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6.5 : Diviser les monômes

Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

  • Simplifier les expressions à l'aide de la propriété quotient pour les expos
  • Simplifiez les expressions avec zéro exposant
  • Simplifier les expressions à l'aide du quotient d'une propriété de puissance
  • Simplifier les expressions en appliquant plusieurs propriétés
  • Diviser les monômes
Remarque

Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.

  1. Simplifiez :824.
    Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.6.4.
  2. Simplifiez :(2m3)5.
    Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 6.2.22.
  3. Simplifier :12x12y
    si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.6.10.

Simplifier les expressions en utilisant la propriété de quotient pour les exposants

Plus tôt dans ce chapitre, nous avons développé les propriétés des exposants pour la multiplication. Nous résumons ces propriétés ci-dessous.

RÉSUMÉ DES PROPRIÉTÉS DES EXPOSANTS POUR LA MULTIPLICATION

Si a et b sont des nombres réels, et m et n sont des nombres entiers, alors

 Product Property aman=am+n Power Property (am)n=amn Product to a Power (ab)m=ambm

Nous allons maintenant examiner les propriétés des exposants pour la division. Un rappel rapide de la mémoire peut être utile avant de commencer. Vous avez appris à simplifier les fractions en séparant les facteurs communs du numérateur et du dénominateur à l'aide de la propriété des fractions équivalentes. Cette propriété vous aidera également à travailler avec les fractions algébriques, qui sont également des quotients.

PROPRIÉTÉ FRACTIONS ÉQUIVALENTES

Si a, b et c sont des nombres entiers oùb0,c0.

thenab=acbcandacbc=ab

Comme précédemment, nous allons essayer de découvrir une propriété à l'aide de quelques exemples.

 Consider x5x2andx2x3 What do they mean? xxxxxxxxxxxx Use the Equivalent Fractions Property. x⋅̸x⋅̸xxxx⋅̸1x⋅̸x Simplify. x31x

Remarquez que dans chaque cas, les bases étaient les mêmes et nous avons soustrait des exposants.

Lorsque le plus grand exposant se trouvait dans le numérateur, il nous restait des facteurs dans le numérateur.

Lorsque le plus grand exposant se trouvait dans le dénominateur, il ne nous restait que des facteurs dans le dénominateur : notez le numérateur de 1.

Nous écrivons :

x5x2x2x3x521x32x31x

Cela conduit à la propriété du quotient pour les exposants.

PROPRIÉTÉ DE QUOTIENT POUR LES EXPOSANTS

Si a est un nombre réel et que m et n sont des nombres entiers, alorsa0

aman=amn,m>n and aman=1anm,n>m

Quelques exemples avec des chiffres peuvent aider à vérifier cette propriété.

3432=3425253=1532819=3225125=1519=915=15

Exercice6.5.1

Simplifiez :

  1. x9x7
  2. 31032
Réponse

Pour simplifier une expression avec un quotient, nous devons d'abord comparer les exposants du numérateur et du dénominateur.

1.

Comme 9 > 7, il y a plus de facteurs de x dans le numérateur. x à la neuvième puissance divisée par x à la septième puissance.
Utilisez la propriété du quotient,aman=amn x à la puissance 9 moins 7.
Simplifiez. x2

2.

Comme 10 > 2, il y a plus de facteurs de x dans le numérateur. 3 à la dixième puissance divisée par 3 au carré.
Utilisez la propriété du quotient,aman=amn 3 à la puissance de 10 moins 2.
Simplifiez. 38
Notez que lorsque le plus grand exposant se trouve dans le numérateur, il nous reste des facteurs dans le numérateur.
Exercice6.5.2

Simplifiez :

  1. x15x10
  2. 61465
Réponse
  1. x5
  2. 69
Exercice6.5.3

Simplifiez :

  1. y43y37
  2. 1015107
Réponse
  1. y6
  2. 108
Exercice6.5.4

Simplifiez :

  1. b8b12
  2. 7375
Réponse

Pour simplifier une expression avec un quotient, nous devons d'abord comparer les exposants du numérateur et du dénominateur.

1.

Puisque 12 > 8, il y a plus de facteurs de b dans le dénominateur. b à la huitième puissance divisée par b à la douzième puissance.
Utilisez la propriété du quotient,aman=1anm 1 divisé par b à la puissance de 12 moins 8.
Simplifiez. 1 divisé par b jusqu'à la quatrième puissance.

2.

Puisque 5 > 3, il y a plus de facteurs de 3 dans le dénominateur. 7 cubes divisés par 7 jusqu'à la cinquième puissance.
Utilisez la propriété du quotient,aman=1anm 1 divisé par 7 à la puissance 5 moins 3.
Simplifiez. 1 divisé par 7 au carré.
Simplifiez. 1 quarante-neuvième.
Notez que lorsque le plus grand exposant se trouve dans le dénominateur, il nous reste des facteurs dans le dénominateur.
Exercice6.5.5

Simplifiez :

  1. x18x22
  2. 12151230
Réponse
  1. 1x4
  2. 11215
Exercice6.5.6

Simplifiez :

  1. m7m15
  2. 98919
Réponse
  1. 1m8
  2. 1911

Remarquez la différence entre les deux exemples précédents :

  • Si nous commençons avec plus de facteurs dans le numérateur, nous finirons par avoir des facteurs dans le numérateur.
  • Si nous commençons avec plus de facteurs au dénominateur, nous finirons par avoir des facteurs au dénominateur.

La première étape de la simplification d'une expression à l'aide de la propriété Quotient pour les exposants consiste à déterminer si l'exposant est plus grand au numérateur ou au dénominateur.

Exercice6.5.7

Simplifiez :

  1. a5a9
  2. x11x7
Réponse

1. L'exposant d'un plus grand est-il dans le numérateur ou le dénominateur ? Comme 9 > 5, il y a plus de a dans le dénominateur et nous allons donc obtenir des facteurs dans le dénominateur.

  a à la cinquième puissance divisée par a à la neuvième puissance.
Utilisez la propriété du quotient,aman=1anm 1 divisé par a à la puissance 9 moins 5.
Simplifiez. 1 divisé par a à la quatrième puissance.

2. Notez qu'il y a plus de facteurs xx dans le numérateur, puisque 11 > 7. Nous allons donc nous retrouver avec des facteurs dans le numérateur.

  x à la onzième puissance divisée par x à la septième puissance.
Utilisez la propriété du quotient,aman=1anm x à la puissance de 11 moins 7.
Simplifiez. x à la quatrième puissance.
Exercice6.5.8

Simplifiez :

  1. b19b11
  2. z5z11
Réponse
  1. b8
  2. 1z6
Exercice6.5.9

Simplifiez :

  1. p9p17
  2. w13w9
Réponse
  1. 1p8
  2. w4

Simplifier les expressions avec un exposant égal à zéro

Un cas particulier de la propriété du quotient est celui où les exposants du numérateur et du dénominateur sont égaux, comme dans le cas d'une expression telle queamam. D'après vos travaux antérieurs sur les fractions, vous savez que :

22=11717=14343=1

En d'autres termes, un nombre divisé par lui-même vaut 1. Doncxx=1, pour toutx(x0), puisque tout nombre divisé par lui-même est 1.

La propriété du quotient pour les exposants nous montre comment simplifier leaman momentm>n et le momentn<m en soustrayant des exposants. Et sim=n ?

Considérez88, dont nous savons qu'il s'agit de 1.

88=1 Write 8 as 23.2323=1 Subtract exponents. 233=1 Simplify. 20=1

Nous allons maintenant simplifier de deuxamam manières pour nous amener à la définition de l'exposant zéro. En général, poura0 :

Cette figure est divisée en deux colonnes. En haut de la figure, les colonnes de gauche et de droite contiennent toutes deux a à la puissance m divisée par a à la puissance m. Dans la rangée suivante, la colonne de gauche contient la puissance de a à m moins m. La colonne de droite contient la fraction m facteurs de a divisée par m facteurs de a, représentée au numérateur et au dénominateur par a fois a suivi d'une ellipse. Tous les as du numérateur et du dénominateur sont annulés. Dans la rangée inférieure, la colonne de gauche contient une valeur allant de 0 à zéro. La colonne de droite contient 1.

Nous voyons desamam simplifications versa0 et vers 1. Donca0=1.

EXPOSANT NUL

Si a est un nombre différent de zéro, alorsa0=1.

Tout nombre différent de zéro élevé à la puissance zéro vaut 1.

Dans ce texte, nous supposons que toute variable que nous élevons à la puissance zéro n'est pas nulle.

Exercice6.5.10

Simplifiez :

  1. 90
  2. n0
Réponse

La définition indique que tout nombre différent de zéro élevé à la puissance zéro est 1.

  1. 90Use the definition of the zero exponent.1
  2. n0Use the definition of the zero exponent.1
Exercice6.5.11

Simplifiez :

  1. 150
  2. m0
Réponse
  1. 1
  2. 1
Exercice6.5.12

Simplifiez :

  1. k0
  2. 290
Réponse
  1. 1
  2. 1

Maintenant que nous avons défini l'exposant zéro, nous pouvons étendre toutes les propriétés des exposants pour inclure des exposants entiers.

Que diriez-vous d'élever une expression à la puissance zéro ? Regardons(2x)0. Nous pouvons utiliser le produit à une règle de puissance pour réécrire cette expression.

(2x)0 Use the product to a power rule. 20x0 Use the zero exponent property. 11 Simplify. 1

Cela nous indique que toute expression non nulle élevée à la puissance zéro est une.

Exercice6.5.13

Simplifiez :

  1. (5b)0
  2. (4a2b)0.
Réponse
  1. (5b)0Use the definition of the zero exponent.1
  2. (4a2b)0Use the definition of the zero exponent.1
Exercice6.5.14

Simplifiez :

  1. (11z)0
  2. (11pq3)0.
Réponse
  1. 1
  2. 1
Exercice6.5.15

Simplifiez :

  1. (6d)0
  2. (8m2n3)0.
Réponse
  1. 1
  2. 1

Simplifier les expressions à l'aide du quotient d'une propriété de puissance

Nous allons maintenant examiner un exemple qui nous mènera au quotient d'une propriété énergétique.

(xy)3This means:xyxyxyMultiply the fractions.xxxyyyWrite with exponents.x3y3

Notez que l'exposant s'applique à la fois au numérateur et au dénominateur.

 We see that (xy)3 is x3y3 We write: (xy)3x3y3

Cela conduit au quotient d'une propriété de puissance pour les exposants.

QUOTIENT À UNE PROPRIÉTÉ DE PUISSANCE POUR LES EXPOSANTS

Si a et b sont des nombres réels et que m est un nombre de comptage, alorsb0

(ab)m=ambm

Pour élever une fraction à une puissance, augmentez le numérateur et le dénominateur à cette puissance.

Un exemple avec des chiffres peut vous aider à comprendre cette propriété :

(23)3=2333232323=827827=827

Exercice6.5.16

Simplifiez :

  1. (37)2
  2. (b3)4
  3. (kj)3
Réponse

1.

  3 septièmes au carré.
Utilisez la propriété du quotient,(ab)m=ambm 3 au carré divisé par 7 au carré.
Simplifiez. 9 quarante-neuvième.

2.

  b aux tiers de la quatrième puissance.
Utilisez la propriété du quotient,(ab)m=ambm b à la quatrième puissance divisée par 3 à la quatrième puissance.
Simplifiez. b à la quatrième puissance divisée par 81.

3.

  k divisé par j, entre parenthèses, coupé en cubes.
Augmentez le numérateur et le dénominateur à la troisième puissance. k en cubes divisé par j en cubes.
Exercice6.5.17

Simplifiez :

  1. (58)2
  2. (p10)4
  3. (mn)7
Réponse
  1. 2564
  2. p410,000
  3. m7n7
Exercice6.5.18

Simplifiez :

  1. (13)3
  2. (2q)3
  3. (wx)4
Réponse
  1. 127
  2. 8q3
  3. w4x4

Simplifier les expressions en appliquant plusieurs propriétés

Nous allons maintenant résumer toutes les propriétés des exposants afin qu'elles soient toutes regroupées pour pouvoir être référencées lors de la simplification des expressions à l'aide de plusieurs propriétés. Notez qu'ils sont désormais définis pour les exposants en nombres entiers.

RÉSUMÉ DES PROPRIÉTÉS DES EXPOSANTS

Si a et b sont des nombres réels, et m et n sont des nombres entiers, alors

Product Propertyaman=am+nPower Property(am)n=amnProduct to a Power(ab)m=ambmQuotient Propertyaman=amn,a0,m>nanan=1,a0,n>mZero Exponent Definitiona0=1,a0Quotient to a Power Property(ab)m=ambm,b0

Exercice6.5.19

Simplifiez :(y4)2y6

Réponse

(y4)2y6Multiply the exponents in the numerator.y8y6Subtract the exponents.y2

Exercice6.5.20

Simplifiez :(m5)4m7

Réponse

m13

Exercice6.5.21

Simplifiez :(k2)6k7

Réponse

k5

Exercice6.5.22

Simplifiez :b12(b2)6

Réponse

b12(b2)6Multiply the exponents in the numerator.b12b12Subtract the exponents.b0Simplify1

Notez qu'après avoir simplifié le dénominateur dans la première étape, le numérateur et le dénominateur étaient égaux. La valeur finale est donc égale à 1.

Exercice6.5.23

Simplifiezn12(n3)4.

Réponse

1

Exercice6.5.24

Simplifiezx15(x3)5.

Réponse

1

Exercice6.5.25

Simplifiez :(y9y4)2

Réponse

(y9y4)2Remember parentheses come before exponents.Notice the bases are the same, so we can simplify(y5)2inside the parentheses. Subtract the exponents.Multiply the exponents.y10

Exercice6.5.25

Simplifiez :(r5r3)4

Réponse

r8

Exercice6.5.25

Simplifiez :(v6v4)3

Réponse

v6

Exercice6.5.26

Simplifiez :(j2k3)4

Réponse

Ici, nous ne pouvons pas d'abord simplifier entre parenthèses, car les bases ne sont pas les mêmes.

(j2k3)4Raise the numerator and denominator to the third powerusing the Quotient to a Power Property,(ab)m=ambm(j2)4(k3)4Use the Power Property and simplify.j8k12

Exercice6.5.27

Simplifiez :(a3b2)4

Réponse

a12b8

Exercice6.5.28

Simplifiez :(q7r5)3

Réponse

q21r15

Exercice6.5.29

Simplifiez :(2m25n)4

Réponse

(2m25n)4Raise the numerator and denominator to the fourth(2m2)4(5n)4power, using the Quotient to a Power Property,(ab)m=ambm24(m2)454n4Use the Power Property and simplify.16m8625n4

Exercice6.5.30

Simplifiez :(7x39y)2

Réponse

49x681y2

Exercice6.5.31

Simplifiez :(3x47y)2

Réponse

9x849v2

Exercice6.5.32

Simplifiez :(x3)4(x2)5(x6)5

Réponse

(x3)4(x2)5(x6)5Use the Power Property,(am)n=amn(x12)(x10)(x30)Add the exponents in the numerator.x22x30Use the Quotient Property,aman=1anm1x8

Exercice6.5.32

Simplifiez :(a2)3(a2)4(a4)5

Réponse

1a6

Exercice6.5.33

Simplifiez :(p3)4(p5)3(p7)6

Réponse

1p15

Exercice6.5.34

Simplifiez :(10p3)2(5p)3(2p5)4

Réponse

(10p3)2(5p)3(2p5)4 Use the Product to a Power Property, (ab)m=ambm(10)2(p3)2(5)3(p)3(2)4(p5)4 Use the Power Property, (am)n=amn100p6125p316p20 Add the exponents in the denominator. 100p612516p23 Use the Quotient Property, aman=1anm10012516p17 Simplify. 120p17

Exercice6.5.35

Simplifiez :(3r3)2(r3)7(r3)3

Réponse

9r18

Exercice6.5.36

Simplifiez :(2x4)5(4x3)2(x3)5

Réponse

2x

Diviser les monômes

Vous avez maintenant découvert toutes les propriétés des exposants et vous les avez utilisées pour simplifier les expressions. Vous allez maintenant voir comment utiliser ces propriétés pour diviser les monômes. Plus tard, vous les utiliserez pour diviser des polynômes.

Exercice6.5.37

Trouvez le quotient :56x7÷8x3

Réponse

56x7÷8x3 Rewrite as a fraction. 56x78x3 Use fraction multiplication. 568x7x3 Simplify and use the Quotient Property. 7x4

Exercice6.5.38

Trouvez le quotient :42y9÷6y3

Réponse

7y6

Exercice6.5.39

Trouvez le quotient :48z8÷8z2

Réponse

6z6

Exercice6.5.40

Trouvez le quotient :45a2b35ab5

Réponse

Lorsque nous divisons des monômes avec plus d'une variable, nous écrivons une fraction pour chaque variable.

45a2b35ab5 Use fraction multiplication. 455a2ab3b5 Simplify and use the Quotient Property. 9a1b2 Multiply. 9ab2

Exercice6.5.41

Trouvez le quotient :72a7b38a12b4

Réponse

9a5b

Exercice6.5.42

Trouvez le quotient :63c8d37c12d2

Réponse

9dc4

Exercice6.5.43

Trouvez le quotient :24a5b348ab4

Réponse

24a5b348ab4 Use fraction multiplication. 2448a5ab3b4 Simplify and use the Quotient Property. 12a41b Multiply. a42b

Exercice6.5.44

Trouvez le quotient :16a7b624ab8

Réponse

2a63b2

Exercice6.5.45

Trouvez le quotient :27p4q745p12q

Réponse

3q65p8

Une fois que vous vous êtes familiarisé avec le processus et que vous l'avez pratiqué étape par étape à plusieurs reprises, vous pourrez peut-être en simplifier une fraction en une seule étape.

Exercice6.5.46

Trouvez le quotient :14x7y1221x11y6

Réponse

Veillez à simplifier1421 en divisant un facteur commun et à simplifier les variables en soustrayant leurs exposants.

14x7y1221x11y6 Simplify and use the Quotient Property. 2y63x4

Exercice6.5.47

Trouvez le quotient :28x5y1449x9y12

Réponse

4y27x4

Exercice6.5.48

Trouvez le quotient :30m5n1148m10n14

Réponse

58m5n3

Dans tous les exemples présentés jusqu'à présent, il n'y avait aucun travail à faire sur le numérateur ou le dénominateur avant de simplifier la fraction. Dans l'exemple suivant, nous allons d'abord trouver le produit de deux monômes dans le numérateur avant de simplifier la fraction. Cela suit l'ordre des opérations. N'oubliez pas qu'une barre de fraction est un symbole de regroupement.

Exercice6.5.49

Trouvez le quotient :(6x2y3)(5x3y2)(3x4y5)

Réponse

(6x2y3)(5x3y2)(3x4y5) Simplify the numerator. 30x5y53x4y5 Simplify. 10x

Exercice6.5.50

Trouvez le quotient :(6a4b5)(4a2b5)12a5b8

Réponse

2ab2

Exercice6.5.51

Trouvez le quotient :(12x6y9)(4x5y8)12x10y12

Réponse

4xy5

Remarque

Accédez à ces ressources en ligne pour obtenir des instructions et des exercices supplémentaires sur la division des monômes :

Concepts clés

  • Propriété du quotient pour les exposants :
    • Si a est un nombre réela0, et m, n sont des nombres entiers, alors :aman=amn,m>n and aman=1amn,n>m
  • Exposant zéro
    • Si a est un nombre différent de zéro, alorsa0=1.
  • Quotient à une propriété de puissance pour les exposants :
    • Si a et b sont des nombres réels et que mm est un nombre de comptage, alors :b0(ab)m=ambm
    • Pour élever une fraction à une puissance, augmentez le numérateur et le dénominateur à cette puissance.
  • Résumé des propriétés des exposants
    • Si a, b sont des nombres réels et m, nm, n sont des nombres entiers, alorsProduct Propertyaman=am+nPower Property(am)n=amnProduct to a Power(ab)m=ambmQuotient Propertyaman=amn,a0,m>nanan=1,a0,n>mZero Exponent Definitiona0=1,a0Quotient to a Power Property(ab)m=ambm,b0