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3.5: Resolva aplicações de movimento uniforme

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de

    Ao final desta seção, você poderá:

    • Resolva aplicações de movimento uniforme
    Nota

    Antes de começar, faça este teste de prontidão.

    1. Encontre a distância percorrida por um carro percorrendo 70 milhas por hora durante 3 horas.
      Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 2.6.1.
    2. Resolver\(x+1.2(x−10)=98\).
      Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 2.4.7.
    3. Converta 90 minutos em horas.
      Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 1.11.1.

    Resolva aplicações de movimento uniforme

    Ao planejar uma viagem de carro, muitas vezes é útil saber quanto tempo levará para chegar ao destino ou até onde viajar todos os dias. Usaríamos a fórmula de distância, taxa e tempo, D = RT, que já vimos.

    Nesta seção, usaremos essa fórmula em situações que exigem um pouco mais de álgebra para serem resolvidas do que as que vimos anteriormente. Geralmente, compararemos dois cenários, como dois veículos viajando em taxas diferentes ou em direções opostas. Quando a velocidade de cada veículo é constante, chamamos aplicações como essas de problemas de movimento uniforme.

    Nossas estratégias de solução de problemas ainda se aplicarão aqui, mas aumentaremos a primeira etapa. A primeira etapa incluirá desenhar um diagrama que mostre o que está acontecendo no exemplo. Desenhar o diagrama nos ajuda a entender o que está acontecendo para que possamos escrever uma equação apropriada. Em seguida, faremos uma tabela para organizar as informações, como fizemos para os aplicativos de dinheiro.

    As etapas estão listadas aqui para facilitar a consulta:

    USE UMA ESTRATÉGIA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS EM APLICAÇÕES DE DISTÂNCIA, TAXA E TEMPO.
    1. Leia o problema. Certifique-se de que todas as palavras e ideias sejam compreendidas.
      • Desenhe um diagrama para ilustrar o que está acontecendo.
      • Crie uma tabela para organizar as informações.
      • Identifique as colunas taxa, tempo e distância.
      • Liste os dois cenários.
      • Escreva as informações que você conhece.
      Uma tabela com três linhas e quatro colunas e uma célula extra na parte inferior da quarta coluna. A primeira linha é uma linha de cabeçalho e é lida da esquerda para a direita _____, Taxa, Tempo e Distância. O resto das células estão em branco.
    2. Identifique o que estamos procurando.
    3. Diga o que estamos procurando. Escolha uma variável para representar essa quantidade.
      • Complete o gráfico.
      • Use expressões variáveis para representar essa quantidade em cada linha.
      • Multiplique a taxa pelo tempo para obter a distância.
    4. Traduza em uma equação.
      • Reafirme o problema em uma frase com todas as informações importantes.
      • Em seguida, traduza a frase em uma equação.
    5. Resolva a equação usando boas técnicas de álgebra.
    6. Verifique a resposta do problema e verifique se faz sentido.
    7. Responda à pergunta com uma frase completa.
    Exercício\(\PageIndex{1}\)

    Um trem expresso e um trem local partem de Pittsburgh para viajar para Washington, D.C. O trem expresso pode fazer a viagem em 4 horas e o trem local leva 5 horas para a viagem. A velocidade do trem expresso é 12 milhas por hora mais rápida do que a velocidade do trem local. Encontre a velocidade dos dois trens.

    Responda

    Etapa 1. Leia o problema. Certifique-se de que todas as palavras e ideias sejam compreendidas.

    Desenhe um diagrama para ilustrar o que está acontecendo. Abaixo, é mostrado um esboço do que está acontecendo no exemplo.

    Pittsburgh e Washington, DC, são representados por duas linhas separadas. Há uma linha marcada como Express Train de Pittsburgh a Washington que é 12 mph mais rápida e 4 horas de duração. Há uma linha marcada como trem local de Pittsburgh a Washington que leva 5 horas. O espaço entre Pittsburgh e Washington está marcado.
    Uma tabela com três linhas e quatro colunas. A primeira linha é uma linha de cabeçalho e é lida da esquerda para a direita _____, Taxa (mph), Tempo (horas) e Distância (milhas). Abaixo da célula do cabeçalho em branco, temos Express e depois Local. Abaixo da célula do cabeçalho Time, temos 4 e depois 5. O resto das células estão em branco.

    Crie uma tabela para organizar as informações. Rotule as colunas como “Taxa”, “Tempo” e “Distância”. Liste os dois cenários. Escreva as informações que você conhece.

    Etapa 2. Identifique o que estamos procurando.

    Somos solicitados a encontrar a velocidade dos dois trens. Observe que a fórmula da distância usa a palavra “taxa”, mas é mais comum usar “velocidade” quando falamos sobre veículos no inglês cotidiano.

    Etapa 3. Diga o que estamos procurando. Escolha uma variável para representar essa quantidade.

    Complete o gráfico Use expressões variáveis para representar essa quantidade em cada linha. Estamos procurando a velocidade dos trens. Vamos deixar r representar a velocidade do trem local. Como a velocidade do trem expresso é 12 mph mais rápida, representamos isso como r+12.

    \[\begin{aligned} r &=\text { speed of the local train } \\ r+12 &=\text { speed of the express train } \end{aligned}\]

    Preencha as velocidades no gráfico.

    Uma tabela com três linhas e quatro colunas. A primeira linha é uma linha de cabeçalho e é lida da esquerda para a direita _____, Taxa (mph), Tempo (horas) e Distância (milhas). Abaixo da célula do cabeçalho em branco, temos Express e depois Local. Abaixo da célula do cabeçalho Rate, temos r mais 12 e depois r. Abaixo da célula do cabeçalho Time, temos 4 e depois 5. O resto das células estão em branco.

    Multiplique a taxa pelo tempo para obter a distância.

    Uma tabela com três linhas e quatro colunas. A primeira linha é uma linha de cabeçalho e é lida da esquerda para a direita _____, Taxa (mph), Tempo (horas) e Distância (milhas). Abaixo da célula do cabeçalho em branco, temos Express e depois Local. Abaixo da célula do cabeçalho Rate, temos r mais 12 e depois r. Abaixo da célula do cabeçalho Time, temos 4 e depois 5. Abaixo da célula do cabeçalho Distância, temos 4 vezes a quantidade (r mais 12) e depois 5r.

    Etapa 4. Traduza em uma equação.

    Reafirme o problema em uma frase com todas as informações importantes. Em seguida, traduza a frase em uma equação.
    A frase “A distância percorrida pelo trem expresso é igual à distância percorrida pelo trem local” pode ser traduzida para uma equação. Traduza “distância percorrida pelo trem expresso” para 4 vezes a quantidade r mais 12 e traduza “distância percorrida pelo trem local” para 5r. A equação completa é 4 vezes a quantidade r mais 12 é igual a 5r.
    • A equação para modelar essa situação virá da relação entre as distâncias. Veja o diagrama que desenhamos acima. Como a distância percorrida pelo trem expresso está relacionada à distância percorrida pelo trem local?
    • Como os dois trens partem de Pittsburgh e viajam para Washington, DC, eles percorrem a mesma distância. Então, escrevemos:

    Etapa 5. Resolva a equação usando boas técnicas de álgebra.

    Agora resolva essa equação.

    .
    .
    .

    Portanto, a velocidade do trem local é de 48 mph.
    Encontre a velocidade do trem expresso.

    .
    .
    .

    A velocidade do trem expresso é de 60 mph.
    Etapa 6. Verifique a resposta do problema e verifique se faz sentido. \[\begin{array}{ll}{\text { express train }} & {60 \mathrm{mph}(4 \text { hours })=240 \mathrm{miles}} \\ {\text { local train }} & {48 \mathrm{mph}(5 \text { hours })=240 \mathrm{miles} \checkmark \end{array}\]

    Etapa 7. Responda à pergunta com uma frase completa.

    A velocidade do trem local é de 48 mph e a velocidade do trem expresso é 60 mph.
    Exercício\(\PageIndex{2}\)

    Wayne e Dennis gostam de andar de bicicleta do Riverside Park até a praia. A velocidade de Dennis é sete milhas por hora mais rápida do que a de Wayne, então Wayne leva 2 horas para ir até a praia, enquanto Dennis leva 1,5 horas para viajar. Descubra a velocidade dos dois motociclistas.

    Responda

    Wayne 21 mph, Dennis 28 mph

    Exercício\(\PageIndex{3}\)

    Jeromy pode dirigir de sua casa em Cleveland até sua faculdade em Chicago em 4,5 horas. Sua mãe leva 6 horas para fazer a mesma viagem. Jeromy dirige 20 milhas por hora mais rápido que sua mãe. Descubra a velocidade de Jeromy e a velocidade de sua mãe.

    Responda

    Jeromy 80 mph, mãe 60 mph

    No Exercício\(\PageIndex{4}\), o último exemplo, tínhamos dois trens percorrendo a mesma distância. O diagrama e o gráfico nos ajudaram a escrever a equação que resolvemos. Vamos ver como isso funciona em outro caso.

    Exercício\(\PageIndex{4}\)

    Christopher e seus pais moram a 115 milhas de distância. Eles se conheceram em um restaurante entre suas casas para comemorar o aniversário de sua mãe. Christopher dirigiu 1,5 horas enquanto seus pais dirigiam 1 hora para chegar ao restaurante. A velocidade média de Christopher era 10 milhas por hora mais rápida do que a velocidade média de seus pais. Quais foram as velocidades médias de Christopher e de seus pais enquanto dirigiam até o restaurante?

    Responda

    Etapa 1. Leia o problema. Certifique-se de que todas as palavras e ideias sejam compreendidas.

    Desenhe um diagrama para ilustrar o que está acontecendo. Abaixo, mostra um esboço do que está acontecendo no exemplo.

    Christopher e Parents são representados por duas linhas separadas. A distância entre essas duas linhas é marcada como 115 milhas. O almoço também está localizado entre Christopher e Parents. Há uma flecha de Christopher que está marcada 10 mph mais rápido e 1,5 horas. Há uma seta dos pais marcada como 1 hora. Essas duas flechas se encontram em algum lugar entre Christopher e Parents.

    Crie uma tabela para organizar as informações.

    Identifique as colunas taxa, tempo e distância.

    Liste os dois cenários.

    Escreva as informações que você conhece.

    Uma tabela com três linhas e quatro colunas e uma célula extra na parte inferior da quarta coluna. A primeira linha é uma linha de cabeçalho e é lida da esquerda para a direita em branco, Taxa (mph), Tempo (horas) e Distância (milhas). Abaixo da célula do cabeçalho em branco, temos Christopher and Parents. Abaixo da célula do cabeçalho de tempo, temos 1,5 e 1. A célula extra contém 115. O resto das células estão em branco.

    Etapa 2. Identifique o que estamos procurando.

    Somos convidados a encontrar as velocidades médias de Christopher e seus pais.

    Etapa 3. Diga o que estamos procurando. Escolha uma variável para representar essa quantidade.

    Complete o gráfico.
    Use expressões variáveis para representar essa quantidade em cada linha.
    Estamos procurando suas velocidades médias. Vamos deixar r representar a velocidade média dos pais. Como a velocidade de Christopher é 10 mph mais rápida, representamos isso como r+10.

    Preencha as velocidades no gráfico.

    Uma tabela com três linhas e quatro colunas e uma célula extra na parte inferior da quarta coluna. A primeira linha é uma linha de cabeçalho e é lida da esquerda para a direita em branco, Taxa (mph), Tempo (horas) e Distância (milhas). Abaixo da célula do cabeçalho em branco, temos Christopher and Parents. Abaixo da célula do cabeçalho da taxa, temos r mais 10 e r. Abaixo da célula do cabeçalho de tempo, temos 1,5 e 1. Abaixo da célula do cabeçalho de distância, temos 1,5 vezes a quantidade (r mais 10), r e 115.

    Multiplique a taxa pelo tempo para obter a distância.

    Etapa 4. Traduza em uma equação.

    Reafirme o problema em uma frase com todas as informações importantes. Em seguida, traduza a frase em uma equação. Novamente, precisamos identificar uma relação entre as distâncias para escrever uma equação. Veja o diagrama que criamos acima e observe a relação entre a distância que Christopher percorreu e a distância que seus pais percorreram.

    A distância percorrida por Christopher mais a distância que seus pais percorreram devem somar 115 milhas. Então, escrevemos:

    A frase “A distância percorrida por Christopher mais a distância percorrida por seus pais é igual a 115 milhas” pode ser traduzida para uma equação. Traduza “distância percorrida por Christopher” para 1,5 vezes a quantidade r mais 10 e traduza “distância percorrida por seus pais” para r. A equação completa é 1,5 vezes a quantidade r mais 10, mais r é igual a 115.

    Etapa 5. Resolva a equação usando boas técnicas de álgebra.

    \(\begin{array} {cc} {} &{1.5(r + 10) + r = 115} \\ {} &{1.5r + 15 + r = 115} \\ {\text{Now solve this equation.}} &{2.5r + 15 = 115} \\{} &{2.5r = 100} \\{} &{r = 40} \\ {} &{\text{so the parents' speed was 40 mph.}} \\ {} &{r + 10} \\ {\text{Christopher's speed is r + 10}} &{40 + 10} \\ {} &{50} \\ {} &{\text{Christopher's speed was 50 mph.}} \\ {} &{} \end{array}\)

    Etapa 6. Verifique a resposta do problema e verifique se faz sentido.

    \(\begin{array}{llll} {\text{Christopher drove}} &{50\text{ mph (1.5 hours)}} &{=} &{75\text{ miles}}\\ {\text{His parents drove}} &{40\text{ mph (1 hour)}} &{=} &{\underline{40 \text{ miles}}}\\ {} &{} &{} &{115\text{ miles}} \end{array}\)

    \(\begin{array}{ll} {\textbf{Step 7. Answer}\text{ the question with a complete sentence.}} &{} \\{} &{\text{Christopher's speed was 50 mph.}}\\ {} &{\text{His parents' speed was 40 mph.}} \end{array}\)

    Exercício\(\PageIndex{5}\)

    Carina está dirigindo de sua casa em Anaheim para Berkeley no mesmo dia em que seu irmão está dirigindo de Berkeley para Anaheim, então eles decidem se encontrar para almoçar no caminho em Buttonwillow. A distância de Anaheim a Berkeley é 410 milhas. Carina leva 3 horas para chegar a Buttonwillow, enquanto seu irmão dirige 4 horas para chegar lá. A velocidade média que o irmão de Carina dirigia era 15 milhas por hora mais rápida do que a velocidade média de Carina. Encontre as velocidades médias de Carina e de seu irmão.

    Responda

    Carina 50 mph, irmão 65 mph

    Exercício\(\PageIndex{6}\)

    Ashley vai para a faculdade em Minneapolis, a 234 milhas de sua casa em Sioux Falls. Ela quer que seus pais lhe tragam mais roupas de inverno, então eles decidem se encontrar em um restaurante na estrada entre Minneapolis e Sioux Falls. Ashley e seus pais dirigiram 2 horas até o restaurante. A velocidade média de Ashley era sete milhas por hora mais rápida do que a velocidade média de seus pais. Encontre a velocidade média de Ashley e de seus pais.

    Responda

    pais 55 mph, Ashley 62 mph

    Ao ler o próximo exemplo, pense na relação das distâncias percorridas. Qual dos dois exemplos anteriores é mais parecido com essa situação?

    Exercício\(\PageIndex{7}\)

    Dois caminhoneiros deixam uma área de descanso na rodovia interestadual ao mesmo tempo. Um caminhão viaja para o leste e o outro para o oeste. O caminhão que viaja para o oeste viaja a 70 mph e o caminhão que viaja para o leste tem uma velocidade média de 60 mph. Quanto tempo eles viajarão antes de ficarem separados por 325 milhas?

    Responda

    Etapa 1. Leia o problema. Certifique-se de que todas as palavras e ideias sejam compreendidas.

    Desenhe um diagrama para ilustrar o que está acontecendo.

    Oeste e Leste são representados por duas linhas separadas. A distância entre essas duas linhas está marcada em 325 milhas. A parada de descanso também está localizada entre o oeste e o leste. Há uma seta da parada de descanso em direção ao oeste que está marcada 70 mph. Há uma seta da parada de descanso em direção ao leste que está marcada 60 mph.

    Crie uma tabela para organizar as informações.

    Uma tabela com três linhas e quatro colunas e uma célula extra na parte inferior da quarta coluna. A primeira linha é uma linha de cabeçalho e é lida da esquerda para a direita em branco, Taxa (mph), Tempo (horas) e Distância (milhas). Abaixo da célula do cabeçalho em branco, temos Oeste e Leste. Abaixo da célula do cabeçalho da taxa, temos 70 e 60. A célula extra contém 325. O resto das células estão em branco.

    Etapa 2. Identifique o que estamos procurando.

    Somos solicitados a descobrir quanto tempo os caminhões viajarão até que estejam separados por 325 milhas.

    Etapa 3. Diga o que estamos procurando. Escolha uma variável para representar essa quantidade.

    Estamos procurando o tempo viajado. Ambos os caminhões viajarão na mesma quantidade de tempo. Vamos chamar a hora de t. Como suas velocidades são diferentes, eles percorrerão distâncias diferentes. Complete o gráfico.

    Uma tabela com três linhas e quatro colunas e uma célula extra na parte inferior da quarta coluna. A primeira linha é uma linha de cabeçalho e é lida da esquerda para a direita em branco, Taxa (mph), Tempo (horas) e Distância (milhas). Abaixo da célula do cabeçalho em branco, temos Oeste e Leste. Abaixo da célula do cabeçalho da taxa, temos 70 e 60. Abaixo da célula da cabeça temporal, temos t e t. Abaixo da célula do cabeçalho Distância temos 70t, 60t e 325.

    Etapa 4. Traduza em uma equação.

    Precisamos encontrar uma relação entre as distâncias para escrever uma equação. Olhando o diagrama, qual é a relação entre a distância que cada um dos caminhões percorrerá? A distância percorrida pelo caminhão em direção ao oeste mais a distância percorrida pelo caminhão indo para o leste deve somar 325 milhas. Então, escrevemos:

    A distância percorrida pelo caminhão na direção oeste mais a distância percorrida pelo caminhão para o leste é igual a 325. A primeira parte corresponde a 70t e a segunda parte corresponde a 60.

    Etapa 5. Resolva a equação usando boas técnicas de álgebra.

    \[\begin{array} {lrll} {\text{Now solve this equation. }} & {70 t+60 t} &{=} &{325} \\ {} &{130 t} &{=} &{325} \\ {} &{t} &{=} &{2.5} \end{array}\]

    Etapa 6. Verifique a resposta do problema e verifique se faz sentido.

    \(\begin{array}{llll} {\text{Truck going West}} &{70\text{ mph (2.5 hours)}} &{=} &{175\text{ miles}}\\ {\text{Truck going East}} &{60\text{ mph (2.5 hour)}} &{=} &{\underline{150 \text{ miles}}}\\ {} &{} &{} &{325\text{ miles}} \end{array}\)

    \(\begin{array}{ll} \\{\textbf{Step 7. Answer}\text{ the question with a complete sentence.}} &{\text{It will take the truck 2.5 hours to be 325 miles apart.}} \end{array}\)

    Exercício\(\PageIndex{8}\)

    Pierre e Monique deixam sua casa em Portland ao mesmo tempo. Pierre dirige para o norte na rodovia a uma velocidade de 75 milhas por hora, enquanto Monique dirige para o sul a uma velocidade de 68 milhas por hora. Quanto tempo eles levarão para ficarem separados por 429 milhas?

    Responda

    3 horas

    Exercício\(\PageIndex{9}\)

    Thanh e Nhat deixam seu escritório em Sacramento ao mesmo tempo. Thanh dirige para o norte na I-5 a uma velocidade de 72 milhas por hora. Nhat dirige para o sul na I-5 a uma velocidade de 76 milhas por hora. Quanto tempo eles levarão para ficarem a 330 milhas de distância?

    Responda

    2,2 horas

    COMBINANDO UNIDADES EM PROBLEMAS

    É importante garantir que as unidades correspondam quando usamos a fórmula da taxa de distância e do tempo. Por exemplo, se a tarifa for em milhas por hora, o tempo deverá ser em horas.

    Exercício\(\PageIndex{10}\)

    Quando Katie Mae vai para a escola, ela leva 30 minutos. Se ela andar de bicicleta, leva 15 minutos. Sua velocidade é três milhas por hora mais rápida quando ela anda de bicicleta do que quando caminha. Qual é sua velocidade de caminhada e sua velocidade ao andar de bicicleta?

    Responda

    Primeiro, desenhamos um diagrama que representa a situação para nos ajudar a ver o que está acontecendo.

    Uma casa e uma escola são representadas por duas linhas separadas. Há uma linha marcada caminhando da casa até a escola que leva 30 minutos. Há uma linha marcada de bicicleta da casa até a escola que leva 15 minutos e é 3 mph mais rápida. O espaço entre a casa e a escola está marcado à distância.

    Somos convidados a encontrá-la caminhando rapidamente e andando de bicicleta. Vamos chamá-la de velocidade de caminhada r. Como sua velocidade de bicicleta é três milhas por hora mais rápida, chamaremos essa velocidade de r+3. Escrevemos as velocidades no gráfico.

    A velocidade está em milhas por hora, então também precisamos expressar os horários em horas para que as unidades sejam as mesmas. Lembre-se de que uma hora equivale a 60 minutos. Então:

    \[\begin{array}{l}{30 \text { minutes is } \frac{30}{60} \text { or } \frac{1}{2} \text { hour }} \\ {15 \text { minutes is } \frac{15}{60} \text { or } \frac{1}{4} \text { hour }}\end{array}\]

    Em seguida, multiplicamos a taxa pelo tempo para preencher a coluna de distância.

    Uma tabela com três linhas e quatro colunas. A primeira linha é uma linha de cabeçalho e é lida da esquerda para a direita em branco, Taxa (mph), Tempo (horas) e Distância (milhas). Abaixo da célula do cabeçalho em branco, temos caminhada e bicicleta. Abaixo da célula do cabeçalho da taxa, temos r e r mais 3. Abaixo da célula do cabeçalho temporal, temos 1/2 e 1/4. Abaixo da célula de distância, temos 1/2 vezes r e 1/4 vezes a quantidade (r mais 3).

    A equação virá do fato de que a distância da casa de Katie Mae até a escola é a mesma, esteja ela andando ou andando de bicicleta.

    Então, dizemos:

      .
    Traduza em uma equação. .
    Resolva essa equação. .
    Limpe as frações multiplicando pelo LCD de todas as frações na equação. .
    Simplifique. .
    .
    .
    .
    .
    .
    6 mph
    (Katie) Velocidade de ciclismo de Mae)
    Vamos verificar se isso funciona.
    Caminhe 3 mph (0,5 hora) = 1,5 milhas
    Bicicleta 6 mph (0,25 hora) = 1,5 milhas    		  
    Sim, de qualquer forma, Katie Mae viaja 1,5 milhas até a escola. A velocidade de caminhada de Katie Mae é de 3 mph.
    Sua velocidade andando de bicicleta é de 6 mph.
    Exercício\(\PageIndex{11}\)

    Suzy leva 50 minutos para subir a colina do estacionamento até a torre de observação. Ela leva 30 minutos para caminhar de volta até o estacionamento. Sua velocidade descendo é 1,2 milhas por hora mais rápida do que sua velocidade subindo. Descubra as velocidades de subida e descida de Suzy.

    Responda

    subida 1,8 mph, descida três mph

    Exercício\(\PageIndex{12}\)

    Llewyn leva 45 minutos para dirigir seu barco rio acima da doca até seu local de pesca favorito. Ele leva 30 minutos para dirigir o barco de volta rio abaixo até a doca. A velocidade do barco descendo a corrente é quatro milhas por hora mais rápida do que a velocidade que vai rio acima. Encontre as velocidades a montante e a jusante do barco.

    Responda

    rio acima 8 mph, rio abaixo 12 mph

    Na fórmula de distância, taxa e tempo, o tempo representa a quantidade real de tempo decorrido (em horas, minutos etc.). Se um problema nos fornecer os horários de início e término como horários de relógio, devemos encontrar o tempo decorrido para usar a fórmula.

    Exercício\(\PageIndex{13}\)

    Hamilton adora viajar para Las Vegas, a 255 milhas de sua casa em Orange County. Em sua última viagem, ele saiu de casa às 14h. A primeira parte de sua viagem foi em rodovias congestionadas da cidade. Às 16h, o trânsito diminuiu e ele conseguiu dirigir pelo deserto a uma velocidade 1,75 vezes mais rápida do que quando dirigia na área congestionada. Ele chegou a Las Vegas às 18h30. Com que velocidade ele estava dirigindo durante cada parte de sua viagem?

    Responda

    Um diagrama nos ajudará a modelar essa viagem.

    Home (14h) e Las Vegas (18h30) são representadas por duas linhas separadas. O espaço entre casa e Las Vegas está marcado a 255 milhas. Há uma seta marcada pela cidade dirigindo de casa/14:00 às 16:00. Depois, há uma seta marcada como deserto partindo da ponta da anterior às 16h até Las Vegas/18h30.

    Em seguida, criamos uma tabela para organizar as informações.

    Sabemos que a distância total é de 255 milhas. Estamos procurando a taxa de velocidade para cada parte da viagem. A taxa no deserto é 1,75 vezes a taxa na cidade. Se deixarmos r = a taxa na cidade, então a taxa no deserto é de 1,75r.

    Os horários aqui são dados como horários do relógio. Hamilton partiu de casa às 14h e entrou no deserto às 16h30. Então, ele passou duas horas dirigindo pelas rodovias congestionadas da cidade. Em seguida, ele dirigiu mais rápido das 16h às 18h30 no deserto. Então ele dirigiu 2,5 horas no deserto.

    Agora, multiplicamos as taxas pelos tempos.

    Uma tabela com três linhas e quatro colunas e uma célula extra na parte inferior da quarta coluna. A primeira linha é uma linha de cabeçalho e é lida da esquerda para a direita em branco, Taxa (mph), Tempo (horas) e Distância (milhas). Abaixo da célula do cabeçalho em branco, temos a cidade e o deserto. Abaixo da célula do cabeçalho da taxa, temos r e 1,75r. Abaixo da célula principal do tempo, temos 2 e 2,5. Abaixo da célula do cabeçalho de Distância, temos 2r, 2,5 vezes 1,75r e 255.

    Observando o diagrama abaixo, podemos ver que a soma da distância percorrida na cidade e da distância percorrida no deserto é de 255 milhas.

      .
    Traduza em uma equação. .
    Resolva essa equação. .
    .
    .
    .
    .
    .
    .
    Verifique.

    .    		  
      Hamilton dirigiu 40 mph na cidade e 70 mph no deserto.
    Exercício\(\PageIndex{14}\)

    Cruz está treinando para competir em um triatlo. Ele saiu de casa às 6:00 e correu até 7:30. Então ele andou de bicicleta até as 9:45. Ele percorreu uma distância total de 51 milhas. Sua velocidade ao andar de bicicleta era 1,6 vezes sua velocidade ao correr. Encontre as velocidades de ciclismo e corrida de Cruz.

    Responda

    pedalando 16 mph, correndo 10 mph

    Exercício\(\PageIndex{15}\)

    Phuong saiu de casa em sua bicicleta às 10:00. Ele andou na rua plana até 11:15, depois subiu a colina até 11:45. Ele andou um total de 31 milhas. Sua velocidade subindo a colina foi 0,6 vezes a velocidade em uma rua plana. Encontre sua bicicleta de velocidade subindo a colina e na rua plana.

    Responda

    subida 12 mph, rua plana 20 mph

    Conceitos-chave

    • Distância, taxa e tempo
      • D = rt onde D = distância, r = taxa, t = tempo
    • Estratégia de resolução de problemas — aplicações de distância, taxa e tempo
      1. Leia o problema. Certifique-se de que todas as palavras e ideias sejam compreendidas.
        Desenhe um diagrama para ilustrar o que está acontecendo.
        Crie uma tabela para organizar as informações: rotule as colunas taxa, tempo e distância. Liste os dois cenários. Escreva as informações que você conhece.
      2. Identifique o que estamos procurando.
      3. Diga o que estamos procurando. Escolha uma variável para representar essa quantidade.
        Complete o gráfico.
        Use expressões variáveis para representar essa quantidade em cada linha.
        Multiplique a taxa pelo tempo para obter a distância.
      4. Traduza em uma equação.
        Reafirme o problema em uma frase com todas as informações importantes.
        Em seguida, traduza a frase em uma equação.
      5. Resolva a equação usando boas técnicas de álgebra.
      6. Verifique a resposta do problema e verifique se faz sentido.
      7. Responda à pergunta com uma frase completa.