3.6: Resolver aplicações com desigualdades lineares
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Ao final desta seção, você poderá:
- Resolva aplicativos com desigualdades lineares
Antes de começar, faça este teste de prontidão.
- Escreva como uma desigualdade: x é pelo menos 30.
Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 2.7.34. - Resolver\(8−3y<41\).
Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 2.7.22.
Resolva aplicativos com desigualdades lineares
Muitas situações da vida real exigem que resolvamos as desigualdades. Na verdade, as aplicações de desigualdade são tão comuns que muitas vezes nem percebemos que estamos fazendo álgebra. Por exemplo, quantos galões de gasolina podem ser colocados no carro por $20? O aluguel de um apartamento é acessível? Há tempo suficiente antes da aula para ir almoçar, comer e voltar? Quanto dinheiro o presente de Natal de cada membro da família deve custar sem ultrapassar o orçamento?
O método que usaremos para resolver aplicações com desigualdades lineares é muito parecido com o que usamos quando resolvemos aplicações com equações. Vamos ler o problema e garantir que todas as palavras sejam compreendidas. Em seguida, identificaremos o que estamos procurando e atribuiremos uma variável para representá-lo. Vamos reafirmar o problema em uma frase para facilitar a tradução em uma desigualdade. Então, resolveremos a desigualdade.
Emma conseguiu um novo emprego e terá que se mudar. Sua renda mensal será de $5.265. Para se qualificar para alugar um apartamento, a renda mensal de Emma deve ser pelo menos três vezes maior do que o aluguel. Qual é o aluguel mais alto para o qual Emma se qualificará?
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\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the highest rent Emma will qualify for}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {} &{\text{Let r = rent}} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{} \\{\textbf{Step 4. Translate} \text{ into an inequality.}} &{} \\{} &{\text{Emma’s monthly income must be at least}} \\ {\text{First write a sentence that gives the information}} &{\text{three times the rent.}} \\ {\text{to find it.}} &{} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{5265 \geq 3r} \\ {\text{Remember, } a > x\text{ has the same meaning}} &{1755 \geq r} \\ {\text{as }x < a} &{r \leq 1755} \\ {\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{A maximum rent of \$1,755 seems}} &{} \\ {\text{reasonable for an income of \$5,265.}} &{} \\ {\textbf{Step 7. Answer} \text{ the answer in the problem}} &{\text{the question with a}} \\ {\text{complete sentence.}} &{\text{The maximum rent is \$1,755.}} \end{array}\)
Alan está carregando um palete com caixas, cada uma pesando 45 libras. O palete pode suportar com segurança não mais do que 900 libras. Quantas caixas ele pode carregar com segurança no palete?
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Não pode haver mais de 20 caixas.
O elevador no prédio de apartamentos de Yehire tem uma placa que diz que o peso máximo é de 2.100 libras. Se o peso médio de uma pessoa é de 150 libras, quantas pessoas podem andar de elevador com segurança?
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No máximo 14 pessoas podem andar com segurança no elevador.
Às vezes, um aplicativo exige que a solução seja um número inteiro, mas a solução algébrica para a desigualdade não é um número inteiro. Nesse caso, devemos arredondar a solução algébrica para um número inteiro. O contexto da aplicação determinará se arredondamos para cima ou para baixo. Para verificar aplicativos como esse, arredondaremos nossa resposta para um número fácil de calcular e garantiremos que esse número torne a desigualdade verdadeira.
Dawn ganhou uma mini-bolsa de $4.000 para comprar computadores tablet para sua sala de aula. Os tablets que ela gostaria de comprar custam $254,12 cada, incluindo impostos e entrega. Qual é o número máximo de tablets que a Dawn pode comprar?
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\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the maximum number of tablets Dawn can buy}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {} &{\text{Let n = the number of tablets.}} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{} \\{\text{gives the information to find it.}} &{$254.12\text{ times the number of tablets is no}} \\ {} &{\text{more than \$4000.}} \\ {\text{Translate into an inequality.}} &{254.12n \leq 4000} \\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{n \leq 15.74} \\ {\text{But n must be a whole number of tablets,}} &{} \\ {\text{so round to 15.}} &{n \leq 15}\\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{Rounding down the price to \$250,}} &{} \\ {\text{15 tablets would cost \$3750, while}} &{} \\ {\text{16 tablets would be \$4000. So a}} &{} \\{\text{maximum of 15 tablets at \$254.12}} &{} \\ {\text{seems reasonable.}} &{} \\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the answer in the problem}} &{\text{the question with a}} \\ {\text{complete sentence.}} &{\text{Dawn can buy a maximum of 15 tablets.}} \end{array}\)
Angie tem $20 para gastar em caixas de suco para o piquenique pré-escolar de seu filho. Cada pacote de caixas de suco custa $2,63. Qual é o número máximo de pacotes que ela pode comprar?
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sete pacotes
Daniel quer surpreender a namorada com uma festa de aniversário no restaurante favorito dela. O jantar custará $42,75 por pessoa, incluindo gorjeta e impostos. Seu orçamento para a festa é de $500. Qual é o número máximo de pessoas que Daniel pode ter na festa?
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11 pessoas
Pete trabalha em uma loja de informática. Seu pagamento semanal será de um valor fixo, $925 ou $500 mais 12% de suas vendas totais. Quanto deve ser o total de suas vendas para que sua opção de pagamento variável exceda o valor fixo de $925?
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\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the total sales needed for his variable pay}} \\ {} &{\text{option to exceed the fixed amount of \$925}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {} &{\text{Let s = the total sales.}} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{} \\{\text{gives the information to find it.}} &{$500\text{ plus 12% of total sales is more than \$925.}} \\ {\text{Translate into an inequality. Remember to}} &{500 + 0.12s > 925} \\{\text{convert the percent to a decimal.}} &{} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{0.12s > 425} \\ {} &{s > 3541.\overline{66}} \\ \\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{Rounding down the price to \$250,}} &{} \\ {\text{15 tablets would cost \$3750, while}} &{} \\ {\text{If we round the total sales up to}} &{} \\{\text{\$4000, we see that}} &{} \\ {\text{500+0.12(4000) = 980, which is more}} &{} \\ {\text{than \$925.}} &{} \\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the the question with a complete sentence.}} &{\text{The total sales must be more than \$3541.67}} \end{array}\)
Tiffany acabou de se formar na faculdade e seu novo emprego lhe pagará $20.000 por ano, mais 2% de todas as vendas. Ela quer ganhar pelo menos $100.000 por ano. Para qual total de vendas ela conseguirá atingir sua meta?
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pelo menos $4000000
Christian recebeu uma oferta de emprego que paga $24.000 por ano, mais 3% das vendas. Para que vendas totais esse novo emprego pagaria mais do que seu emprego atual, que paga $60.000?
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pelo menos $1200.000
Sergio e Lizeth têm um orçamento de férias muito apertado. Eles planejam alugar um carro de uma empresa que cobra $75 por semana mais $0,25 por milha. Quantas milhas eles podem viajar e ainda manter dentro do orçamento de $200?
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\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the number of miles Sergio and Lizeth can travel}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {} &{\text{Let m = the number of miles.}} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{\text{\$75 plus 0.25 times the number of miles is}} \\{\text{gives the information to find it.}} &{\text{ less than or equal to \$200.}} \\ {\text{Translate into an inequality. }} &{75 + 25m \leq 200} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{0.25m \leq 125} \\ {} &{m \leq 500 \text{ miles}} \\ \\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{Yes, 75 + 0.25(500) = 200.}} & {}\\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the the question with a complete sentence.}} &{\text{Sergio and Lizeth can travel 500 miles}} \\ {} &{\text{and still stay on budget.}} \end{array}\)
O plano telefônico de Taleisha custa a ela $28,80 por mês mais $0,20 por mensagem de texto. Quantas mensagens de texto ela pode usar e manter sua conta telefônica mensal não superior a $50?
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não mais do que 106 mensagens de texto
A conta de aquecimento da Rameen é de $5,42 por mês mais $1,08 por termo. Quantas garrafas térmicas Rameen pode usar se quiser que sua conta de aquecimento seja de no máximo $87,50?
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não mais do que 76 termas
Um objetivo comum da maioria das empresas é obter lucro. Lucro é o dinheiro que permanece quando as despesas são subtraídas do dinheiro ganho. No próximo exemplo, encontraremos o número de trabalhos que um pequeno empresário precisa realizar todos os meses para obter um certo lucro.
Elliot tem uma empresa de manutenção paisagística. Suas despesas mensais são de $1.100. Se ele cobra $60 por trabalho, quantos empregos ele deve fazer para obter um lucro de pelo menos $4.000 por mês?
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\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the number of jobs Elliot needs}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {\text{Choose a variable to represent it}} &{\text{Let j = the number of jobs.}} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{\text{\$60 times the number of jobs minus \$1,100 is at least \$4,000.}} \\{\text{gives the information to find it.}} &{\text{ less than or equal to \$200.}} \\ {\text{Translate into an inequality. }} &{60j - 1100 \geq 4000} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{60j \geq 5100} \\ {} &{j \geq 85\text{ jobs}} \\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{If Elliot did 90 jobs, his profit would be}} & {}\\ {\text{60(90)−1,100,or \$4,300. This is}} &{} \\ {\text{more than \$4,000.}} &{} \\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the the question with a complete sentence.}} &{\text{Elliot must work at least 85 jobs.}} \end{array}\)
Caleb tem um negócio de babá de animais de estimação. Ele cobra $32 por hora. Suas despesas mensais são de $2272. Quantas horas ele deve trabalhar para obter um lucro de pelo menos $800 por mês?
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pelo menos 96 horas
Felicity tem um negócio de caligrafia. Ela cobra $2,50 por convite de casamento. Suas despesas mensais são de $650. Quantos convites ela deve escrever para obter um lucro de pelo menos $2800 por mês?
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pelo menos 1380 convites
Às vezes, a vida fica complicada! Há muitas situações em que várias quantidades contribuem para a despesa total. Devemos nos certificar de contabilizar todas as despesas individuais ao resolvermos problemas como esse.
A melhor amiga de Brenda está tendo um casamento no destino e o evento durará 3 dias. Brenda economiza $500 e pode ganhar $15 por hora como babá. Ela espera pagar $350 de passagem aérea, $375 para comida e entretenimento e $60 por noite por sua parte em um quarto de hotel. Quantas horas ela deve ser babá para ter dinheiro suficiente para pagar a viagem?
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\(\begin{array} {ll} {\textbf{Step 1. Read} \text{ the problem.}} &{} \\ {\textbf{Step 2. Identify} \text{ what we are looking for.}} &{\text{the number of hours Brenda must babysit}} \\ {\textbf{Step 3. Name} \text{ what we are looking for.}} &{} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{\text{Let h = the number of hours.}} \\{\textbf{Step 4. Translate.} \text{ write a sentence that}} &{} \\{\text{gives the information to find it.}} &{} \\ {} &{\text{The expenses must be less than or equal to}} \\ {} &{\text{the income. The cost of airfare plus the}} \\ {} &{\text{cost of food and entertainment and the}} \\ {} &{\text{hotel bill must be less than or equal to the savings}} \\ {} &{\text{plus the amount earned babysitting.}} \\ {\text{Translate into an inequality. }} &{\$350 + \$375 + \$60(3) \leq \$500 + \$15h} \\\\ {\textbf{Step 5. Solve} \text{ the inequality.}} &{905 \leq 500 + 15h} \\{} &{405 \leq 15h} \\ {} &{27 \leq h} \\ {} &{h \geq 27} \\ \\{\textbf{Step 6. Check} \text{ the answer in the problem}} &{} \\ {\text{and make sure it makes sense.}} &{} \\ {\text{We substitute 27 into the inequality.}} & {}\\{905 \leq 500 + 15h} &{} \\ {905 \leq 500 + 15(27)} &{} \\ {905 \leq 905} &{} \\ \\{\textbf{Step 7. Answer} \text{ the the question with a complete sentence.}} &{\text{Brenda must babysit at least 27 hours.}} \end{array}\)
Malik está planejando uma viagem de férias de verão de 6 dias. Ele economiza $840 e ganha $45 por hora para dar aulas particulares. A viagem custará a ele $525 para passagem aérea, $780 para comida e passeios turísticos e $95 por noite para o hotel. Quantas horas ele deve ensinar para ter dinheiro suficiente para pagar a viagem?
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pelo menos 23 horas
Josue quer fazer uma viagem de 10 dias na próxima primavera. Custará a ele $180 para gasolina, $450 para comida e $49 por noite para um motel. Ele tem $520 em economias e pode ganhar $30 por calçada removendo neve. Quantas calçadas ele deve cavar para ter dinheiro suficiente para pagar a viagem?
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pelo menos 20 calçadas
Conceitos-chave
- Resolvendo desigualdades
- Leia o problema.
- Identifique o que estamos procurando.
- Diga o que estamos procurando. Escolha uma variável para representar essa quantidade.
- Traduzir. Escreva uma frase que forneça as informações para encontrá-la. Traduza em uma desigualdade.
- Resolva a desigualdade.
- Verifique a resposta do problema e verifique se faz sentido.
- Responda à pergunta com uma frase completa.