1.4E: Exercícios para a Seção 1.4

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Nos exercícios 1 a 6, use o teste de linha horizontal para determinar se cada um dos gráficos fornecidos é individual.

$Uma imagem de um gráfico. O eixo x vai de -4 a 4 e o eixo y vai de -4 a 4. O gráfico é de uma função que diminui em linha reta até a origem, onde começa a aumentar em linha reta. O intercepto x e o intercepto y estão ambos na origem.$

Resposta: Não um para um

$Uma imagem de um gráfico. O eixo x vai de 0 a 7 e o eixo y vai de -4 a 4. O gráfico é de uma função que está sempre aumentando. Há um intercepto x aproximado no ponto (1, 0) e nenhum intercepto y é mostrado.$

$Uma imagem de um gráfico. O eixo x vai de -4 a 4 e o eixo y vai de -4 a 4. O gráfico é de uma função que se assemelha a um semicírculo, a metade superior de um círculo. A função começa no ponto (-3, 0) e aumenta até o ponto (0, 3), onde começa a diminuir até terminar no ponto (3, 0). As interceptações x estão em (-3, 0) e (3, 0). O intercepto y está em (0, 3).$

Resposta: Não um para um

$Uma imagem de um gráfico. O eixo x vai de -4 a 4 e o eixo y vai de -4 a 4. O gráfico é de uma função curva. A função aumenta até atingir a origem e depois diminui até atingir o ponto (2, -4), onde começa a aumentar novamente. Existem x interceptações na origem e no ponto (3, 0). O intercepto y está na origem.$

$Uma imagem de um gráfico. O eixo x vai de -4 a 4 e o eixo y vai de -4 a 4. O gráfico é de uma função curva que está sempre aumentando. O intercepto x e o intercepto y estão ambos na origem.$

Resposta: Um para um

$Uma imagem de um gráfico. O eixo x vai de -4 a 7 e o eixo y vai de -4 a 4. O gráfico é de uma função que aumenta em linha reta até o ponto aproximado (, 3). Após esse ponto, a função se torna uma linha reta horizontal. O intercepto x e o intercepto y estão ambos na origem.$

Nos exercícios 7 a 12,

a. encontre a função inversa e

b. encontre o domínio e o alcance da função inversa.

7)$f(x)=x^2−4, \quad x≥0$

Resposta: a.$f^{−1}(x)=\sqrt{x+4}$
b. Domínio:$x≥−4,$ Intervalo:$y≥0$

8)$f(x)=\sqrt[3]{x−4}$

9)$f(x)=x^3+1$

Resposta: a.$f^{−1}(x)=\sqrt[3]{x−1}$
b. Domínio: todos os números reais, Intervalo: todos os números reais

10)$f(x)=(x−1)^2, \quad x≤1$

11)$f(x)=\sqrt{x−1}$

Resposta: a.$f^{−1}(x)=x^2+1$,
b. Domínio:$x≥0,$ Intervalo:$y≥1$

12)$f(x)=\dfrac{1}{x+2}$

Nos exercícios 13 a 16, use o gráfico de$f$ para esboçar o gráfico de sua função inversa.

13)

$Uma imagem de um gráfico. O eixo x vai de -4 a 4 e o eixo y vai de -4 a 4. O gráfico é de uma função crescente de linha reta chamada “f” que está sempre aumentando. O intercepto x está em (-2, 0) e o intercepto y está ambos em (0, 1).$

Resposta: $Uma imagem de um gráfico. O eixo x vai de -4 a 4 e o eixo y vai de -4 a 4. O gráfico tem duas funções. A primeira função é uma função crescente de linha reta chamada “f”. O intercepto x está em (-2, 0) e o intercepto y está ambos em (0, 1). A segunda função é de uma função crescente de linha reta chamada “f inverso”. O intercepto x está no ponto (1, 0) e o intercepto y está no ponto (0, -2).$

14)

$Uma imagem de um gráfico. O eixo x vai de -4 a 4 e o eixo y vai de -4 a 4. O gráfico é de uma função decrescente curva chamada “f”. Conforme a função diminui, ela se aproxima do eixo x, mas nunca o toca. A função não tem um intercepto x e o intercepto y é (0, 1).$

15)

$Uma imagem de um gráfico. O eixo x vai de -8 a 8 e o eixo y vai de -8 a 8. O gráfico é de uma função crescente de linha reta chamada “f”. A função começa no ponto (0, 1) e aumenta em linha reta até o ponto (4, 6). Após esse ponto, a função continua aumentando, mas a uma taxa mais lenta do que antes, à medida que se aproxima do ponto (8, 8). A função não tem um intercepto x e o intercepto y é (0, 1).$

Resposta: $alt$

16)

$Uma imagem de um gráfico. O eixo x vai de -4 a 4 e o eixo y vai de -4 a 4. O gráfico é de uma função curva decrescente chamada “f”, que termina na origem, que é tanto o intercepto x quanto o intercepto y. Outro ponto sobre a função é (-4, 2).$

Nos exercícios 17 a 24, use a composição para determinar quais pares de funções são inversas.

17)$f(x)=8x, \quad g(x)=\dfrac{x}{8}$

Resposta: São inversas.

18)$f(x)=8x+3, \quad g(x)=\dfrac{x-3}{8}$

19)$f(x)=5x−7, \quad g(x)=\dfrac{x+5}{7}$

Resposta: Não são inversas.

20)$f(x)=\frac{2}{3}x+2, \quad g(x)=\frac{3}{2}x+3$

21)$f(x)=\dfrac{1}{x−1}, \;x≠1, \quad g(x)=\dfrac{1}{x}+1,\; x≠0$

Resposta: São inversas.

22)$f(x)=x^3+1,\quad g(x)=(x−1)^{1/3}$

23)$f(x)=x^2+2x+1,\; x≥−1, \quad g(x)=−1+\sqrt{x},\; x≥0$

Resposta: São inversas.

24)$f(x)=\sqrt{4−x^2},\; 0≤x≤2, \quad g(x)=\sqrt{4−x^2},\; 0≤x≤2$

Nos exercícios 25 a 33, avalie as funções. Dê o valor exato.

25)$\tan^{−1}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

Resposta: $\frac{π}{6}$

26)$\cos^{−1}\left(−\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

27)$\cot^{−1}(1)$

Resposta: $\frac{π}{4}$

28)$\sin^{−1}(−1)$

29)$\cos^{−1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Resposta: $\frac{π}{6}$

30)$\cos\big(\tan^{−1}(\sqrt{3})\big)$

31)$\sin\left(\cos^{−1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)$

Resposta: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

32)$\sin^{−1}\left(\sin\left(\frac{π}{3}\right)\right)$

33)$\tan^{−1}\left(\tan\left(−\frac{π}{6}\right)\right)$

Resposta: $-\frac{π}{6}$

34) A função$C=T(F)=(5/9)(F−32)$ converte graus Fahrenheit em graus Celsius.

a) Encontre a função inversa$F=T^{−1}(C)$

b) Para que serve a função inversa?

35) [T] A velocidade$V$ (em centímetros por segundo) do sangue em uma artéria a uma distância$x$ cm do centro da artéria pode ser modelada$V=f(x)=500(0.04−x^2)$ pela função de$0≤x≤0.2.$

a) Encontre$x=f^{−1}(V).$

b) Interprete para que a função inversa é usada.

c) Encontre a distância do centro de uma artéria com uma velocidade de 15 cm/seg, 10 cm/seg e 5 cm/seg.

Resposta: a.$x=f^{−1}(V)=\sqrt{0.04−\dfrac{V}{500}}$
b. A função inversa determina a distância do centro da artéria na qual o sangue está fluindo com velocidade$V.$
c. 0,1 cm; 0,14 cm; 0,17 cm

36) Uma função que converte tamanhos de vestidos nos Estados Unidos para os da Europa é dada por$D(x)=2x+24.$

a) Encontre os tamanhos de vestidos europeus que correspondem aos tamanhos 6, 8, 10 e 12 nos Estados Unidos.

b) Encontre a função que converte tamanhos de vestidos europeus em tamanhos de vestidos dos EUA.

c) Use a parte b. para encontrar os tamanhos de vestido nos Estados Unidos que correspondem a 46, 52, 62 e 70.

37) [T] O custo para remover uma toxina de um lago é modelado pela função$C(p)=\dfrac{75p}{85−p},$ onde$C$ está o custo (em milhares de dólares) e$p$ é a quantidade de toxina em um pequeno lago (medida em partes por bilhão [ppb]). Este modelo é válido somente quando a quantidade de toxina é inferior a 85 ppb.

a) Encontre o custo para remover 25 ppb, 40 ppb e 50 ppb da toxina do lago.

b) Encontre a função inversa.

c) Use a parte b. para determinar quanto da toxina é removida por $50.000.

Resposta: a. $31.250, $66.667, $107.143
b.$p=\dfrac{85C}{C+75}$
c. 34 ppb

38) [T] Um carro de corrida está acelerando a uma velocidade dada por$v(t)=\frac{25}{4}t+54,$

onde$v$ está a velocidade (em pés por segundo) no momento$t.$

a) Encontre a velocidade do carro em 10 segundos.

b) Encontre a função inversa.

c) Use a parte b. para determinar quanto tempo o carro leva para atingir uma velocidade de 150 pés/seg.

39) [T] O número Mach de um avião$M$ é a razão entre sua velocidade e a velocidade do som. Quando um avião está voando a uma altitude constante, seu ângulo de Mach é dado por$μ=2\sin^{−1}\left(\frac{1}{M}\right).$

Encontre o ângulo de Mach (até o grau mais próximo) para os seguintes números de Mach.

1.0”." style="width: 465px; height: 305px;" width="465px" height="305px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...01_04_215.jpeg">

uma.$μ=1.4$

b.$μ=2.8$

c.$μ=4.3$

Resposta: a.$\sim 92°$ b.$\sim 42°$ c.$\sim 27°$

40) [T] Usando$μ=2\sin^{−1}\left(\frac{1}{M}\right)$, encontre o número Mach M para os seguintes ângulos.

uma.$μ=\frac{π}{6}$

b.$μ=\frac{2π}{7}$

c.$μ=\frac{3π}{8}$

41) [T] A temperatura (em graus Celsius) de uma cidade no norte dos Estados Unidos pode ser modelada pela função

$T(x)=5+18\sin\left[\frac{π}{6}(x−4.6)\right],$

onde$x$ está o tempo em meses e$x=1.00$ corresponde a 1º de janeiro. Determine o mês e o dia em que a temperatura é$21°C.$

Resposta: $x≈6.69,\, 8.51$; então, a temperatura ocorre em 21 de junho e 15 de agosto

42) [T] A profundidade (em pés) da água em uma doca muda com o aumento e a queda das marés. É modelado pela função em$D(t)=5\sin\left(\frac{π}{6}t−\frac{7π}{6}\right)+8,$ que$t$ é o número de horas após a meia-noite. Determine a primeira vez depois da meia-noite quando a profundidade é de$11.75$ pés.

43) [T] Um objeto que se move em movimento harmônico simples é modelado pela função em$s(t)=−6\cos\left(\dfrac{πt}{2}\right),$ que$s$ é medido em polegadas e$t$ é medido em segundos. Determine a primeira vez em que a distância percorrida está$4.5$ dentro.

Resposta: $\sim 1.5$seg

44) [T] Uma galeria de arte local tem um retrato de 3 pés de altura pendurado 2,5 pés acima do nível dos olhos de uma pessoa comum. O ângulo de visão$θ$ pode ser modelado pela função$θ=\tan^{−1}\frac{5.5}{x}−\tan^{−1}\frac{2.5}{x}$, onde$x$ está a distância (em pés) do retrato. Encontre o ângulo de visão quando uma pessoa estiver a 4 pés do retrato.

45) [T] Use uma calculadora para avaliar$\tan^{−1}(\tan(2.1))$$\cos^{−1}(\cos(2.1))$ e. Explique os resultados de cada um.

Resposta: $\tan^{−1}(\tan(2.1))≈−1.0416$; a expressão não é igual,$2.1$ pois$2.1>1.57=\frac{π}{2}$ — em outras palavras, ela não está no domínio restrito de$\tan x$. $\cos^{−1}(\cos(2.1))=2.1$, já que$2.1$ está no domínio restrito de$\cos x$.

46) [T] Use uma calculadora para avaliar$\sin(\sin^{−1}(−2))$$\tan(\tan^{−1}(−2))$ e. Explique os resultados de cada um.

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