6.5 : Diviser les monômes
À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
- Simplifier les expressions à l'aide de la propriété quotient pour les expos
- Simplifiez les expressions avec zéro exposant
- Simplifier les expressions à l'aide du quotient d'une propriété de puissance
- Simplifier les expressions en appliquant plusieurs propriétés
- Diviser les monômes
Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.
- Simplifiez :824.
Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.6.4. - Simplifiez :(2m3)5.
Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 6.2.22. - Simplifier :12x12y
si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.6.10.
Simplifier les expressions en utilisant la propriété de quotient pour les exposants
Plus tôt dans ce chapitre, nous avons développé les propriétés des exposants pour la multiplication. Nous résumons ces propriétés ci-dessous.
Si a et b sont des nombres réels, et m et n sont des nombres entiers, alors
Product Property am⋅an=am+n Power Property (am)n=amn Product to a Power (ab)m=ambm
Nous allons maintenant examiner les propriétés des exposants pour la division. Un rappel rapide de la mémoire peut être utile avant de commencer. Vous avez appris à simplifier les fractions en séparant les facteurs communs du numérateur et du dénominateur à l'aide de la propriété des fractions équivalentes. Cette propriété vous aidera également à travailler avec les fractions algébriques, qui sont également des quotients.
Si a, b et c sont des nombres entiers oùb≠0,c≠0.
thenab=a⋅cb⋅canda⋅cb⋅c=ab
Comme précédemment, nous allons essayer de découvrir une propriété à l'aide de quelques exemples.
Consider x5x2andx2x3 What do they mean? x⋅x⋅x⋅x⋅xx⋅xx⋅xx⋅x⋅x Use the Equivalent Fractions Property. x⋅̸x⋅̸x⋅x⋅xx⋅̸x̸x̸⋅x̸⋅1x⋅̸x̸⋅x Simplify. x31x
Remarquez que dans chaque cas, les bases étaient les mêmes et nous avons soustrait des exposants.
Lorsque le plus grand exposant se trouvait dans le numérateur, il nous restait des facteurs dans le numérateur.
Lorsque le plus grand exposant se trouvait dans le dénominateur, il ne nous restait que des facteurs dans le dénominateur : notez le numérateur de 1.
Nous écrivons :
x5x2x2x3x5−21x3−2x31x
Cela conduit à la propriété du quotient pour les exposants.
Si a est un nombre réel et que m et n sont des nombres entiers, alorsa≠0
aman=am−n,m>n and aman=1an−m,n>m
Quelques exemples avec des chiffres peuvent aider à vérifier cette propriété.
3432=34−25253=153−2819=3225125=1519=9✓15=15✓
Simplifiez :
- x9x7
- 31032
- Réponse
-
Pour simplifier une expression avec un quotient, nous devons d'abord comparer les exposants du numérateur et du dénominateur.
1.
Comme 9 > 7, il y a plus de facteurs de x dans le numérateur. Utilisez la propriété du quotient,aman=am−n Simplifiez. x2 2.
Comme 10 > 2, il y a plus de facteurs de x dans le numérateur. Utilisez la propriété du quotient,aman=am−n Simplifiez. 38
Simplifiez :
- x15x10
- 61465
- Réponse
-
- x5
- 69
Simplifiez :
- y43y37
- 1015107
- Réponse
-
- y6
- 108
Simplifiez :
- b8b12
- 7375
- Réponse
-
Pour simplifier une expression avec un quotient, nous devons d'abord comparer les exposants du numérateur et du dénominateur.
1.
Puisque 12 > 8, il y a plus de facteurs de b dans le dénominateur. Utilisez la propriété du quotient,aman=1an−m Simplifiez. 2.
Puisque 5 > 3, il y a plus de facteurs de 3 dans le dénominateur. Utilisez la propriété du quotient,aman=1an−m Simplifiez. Simplifiez.
Simplifiez :
- x18x22
- 12151230
- Réponse
-
- 1x4
- 11215
Simplifiez :
- m7m15
- 98919
- Réponse
-
- 1m8
- 1911
Remarquez la différence entre les deux exemples précédents :
- Si nous commençons avec plus de facteurs dans le numérateur, nous finirons par avoir des facteurs dans le numérateur.
- Si nous commençons avec plus de facteurs au dénominateur, nous finirons par avoir des facteurs au dénominateur.
La première étape de la simplification d'une expression à l'aide de la propriété Quotient pour les exposants consiste à déterminer si l'exposant est plus grand au numérateur ou au dénominateur.
Simplifiez :
- a5a9
- x11x7
- Réponse
-
1. L'exposant d'un plus grand est-il dans le numérateur ou le dénominateur ? Comme 9 > 5, il y a plus de a dans le dénominateur et nous allons donc obtenir des facteurs dans le dénominateur.
Utilisez la propriété du quotient,aman=1an−m Simplifiez. 2. Notez qu'il y a plus de facteurs xx dans le numérateur, puisque 11 > 7. Nous allons donc nous retrouver avec des facteurs dans le numérateur.
Utilisez la propriété du quotient,aman=1an−m Simplifiez.
Simplifiez :
- b19b11
- z5z11
- Réponse
-
- b8
- 1z6
Simplifiez :
- p9p17
- w13w9
- Réponse
-
- 1p8
- w4
Simplifier les expressions avec un exposant égal à zéro
Un cas particulier de la propriété du quotient est celui où les exposants du numérateur et du dénominateur sont égaux, comme dans le cas d'une expression telle queamam. D'après vos travaux antérieurs sur les fractions, vous savez que :
22=11717=1−43−43=1
En d'autres termes, un nombre divisé par lui-même vaut 1. Doncxx=1, pour toutx(x≠0), puisque tout nombre divisé par lui-même est 1.
La propriété du quotient pour les exposants nous montre comment simplifier leaman momentm>n et le momentn<m en soustrayant des exposants. Et sim=n ?
Considérez88, dont nous savons qu'il s'agit de 1.
88=1 Write 8 as 23.2323=1 Subtract exponents. 23−3=1 Simplify. 20=1
Nous allons maintenant simplifier de deuxamam manières pour nous amener à la définition de l'exposant zéro. En général, poura≠0 :
Nous voyons desamam simplifications versa0 et vers 1. Donca0=1.
Si a est un nombre différent de zéro, alorsa0=1.
Tout nombre différent de zéro élevé à la puissance zéro vaut 1.
Dans ce texte, nous supposons que toute variable que nous élevons à la puissance zéro n'est pas nulle.
Simplifiez :
- 90
- n0
- Réponse
-
La définition indique que tout nombre différent de zéro élevé à la puissance zéro est 1.
- 90Use the definition of the zero exponent.1
- n0Use the definition of the zero exponent.1
Simplifiez :
- 150
- m0
- Réponse
-
- 1
- 1
Simplifiez :
- k0
- 290
- Réponse
-
- 1
- 1
Maintenant que nous avons défini l'exposant zéro, nous pouvons étendre toutes les propriétés des exposants pour inclure des exposants entiers.
Que diriez-vous d'élever une expression à la puissance zéro ? Regardons(2x)0. Nous pouvons utiliser le produit à une règle de puissance pour réécrire cette expression.
(2x)0 Use the product to a power rule. 20x0 Use the zero exponent property. 1⋅1 Simplify. 1
Cela nous indique que toute expression non nulle élevée à la puissance zéro est une.
Simplifiez :
- (5b)0
- (−4a2b)0.
- Réponse
-
- (5b)0Use the definition of the zero exponent.1
- (−4a2b)0Use the definition of the zero exponent.1
Simplifiez :
- (11z)0
- (−11pq3)0.
- Réponse
-
- 1
- 1
Simplifiez :
- (−6d)0
- (−8m2n3)0.
- Réponse
-
- 1
- 1
Simplifier les expressions à l'aide du quotient d'une propriété de puissance
Nous allons maintenant examiner un exemple qui nous mènera au quotient d'une propriété énergétique.
(xy)3This means:xy⋅xy⋅xyMultiply the fractions.x⋅x⋅xy⋅y⋅yWrite with exponents.x3y3
Notez que l'exposant s'applique à la fois au numérateur et au dénominateur.
We see that (xy)3 is x3y3 We write: (xy)3x3y3
Cela conduit au quotient d'une propriété de puissance pour les exposants.
Si a et b sont des nombres réels et que m est un nombre de comptage, alorsb≠0
(ab)m=ambm
Pour élever une fraction à une puissance, augmentez le numérateur et le dénominateur à cette puissance.
Un exemple avec des chiffres peut vous aider à comprendre cette propriété :
(23)3=233323⋅23⋅23=827827=827✓
Simplifiez :
- (37)2
- (b3)4
- (kj)3
- Réponse
-
1.
Utilisez la propriété du quotient,(ab)m=ambm Simplifiez. 2.
Utilisez la propriété du quotient,(ab)m=ambm Simplifiez. 3.
Augmentez le numérateur et le dénominateur à la troisième puissance.
Simplifiez :
- (58)2
- (p10)4
- (mn)7
- Réponse
-
- 2564
- p410,000
- m7n7
Simplifiez :
- (13)3
- (−2q)3
- (wx)4
- Réponse
-
- 127
- −8q3
- w4x4
Simplifier les expressions en appliquant plusieurs propriétés
Nous allons maintenant résumer toutes les propriétés des exposants afin qu'elles soient toutes regroupées pour pouvoir être référencées lors de la simplification des expressions à l'aide de plusieurs propriétés. Notez qu'ils sont désormais définis pour les exposants en nombres entiers.
Si a et b sont des nombres réels, et m et n sont des nombres entiers, alors
Product Propertyam⋅an=am+nPower Property(am)n=am⋅nProduct to a Power(ab)m=ambmQuotient Propertyaman=am−n,a≠0,m>nanan=1,a≠0,n>mZero Exponent Definitiona0=1,a≠0Quotient to a Power Property(ab)m=ambm,b≠0
Simplifiez :(y4)2y6
- Réponse
-
(y4)2y6Multiply the exponents in the numerator.y8y6Subtract the exponents.y2
Simplifiez :(m5)4m7
- Réponse
-
m13
Simplifiez :(k2)6k7
- Réponse
-
k5
Simplifiez :b12(b2)6
- Réponse
-
b12(b2)6Multiply the exponents in the numerator.b12b12Subtract the exponents.b0Simplify1
Notez qu'après avoir simplifié le dénominateur dans la première étape, le numérateur et le dénominateur étaient égaux. La valeur finale est donc égale à 1.
Simplifiezn12(n3)4.
- Réponse
-
1
Simplifiezx15(x3)5.
- Réponse
-
1
Simplifiez :(y9y4)2
- Réponse
-
(y9y4)2Remember parentheses come before exponents.Notice the bases are the same, so we can simplify(y5)2inside the parentheses. Subtract the exponents.Multiply the exponents.y10
Simplifiez :(r5r3)4
- Réponse
-
r8
Simplifiez :(v6v4)3
- Réponse
-
v6
Simplifiez :(j2k3)4
- Réponse
-
Ici, nous ne pouvons pas d'abord simplifier entre parenthèses, car les bases ne sont pas les mêmes.
(j2k3)4Raise the numerator and denominator to the third powerusing the Quotient to a Power Property,(ab)m=ambm(j2)4(k3)4Use the Power Property and simplify.j8k12
Simplifiez :(a3b2)4
- Réponse
-
a12b8
Simplifiez :(q7r5)3
- Réponse
-
q21r15
Simplifiez :(2m25n)4
- Réponse
-
(2m25n)4Raise the numerator and denominator to the fourth(2m2)4(5n)4power, using the Quotient to a Power Property,(ab)m=ambm24(m2)454n4Use the Power Property and simplify.16m8625n4
Simplifiez :(7x39y)2
- Réponse
-
49x681y2
Simplifiez :(3x47y)2
- Réponse
-
9x849v2
Simplifiez :(x3)4(x2)5(x6)5
- Réponse
-
(x3)4(x2)5(x6)5Use the Power Property,(am)n=am⋅n(x12)(x10)(x30)Add the exponents in the numerator.x22x30Use the Quotient Property,aman=1an−m1x8
Simplifiez :(a2)3(a2)4(a4)5
- Réponse
-
1a6
Simplifiez :(p3)4(p5)3(p7)6
- Réponse
-
1p15
Simplifiez :(10p3)2(5p)3(2p5)4
- Réponse
-
(10p3)2(5p)3(2p5)4 Use the Product to a Power Property, (ab)m=ambm(10)2(p3)2(5)3(p)3(2)4(p5)4 Use the Power Property, (am)n=am⋅n100p6125p3⋅16p20 Add the exponents in the denominator. 100p6125⋅16p23 Use the Quotient Property, aman=1an−m100125⋅16p17 Simplify. 120p17
Simplifiez :(3r3)2(r3)7(r3)3
- Réponse
-
9r18
Simplifiez :(2x4)5(4x3)2(x3)5
- Réponse
-
2x
Diviser les monômes
Vous avez maintenant découvert toutes les propriétés des exposants et vous les avez utilisées pour simplifier les expressions. Vous allez maintenant voir comment utiliser ces propriétés pour diviser les monômes. Plus tard, vous les utiliserez pour diviser des polynômes.
Trouvez le quotient :56x7÷8x3
- Réponse
-
56x7÷8x3 Rewrite as a fraction. 56x78x3 Use fraction multiplication. 568⋅x7x3 Simplify and use the Quotient Property. 7x4
Trouvez le quotient :42y9÷6y3
- Réponse
-
7y6
Trouvez le quotient :48z8÷8z2
- Réponse
-
6z6
Trouvez le quotient :45a2b3−5ab5
- Réponse
-
Lorsque nous divisons des monômes avec plus d'une variable, nous écrivons une fraction pour chaque variable.
45a2b3−5ab5 Use fraction multiplication. 45−5⋅a2a⋅b3b5 Simplify and use the Quotient Property. −9⋅a⋅1b2 Multiply. −9ab2
Trouvez le quotient :−72a7b38a12b4
- Réponse
-
−9a5b
Trouvez le quotient :−63c8d37c12d2
- Réponse
-
−9dc4
Trouvez le quotient :24a5b348ab4
- Réponse
-
24a5b348ab4 Use fraction multiplication. 2448⋅a5a⋅b3b4 Simplify and use the Quotient Property. 12⋅a4⋅1b Multiply. a42b
Trouvez le quotient :16a7b624ab8
- Réponse
-
2a63b2
Trouvez le quotient :27p4q7−45p12q
- Réponse
-
−3q65p8
Une fois que vous vous êtes familiarisé avec le processus et que vous l'avez pratiqué étape par étape à plusieurs reprises, vous pourrez peut-être en simplifier une fraction en une seule étape.
Trouvez le quotient :14x7y1221x11y6
- Réponse
-
Veillez à simplifier1421 en divisant un facteur commun et à simplifier les variables en soustrayant leurs exposants.
14x7y1221x11y6 Simplify and use the Quotient Property. 2y63x4
Trouvez le quotient :28x5y1449x9y12
- Réponse
-
4y27x4
Trouvez le quotient :30m5n1148m10n14
- Réponse
-
58m5n3
Dans tous les exemples présentés jusqu'à présent, il n'y avait aucun travail à faire sur le numérateur ou le dénominateur avant de simplifier la fraction. Dans l'exemple suivant, nous allons d'abord trouver le produit de deux monômes dans le numérateur avant de simplifier la fraction. Cela suit l'ordre des opérations. N'oubliez pas qu'une barre de fraction est un symbole de regroupement.
Trouvez le quotient :(6x2y3)(5x3y2)(3x4y5)
- Réponse
-
(6x2y3)(5x3y2)(3x4y5) Simplify the numerator. 30x5y53x4y5 Simplify. 10x
Trouvez le quotient :(6a4b5)(4a2b5)12a5b8
- Réponse
-
2ab2
Trouvez le quotient :(−12x6y9)(−4x5y8)−12x10y12
- Réponse
-
−4xy5
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- Expressions rationnelles
- Diviser les monômes
- Diviser les monômes 2
Concepts clés
- Propriété du quotient pour les exposants :
- Si a est un nombre réela≠0, et m, n sont des nombres entiers, alors :aman=am−n,m>n and aman=1am−n,n>m
- Exposant zéro
- Si a est un nombre différent de zéro, alorsa0=1.
- Quotient à une propriété de puissance pour les exposants :
- Si a et b sont des nombres réels et que mm est un nombre de comptage, alors :b≠0(ab)m=ambm
- Pour élever une fraction à une puissance, augmentez le numérateur et le dénominateur à cette puissance.
- Résumé des propriétés des exposants
- Si a, b sont des nombres réels et m, nm, n sont des nombres entiers, alorsProduct Propertyam⋅an=am+nPower Property(am)n=am⋅nProduct to a Power(ab)m=ambmQuotient Propertyaman=am−n,a≠0,m>nanan=1,a≠0,n>mZero Exponent Definitiona0=1,a≠0Quotient to a Power Property(ab)m=ambm,b≠0