12. Uma linha passa pelos pontos (menos 3, 3) e (menos 2, 5).$

Exercício$\PageIndex{66}$

$(-4,2) ; m=4$

Exercício$\PageIndex{67}$

$(1,5) ; m=-3$

Responda: $O gráfico mostra o plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 12 a 12. Uma linha passa pelos pontos (1, 5) e (2, 2).$

Exercício$\PageIndex{68}$

$(2,3) ; m=-1$

Matemática diária

Exercício$\PageIndex{69}$

Inclinação de um telhado. Uma maneira fácil de determinar a inclinação de um telhado é colocar uma extremidade de um nível de 12 polegadas na superfície do telhado e mantê-la nivelada. Em seguida, pegue uma fita métrica ou régua e meça da outra extremidade do nível até a superfície do telhado. Isso lhe dará a inclinação do telhado. Os construtores, às vezes, se referem a isso como inclinação e o declaram como um “passo x 12”$\frac{x}{12}$, ou seja, onde x é a medida do telhado até o nível - a elevação. Às vezes, também é declarado como um “tom x-in-12”.

Qual é a inclinação do telhado nesta foto?
Qual é o argumento em termos de construção?
$Esta figura mostra um lado de um telhado inclinado de uma casa. A elevação do telhado é rotulada como “4 polegadas” e a inclinação do telhado é rotulada como “12 polegadas”.$

Responda

$\frac{1}{3}$
4, 12 pitch ou 4 em 12 pitch

Exercício$\PageIndex{70}$

A inclinação do telhado mostrada aqui é medida com um nível de 12” e uma régua. Qual é a inclinação desse telhado?

$Esta figura mostra um lado de um telhado inclinado de uma casa. A elevação do teto é medida com uma régua e mostrada em 7 polegadas. O comprimento do telhado é medido com um nível de doze polegadas e mostrado como sendo de 12 polegadas.$

Exercício$\PageIndex{71}$

Grau de estrada. Uma estrada local tem uma nota de 6%. O nível de uma estrada é sua inclinação expressa em porcentagem. Encontre a inclinação da estrada como uma fração e depois simplifique. Que subida e corrida refletiriam essa inclinação ou nível?

Responda: $\frac{3}{50} ;$ascensão,$=3,$ corrida$=50$

Exercício$\PageIndex{72}$

Nível de rodovia. Uma estrada local sobe 2 pés para cada 50 pés de rodovia.

Qual é a inclinação da rodovia?
O nível de uma rodovia é sua inclinação expressa em porcentagem. Qual é o nível dessa rodovia?

Exercício$\PageIndex{73}$

Rampa para cadeiras de rodas. As regras para rampas para cadeiras de rodas exigem um aumento máximo de 1 polegada para uma corrida de 12 polegadas.

Qual deve ser a extensão da rampa para acomodar uma subida de 24 polegadas até a porta?
Crie um modelo dessa rampa.

Responda

288 polegadas (24 pés)
Os modelos podem variar.

Exercício$\PageIndex{74}$

Rampa para cadeiras de rodas. Uma subida de 1 polegada para uma corrida de 16 polegadas torna mais fácil para o ciclista em cadeira de rodas subir uma rampa.

Qual deve ser o comprimento de uma rampa para acomodar facilmente uma subida de 24 polegadas até a porta?
Crie um modelo dessa rampa.

exercícios de escrita

Exercício$\PageIndex{75}$

O que o sinal da inclinação diz sobre uma linha?

Responda: Quando a inclinação é um número positivo, a linha sobe da esquerda para a direita. Quando a inclinação é um número negativo, a linha desce da esquerda para a direita.

Exercício$\PageIndex{76}$

Como o gráfico de uma linha com inclinação$m=\frac{1}{2}$ difere do gráfico de uma linha com inclinação$m=2 ?$

Exercício$\PageIndex{77}$

Por que a inclinação de uma linha vertical é “indefinida”?

Responda: Uma linha vertical tem 0 trajeto e, como a divisão por 0 é indefinida, a inclinação é indefinida.

Verificação automática

ⓐ Depois de concluir os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

$Essa tabela tem sete linhas e quatro colunas. A primeira linha é uma linha de cabeçalho e rotula cada coluna. A primeira coluna é chamada “Eu posso...”, a segunda “Confiantemente”, a terceira “Com alguma ajuda” e a última “Não, eu não entendo”. Na coluna “Eu posso...”, a próxima linha diz “use geoboards para modelar a inclinação”. A terceira linha diz “use m é igual à elevação dividida por corrida para encontrar a inclinação de uma linha a partir de seu gráfico”. A quarta linha diz “encontre a inclinação das linhas horizontais e verticais”. A quinta linha diz “use a fórmula da inclinação para encontrar a inclinação de uma linha entre dois pontos”. A sexta linha diz “representar graficamente uma linha dado um ponto e a inclinação”. A última linha diz “resolver aplicações de inclinação”. As colunas restantes estão em branco.$

ⓑ Em uma escala de 1 a 10, como você classificaria seu domínio desta seção à luz de suas respostas na lista de verificação? Como você pode melhorar isso?

Glossário

geoboard: Um geoboard é uma placa com uma grade de pinos nela.

inclinação negativa: A inclinação negativa de uma linha diminui à medida que você lê da esquerda para a direita.

inclinação positiva: Uma inclinação positiva de uma linha aumenta à medida que você lê da esquerda para a direita.

subir: A ascensão de uma linha é sua mudança vertical.

correr: O trajeto de uma linha é sua mudança horizontal.

fórmula de inclinação: A inclinação da linha entre dois pontos$\left(x_{1}, y_{1}\right)$ e$\left(x_{2}, y_{2}\right)$ é$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$.

inclinação de uma linha: A inclinação de uma linha é$m=\frac{\text { rise }}{\text { run }}$. A subida mede a mudança vertical e a corrida mede a mudança horizontal.

A prática leva à perfeição

Exercício\(\PageIndex{1}\)

Exercício\(\PageIndex{2}\)

Exercício\(\PageIndex{3}\)

Exercício\(\PageIndex{4}\)

Exercício\(\PageIndex{5}\)

Exercício\(\PageIndex{6}\)

Exercício\(\PageIndex{7}\)

Exercício\(\PageIndex{8}\)

Exercício\(\PageIndex{9}\)

Exercício\(\PageIndex{10}\)

Exercício\(\PageIndex{11}\)

Exercício\(\PageIndex{12}\)

Exercício\(\PageIndex{13}\)

Exercício\(\PageIndex{14}\)

Exercício\(\PageIndex{15}\)

Exercício\(\PageIndex{16}\)

Exercício\(\PageIndex{17}\)

Exercício\(\PageIndex{18}\)

Exercício\(\PageIndex{19}\)

Exercício\(\PageIndex{20}\)

Exercício\(\PageIndex{21}\)

Exercício\(\PageIndex{22}\)

Exercício\(\PageIndex{23}\)

Exercício\(\PageIndex{24}\)

Exercício\(\PageIndex{25}\)

Exercício\(\PageIndex{26}\)

Exercício\(\PageIndex{27}\)

Exercício\(\PageIndex{28}\)

Exercício\(\PageIndex{29}\)

Exercício\(\PageIndex{30}\)

Exercício\(\PageIndex{31}\)

Exercício\(\PageIndex{32}\)

Exercício\(\PageIndex{33}\)

Exercício\(\PageIndex{34}\)

Exercício\(\PageIndex{35}\)

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Exercício\(\PageIndex{37}\)

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Exercício\(\PageIndex{39}\)

Exercício\(\PageIndex{40}\)

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Exercício\(\PageIndex{49}\)

Exercício\(\PageIndex{50}\)

Exercício\(\PageIndex{51}\)

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Matemática diária

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exercícios de escrita

Exercício\(\PageIndex{75}\)

Exercício\(\PageIndex{76}\)

Exercício\(\PageIndex{77}\)