6.6 : Diviser les polynômes

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

• Diviser un polynôme par un monomial
• Diviser un polynôme par un binôme

Remarque

Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.

1. Ajouter :$\dfrac{3}{d}+\dfrac{x}{d}$
   Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.7.1.
2. Simplifier :$\dfrac{30 x y^{3}}{5 x y}$
   si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 6.5.37.
3. Combinez des termes similaires :$8 a^{2}+12 a+1+3 a^{2}-5 a+4$
   si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.3.37.

Diviser un polynôme par un monomial

Dans la dernière section, vous avez appris à diviser un monôme par un monomial. Au fur et à mesure que vous approfondissez vos connaissances sur les polynômes, la procédure suivante consiste à diviser un polynôme de deux termes ou plus par un monôme.

La méthode que nous utiliserons pour diviser un polynôme par un monomial est basée sur les propriétés de l'addition de fractions. Nous allons donc commencer par un exemple pour examiner l'ajout de fractions.

$\begin{array}{ll}{\text { The sum, }} & {\dfrac{y}{5}+\dfrac{2}{5}} \\ {\text { simplifies to }} & {\dfrac{y+2}{5}}\end{array}$

Nous allons maintenant procéder à l'inverse pour diviser une seule fraction en fractions distinctes.

Nous allons énoncer la propriété d'addition de fractions ici telle que vous l'avez apprise et inversement.

AJOUT DE FRACTIONS

Si a, b et c sont des nombres où$c\neq 0$, alors

$$\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c} \quad \text { and } \quad \dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}$$

Nous utilisons la forme de gauche pour ajouter des fractions et la forme de droite pour diviser un polynôme par un monomial.

$\begin{array}{ll}{\text { For example, }} & {\dfrac{y+2}{5}} \\ {\text { can be written }} & {\dfrac{y}{5}+\dfrac{2}{5}}\end{array}$

Nous utilisons cette forme d'addition de fractions pour diviser les polynômes par les monômes.

DIVISION D'UN POLYNÔME PAR UN MONOMIAL

Pour diviser un polynôme par un monomial, divisez chaque terme du polynôme par le monomial.

Exercice$\PageIndex{1}$

Trouvez le quotient :$\dfrac{7 y^{2}+21}{7}$

Réponse

$\begin{array}{ll} & \dfrac{7 y^{2}+21}{7}\\\text{Divide each term of the numerator by the denominator.} & \dfrac{7 y^{2}}{7}+\dfrac{21}{7} \\ \text {Simplify each fraction. } & y^{2}+3 \end{array}$

Exercice$\PageIndex{2}$

Trouvez le quotient :$\dfrac{8 z^{2}+24}{4}$

Réponse

$2 z^{2}+6$

Exercice$\PageIndex{3}$

Trouvez le quotient :$\dfrac{18 z^{2}-27}{9}$

Réponse

$2 z^{2}-3$

N'oubliez pas que la division peut être représentée par une fraction. Lorsqu'on vous demande de diviser un polynôme par un monomial et qu'il n'est pas déjà sous forme de fraction, écrivez une fraction avec le polynôme dans le numérateur et le monomial dans le dénominateur.

Exercice$\PageIndex{4}$

Trouvez le quotient :$\left(18 x^{3}-36 x^{2}\right) \div 6 x$

Réponse

$\begin{array}{ll} & \left(18 x^{3}-36 x^{2}\right) \div 6 x\\\text { Rewrite as a fraction. } & \dfrac{18 x^{3}-36 x^{2}}{6 x} \\ \text { Divide each term of the numerator by the denominator. }& \dfrac{18 x^{3}}{6 x}-\dfrac{36 x^{2}}{6 x}\\ \text { Simplify. } &3 x^{2}-6 x\end{array}$

Exercice$\PageIndex{5}$

Trouvez le quotient :$\left(27 b^{3}-33 b^{2}\right) \div 3 b$

Réponse

$9 b^{2}-11 b$

Exercice$\PageIndex{6}$

Trouvez le quotient :$\left(25 y^{3}-55 y^{2}\right) \div 5 y$

Réponse

$5 y^{2}-11 y$

Lorsque nous divisons par un négatif, nous devons faire très attention aux signes.

Exercice$\PageIndex{7}$

Trouvez le quotient :$\dfrac{12 d^{2}-16 d}{-4}$

Réponse

$\begin{array}{ll} &\dfrac{12 d^{2}-16 d}{-4}\\ \text { Divide each term of the numerator by the denominator. }& \dfrac{18 x^{3}-36 x^{2}}{6 x} \\ \text { Simplify. Remember, subtracting a negative is like adding a positive! }& -3 d^{2}+4 d\end{array}$

Exercice$\PageIndex{8}$

Trouvez le quotient :$\dfrac{25 y^{2}-15 y}{-5}$

Réponse

$-5 y^{2}+3 y$

Exercice$\PageIndex{9}$

Trouvez le quotient :$\dfrac{42 b^{2}-18 b}{-6}$

Réponse

$-7 b^{2}+3 b$

Exercice$\PageIndex{10}$

Trouvez le quotient :$\dfrac{105 y^{5}+75 y^{3}}{5 y^{2}}$

Réponse

$\begin{array}{ll} &\dfrac{105 y^{5}+75 y^{3}}{5 y^{2}}\\ \text { Separate the terms. }& \dfrac{105 y^{5}}{5 y^{2}}+\dfrac{75 y^{3}}{5 y^{2}}\\ \text { Simplify. }& 21 y^{3}+15 y\end{array}$

Exercice$\PageIndex{11}$

Trouvez le quotient :$\dfrac{60 d^{7}+24 d^{5}}{4 d^{3}}$

Réponse

$15 d^{4}+6 d^{2}$

Exercice$\PageIndex{12}$

Trouvez le quotient :$\dfrac{216 p^{7}-48 p^{5}}{6 p^{3}}$

Réponse

$36 p^{4}-8 p^{2}$

Exercice$\PageIndex{13}$

Trouvez le quotient :$\left(15 x^{3} y-35 x y^{2}\right) \div(-5 x y)$

Réponse

$\begin{array}{ll} &\left(15 x^{3} y-35 x y^{2}\right) \div(-5 x y)\\ \text { Rewrite as a fraction. }& \dfrac{15 x^{3} y-35 x y^{2}}{-5 x y}\\\text { Separate the terms. Be careful with the signs! }& \dfrac{15 x^{3} y}{-5 x y}-\dfrac{35 x y^{2}}{-5 x y}\\ \text { Simplify. } & -3 x^{2}+7 y\end{array}$

Exercice$\PageIndex{14}$

Trouvez le quotient :$\left(32 a^{2} b-16 a b^{2}\right) \div(-8 a b)$

Réponse

$-4 a+2 b$

Exercice$\PageIndex{15}$

Trouvez le quotient :$\left(-48 a^{8} b^{4}-36 a^{6} b^{5}\right) \div\left(-6 a^{3} b^{3}\right)$

Réponse

$8 a^{5} b+6 a^{3} b^{2}$

Exercice$\PageIndex{13}$

Trouvez le quotient :$\dfrac{36 x^{3} y^{2}+27 x^{2} y^{2}-9 x^{2} y^{3}}{9 x^{2} y}$

Réponse

$\begin{array}{ll} &\dfrac{36 x^{3} y^{2}+27 x^{2} y^{2}-9 x^{2} y^{3}}{9 x^{2} y}\\\text { Separate the terms. }& \dfrac{36 x^{3} y^{2}}{9 x^{2} y}+\dfrac{27 x^{2} y^{2}}{9 x^{2} y}-\dfrac{9 x^{2} y^{3}}{9 x^{2} y}\\ \text { Simplify. } & 4 x y+3 y-y^{2}\end{array}$

Exercice$\PageIndex{14}$

Trouvez le quotient :$\dfrac{40 x^{3} y^{2}+24 x^{2} y^{2}-16 x^{2} y^{3}}{8 x^{2} y}$

Réponse

$5 x y+3 y-2 y^{2}$

Exercice$\PageIndex{15}$

Trouvez le quotient :$\dfrac{35 a^{4} b^{2}+14 a^{4} b^{3}-42 a^{2} b^{4}}{7 a^{2} b^{2}}$

Réponse

$5 a^{2}+2 a^{2} b-6 b^{2}$

Exercice$\PageIndex{16}$

Trouvez le quotient :$\dfrac{10 x^{2}+5 x-20}{5 x}$

Réponse

$\begin{array}{ll}&\dfrac{10 x^{2}+5 x-20}{5x}\\\text { Separate the terms. }& \dfrac{10 x^{2}}{5 x}+\dfrac{5 x}{5 x}-\dfrac{20}{5 x}\\ \text { Simplify. } &2 x+1-\dfrac{4}{x}\end{array}$

Exercice$\PageIndex{17}$

Trouvez le quotient :$\dfrac{18 c^{2}+6 c-9}{6 c}$

Réponse

$3 c+1-\dfrac{3}{2 c}$

Exercice$\PageIndex{18}$

Trouvez le quotient :$\dfrac{10 d^{2}-5 d-2}{5 d}$

Réponse

$2 d-1-\dfrac{2}{5 d}$

Diviser un polynôme par un binôme

Pour diviser un polynôme par un binôme, nous suivons une procédure très similaire à la division longue des nombres. Examinons donc attentivement les étapes à suivre lorsque nous divisons un nombre à 3 chiffres, 875, par un nombre à 2 chiffres, 25.

Nous écrivons la division longue
Nous divisons les deux premiers chiffres, 87, par 25.
Nous multiplions 3 fois 25 et écrivons le produit sous le 87.
Maintenant, nous soustrayons 75 de 87.
Ensuite, nous abaissons le troisième chiffre du dividende, 5.
Répétez l'opération en divisant 25 en 125.

On vérifie la division en multipliant le quotient par le diviseur.

Si nous avons fait la division correctement, le produit devrait être égal au dividende.

$$\begin{array}{l}{35 \cdot 25} \\ {875}\checkmark\end{array}$$

Nous allons maintenant diviser un trinôme par un binôme. En lisant l'exemple, vous remarquerez à quel point les étapes sont similaires à celles de l'exemple numérique ci-dessus.

Exercice$\PageIndex{19}$

Trouvez le quotient :$\left(x^{2}+9 x+20\right) \div(x+5)$

Réponse

Écrivez-le comme un problème de division longue.
Assurez-vous que le dividende est sous forme standard.
Divisez x ^2 par x. Il peut être utile de se demander : « De quoi ai-je besoin pour multiplier x pour obtenir x ^2 ? »
Mettez la réponse, x, dans le quotient sur le terme x.
Multipliez x fois x + 5. Alignez les conditions similaires sous le dividende.
Soustrayez x ^2 + 5 x de x ^2 + 9 x.
Ensuite, réduisez le dernier mandat, 20.
Divisez 4 x par x. Il peut être utile de se demander : « De quoi ai-je besoin pour multiplier x pour obtenir 4 x ? »
Mettez la réponse, 4, dans le quotient sur le terme constant.
Multipliez 4 fois x + 5.
Soustrayez 4 x + 20 de 4 x + 20.
Vérifiez :
Multipliez le quotient par le diviseur.
(x + 4) (x + 5)
Tu devrais toucher le dividende.
x ^2 + 9 x + 20 ✓

Exercice$\PageIndex{20}$

Trouvez le quotient :$\left(y^{2}+10 y+21\right) \div(y+3)$

Réponse

y+7

Exercice$\PageIndex{21}$

Trouvez le quotient :$\left(m^{2}+9 m+20\right) \div(m+4)$

Réponse

m+5

Lorsque le diviseur a un signe de soustraction, nous devons être très prudents lorsque nous multiplions le quotient partiel puis que nous le soustrayons. Il serait peut-être plus prudent de montrer que nous changeons les panneaux et que nous les ajoutons ensuite.

Exercice$\PageIndex{22}$

Trouvez le quotient :$\left(2 x^{2}-5 x-3\right) \div(x-3)$

Réponse

Écrivez-le comme un problème de division longue.
Assurez-vous que le dividende est sous forme standard.
Divisez ^2 x 2 par x. Mettez la réponse, 2 x, dans le quotient sur le terme x.
Multipliez 2 x fois x − 3. Alignez les conditions similaires sous le dividende.
Soustrayez ^2 x 2 − 6 x de ^2 x 2 − 5 x. Changez les signes, puis ajoutez-les. Ensuite, annulez le dernier mandat.
Divisez x par x. Mettez la réponse, 1, dans le quotient sur le terme constant.
Multipliez 1 fois x − 3.
Soustrayez x − 3 de x − 3 en modifiant les signes et en ajoutant.
Pour vérifier, multipliez (x − 3) (2 x + 1).
Le résultat doit être 2 x ^2 − 5 x − 3.

Exercice$\PageIndex{23}$

Trouvez le quotient :$\left(2 x^{2}-3 x-20\right) \div(x-4)$

Réponse

2x+5

Exercice$\PageIndex{24}$

Trouvez le quotient :$\left(3 x^{2}-16 x-12\right) \div(x-6)$

Réponse

3x+2

Lorsque nous avons divisé 875 par 25, nous n'avions plus de reste. Mais parfois, la division des nombres laisse du reste. Il en va de même lorsque nous divisons des polynômes. Dans Exercice$\PageIndex{25}$, nous aurons une division qui laissera le reste. Nous écrivons le reste sous forme de fraction avec le diviseur comme dénominateur.

Exercice$\PageIndex{25}$

Trouvez le quotient :$\left(x^{3}-x^{2}+x+4\right) \div(x+1)$

Réponse

Écrivez-le comme un problème de division longue.
Assurez-vous que le dividende est sous forme standard.
Divisez x ^3 par x. Inscrivez la réponse, x ^2, dans le quotient sur le terme x ^2. Multipliez x ^2 fois x +1. Alignez les conditions similaires sous le dividende.
Soustrayez x ^3 + x ^2 de x ^3 − x ^2 en modifiant les signes et en ajoutant. Ensuite, réduisez le mandat suivant.
Divisez ^−2 x 2 par x. Mettez la réponse, −2 x, dans le quotient sur le terme x. Multipliez −2 x fois x +1. Alignez les conditions similaires sous le dividende.
Soustrayez −2 x ^2 − 2 x de −2 x ^2 + x en modifiant les signes et en ajoutant. Ensuite, annulez le dernier mandat.
Divisez 3 x par x. Mettez la réponse, 3, dans le quotient sur le terme constant. Multipliez 3 fois x +1. Alignez les conditions similaires sous le dividende.
Soustrayez 3 x + 3 de 3 x + 4 en modifiant les signes et en ajoutant. Écrivez le reste sous forme de fraction avec le diviseur comme dénominateur.
Pour vérifier, multipliez$(x+1)\left(x^{2}-2 x+3+\dfrac{1}{x+1}\right)$ Le résultat doit être$x^{3}-x^{2}+x+4$

Exercice$\PageIndex{26}$

Trouvez le quotient :$\left(x^{3}+5 x^{2}+8 x+6\right) \div(x+2)$

Réponse

$x^{2}+3 x+2+\dfrac{2}{x+2}$

Exercice$\PageIndex{27}$

Trouvez le quotient :$\left(2 x^{3}+8 x^{2}+x-8\right) \div(x+1)$

Réponse

$2 x^{2}+6 x-5-\dfrac{3}{x+1}$

Examinez les dividendes dans Exemple, Exemple et Exemple. Les termes étaient écrits par ordre décroissant de degrés et aucun diplôme ne manquait. Le dividende dans Example sera de$x^{4}-x^{2}+5 x-2$. Il manque un$x^{3}$ terme. Nous l'ajouterons en$0x^{3}$ tant qu'espace réservé.

Exercice$\PageIndex{28}$

Trouvez le quotient :$\left(x^{4}-x^{2}+5 x-2\right) \div(x+2)$

Réponse

Notez qu'il n'y a pas de$x^{3}$ terme dans le dividende. Nous l'ajouterons$0x^{3}$ comme espace réservé.

Écrivez-le comme un problème de division longue. Assurez-vous que le dividende est sous une forme standard avec des espaces réservés pour les termes manquants.
Divisez x ^4 par x. Inscrivez la réponse, x ^3, dans le quotient sur le terme x ^3. Multipliez x ^3 fois x + 2. Alignez les termes similaires. Soustrayez puis réduisez le terme suivant.
Divisez −2 x ^3 par x. Mettez la réponse, −2 x ^2, dans le quotient sur le terme x ^2. Multipliez ^−2 x 2 fois x +1. Alignez les termes similaires. Soustrayez et réduisez le terme suivant.
Divisez 3 x ^2 par x. Mettez la réponse, 3 x, dans le quotient sur le terme x. Multipliez 3 x fois x +1. Alignez les termes similaires. Soustrayez et réduisez le terme suivant.
Diviser − x par x. Mettez la réponse, −1, dans le quotient sur le terme constant. Multipliez −1 fois x +1. Alignez les termes similaires. Changez les signes, ajoutez.
Pour vérifier, multipliez$(x+2)\left(x^{3}-2 x^{2}+3 x-1\right)$
Le résultat doit être$x^{4}-x^{2}+5 x-2$

Exercice$\PageIndex{29}$

Trouvez le quotient :$\left(x^{3}+3 x+14\right) \div(x+2)$

Réponse

$x^{2}-2 x+7$

Exercice$\PageIndex{30}$

Trouvez le quotient :$\left(x^{4}-3 x^{3}-1000\right) \div(x+5)$

Réponse

$x^{3}-8 x^{2}+40 x-200$

Dans Exercice$\PageIndex{31}$, nous allons diviser par$2a−3$. Lorsque nous divisons, nous devrons prendre en compte les constantes ainsi que les variables.

Exercice$\PageIndex{31}$

Trouvez le quotient :$\left(8 a^{3}+27\right) \div(2 a+3)$

Réponse

Cette fois, nous allons montrer la division en une seule étape. Nous devons ajouter deux espaces réservés pour diviser.

Pour vérifier, multipliez$(2 a+3)\left(4 a^{2}-6 a+9\right)$

Le résultat doit être$8 a^{3}+27$

Exercice$\PageIndex{32}$

Trouvez le quotient :$\left(x^{3}-64\right) \div(x-4)$

Réponse

$x^{2}+4 x+16$

Exercice$\PageIndex{33}$

Trouvez le quotient :$\left(125 x^{3}-8\right) \div(5 x-2)$

Réponse

$25 x^{2}+10 x+4$

Remarque

Accédez à ces ressources en ligne pour obtenir des instructions et des exercices supplémentaires sur la division de polynômes :

• Diviser un polynôme par un monomial
• Diviser un polynôme par un monomial 2
• Diviser un polynôme par un binôme

Concepts clés

• Addition de fractions
  • Si a, b et c sont des nombres où$c\neq 0$, alors
    $\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}$ et$\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}$
    
• Division d'un polynôme par un monomial
  • Pour diviser un polynôme par un monomial, divisez chaque terme du polynôme par le monomial.