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4.2 : Représenter graphiquement des équations linéaires à deux variables

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    Objectifs d'apprentissage

    À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

    • Reconnaissez la relation entre les solutions d'une équation et son graphe.
    • Tracez une équation linéaire en traçant des points.
    • Tracez des lignes verticales et horizontales.
    Remarque

    Avant de commencer, répondez à ce questionnaire de préparation.

    1. Évaluez\(3x+2\) quand\(x=−1\).
      Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 1.5.34.
    2. Résolvez\(3x+2y=12\) pour y en général.
      Si vous avez oublié ce problème, passez en revue l'exercice 2.6.16.

    Reconnaître la relation entre les solutions d'une équation et son graphe

    Dans la section précédente, nous avons trouvé plusieurs solutions à l'équation\(3x+2y=6\). Ils sont listés dans le tableau\(\PageIndex{1}\). Ainsi, les paires ordonnées (0,3), (2,0) et\((1,\frac{3}{2})\) sont des solutions à l'équation\(3x+2y=6\). Nous pouvons tracer ces solutions dans le système de coordonnées rectangulaires, comme indiqué sur la figure\(\PageIndex{1}\).

    Tableau\(\PageIndex{1}\)
    3 x 2 y = 6
    x y (x, y)
    0 3 (0,3)
    2 0 (2,0)
    1 \(\frac{3}{2}\) \((1, \frac{3}{2})\)
    La figure montre quatre points sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 7 à 7. L'axe Y du plan va de moins 7 à 7. Les points marquent les quatre points à (0, 3), (1, trois moitiés), (2, 0) et (4, moins 3). Les quatre points semblent s'aligner le long d'une ligne droite.
    Figurine\(\PageIndex{1}\)

    Vous avez remarqué à quel point les points s'alignent parfaitement ? Nous relions les points par une droite pour obtenir le graphique de l'équation 3x+2y=6. Voir la figure\(\PageIndex{2}\). Remarquez les flèches aux extrémités de chaque côté de la ligne. Ces flèches indiquent que la ligne continue.

    La figure montre une ligne droite passant par quatre points sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 7 à 7. L'axe Y du plan va de moins 7 à 7. Les points marquent les quatre points à (0, 3), (1, trois moitiés), (2, 0) et (4, moins 3). Une ligne droite avec une pente négative passe par les quatre points. La ligne comporte des flèches aux deux extrémités pointant vers le bord de la figure. La ligne est étiquetée avec l'équation 3x plus 2y égale 6.
    Figurine\(\PageIndex{2}\)

    Chaque point de la ligne est une solution de l'équation. De plus, chaque solution de cette équation correspond à un point sur cette ligne. Les points qui ne sont pas en jeu ne sont pas des solutions.

    Notez que le point dont les coordonnées sont (−2,6) se trouve sur la ligne illustrée à la figure\(\PageIndex{3}\). Si vous remplacez x=−2 et y=6 dans l'équation, vous trouvez qu'il s'agit d'une solution à l'équation.

    La figure montre une ligne droite et deux points et sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 7 à 7. L'axe Y du plan va de moins 7 à 7. Les points marquent les deux points et sont marqués par les coordonnées « (négatif 2, 6) » et « (4, 1) ». La droite passe par le point (négatif 2, 6) mais ne passe pas par le point (4, 1).
    Figurine\(\PageIndex{3}\)

    La figure montre une série d'équations permettant de vérifier si la paire ordonnée (négatif 2, 6) est une solution à l'équation 3x plus 2y égale 6. La première ligne indique « Test (négatif 2, 6) ». Le négatif 2 est coloré en bleu et le 6 est coloré en rouge. La deuxième ligne indique que l'équation à deux variables 3x plus 2y est égale à 6. La troisième ligne montre la paire ordonnée substituée dans l'équation à deux variables, ce qui donne 3 (négatif 2) plus 2 (6) égal à 6, où le négatif 2 est coloré en bleu pour indiquer qu'il s'agit de la première composante de la paire ordonnée et le 6 est rouge pour indiquer qu'il s'agit de la deuxième composante de la paire ordonnée. La quatrième ligne est l'équation simplifiée : moins 6 plus 12 égale 6. La cinquième ligne est l'équation simplifiée 6equals6. Une coche est inscrite à côté de la dernière équation pour indiquer qu'il s'agit d'une déclaration vraie et pour montrer que (négatif 2, 6) est une solution à l'équation 3x plus 2y égale 6.

    Le point (−2,6) est donc une solution à l'équation\(3x+2y=6\). (L'expression « le point dont les coordonnées sont (−2,6) » est souvent raccourcie en « le point (−2,6) ».)

    La figure montre une série d'équations permettant de vérifier si la paire ordonnée (4, 1) est une solution à l'équation 3x plus 2y égale 6. La première ligne indique « Qu'en est-il de (4, 1) ? ». Le 4 est de couleur bleue et le 1 est de couleur rouge. La deuxième ligne indique que l'équation à deux variables 3x plus 2y est égale à 6. La troisième ligne montre la paire ordonnée substituée dans l'équation à deux variables, ce qui donne 3 (4) plus 2 (1) égal à 6, où le 4 est coloré en bleu pour indiquer qu'il s'agit du premier composant de la paire ordonnée et le 1 est rouge pour indiquer qu'il s'agit du deuxième composant de la paire ordonnée. La quatrième ligne est l'équation simplifiée 12 plus 2 égale 6. Un point d'interrogation est placé au-dessus du signe égal pour indiquer que l'on ne sait pas si l'équation est vraie ou fausse. La cinquième ligne est l'énoncé simplifié supplémentaire 14 qui n'est pas égal à 6. Un signe « pas égal » est écrit entre les deux chiffres et ressemble à un signe égal traversé par une barre oblique.
    Chiffre\(\PageIndex{3}\). C'est un exemple du dicton : « Une image vaut mille mots ». La ligne indique toutes les solutions de l'équation. Chaque point de la ligne est une solution de l'équation. Et chaque solution de cette équation se trouve sur cette ligne. Cette ligne s'appelle le graphe de l'équation\(3x+2y=6\).
    GRAPHIQUE D'UNE ÉQUATION LINÉAIRE
    Le graphique d'une équation linéaire Ax+By=C est une droite.
    • Chaque point de la ligne est une solution de l'équation.
    • Chaque solution de cette équation correspond à un point sur cette ligne.
    Exercice\(\PageIndex{1}\)

    Le graphique de y=2x−3 est présenté.

    La figure montre une ligne droite sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 7 à 7. L'axe Y du plan va de moins 7 à 7. La ligne droite a une pente positive et passe par l'axe y au niveau de (0, moins 3). La ligne est étiquetée avec l'équation y égale 2 fois moins 3.

    Pour chaque paire commandée, décidez :

    1. La paire ordonnée est-elle une solution à l'équation ?
    2. Est-ce que le but est en jeu ?

    A (0, -3) B (3,3) C (2, -3) D (−1, −5)

    Réponse

    Remplacez les valeurs x et y dans l'équation pour vérifier si la paire ordonnée est une solution à l'équation.

    1.
    La figure montre une série d'équations permettant de vérifier si les paires ordonnées (0, négatif 3), (3, 3), (2, négatif 3) et (négatif 1, négatif 5) sont des solutions à l'équation y égale 2x moins 3. La première ligne indique les paires ordonnées avec les étiquettes A : (0, négatif 3), B : (3, 3), C : (2, négatif 3) et D : (négatif 1, négatif 5). Les premiers composants sont colorés en bleu et les seconds composants sont colorés en rouge. La deuxième ligne indique que l'équation à deux variables y est égale à 2x moins 3. La troisième ligne montre les quatre paires ordonnées substituées dans l'équation à deux variables, ce qui donne quatre équations. La première équation est négative : 3 est égal à 2 (0) moins 3 où le 0 est un indice de couleur et le négatif 3 sur le côté gauche de l'équation est coloré en rouge. La deuxième équation est 3 égale 2 (3) moins 3 où le 3 entre parenthèses est un indice de couleur et le 3 sur le côté gauche de l'équation est coloré en rouge. La troisième équation est négative 3 égale 2 (2) moins 3 où le 2 entre parenthèses est un indice de couleur et le négatif 3 sur le côté gauche de l'équation est coloré en rouge. La quatrième équation est négative 5 égale 2 (négatif 1) moins 3 où le négatif 1 est un indice de couleur et le négatif 5 est coloré en rouge. Des points d'interrogation sont placés au-dessus de tous les signes égaux pour indiquer que l'on ne sait pas si les équations sont vraies ou fausses. La quatrième ligne montre les versions simplifiées des quatre équations. Le premier est négatif 3 est égal à moins 3 avec une coche indiquant que (0, moins 3) est une solution. Le second est égal à 3 avec une coche indiquant que (3, 3) est une solution. Le troisième est négatif 3 et non égal à 1, ce qui indique que (2, moins 3) n'est pas une solution. Le quatrième est négatif 5 est égal à moins 5 avec une coche indiquant que (négatif 1, négatif 5) est une solution.
    2. Tracez les points A (0,3), B (3,3), C (2, −3) et D (−1, −5).
    La figure montre une ligne droite et quatre points sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 7 à 7. L'axe Y du plan va de moins 7 à 7. Les points marquent les deux points et sont étiquetés par les coordonnées (négatif 1, négatif 5), (0, négatif 3), (2, négatif 3) et (3, 3). La droite, étiquetée avec l'équation y est égale à 2x moins 3, passe par les trois points (négatif 1, négatif 5), (0, négatif 3) et (3, 3) mais ne passe pas par le point (2, moins 3).

    Les points qui sont des solutions à y=2x−3 se trouvent sur la ligne, mais le point qui n'est pas une solution n'est pas sur la ligne.

    Les points (0,3), (3,3) et (−1, −5) se trouvent sur la ligne y=2x−3, et le point (2, −3) ne se trouve pas sur la ligne.

    Exercice\(\PageIndex{2}\)

    Utilisez le graphique de y=3x−1 pour décider si chaque paire ordonnée est :

    • une solution à l'équation.
    • sur la ligne.
    1. (0, -1)
    2. (2,5)

    La figure montre une ligne droite sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 7 à 7. L'axe Y du plan va de moins 7 à 7. La ligne droite passe par le point (moins 2, moins 7) et toutes les 3 unités qu'elle monte, elle remonte d'une unité vers la droite. La ligne est étiquetée avec l'équation y égale 3x moins 1.

    Réponse
    1. Oui, Oui
    2. Oui, Oui
    Exercice\(\PageIndex{3}\)

    Utilisez le graphique de y=3x−1 pour décider si chaque paire ordonnée est :

    • une solution à l'équation
    • sur la ligne
    1. (3, -1)
    2. (−1, −4)

    La figure montre une ligne droite sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 7 à 7. L'axe Y du plan va de moins 7 à 7. La ligne droite passe par le point (moins 2, moins 7) et toutes les 3 unités qu'elle monte, elle remonte d'une unité vers la droite. La ligne est étiquetée avec l'équation y égale 3x moins 1.

    Réponse
    1. non, non
    2. Oui, Oui

    Tracez une équation linéaire en traçant des points

    Plusieurs méthodes peuvent être utilisées pour représenter graphiquement une équation linéaire. La méthode que nous avons utilisée pour représenter graphiquement 3x+2y=6 est appelée traçage des points, ou méthode de traçage par points.

    Exercice\(\PageIndex{4}\): How To Graph an Equation By Plotting Points

    Représentez graphiquement l'équation y=2x+1 en traçant des points.

    Réponse

    La figure montre la procédure en trois étapes pour tracer une ligne à partir de l'équation en utilisant l'exemple d'équation y est égal à 2x moins 1. La première étape consiste à « trouver trois points dont les coordonnées sont des solutions à l'équation ». Organisez les solutions dans un tableau ». On fait la remarque suivante : « Vous pouvez choisir n'importe quelle valeur pour x ou y. Dans ce cas, comme y est isolé sur le côté gauche de l'équation, il est plus facile de choisir des valeurs pour x ». Le travail de la première étape de l'exemple est illustré par une série d'équations alignées verticalement. De haut en bas, les équations sont y égal à 2x plus 1, x est égal à 0 (où le 0 est bleu), y est égal à 2x plus 1, y est égal à 2 (0) plus 1 (où le 0 est bleu), y est égal à 0 plus 1, y est égal à 1, x est égal à 1 (où le 1 est bleu), y est égal à 2x plus 1, y est égal à 2 (1) plus 1 (où le 1 est bleu), y est égal à 2 plus 1, y est égal à 3, x est égal à moins 2 (où le négatif 2 est bleu), y est égal à 2x plus 1, y est égal à 2 (négatif 2) plus 1 (où le négatif 2 est bleu), y est égal à moins 4 plus 1, y est égal à moins 3. L'œuvre est ensuite organisée sous forme de tableau. Le tableau comporte 5 lignes et 3 colonnes. La première ligne est une ligne de titre dont l'équation y est égale à 2x plus 1. La deuxième ligne est une ligne d'en-tête et elle étiquette chaque colonne. L'en-tête de la première colonne est « x », le second est « y » et le troisième est « (x, y) ». Sous la première colonne se trouvent les chiffres 0, 1 et moins 2. Sous la deuxième colonne se trouvent les chiffres 1, 3 et moins 3. Sous la troisième colonne se trouvent les paires ordonnées (0, 1), (1, 3) et (moins 2, moins 3).La deuxième étape consiste à « tracer les points dans un système de coordonnées rectangulaires ». Vérifiez que les points s'alignent. S'ils ne le font pas, vérifiez attentivement votre travail ! » Pour l'exemple, les points sont (0, 1), (1, 3) et (négatif 2, négatif 3). Un graphique montre les trois points du plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 7 à 7. L'axe Y du plan va de moins 7 à 7. Des points marquent les trois points à (0, 1), (1, 3) et (moins 2, moins 3). La question « Est-ce que les points s'alignent ? » est indiqué et suivi de la réponse « Oui, les points s'alignent ».La troisième étape de la procédure consiste à « tracer la ligne entre les trois points. Prolongez la ligne pour remplir la grille et placez des flèches aux deux extrémités de la ligne. » Un graphique montre une ligne droite passant par trois points sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 7 à 7. L'axe Y du plan va de moins 7 à 7. Des points marquent les trois points à (0, 1), (1, 3) et (moins 2, moins 3). Une ligne droite passe par les trois points. La ligne comporte des flèches aux deux extrémités pointant vers le bord de la figure. La ligne est étiquetée avec l'équation y égale 2x plus 1. La déclaration « Cette ligne est le graphique où y est égal à 2x plus 1 » est incluse à côté du graphique.

    Exercice\(\PageIndex{5}\)

    Tracez l'équation en traçant les points : y=2x−3.

    Réponse

    La figure montre une ligne droite sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 7 à 7. L'axe Y du plan va de moins 7 à 7. La ligne droite passe par les points (négatif 2, moins 7), (négatif 1, négatif 5), (0, négatif 3), (1, négatif 1), (2, 1), (3, 3), (4, 5) et (5, 7). Des flèches aux extrémités de la ligne pointent vers l'extérieur de la figure.

    Exercice\(\PageIndex{6}\)

    Tracez l'équation en traçant les points : y=−2x+4.

    Réponse

    La figure montre une ligne droite sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 7 à 7. L'axe Y du plan va de moins 7 à 7. La ligne droite passe par les points (négatif 1, 6), (0, 4), (1, 2), (2, 0), (3, négatif 2), (4, négatif 4) et (5, négatif 6). Des flèches aux extrémités de la ligne pointent vers l'extérieur de la figure.

    Les étapes à suivre pour représenter graphiquement une équation linéaire en traçant des points sont résumées ci-dessous.

    TRACER UNE ÉQUATION LINÉAIRE EN TRAÇANT DES POINTS
    1. Trouvez trois points dont les coordonnées sont des solutions à l'équation. Organisez-les dans un tableau.
    2. Tracez les points dans un système de coordonnées rectangulaires. Vérifiez que les points s'alignent. Si ce n'est pas le cas, vérifiez attentivement votre travail.
    3. Tracez la ligne entre les trois points. Prolongez la ligne pour remplir la grille et placez des flèches aux deux extrémités de la ligne.

    Il est vrai qu'il suffit de deux points pour déterminer une ligne, mais c'est une bonne habitude d'utiliser trois points. Si vous ne tracez que deux points et que l'un d'entre eux est incorrect, vous pouvez toujours tracer une ligne, mais elle ne représentera pas les solutions de l'équation. Ce ne sera pas la bonne ligne.

    Si vous utilisez trois points et que l'un d'eux est incorrect, les points ne seront pas alignés. Cela vous indique que quelque chose ne va pas et que vous devez vérifier votre travail. Regardez la différence entre la partie (a) et la partie (b) sur la figure\(\PageIndex{4}\).

    La figure a montre trois points traversés par une ligne droite. La figure b montre trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne.
    Figurine\(\PageIndex{4}\)

    Faisons un autre exemple. Cette fois, nous allons afficher les deux dernières étapes sur une seule grille.

    Exercice\(\PageIndex{7}\)

    Représentez graphiquement l'équation y=−3x.

    Réponse

    Trouvez trois points qui constituent des solutions à l'équation. Là encore, il est plus facile de choisir des valeurs pour x. Comprenez-vous pourquoi ?

    La figure montre trois ensembles d'équations utilisés pour déterminer des paires ordonnées à partir de l'équation y égale moins 3x. Le premier ensemble contient les équations suivantes : x est égal à 0 (où le 0 est bleu), y est égal à moins 3x, y est égal à moins 3 (0) (où le 0 est bleu), y est égal à 0. Le deuxième ensemble contient les équations suivantes : x est égal à 1 (où le 1 est bleu), y est égal à moins 3x, y est égal à moins 3 (1) (où le 1 est bleu), y est égal à moins 3. Le troisième ensemble contient les équations suivantes : x est égal à moins 2 (où le négatif 2 est bleu), y est égal à moins 3x, y est égal à moins 3 (négatif 2) (où le négatif 2 est bleu), y est égal à 6.

    Nous listons les points dans le tableau\(\PageIndex{2}\).

    Tableau\(\PageIndex{2}\)
    y = −3 x
    x y (x, y)
    0 0 (0,0)
    1 −3 (1, −3)
    −2 6 (−2,6)

    Tracez les points, vérifiez qu'ils s'alignent et tracez la ligne.

    La figure montre une ligne droite passant par trois points sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 7 à 7. L'axe Y du plan va de moins 7 à 7. Les points marquent les trois points qui sont étiquetés par leurs paires ordonnées (moins 2, 6), (0, 0) et (1, moins 3). Une ligne droite passe par les trois points. La ligne comporte des flèches aux deux extrémités pointant vers l'extérieur de la figure. La ligne est étiquetée avec l'équation y égale à moins 3x.

    Exercice\(\PageIndex{8}\)

    Tracez l'équation en traçant les points : y=−4x.

    Réponse

    La figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 12 à 12. L'axe Y du plan va de moins 12 à 12. La ligne droite passe par les points (moins 2, 8), (0, 0) et (2, moins 8). La ligne comporte des flèches aux deux extrémités pointant vers l'extérieur de la figure.

    Exercice\(\PageIndex{9}\)

    Tracez l'équation en traçant les points : y=x.

    Réponse

    La figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 12 à 12. L'axe Y du plan va de moins 12 à 12. La ligne droite passe par les points (négatif 8, négatif 8), (négatif 6, négatif 6), (négatif 4, négatif 4), (négatif 2, négatif 2), (0, 0), (2, 2), (4, 4), (6, 6) et (8, 8). La ligne comporte des flèches aux deux extrémités pointant vers l'extérieur de la figure.

    Lorsqu'une équation inclut une fraction comme coefficient de x, nous pouvons toujours remplacer x par n'importe quel nombre. Mais le calcul est plus facile si nous faisons de « bons » choix pour les valeurs de x. De cette façon, nous éviterons les réponses fractionnées, qui sont difficiles à représenter graphiquement avec précision.

    Exercice\(\PageIndex{10}\)

    Tracez l'équation\(y = \frac{1}{2}x + 3\).

    Réponse

    Trouvez trois points qui constituent des solutions à l'équation. Comme cette équation a la fraction\(\frac{1}{2}\) comme coefficient de x, nous allons choisir les valeurs de x avec soin. Nous utiliserons zéro comme choix et des multiples de 2 pour les autres choix. Pourquoi les multiples de 2 sont-ils un bon choix pour les valeurs de x ?

    La figure montre trois séries d'équations utilisées pour déterminer des paires ordonnées à partir de l'équation y est égal à (la moitié) x plus 3. Le premier ensemble contient les équations suivantes : x est égal à 0 (où le 0 est bleu), y est égal à (une moitié) x plus 3, y est égal à (une moitié) (0) plus 3 (où le 0 est bleu), y est égal à 0 plus 3, y est égal à 3. Le deuxième ensemble contient les équations suivantes : x est égal à 2 (où le 2 est bleu), y est égal à (une moitié) x plus 3, y est égal à (une moitié) (2) plus 3 (où le 2 est bleu), y est égal à 1 plus 3, y est égal à 4. Le troisième ensemble contient les équations suivantes : x est égal à 4 (où le 4 est bleu), y est égal à (une moitié) x plus 3, y est égal à (une moitié) (4) plus 3 (où le 4 est bleu), y est égal à 2 plus 3, y est égal à 5.

    Les points sont indiqués dans le tableau\(\PageIndex{3}\).

    Tableau\(\PageIndex{3}\)
    y = 12 x +3
    x y (x, y)
    0 3 (0,3)
    2 4 (2,4)
    4 5 (4,5)

    Tracez les points, vérifiez qu'ils s'alignent et tracez la ligne.

    La figure montre une ligne droite passant par trois points sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 7 à 7. L'axe Y du plan va de moins 7 à 7. Les points marquent les trois points qui sont étiquetés par leurs paires ordonnées (0, 3), (2, 4) et (4, 5). Une ligne droite passe par les trois points. La ligne comporte des flèches aux deux extrémités pointant vers l'extérieur de la figure. La ligne est étiquetée avec l'équation y égale (une moitié) x plus 3.

    Exercice\(\PageIndex{11}\)

    Tracez l'équation\(y = \frac{1}{3}x - 1\).

    Réponse

    La figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 12 à 12. L'axe Y du plan va de moins 12 à 12. La ligne droite passe par les points (négatif 9, négatif 4), (négatif 6, négatif 3), (négatif 3, négatif 2), (0, négatif 1), (3, 0), (6, 1) et (9, 2). La ligne comporte des flèches aux deux extrémités pointant vers l'extérieur de la figure.

    Exercice\(\PageIndex{12}\)

    Tracez l'équation\(y = \frac{1}{4}x + 2\).

    Réponse

    La figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 12 à 12. L'axe Y du plan va de moins 12 à 12. La ligne droite passe par les points (négatif 12, négatif 1), (négatif 8, 0), (négatif 4, 1), (0, 2), (4, 3), (8, 4) et (12, 5). La ligne comporte des flèches aux deux extrémités pointant vers l'extérieur de la figure.

    Jusqu'à présent, toutes les équations que nous avons tracées avaient y donné en termes de x. Nous allons maintenant représenter graphiquement une équation avec x et y du même côté. Voyons ce qui se passe dans l'équation 2x+y=3. Si y=0, quelle est la valeur de x ?

    La figure montre un ensemble d'équations utilisées pour déterminer une paire ordonnée à partir de l'équation 2x plus y égale 3. La première équation est y égale 0 (où 0 est rouge). La deuxième équation est l'équation à deux variables : 2x plus y est égal à 3. La troisième équation est l'équation à une variable négative : 2x plus 0 est égal à 3 (où le 0 est rouge). La quatrième équation est 2x égale 3. La cinquième équation est que x est égal à trois moitiés. La dernière ligne est la paire ordonnée (trois moitiés, 0).

    Ce point possède une fraction pour la coordonnée x et, bien que nous puissions représenter graphiquement ce point, il est difficile de représenter graphiquement des fractions avec précision. N'oubliez pas que dans l'exemple y=12x+3, nous avons soigneusement choisi les valeurs de x afin de ne pas représenter graphiquement les fractions. Si nous résolvons l'équation 2x+y=3 pour y, il sera plus facile de trouver trois solutions à l'équation.

    \[\begin{aligned} 2 x+y &=3 \\ y &=-2 x+3 \end{aligned}\]

    Les solutions pour x=0, x=1 et x=−1 sont présentées dans le tableau\(\PageIndex{4}\). Le graphique est illustré dans la figure\(\PageIndex{5}\).

    Tableau\(\PageIndex{4}\)
    2x+y=3
    x y (x, y)
    0 3 (0,3)
    1 1 (1,1)
    −1−1 5 (−1,5)
    La figure montre une ligne droite passant par trois points sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 7 à 7. L'axe Y du plan va de moins 7 à 7. Les points marquent les trois points qui sont étiquetés par leurs paires ordonnées (moins 1, 5), (0, 3) et (1, 1). Une ligne droite passe par les trois points. La ligne comporte des flèches aux deux extrémités pointant vers l'extérieur de la figure. La ligne est étiquetée avec l'équation 2x plus y égale 3.
    Figurine\(\PageIndex{5}\)

    Pouvez-vous localiser le point\((\frac{3}{2}, 0)\) que nous avons trouvé en laissant y=0, sur la ligne ?

    Exercice\(\PageIndex{13}\)

    Représentez graphiquement l'équation 3x+y=−1.

    Réponse

    \(\begin{array}{lrll} { \text { Find three points that are solutions to the equation. } } & {3 x+y} &{=} &{-1} \\ {\text { First solve the equation for } y.} &{y} &{=} &{-3 x-1} \end{array}\)

    Nous allons donner à x la valeur 0, 1 et −1 pour trouver 3 points. Les paires ordonnées sont présentées dans le tableau\(\PageIndex{5}\). Tracez les points, vérifiez qu'ils s'alignent et tracez la ligne. Voir la figure\(\PageIndex{6}\).

    Tableau\(\PageIndex{5}\)
    3x+y=−1
    x y (x, y)
    0 −1 (0, -1)
    1 −4 (1, −4)
    −1 2 (−1,2)
    La figure montre une ligne droite passant par trois points sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 7 à 7. L'axe Y du plan va de moins 7 à 7. Les points marquent les trois points qui sont étiquetés par leurs paires ordonnées (négatif 1, 2), (0, négatif 1) et (1, négatif 4). Une ligne droite passe par les trois points. La ligne comporte des flèches aux deux extrémités pointant vers l'extérieur de la figure. La ligne est étiquetée avec l'équation 3x plus y égale moins 1.
    Figurine\(\PageIndex{6}\)
    Exercice\(\PageIndex{14}\)

    Représentez graphiquement l'équation 2x+y=2.

    Réponse

    La figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 12 à 12. L'axe Y du plan va de moins 12 à 12. La ligne droite passe par les points (moins 4, 10), (moins 2, 6), (0, 2), (2, moins 2), (4, moins 6) et (6, moins 10). La ligne comporte des flèches aux deux extrémités pointant vers l'extérieur de la figure.

    Exercice\(\PageIndex{15}\)

    Représentez graphiquement l'équation 4x+y=−3.

    Réponse

    La figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 12 à 12. L'axe Y du plan va de moins 12 à 12. La ligne droite passe par les points (négatif 3, 9), (négatif 2, 5), (négatif 1, 1), (0, négatif 3), (1, négatif 7) et (2, négatif 10). La ligne comporte des flèches aux deux extrémités pointant vers l'extérieur de la figure.

    Si vous pouvez choisir trois points pour tracer une ligne, comment saurez-vous si votre graphique correspond à celui indiqué dans les réponses du livre ? Si les points où les graphes croisent les axes x et y sont identiques, les graphes sont identiques !

    L'équation de l'exercice\(\PageIndex{13}\) a été écrite sous une forme standard, avec x et y du même côté. Nous avons résolu cette équation pour y en une seule étape. Mais pour les autres équations sous forme standard, ce n'est pas si facile à résoudre pour y, nous les laisserons donc sous forme standard. Nous pouvons toujours trouver un premier point à tracer en laissant x=0 et en résolvant pour y. Nous pouvons tracer un deuxième point en laissant y=0, puis en résolvant pour x. Ensuite, nous allons tracer un troisième point en utilisant une autre valeur pour x ou y.

    Exercice\(\PageIndex{16}\)

    Tracez l'équation\(2x−3y=6\).

    Réponse

    \(\begin{array}{lrll} \text { Find three points that are solutions to the } & 2 x-3 y &= &6 \\ \text { equation. } & 2 x-3 y&=&6 \\ \text { First let } x=0 . & 2(0)-3 y&=&6 \\ \text { Solve for } y . &-3 y&=&6 \\ & y&=&-2 \\\\ \text { Now let } y=0 . & 2 x-3(0)&=&6 \\ \text { Solve for } x . & 2 x&=&6 \\ & x&=& 3 \\ \\ \text{ We need a third point. Remember, we can}&2(6)-3 y &=&6 \\ \text{ choose any value for x or y. We’ll let x = 6.}&12-3 y &=&6 \\ \text{ Solve fory.}&-3 y &=&-6 \\ &y &=&2\end{array}\)

    Nous listons les paires ordonnées dans le tableau\(\PageIndex{6}\). Tracez les points, vérifiez qu'ils s'alignent et tracez la ligne. Voir la figure\(\PageIndex{7}\).

    Tableau\(\PageIndex{6}\)
    2x−3 y=6
    x Ty (x, y)
    0 −2 (0, −2)
    3 0 (3,0)
    6 2 (6,2)
    La figure montre une ligne droite passant par trois points sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 7 à 7. L'axe Y du plan va de moins 7 à 7. Les points marquent les trois points qui sont étiquetés par leurs paires ordonnées (0, moins 2), (3, 0) et (6, 2). Une ligne droite passe par les trois points. La ligne comporte des flèches aux deux extrémités pointant vers l'extérieur de la figure. La ligne est étiquetée avec l'équation 2x moins 3y égale 6.
    Figurine\(\PageIndex{7}\)
    Exercice\(\PageIndex{17}\)

    Tracez l'équation\(4x+2y=8\).

    Réponse

    La figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 7 à 7. L'axe Y du plan va de moins 7 à 7. La ligne droite passe par les points (négatif 1, 6), (0, 4), (1, 2), (2, 0), (3, négatif 2) et (4, négatif 4). La ligne comporte des flèches aux deux extrémités pointant vers l'extérieur de la figure.

    Exercice\(\PageIndex{18}\)

    Tracez l'équation\(2x−4y=8\).

    Réponse

    La figure montre une ligne droite tracée sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 7 à 7. L'axe Y du plan va de moins 7 à 7. La ligne droite passe par les points (négatif 6, négatif 5), (négatif 4, négatif 4), (négatif 2, négatif 3), (0, négatif 2), (2, négatif 1), (4, 0) et (6, 1). La ligne comporte des flèches aux deux extrémités pointant vers l'extérieur de la figure.

    Tracez des lignes verticales et horizontales

    Pouvons-nous représenter graphiquement une équation avec une seule variable ? Juste x et pas y, ou juste y sans x ? Comment créerons-nous un tableau de valeurs pour obtenir les points à tracer ?

    Considérons l'équation x=−3. Cette équation ne comporte qu'une seule variable, x. L'équation indique que x est toujours égal à -3, donc sa valeur ne dépend pas de y. Quel que soit y, la valeur de x est toujours -3.

    Donc, pour créer un tableau de valeurs, écrivez −3 pour toutes les valeurs x. Choisissez ensuite n'importe quelle valeur pour y. Comme x ne dépend pas de y, vous pouvez choisir les nombres de votre choix. Mais pour ajuster les points sur notre graphe de coordonnées, nous utiliserons 1, 2 et 3 pour les coordonnées y. Voir le tableau\(\PageIndex{7}\)

    Tableau\(\PageIndex{7}\)
    x=−3
    x y (x, y)
    −3 1 (−3,1)
    −3 2 (−3,2)
    −3 3 (−3,3)

    Tracez les points du Tableau\(\PageIndex{7}\) et reliez-les par une ligne droite. Remarquez sur la figure\(\PageIndex{8}\) que nous avons tracé une ligne verticale.

    La figure montre une ligne droite verticale tracée à travers trois points sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 7 à 7. L'axe Y du plan va de moins 7 à 7. Les points marquent les trois points qui sont étiquetés par leurs paires ordonnées (négatif 3, 1), (négatif 3, 2) et (négatif 3, 3). Une ligne droite verticale passe par les trois points. La ligne comporte des flèches aux deux extrémités pointant vers l'extérieur de la figure. La ligne est étiquetée avec l'équation x égale à moins 3.
    Figurine\(\PageIndex{8}\)
    LIGNE VERTICALE

    Une ligne verticale est le graphique d'une équation de la forme x=a.

    La ligne passe par l'axe x en (a,0).

    Exercice\(\PageIndex{19}\)

    Représentez graphiquement l'équation x=2.

    Réponse

    L'équation ne comporte qu'une seule variable, x, et x est toujours égal à 2. Nous créons un tableau\(\PageIndex{8}\) où x est toujours égal à 2, puis nous saisissons toutes les valeurs pour y. Le graphique est une ligne verticale passant par l'axe x en 2. Voir la figure\(\PageIndex{9}\).

    Tableau\(\PageIndex{8}\)
    x=2
    x y (x, y)
    2 1 (2,1)
    2 2 (2,2)
    2 3 (2,3)
    La figure montre une ligne verticale droite tracée à travers trois points sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 7 à 7. L'axe Y du plan va de moins 7 à 7. Les points marquent les trois points qui sont étiquetés par leurs paires ordonnées (2, 1), (2, 2) et (2, 3). Une ligne droite verticale passe par les trois points. La ligne comporte des flèches aux deux extrémités pointant vers l'extérieur de la figure. La ligne est étiquetée avec l'équation x égale à 2.
    Figurine\(\PageIndex{9}\)
    Exercice\(\PageIndex{20}\)

    Représentez graphiquement l'équation x=5.

    Réponse

    La figure montre une ligne verticale droite tracée sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 12 à 12. L'axe Y du plan va de moins 12 à 12. La ligne droite passe par les points (5, 1), (5, 2), (5, 3) et tous les autres points dont la première coordonnée est 5. La ligne comporte des flèches aux deux extrémités pointant vers l'extérieur de la figure.

    Exercice\(\PageIndex{21}\)

    Représentez graphiquement l'équation x=−2.

    Réponse

    La figure montre une ligne verticale droite tracée sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 12 à 12. L'axe Y du plan va de moins 12 à 12. La ligne droite passe par les points (négatif 2, 1), (négatif 2, 2), (négatif 2, 3) et tous les autres points dont la première coordonnée est négative 2. La ligne comporte des flèches aux deux extrémités pointant vers l'extérieur de la figure.

    Et si l'équation a y mais pas de x ? Reproduisons graphiquement l'équation y=4. Cette fois, la valeur y est constante, donc dans cette équation, y ne dépend pas de xx. Remplissez 4 pour tous les y du tableau,\(\PageIndex{9}\) puis choisissez n'importe quelle valeur pour x. Nous utiliserons 0, 2 et 4 pour les coordonnées x.

    Tableau\(\PageIndex{9}\)
    y=4
    x y (x, y)
    0 4 (0,4)
    2 4 (2,4)
    4 4 (4,4)

    Le graphique est une ligne horizontale passant par l'axe y en 4. Voir la figure\(\PageIndex{10}\).

    La figure montre une ligne horizontale droite tracée à travers trois points sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 7 à 7. L'axe Y du plan va de moins 7 à 7. Les points marquent les trois points qui sont étiquetés par leurs paires ordonnées (0, 4), (2, 4) et (4, 4). Une ligne droite horizontale passe par les trois points. La ligne comporte des flèches aux deux extrémités pointant vers l'extérieur de la figure. La ligne est étiquetée avec l'équation y égale 4.
    Figurine\(\PageIndex{10}\)
    LIGNE HORIZONTALE
    Une ligne horizontale est le graphique d'une équation de la forme y=b.

    La ligne passe par l'axe y en (0, b).

    Exercice\(\PageIndex{22}\)

    Représentez graphiquement l'équation y=−1.

    Réponse

    L'équation y=−1y=−1 ne comporte qu'une seule variable, y. La valeur de y est constante. Toutes les paires ordonnées dans le tableau\(\PageIndex{10}\) ont la même coordonnée y. Le graphique est une ligne horizontale passant par l'axe y à −1−1, comme le montre la figure\(\PageIndex{11}\).

    Tableau\(\PageIndex{10}\)
    y=−1
    x y (x, y)
      Ta−1 (0, -1)
      −1 (3, -1)
    −3 −1 (−3, −1)
    La figure montre une ligne horizontale droite tracée à travers trois points sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 7 à 7. L'axe Y du plan va de moins 7 à 7. Les points marquent les trois points qui sont étiquetés par leurs paires ordonnées (négatif 3, négatif 1), (0, négatif 1) et (3, négatif 1). Une ligne droite horizontale passe par les trois points. La ligne comporte des flèches aux deux extrémités pointant vers l'extérieur de la figure. La ligne est étiquetée avec l'équation y égale à moins 1.
    Figurine\(\PageIndex{11}\)
    Exercice\(\PageIndex{23}\)

    Représentez graphiquement l'équation y=−4.

    Réponse

    La figure montre une ligne horizontale droite tracée sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 12 à 12. L'axe Y du plan va de moins 12 à 12. La ligne droite passe par les points (moins 4, moins 4), (0, moins 4), (4, moins 4) et tous les autres points dont la deuxième coordonnée est négative 4. La ligne comporte des flèches aux deux extrémités pointant vers l'extérieur de la figure.

    Exercice\(\PageIndex{24}\)

    Représentez graphiquement l'équation y=3.

    Réponse

    La figure montre une ligne horizontale droite tracée sur le plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 12 à 12. L'axe Y du plan va de moins 12 à 12. La ligne droite passe par les points (moins 4, 3), (0, 3), (4, 3) et tous les autres points dont la deuxième coordonnée est 3. La ligne comporte des flèches aux deux extrémités pointant vers l'extérieur de la figure.

    Les équations des lignes verticales et horizontales ressemblent beaucoup à des équations telles que y=4x. Quelle est la différence entre les équations y=4x et y=4 ?

    L'équation y=4x possède à la fois x et y. La valeur de y dépend de la valeur de x. La coordonnée y change en fonction de la valeur de x. L'équation y=4 ne comporte qu'une seule variable. La valeur de y est constante. La coordonnée y est toujours égale à 4. Cela ne dépend pas de la valeur de x. Voir le tableau\(\PageIndex{11}\).

    Tableau\(\PageIndex{11}\)
    y = 4   y=4
    x y (x, y) x y (x, y)
    0 0 (0,0) 0 4 (0,4)
    1 4 (1,4) 1 4 (1,4)
    2 8 (2,8) 2 4 (2,4)
    La figure montre deux lignes droites tracées sur le même plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 7 à 7. L'axe Y du plan va de moins 7 à 7. Une ligne est une ligne droite horizontale étiquetée avec l'équation y égale 4. L'autre ligne est une ligne inclinée étiquetée avec l'équation y égale 4x.
    Figurine\(\PageIndex{12}\)

    Notez que dans la figure\(\PageIndex{12}\), l'équation y=4x donne une ligne inclinée, tandis que y=4 donne une ligne horizontale.

    Exercice\(\PageIndex{25}\)

    Graphe y=−3x et y=−3 dans le même système de coordonnées rectangulaires.

    Réponse

    Notez que la première équation contient la variable x, alors que la seconde n'en a pas. Voir le tableau\(\PageIndex{12}\). Les deux graphiques sont illustrés dans la figure\(\PageIndex{13}\).

    Tableau\(\PageIndex{12}\)
    y = −3 x   y=−3
    x y (x, y) x y (x, y)
        (0,0)   −3 (0, −3)
      −3 (1, −3)   −3 (1, −3)
      −6 (2, −6)   −3 (2, −3)
    La figure montre deux lignes droites tracées sur le même plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 7 à 7. L'axe Y du plan va de moins 7 à 7. Une ligne est une ligne droite horizontale étiquetée avec l'équation y égale moins 3. L'autre ligne est une ligne inclinée étiquetée avec l'équation y égale moins 3x.
    Figurine\(\PageIndex{13}\)
    Exercice\(\PageIndex{26}\)

    Graphe y=−4x et y=−4 dans le même système de coordonnées rectangulaires.

    Réponse

    La figure montre deux lignes droites tracées sur le même plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 12 à 12. L'axe Y du plan va de moins 12 à 12. Une ligne est une ligne droite horizontale passant par les points (négatif 4, négatif 4), (0, négatif 4), (4, négatif 4) et tous les autres points dont la deuxième coordonnée est négative 4. L'autre ligne est une ligne inclinée passant par les points (négatif 2, 8), (négatif 1, 4), (0, 0), (1, négatif 4) et (2, négatif 8).

    Exercice\(\PageIndex{27}\)

    Diagramme y=3 et y=3x dans le même système de coordonnées rectangulaires.

    Réponse

    La figure montre deux lignes droites tracées sur le même plan de coordonnées x. L'axe X du plan va de moins 12 à 12. L'axe Y du plan va de moins 12 à 12. Une ligne est une ligne droite horizontale passant par les points (négatif 4, 3) (0, 3), (4, 3) et tous les autres points dont la deuxième coordonnée est 3. L'autre ligne est une ligne inclinée passant par les points (négatif 2, moins 6), (négatif 1, négatif 3), (0, 0), (1, 3) et (2, 6).

    Concepts clés

    • Tracez une équation linéaire en traçant des points
      1. Trouvez trois points dont les coordonnées sont des solutions à l'équation. Organisez-les dans un tableau.
      2. Tracez les points dans un système de coordonnées rectangulaires. Vérifiez que les points s'alignent. Si ce n'est pas le cas, vérifiez bien votre travail !
      3. Tracez la ligne entre les trois points. Prolongez la ligne pour remplir la grille et placez des flèches aux deux extrémités de la ligne.

    Lexique

    graphique d'une équation linéaire
    Le graphique d'une équation linéaire Ax+By=C est une ligne droite. Chaque point de la ligne est une solution de l'équation. Chaque solution de cette équation correspond à un point sur cette ligne.
    ligne horizontale
    Une ligne horizontale est le graphique d'une équation de la forme y=b. La droite passe par l'axe y en (0, b).
    ligne verticale
    Une ligne verticale est le graphique d'une équation de la forme x=a. La droite passe par l'axe x en (a,0).